2. Objetivos
O a. Explorar en qué consisten las anualidades?
O b. Reconocer, definir y clasificar los diferentes
tipos de anualidades.
O c. Identificar y manejar los distintos factores
que intervienen en las anualidades.
O d. Realizar cálculos de sus valores
equivalentes, futuros, actuales y presentes,
los intereses y plazos.
O e. Entender los procesos financieros que
implican.
O f. Explicar la particularidades de los Bonos
3. RENTAS O ANUALIDADES
En matemáticas financieras, la expresión
anualidad se emplea para indicar el sistema
de pago de sumas fijas, a intervalos iguales
de tiempo.
Son anualidades los dividendos sobre
acciones, los fondos de amortización, los
pagos a plazo, los pagos periódicos de las
compañías de seguros, los sueldos, las
jubilaciones.
4. RENTAS O ANUALIDADES
La expresión anualidad es lo mismo que
decir, rentas, series uniformes, pagos
periódicos, amortizaciones.
Los bonos son obligaciones o documentos
de crédito, emitidos por un gobierno o una
entidad particular, a un plazo perfectamente
determinado, que devenga intereses
pagaderos en períodos regulares de tiempo.
5. RENTAS O ANUALIDADES
FINANCIERAS
Una anualidad es una sucesión de pagos
periódicos iguales. Una anualidad es
considerada una inversión exponencial
formada por una serie de depósitos iguales
que se realizan a intervalos iguales de
tiempo.
11. SÍMBOLOS QUE SE UTILIZAN EN LAS
ANUALIDADES
O C = pago periódico de una anualidad o renta.
O ik = tasa efectiva por período de
capitalización.
O i = tasa nominal anual.
O tk= número de capitalizaciones en el año.
O t = número de períodos de pago.
12. IMPORTANTE:
En este tema es ABOLUTAMENTE
NECESARIO que el plazo (t), tipo de
interés (i) y los importes (C) de la Renta,
estén referidos a la misma base
temporal.
Es imperativo que la tasa de interés y el
período, estén expresados en la misma
base temporal de la Renta.
13. CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL (Vo) Y
VALOR FINAL (Vn) DE UNA RENTA
Valor actual o presente de una anualidad es aquella
cantidad “Vo” de dinero que con sus intereses
compuestos, en el tiempo de la anualidad, dará un
monto equivalente al monto de la anualidad. Para el
cálculo del valor actual, se realizan operaciones de
descuento.
Valor final o futuro de una anualidad es también
aquella cantidad que se obtiene al capitalizar los
intereses compuestos y encontrar el monto en las
condiciones pactadas. El cálculo de estos valores
supone la equivalencia en los Valores (Vo),
(C*tperíodos) y el Vn, es decir que es equivalente,
tienen el mismo valor a través del tiempo, aunque no
los mismos montos.
14. RENTA TEMPORAL CONSTANTE
POSPAGABLE
O Es aquella de duración determinada, en la
que los importes de capital además de ser
iguales, se generan al final de cada sub-
periodo.
O El valor actual "Vo" de una renta temporal
de términos constantes de cuantía "C"
será:
O Vo = 𝐶(1 − (1 + 𝑖)−𝑡
i
16. Ejemplo 1: Calcular el valor actual de una renta
anual pos pagable de L. 45.000.00, que se paga
durante 7 años, con un tipo de interés del 9%:
(RTCPospagable) (Vo, Vn)
17. RENTA TEMPORAL CONSTANTE
POSPAGABLE
O 1. Vo = Que si decide pagar hoy toda la renta,
deberá desembolsar Lps. 226,482.88.
O 2. Vn = Que si decide dejar de pagar hoy,
dejar de pagar cada año esos Lps. 45,000.00
durante siete años, puede pagar al final del
plazo de la renta o sea al final de los 7 años,
la cantidad de Lps. 414,019.56.
O 3. C = Pagar Lps. 45,000.00 durante siete (7)
años, al finalizar cada uno de ellos, porque es
pospagable.
