Evaluación sobre Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Instituto Universitario de Tecnología Antonio José de Sucre
Mérida, Estado Mérida
Tema 2: Función de distribución de
probabilidad
Maria Andrea Pérez Contreras
C.I:30.634.599
Mérida, Noviembre de 2022

2. Evaluación sobre Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad
1.- Se lanza un par de dados. Se define la variable aleatoria X como la suma de
las puntuaciones obtenidas. Hallar la función de probabilidad, la esperanza
matemática y la varianza
X: suma de la puntuación obtenida
Para hallar la función de probabilidad es necesario conocer el espacio maestral del
experimento. Cada dado tiene el espacio maestral (1, 2, 3, 4, 5,6) el espacio
muestral conjunto y la suma de las puntuaciones se puede ilustrar como se
muestra
Dado 1/Dado
2
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
El espacio contiene 36 opciones cada una con una probabilidad 1
36
⁄ . La V.A
puede tomar valores de 2 a 12. Para obtener la función de probabilidad, se cuenta
el número de veces que ocurre cada resulta y se divide por 36.
P(x: 2): 1
36
⁄ :1
36
⁄
P (X: 3): 2
36
⁄ : 1
18
⁄
P (X: 4): 3
36
⁄ : 1
12
⁄
P (X: 5): 4
36
⁄ : 1
9
⁄
P (X: 6): 5
36
⁄ : 5
36
⁄
P (X: 7): 6
36
⁄ : 1
6
⁄
P (X: 8): 7
36
⁄ : 5
36
⁄
P (X: 9): 8
36
⁄ : 1
9
⁄
P (X: 10): 9
36
⁄ :1
12
⁄
P (X: 11): 10
36
⁄ : 1
18
⁄

3. P (X: 12): 11
36
⁄ : 1
36
⁄
La función de probabilidad de x se escribe
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
F(x) 1
36
⁄ 1
18
⁄ 1
12
⁄ 1
9
⁄ 5
36
⁄ 1
6
⁄ 5
36
⁄ 1
9
⁄ 1
12
⁄ 1
12
⁄ 1
36
⁄
Esperanza matemática
E(x): ∑1.2
X.f(x):
X: 2
2. (
1
36
) + 3. (
1
18
) + 4.(
1
12
) + 5. (
1
9
) + 6. (
5
36
) + 7. (
1
6
) + 8. (
5
36
)+ 9. (
1
9
) + 10. (
1
12
) + 11. (
1
18
)
+ 12. (
1
36
):
1
18
+
1
6
+
1
3
+
5
9
+
5
6
+
7
6
+
10
9
+
1
18
+1+
5
6
+
11
18
+
1
3
:7
E: (x): 7
Varianza:
Var:(x): E ( 𝑥2
) - [𝐸 (𝑥)]2
E (𝑥2
):∑1.2
x2 f(x):
X: 2
22
(
1
36
) + 32
(
1
18
) +42
(
1
12
) +52
(
1
9
) +62
(
5
36
) +72
(
1
6
) +82
(
5
36
) +92
(
1
9
) +102
(
1
9
) +112
(
1
18
)
+122
(
1
36
):
1
9
+
1
2
+
4
3
+
25
9
+ 5 +
49
6
+
80
9
+ 9 +
25
3
+
121
18
4:
329
6
Var: (x):
329
6
− (72
):
329
6
− 49:
35
6
Var:
35
6
2.-Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos cientos
de bolívares como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos
cientos de bolívares como marca el dado. Determinar la función de probabilidad y
la esperanza matemática del juego.

4. En primer lugar hay que recordar la definición de número primo: son los números
naturales que solo tienen dos divisores, el 1 y ellos mismos. Si aplicamos la
definición x los números del dado, tenemos como números primos, el 2, 3 y 5.
Nota: por definición el 1 no se considera número primo.
Luego si sale: 1 pierde 100(-100)
Luego si sale: 2 gana 200(+200)
Luego si sale: 3 gana 300(+300)
Luego si sale: 4 pierde 400(-400)
Luego si sale: 5 gana 500(+500)
Luego si sale: 6 pierde 600(-600)
Cada número tiene una probabilidad de ocurrencia de 1
6
⁄ .
Función de probabilidad:
Llamamos X a la ganancia obtenida
X -100 200 300 -400 500 -600
F(x) 1
6
⁄ 1
6
⁄ 1
6
⁄ 1
6
⁄ 1
6
⁄ 1
6
⁄
Esperanza
E(x): ∑ xf (x):
Ɐx
-100.
1
6
+200.
1
6
+300.
1
6
− 400.
1
6
+ 500.
1
6
− 600.
1
6
−
50
3
+
100
3
+ 50 −
200
3
+
250
3
− 100: −
50
3
E(x): −
50
3
3.-Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de
5.000 Bs ó un segundo premio de 2000 Bs con probabilidades de: 0.001 y 0.003.
¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?
De acuerdo con los datos, si llamamos x a la cantidad de dinero que se puede
generar.
X 5000 2000 0
F(x) 0.001 0.003 0.996
Para que el precio sea justo su valor debe ser igual al valor esperado.
E(x):500 (0.001) + 2000 (0.002) + 0 (0.996)
: 5+6+0: 11

5. E(x): 11
4.- Un embarque de 7 televisores contiene 2 aparatos defectuosos. Un hotel
realiza una compra aleatoria de 3 de ellos. Si X es el número de unidades
defectuosas que se compran, encuentre la distribución de probabilidad de
X, Calcule el valor promedio del televisores defectuosos.
X: Número de unidades defectuosas que se compran
7→2 defectuosas (D)
5 No defectuosas (Ḏ)
X puede ser 0,1, o 2
En la compra de las 3 unidades, puede ocurrir lo siguiente, con las probabilidades
que se indica 1° unidad 2° unidad 3° unidad
1
6
⁄ D 0
5
⁄ D
5
6
⁄ Ḏ 5
5
⁄ Ḏ
1
5
⁄ D
2
4
⁄ D
4
5
⁄ Ḏ
1
5
⁄ D
5
7
⁄ Ḏ
4
5
⁄ Ḏ
2
6
⁄ D 2
5
⁄ D
4
6
⁄ Ḏ 3
5
⁄ Ḏ
P(DDD) :
2
7
.
1
6
.
0
5
: 0 Imposible, 3 defectos porque solo hay 2
P(DDḎ):
2
7
.
1
6
.
5
5
:
1
21
2 defectuosos
P(DḎD):
2
7
.
5
6
.
1
5
:
1
21
2 defectuosos
P(DḎḎ):
2
7
.
5
6
.
4
5
:
4
21
1 defectuoso

6. P(ḎDD):
5
7
.
2
6
.
1
5
:
1
21
2 defectuosos
P(ḎDḎ):
5
7
.
2
6
.
4
5
:
4
21
1 defectuoso
P(ḎḎD):
5
7
.
4
6
.
2
5
:
4
21
1 defectuoso
P(ḎḎḎ)
5
7
.
4
6
.
3
5
:
2
27
0 defectuosos
P(x:0):
2
7
P(X:1):
4
21
+
4
21
+
4
21
:
12
21
:
4
7
P(X:2):
1
21
+
1
21
+
1
21
:
3
21
:
1
7
Distribución de probabilidad:
X 0 1 2
F(x) 2
7
⁄ 4
7
⁄ 1
7
⁄
El valor promedio es la esperanza
E(x): 0
2
7
+ 1 .
4
7
+ 2.
1
7
: 𝑏 +
7
7
+
2
7
:
6
7
E(X):
6
7