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Arcos e Ângulos

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Arcos e Ângulos

  1. 1. P Pr ro of fe es ss so or r: : A An nd dr ré é D Di is sc ci ip pl li in na a: : M Ma at te em má át ti ic ca a www.colegiowr.com.br N No om me e: : 2 2ª ª S SÉ ÉR RI IE E E EN NS SI IN NO O M MÉ ÉD DI IO O D DA AT TA A: : 2 26 6 / / 0 02 2 / / 2 20 01 15 5 01. (Ueg 12) Considerando 1º como a distância média entre dois meridianos, e que na linha do equador corresponde a uma distância média de 111,322 km, e tomando-se esses valores como referência, pode-se inferir que o comprimento do círculo da Terra, na linha do equador, é de, aproximadamente, a) 52.035 km. b) 48.028 km. c) 44.195 km. d) 40.076 km. 02. (Ufpe) Três coroas circulares dentadas C1, C2 e C3 de raios r1=10cm, r2=2cm e r3=5cm respectivamente estão perfeitamente acopladas como na figura a seguir. Girando-se a coroa C1 de um ângulo de 41° no sentido horário, quantos graus girará a coroa C3? 03. (Unicamp) Um relógio foi acertado exatamente ao meio dia. Determine as horas e minutos que estará marcando esse relógio após o ponteiro menor ter percorrido um ângulo de 42°. 04. (Uel 11) Um relógio marca que faltam 20 minutos para o meio-dia. Então, o menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos é: a) 90°. b) 100°. c) 110°. d) 115°. e) 125°. 05. (Fuvest) Considere um arco AB de 110° numa circunferência de raio 10cm. Considere, a seguir, um arco A'B' de 60° numa circunferência de raio 5cm. Dividindo-se o comprimento do arco AB pelo do arco A'B' (ambos medidos em cm), obtém-se: a) 11/6. b) 2. c) 11/3. d) 22/3. e) 11. 06. (Fuvest) O perímetro de um setor circular de raio R e ângulo central medindo  radianos é igual ao perímetro de um quadrado de lado R. Então  é igual a: a)  /3. b) 2. c) 1. d) 2  /3. e)  /2. 07. (Unesp 14) A figura mostra um relógio de parede, com 40 cm de diâmetro externo, marcando 1 hora e 54 minutos. Usando a aproximação π = 3 a medida, em cm, do arco externo do relógio determinado pelo ângulo central agudo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos, no horário mostrado, vale aproximadamente. a) 22. b) 31. c) 34. d) 29. e) 20. 08. (Mackenzie) Um veículo percorre uma pista circular de raio 300 m, com velocidade constante de 10 m/s, durante um minuto. Dentre os valores abaixo, o mais próximo da medida, em graus, do arco percorrido é: a) 90. b) 115. c) 145. d) 75. e) 170. 09. (Puc) Ao descrever o tipo de salto de uma ginasta, um entendido a ele referiu: "Era como se seus dedos dos pés descrevessem no espaço um arco de circunferência de 124 cm de comprimento." Considerando que cada perna dessa ginasta, juntamente com seu pé esticado, estejam em linha reta e perfazem 60 cm, o cosseno do ângulo de abertura de suas pernas era: (  = 3,1) a) -1. b) -( 3 )/2 c) -( 2 )/2. d) -1/2. e) 1/2. 10. (Uel) Os primeiros relógios baseavam-se no aparente movimento do Sol na abóboda celeste e no deslocamento da sombra projetada sobre a superfície de um corpo iluminado pelo astro. Considere que: a Terra é esférica e seu período de rotação é de 24 horas no sentido oeste-leste; o tempo gasto a cada 15° de rotação é de 1 hora; o triângulo Brasília/Centro da Terra/Luzaka (Zâmbia) forma, em seu vértice central, um ângulo de 75°.A hora marcada em Luzaka, num relógio solar, quando o sol está a pino em Brasília é: a) 5 horas. b) 9 horas. c) 12 horas. d) 17 horas. e) 21 horas. 11. (Uff) A localização de um ponto qualquer na superfície da Terra (considerada como uma esfera) é feita, em geral, a partir de duas coordenadas, sendo uma delas a latitude - que é o ângulo (em grau) entre o plano que contém a linha do equador e o segmento que une o centro da esfera ao ponto em questão. Sabe-se que as cidades de Porto Alegre e de Macapá situam-se, praticamente, no mesmo meridiano. Considere que a cidade de Macapá (ponto M) localiza-se bem próximo da linha do equador (latitude = 0°02'20" ao norte); que a latitude de Porto Alegre (ponto P) é de 30°01'59" ao sul e que o valor do diâmetro da Terra é de 12750 quilômetros. Veja figura a seguir: Tendo em vista tais considerações, pode-se afirmar que a distância, em quilômetro, entre as duas cidades é de aproximadamente: a) 2300. b) 3300. c) 4600. d) 6600. e) 9000. 