18. RENTA TEMPORAL CONSTANTE
PREPAGABLE
O La renta constante temporal prepagable
es aquella de duración determinada, en la
que los importes de capital se generan al
comienzo de cada sub-periodo (Ej:
contrato de alquiler de vivienda por 5
años, con pago del alquiler al comienzo
de cada mes).
19. RENTA TEMPORAL CONSTANTE
PREPAGABLE
O VALOR ACTUAL O PRESENTE
O Vo =C (1+i) * (1 − (1 + 𝑖)−𝑡
i
O VALOR FINAL O FUTURO
O Vn = C (1+i) * (1 + 𝑖) 𝑡−1
i
20. Ejemplo 1: Calcular el valor actual de una renta
anual pos pagable de L. 45.000.00, que se paga
durante 7 años, con un tipo de interés del 9%:
(RTCPrepagable) (Vo, Vn)
21. O Cuando se desea calcular el valor del pago
periódico o renta de la anualidad, lo primero
que se necesita es conocer los factores de la
anualidad, tanto para valor presente, como
para valor futuro.
O Dos rutas se pueden seguir para calcular el
valor de la renta (C ):
O a. Si conocemos el valor actual (Vo), el
tiempo (t) y la tasa de interés (i), y,
O b. Conocemos el valor futuro (Vn), el tiempo
(t) y la tasa de interés (i)
CÁLCULO DEL VALOR DEL PAGO PERIÓDICO O
RENTA (C) EN UNA ANUALIDAD TEMPORAL
CONSTANTE POSPAGABLE:
22. Entonces cuándo conocemos el valor
actual, encontrar el valor de la renta con
la fórmula:
C= Vo (𝑖)________
(1 − (1 + 𝑖)−𝑡 -1
23. Pero si lo que conocemos el valor futuro
(Vn), entonces utilizar la siguiente
fórmula:
C= Vn (𝑖)________
(1 + 𝑖) 𝑡 -1
24. O Ejemplo 3: Cálculo del valor de la renta
O ¿Cuánto se debe depositar al final de cada
trimestre en un banco que paga el 18% de interés
anual, capitalizable trimestralmente, de tal manera
que permita acumular la cifra de Lps. 220,000.00
al final de 3 años? Esta renta es simple.
25. CÁLCULO DEL VALOR (t) EN UNA
ANUALIDAD TEMPORAL CONSTANTE
POSPAGABLE:
O T = log (1 − (Vo 𝑖 )
C
log(1 + 𝑖)−𝑡
26. Ejemplo 5:
Se desea saber cuánto tiempo (t) necesita una renta por el valor
de Lps. 4,500.00 para que su valor inicial hoy sea estimado en
Lps, 50,000.00. La operación aplica una tasa de interés del 6%.
27. 2 RENTA PERPETUA CONSTANTE
La renta perpetua constante es aquella de
duración infinita, en la que los importes de
capital son siempre iguales (ejemplo un
título de deuda pública a perpetuidad a tipo
fijo). Esta renta es una anualidad cuyo plazo
no tiene fin.
28. a) RENTAS PERPETUAS CONSTANTES
POSPAGABLES
Cuando se trata de una renta de importe
constante "C", entonces la fórmula del valor
actual es:
Vo = C / i
29. b) RENTAS PERPETUAS CONSTANTES
PREPAGABLES
Para encontrar el valor actual cuando es
prepagable, utilizamos la fórmula siguiente:
Vo = C
(1+𝑖)
𝑖
30. Ejemplo 6: Calcular el valor actual de una
renta perpetua semestral pospagable de Lps.
50.000.00, si se pactó con un tipo de interés
anual del 12%:
31. 3 RENTA DIFERIDA CONSTANTE
La renta diferida constante es aquella cuyo
valor inicial se calcula con anterioridad al
comienzo de la renta, o sea que es una
anualidad vencida u ordinaria donde el
primer pago, depósito o renta se efectúa
después de cierto número de períodos de
aplazamiento “d”, durante el plazo “t”
correspondiente a la anualidad.
Por ejemplo: calculo hoy el valor de un
contrato de alquiler que se va a poner en
vigor dentro de 6 meses.
