DIVISIÓN POLINÓMICA

1. C A P Í T U L O 1
DIVISIÓN POLINÓMICA
"Los 12 Principios del carácter: (1) Honestidad, (2) Discernimiento, (3) Compasión, (4)
Gratitud, (5) Paciencia, (6) Disciplina, (7) Fortaleza, (8) Perseverancia, (9) Humor, (10)
Humildad, (11) Generosidad y (12) Respeto "
-KATHRYN B. JOHNSON
1. División de Polinomios
La divisibilidad de polinomios se estudia de forma análoga a la divisibilidad entre
números enteros que ya conoces, como veremos a continuación.
La división de dos polinomios llamados dividendo y divisor, consiste en hallar otros
dos polinomios llamados cociente y resto que cumplan:
% dividendo = divisor * cociente + resto.
% grado del resto < grado del divisor.
Enunciados de los problemas
Problema 1
En la siguiente división exacta:
6x4 + 11x3 + 8x2 − 3x − 2B
3x2 + 4x + 5
Hallar el valor de B.
Problema 2
Dividir:
10x4 + 6x3 − 37x2 + 36x − 12
5x2 − 7x + 3
e indicar el resto.
Problema 3
Calcular la suma de los coeficientes del cociente de la división:
x3 − 2x4 + 8x5 − mx2 + 2x + 5
4x − 3
si el resto de la misma es 2.

2. 1 DIVISIÓN POLINÓMICA
Problema 4
En la siguiente división determine el residuo:
x5 − 2x3 + 2x2 + x − 2
x3 − 2x2 + x − 3
Problema 5
Dividir:
6x3 − 12x2 + 3ax + a
3x2 + 3
sabiendo que: R(x) = m(x + 1). Hallar m+a.
Problema 6
Si la división indicada:
a2x4 + 5ax3 − 14x2 + a3 − 9
ax2 − 2x − 3
es exacta. ¿ Cuál es el valor real de a ?
Problema 7
Dividir:
12x4 − 14x3 + 15x2 − 6x + 4m
4x2 − 2x + 1
e indicar la suma de coeficientes del cociente.
Problema 8
Calcular b-a si al dividir:
ax4 + bx3 + 13x + 18
3x2 − x + 7
se obtiene como resto: 2x − 3
2

3. PROFESOR MARCO ALPACA ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICA
Problema 9
En la división se obtiene por resto un término constante. Hallar el resto.
2x4 + 5x3 + mx − 2m
2x2 − x + 1
Problema 10
Dividir:
(
√
3 −
√
2)x5 − 2
√
2x3 − 2
√
3x + 6
x −
√
3 −
√
2
e indicar el resto
3

4. C A P Í T U L O 2
SO L U C I O N A R I O

5. PROFESOR MARCO ALPACA ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICA
Solución 1
3 6 11 8 -3 -2B
-4 -8 -10
-5 -4 -5
8 10
2 1 -2 0 0
10 − 2B = 0
B = 5
Solución 2
5 10 6 -37 36 -12
7 14 -6
-3 28 -12
-21 9
2 4 -3 3 -3
R(x) = 3x − 3
Solución 3
Utilizando Ruffini tenemos:
8x5 − 2x4 + x3 − mx2 + 2x + 5
4x − 3
4x − 3 = 0 8 -2 1 -m 2 5
x = 3/4
6 3 3 3a 3b
÷4 8 4 4 4a 4b 2
2 1 1 a b
5 + 3b = 2
b = −1
2 + 3a = 4b
5

6. 2 SOLUCIONES
a = −2
3 − m = 4a
m = 11
q(x) = 2x4 + x3 + x2 + ax + b
ΣCoe f q(x) = 1
Solución 4
1 1 0 -2 2 1 -2
2 2 -1 3
-1 4 -2 6
3 2 -1 3
1 2 1 5 6 1
5x2 + 6x + 1
Solución 5
3 6 -12 3a a
0 0 -6
-3 0 12
2 -4 m m
3a − 6 = m
a + 12 = m
3a − 6 = a + 12
a = 9
m = 21
9 + 21 = 30
6

7. PROFESOR MARCO ALPACA ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICA
Solución 6
a a2 5a -14 a3 -9
2 2a 3a
3 14 21
6 9
a 7 3 0 0
a3 = −27
a = −3
Solución 7
4 12 -14 15 -6 4
2 6 -3
-1 -4 2
4 -2
3 -2 2 0 2
ΣCoe f q(x) = 3 − 2 + 2
ΣCoe f q(x) = 3
Solución 8
3 a b 0 13 18
1 α1 -7α1
-7 α2 -7α2
α3 -7α3
α1 α2 α3 2 -3
18 − 7α3 = −3
21 = 7α3
α3 = 3
13 − 7α2 + α3 = 2
13 − 7α2 + 3 = 2
7

8. 2 SOLUCIONES
α2 = 2
2 − 7α1 = 9
α1 = −1
a = 3α1
a = −3
b + α1 = 3α2
b + (−1) = 3(2)
b = 7
b − a = 7 − (−3) = 10
Solución 9
2x4 + 5x3 + 0x2 + mx − 2m
2x2 − x + 1
2 2 5 0 m 2m
1 1 -1
-1 3 -3
1 -1
1 3 1 m-2 2m-1
m − 2 = 0
m = 2
R(x) = 2m − 1
R(x) = 3
8

9. PROFESOR MARCO ALPACA ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICA
Solución 10
x − (
√
3 +
√
2) = 0
√
3 −
√
2 0 −2
√
2 0 −2
√
3 6
x =
√
3 +
√
2
1
√
3 +
√
2 1
√
3 +
√
2 -1
√
3 −
√
2 1
√
3 −
√
2 1 −
√
3 +
√
2 5
R(x) = 5
9