1. ” Año de la Promoción de la Industria Responsable y Compromiso
Climático
UNIVERSIDAD NACIONAL
DEL CALLAO
FACULTAD DE CIENCIAS
NATURALES Y MATEMÁTICA
ÍNDICES DE LOS PLANOS Y SUS DIRECCIONES
“LA LEY DE ZONAS DE WEISS”
ALUMNO:
MARCO ANTONIO ALPACA CHAMBA
ESCUELA PROFESIONAL DE:
FÍSICA
Ciudad universitaria, 20 de Noviembre del 2014
ÍNDICES DE LOS PLANOS Y SUS DIRECCIONES

2. TEORÍA.
LA LEY DE ZONAS DE WEISS.
Esta ley expresa la condición matemática para que un vector [uvw] se encuentre en un
plano (hkl). Esta condición se puede determinar a través de consideraciones vectoriales
elementales. Considere el plano (hkl) en la figura 1, con la normal al plano.
Figura 1.
Un vector en general, r, situado en (hkl) se puede expresar como una combinación lineal
de dos vectores cualesquiera que están en el plano, tales como y . Esto es:
(1), para un λ y μ conveniente. De aquí, expresando y
en términos de a, b y c, se sigue que:
(2).
Si reexpresamos esto como -un vector general [uvw] que está en (hkl) -
se sigue que:
(3), y así:
(4), que es la condición para que un vector [uvw] se encuentre en el
plano (hkl): la ley de zonas de Weiss. Es evidente a partir de esta deducción que es
válida para orientaciones arbitrarias de los ejes x, y, z con uno respecto al otro.
Con frecuencia, un número importante de planos de la red cristalina se encuentran todos
en la misma zona; es decir, que se cortan entre sí en líneas paralelas. Por ejemplo, en
la Figura 2 los planos (100), y (110) son todos paralelos a la dirección [001]. Se
diría que ellos se encuentran en la zona [001], ya que [001] es una dirección común que
está en todos ellos. Las normales de todos estos planos son perpendiculares a [001].
Esto no es un accidente - las normales se ven obligados a ser perpendicular a [001] por
la ley de zonas de Weiss.

3. Figura 2.
Consideremos el plano (hkl) mostrado en la Figura 1.
El vector normal a este plano, n, debe ser paralelo al producto vectorial . De
aquí:
(5), y así después de alguna
manipulación matemática sencilla, y haciendo uso de las identidades
y , es evidente que n es paralelo al vector
.
Esto es:
(6), con una constante de proporcionalidad, Ԑ. Los vectores
y en la ecuación 6 se denominan vectores recíprocos de la red, definidos a
través de las ecuaciones:
(7).
Si la normal al conjunto de planos (hkl) es tomada simplemente como el vector
(8), la magnitud de n es inversamente proporcional a la
separación de los planos hkl; es decir, que es inversamente proporcional a la distancia
de la figura 1, independientemente de las orientaciones de los ejes x, y ,z con uno
respecto al otro.
Además, es evidente que el producto escalar de una normal n a un conjunto de planos,
con un vector r = [uvw] que se encuentra en uno de estos planos debe ser cero. Es decir,
r.n=0. Escribiendo este producto escalar de forma explícita, se obtiene el resultado:
, que es la ley de zonas de Weiss.

4. Esto demuestra que la ley de zonas de Weiss es un producto escalar entre dos vectores,
uno de los cuales se encuentra en un conjunto de planos y el otro del cual es la normal
del conjunto de planos.
Dado los índices de dos planos cualesquiera, es decir (h1k1l1) y (h2k2l2), el índice de la
zona [uvw] en la cual están, se encuentra resolviendo las ecuaciones simultáneas:
(9).
(10).
Debidoa que es sólo el cocientes u: v: w lo que son de interés, estas ecuaciones pueden
resolverse para dar:
(11).
Hay otros métodos que producen el mismo resultado. Por ejemplo, podríamos escribir
las direcciones en la forma:
.
Eliminamos la primera y la última columna y evaluamos los determinantes 2 x 2 a partir
de (i) la segunda y tercera columnas, (ii) la tercera y cuarta columnas y (iii) la cuarta y
quinta columnas:
(12).
Por lo tanto, nos encontramos con
.
Un tercer método es al evaluar el determinante
(13), para determinar [uvw]. El resultado es
.
Así, por ejemplo, suponiendo
, tendríamos:
, y así . Asimismo, dado dos
direcciones [u1v1w1] y [u2v2w2], podemos obtener el plano (hkl) que contiene a estas
dos direcciones al resolver las ecuaciones simultáneas:
(14),
(15).

5. Usando un método similar al utilizado para producir la Ecuación 12, nos acercamos hasta
los tres determinantes de 2 X 2 como sigue:
(16), para encontrar que
. El método equivalente a la ecuación (15) es
evaluar el determinante:
(17).
También es evidente que a partir de las ecuaciones 9 y 10, las condiciones para que dos
planos (h1k1l1) y (h2k2l2) se encuentran en la misma zona [uvw], es que al multiplicar la
ecuación 9 por un número m y la ecuación 10 por un número n y los sumamos,
obtenemos:
(18).
Por lo tanto, el plano
también se encuentra en [uvw]. En otras palabras, los
índices formados al tomar combinaciones lineales de los índices de dos planos en una
zona determinada proporcionan los índices de un plano adicional en esa misma zona.
En general m y n pueden ser positivos o negativos. Sin embargo, si m y n son ambos
positivos, entonces la normal al plano en cuestión debe estar entre las normales de
(h1k1l1) y (h2k2l2).