32. a) RENTA DIFERIDA TEMPORAL
CONSTANTE
a) La renta “diferida” implica que entre el
momento de la valoración y el momento
del inicio de la renta transcurren "d"
periodos.
La fórmula que debe utilizarse pospagable
es:
d/Vo = C(1+i)^-d ((1 - (1 + i)^-t)/ i)
33. a) RENTA DIFERIDA TEMPORAL
CONSTANTE
O Pero si el problema en vez de ser –
pospagable-, es –prepagable-, entonces
se aplica la fórmula que corresponde de
la siguiente manera:
O d/Vo = C(1+i)^-d+1 ((1 - (1 + i)^-t)/i)
34. b. RENTA DIFERIDA PERPETUA
CONSTANTE
La fórmula que debe utilizarse es: d/Vo =
C(1+i)^-d / i para la forma pospagable
La fórmula para calcular el valor actual en la
forma –prepagable- en este caso es:
d/Vo = C(1+i)^-d+1 / i
35. RENTA ANTICIPADA CONSTANTE
Una anualidad anticipada es una sucesión o
corriente uniforme de pagos, rentas o depósitos
que se efectúan al comenzar cada período de
pago durante el número fijo de períodos.
La renta anticipada es aquella en la que se
calcula su valor final en un momento posterior a
la finalización de la renta. Sucede por ejemplo
cuando calculo hoy el valor de una serie de
depósitos mensuales que se fue realizando en
un banco y que finalizó hace unos meses.
36. Renta Temporal Constante Anticipada
a. Valor final -pospagable
Se aplica la fórmula del valor final
k/Vn = C(1 + i)^k(((1 + i)^t - 1) / i)
O b. Valor final – prepagable
O Se aplica la fórmula del valor final k/Vn =
C(1 + i)^1+k(((1 + i)^t - 1)/i)
37. CÁLCULO DEL TIEMPO O PLAZO DE
UNA ANUALIDAD
El plazo de una anualidad se refiere al número
de pagos que se realizan en una operación de
rentas y su fórmula para el cálculo es la
siguiente:
t = log (( (i*Vn) +C) - log C) / log(1 + i), donde
recordemos:
Vn = es el valor futuro de una anualidad
C = es el valor de la renta
i = es la tasa de interés y,
t = es el plazo o el número de pagos buscado.
38. RENTAS O ANUALIDADES
O Ejemplo:
O ¿Cuántos pagos semestrales de Lps.
6,000.00 deberán hacerse para
cancelar una deuda de Lps. 45,000.00.
al 7% de interés capitalizable
semestralmente?.
O t = log (( (i*Vn) +C) - log C) / log(1 + i),
39. RENTAS VARIABLES
Las rentas variables son aquellas
sucesiones de capitales, todos diferentes en
sus montos o en sus tasas de interés. La
variación de este tipo de sucesiones hace
imposible que a través de una fórmula se
encuentren los valores iniciales, finales,
números de pagos, tasas, valores de
rentas.
40. RENTAS VARIABLES
El método que se utilizará es el de
descontar cada uno de estos términos al
momento inicial (cálculo del valor inicial) o
al momento final (cálculo del valor final).
Dentro de estas rentas variables se podrán
presentar cada una de las modalidades que
hemos estudiado:
Prepagable - Pospagable
Anticipadas - Diferidas
41. RENTAS VARIABLES
Ejemplo 11: (Renta variable: temporal
prepagable)
Calcular el valor actual (Vo) de una renta
semestral, prepagable, con un tipo anual del
5% semestral. Los términos de la renta son
los siguientes:
44. 3º. Encuentre el valor futuro (Vn) de la renta
anterior a la fecha de vencimiento de la
renta, no a la fecha de pago
45. Ahora, del mismo problema encontremos valor inicial y valor
final, pero bajo la modalidad pospagable, vemos cómo se
comportan las matrices y sus valores: El valor actual al
momento de iniciar el período.
:
46. RENTAS VARIABLES
Nota: El valor futuro está calculado hasta la
fecha de vencimiento de la renta, no a la
fecha de pago de la última cuota.