12. (Uem 11) Um brinquedo eletrônico tem um disco de 10 cm de raio, e esse disco possui 5 pontos igualmente distribuídos em seu bordo e numerados de 1 a 5 no sentido horário. Uma esfera magnética movimenta- se na borda desse disco. Quando posicionada em um ponto de número ímpar, movimenta-se para o próximo número, em sentido horário; e quando posicionada em um ponto de número par, movimenta-se dois números também em sentido horário. Em relação ao exposto, assinale o que for correto. 01. Se a esfera é inicialmente colocada no ponto de número 5, com 1.000 movimentos, a esfera irá parar no ponto de número 2. 02. Se a esfera começa na posição 1, com dois movimentos, o ângulo do maior arco compreendido entre a posição 1 e a posição final, em relação ao centro do disco, em radianos, mede 6π/5 04. Se a esfera começa na posição 2, com 3 movimentos, o caminho total que a esfera percorre mede 10πcm. 08. Se a esfera não inicia na posição 5, então ela nunca passará por essa posição. 16. Qualquer que seja a posição em que a esfera seja inicialmente colocada, ela sempre passará pela posição 4. 13. (Ita11) Entre duas superposições consecutivas dos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio, o ponteiro dos minutos varre um ângulo cuja medida, em radianos, é igual a a)  23 . 11 b)  16 . 6 c)  24 . 11 d)  25 . 11 e)  7 . 3 14. (Uflavras) A figura MNPQ é um retângulo inscrito em um círculo. Se a medida do arco AM é  /4 rad, as medidas dos arcos AN e AP, em radianos, respectivamente, são: a) 3  /4 e 5  /4. b)  e 3  /2. c) 3  /4 e 2  . d)  /2 e 5  /4. e) 3  /4 e 5  /8. 15. (UnB) Uma das maneiras de se representar a Terra em uma região plana para o traçado de mapas geográficos é a "projeção estereográfica", que consiste em projetar os pontos de uma esfera sobre um plano perpendicular ao eixo norte-sul da esfera e que passa por seu polo Sul. Mais precisamente, a projeção de um ponto P da esfera é um ponto P' de α, obtido pela interseção com o plano α da reta determinada por P e pelo polo Norte. Essa construção está representada na figura a seguir, em que O é o centro da esfera, M e Q são pontos sobre um mesmo paralelo, A é o ponto médio do segmento M' Q', sendo M' e Q' as projeções dos pontos M e Q, respectivamente. Considere que a Terra seja uma esfera de raio igual a 6.400km e que um barco percorra, ao longo de um meridiano, um caminho correspondente a uma diferença de latitude de 60°, a partir da latitude 60° sul, no sentido sul-norte. Considerando um mapa da superfície terrestre feito a partir da projeção estereográfica da Terra e com escala 1:108 , calcule, em centímetros, o comprimento da projeção do percurso desse barco no mapa. Para isso, considere, ainda, tg15° = 0,27 e despreze a parte fracionária de seu resultado, caso exista.
  2. 2. 2 16. (Ufrs) Os ponteiros de um relógio marcam duas horas e vinte minutos. O menor ângulo entre os ponteiros é: a) 45°. b) 50°. c) 55°. d) 60°. e) 65°. 17. (Fgv 2013) O relógio indicado na figura marca 6 horas e a) 7 55 13 minutos. b) 5 55 11 minutos. c) 5 55 13 minutos. d) 3 54 11 minutos. e) 2 54 11 minutos. 18. (Ufmg 12) Um triângulo equilátero ABC , cujo lado mede 1 cm, é colocado sobre um plano cartesiano, de modo que, inicialmente, o lado AC está apoiado sobre o eixo e o vértice C , sobre a origem. Em seguida, esse triângulo é girado, seguidamente, sobre o vértice que está à direita e apoiado sobre o eixo x, como mostrado nesta figura: Determine o comprimento da trajetória percorrida pelo ponto A, da sua posição inicial até ele tocar novamente, pela primeira vez, o eixo x. 19. (Uflavras) Às 11 horas e 15 minutos, o menor ângulo  formado pelos ponteiros de um relógio mede: a) 90°. b) 112° 30'. c) 82° 30'. d) 120°. e) 127° 30'. 20. (Ufscar) O gráfico em setores do círculo de centro O representa a distribuição das idades entre os eleitores de uma cidade. O diâmetro AB mede 10 cm e o comprimento do menor arco AC é (5  /3) cm. O setor x representa todos os 8000 eleitores com menos de 18 anos, e o setor y representa os eleitores com idade entre 18 e 30 anos, cujo número é: a) 12000. b) 14800. c) 16000. d) 18000. e) 20800. 21. (campos 11) Na figura abaixo, temos dois arcos de duas circunferências com centros O e P: o primeiro possui extremidades A e B e o segundo possui extremidades A e C, respectivamente. Sabendo ainda que O é ponto médio do segmento e PA, B é um ponto do segmento PC e que o primeiro arco mede 3,2 cm, obtenha a medida, em cm, do segundo arco 22. (Unb) O radar é um aparelho que usa o princípio da reflexão de ondas para determinar a posição de um objeto que se encontra distante ou encoberto por nevoeiro ou nuvem. A posição do objeto é indicada sob a forma de um ponto luminoso que aparece na tela do radar, que apresenta ângulos e círculos concêntricos, cujo centro representa a posição do radar, conforme ilustra a figura ao lado. Considere que os pontos A e B da figura sejam navios detectados pelo radar, o navio A está a 40km do radar e o navio B, a 30km. Com base nessas informações e desconsiderando as dimensões dos navios, julgue os itens que se seguem. (1) A distância entre os navios A e B é maior que 69 km. (2) Se, a partir das posições detectadas pelo radar, os navios A e B começarem a se movimentar no mesmo instante, em linha reta, com velocidades constantes e iguais, o navio A para o leste e o navio B para o norte, então eles se chocarão. (3) A partir da posição detectada pelo radar, caso B se movimente sobre um círculo de raio igual a 30km, no sentido anti-horário, com velocidade constante de 40km/h então, em 10min, o navio B percorrerá um arco correspondente a (40/π)°. 23. (Unesp) Em um jogo eletrônico, o "monstro" tem a forma de um setor circular de raio 1 cm, como mostra a figura. A parte que falta no círculo é a boca do "monstro", e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do "monstro", em cm, é: a)  - 1. b)  + 1. c) 2  - 1. d) 2  . e) 2  + 1. 24. (Ufrj) Na figura ao lado, os círculos de centros O1 e O2 são tangentes em B e têm raios 1 cm e 3 cm. Determine o comprimento da curva ABC. 25. (Unicamp) Para calcular a circunferência terrestre, no século III a.C. o sábio Erastóstenes valeu-se da distância conhecida de 800 km entre as localidades de Alexandria e Siena, no Egito (A e S, respectivamente, na figura), situadas no mesmo meridiano terrestre. Ele sabia que, quando em Siena os raios solares caíam verticalmente, em Alexandria eles faziam um ângulo de 7,2 graus com a vertical. Calcule, com esses dados, a circunferência terrestre, isto é, o comprimento de uma volta completa em torno da Terra. 26. (UERJ) A Terra pode ser representada por uma esfera cujo raio mede 6.400 km. Na representação abaixo, está indicado o trajeto de um navio do ponto A ao ponto C, passando por B. Qualquer ponto da superfície da Terra tem coordenadas (x ; y), em que x representa a longitude e y, a latitude. As coordenadas dos pontos A, B e C estão indicadas na tabela a seguir. Considerando  igual a 3, a distância mínima, em km, a ser percorrida pelo navio no trajeto ABC é igual a: a) 11.200. b) 10.800. c) 8.800. d) 5.600. 27. (Uel 2011) Um relógio marca que faltam 20 minutos para o meio-dia. Então, o menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos é: a) 90°. b) 100°. c) 110°. d) 115°. e) 125. 28. (cftmg 2013) Se o relógio da figura marca 8 h e 25 min, então o ângulo x formado pelos ponteiros é a) 12° 30’. b) 90°. c) 102° 30’. d) 120°. 29. (ifsp 2013) Considere uma circunferência de centro O e raio 6 cm Sendo A e B pontos distintos dessa circunferência, sabe-se que o comprimento de um arco AB é 5π cm A medida do ângulo central AÔB correspondente ao arco AB considerado, é a) 120°. b) 150°. c) 180°. d) 210°. e) 240°. 30. (Ufg 13) As cidades de Goiânia e Curitiba têm, aproximadamente, a mesma longitude. Goiânia fica a uma latitude de 16°40', enquanto a latitude de Curitiba é de 25°25'. Considerando-se que a Terra seja aproximadamente esférica, com a linha do equador medindo, aproximadamente, 40000 km, a distância entre as duas cidades, em quilômetros, ao longo de um meridiano, a) é menor que 700. b) fica entre 700 e 800. c) fica entre 800 e 900. d) fica entre 900 e 1000. e) é maior que 1000. GABARITO 01. D 02. 82 03. 13h e 24min 04. C 05. C 06. B 07. B 08. B 09. D 10. D 11. B 12. 30 13. C 14. A 15. A 16. B 17. C 18. Trajetória do ponto A ABC ACA R R α α     ABC ACA 2 R α    4 ABC ACA cm 3 π   19. B 20. C 21. 3,2cm 22. FFV 23. E 24. 5π/3 25.  40.000 km 26. C 27. C 28. C 29. B 30. D

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