1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
UNEFM UNIDAD CURRICULAR: MATEMÁTICA I
DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE
UNA VARIABLE
Ing. Jocabed Pulido (Esp.)
Santa Ana de Coro, Noviembre de 2014
2. LA DERIVADA
I I f : a
Sea un intervalo, una función y . Se dice
que f es diferenciable o derivable en “a” si
existe.
x a
f x
f a
lim
a x
f a
Este límite se denota como y se le denomina derivada
de f en a
f x x a 3
Ejemplo Nº1: Hallar la derivada de en
1
3
x
lim
3
x
x3
3. SENTIDO FÍSICO Y GEOMÉTRICO DE LA DERIVADA
a) Sentido Físico
af x f y
La derivada es la razón instantánea de cambio de
con respecto a x cuando x tiende al valor “a”.
b) Sentido Geométrico
La derivada de f en a representa la pendiente de la recta
tangente de f en el punto
a, f a
4. REGLA DEL CÁLCULO DE LAS DERIVADAS
RELACIONADAS CON LAS OPERACIONES
ARITMÉTICAS SOBRE FUNCIONES
El proceso de obtener la derivada de una función se
conoce como derivación o diferenciación.
A continuación se muestran algunos teoremas que
permiten calcular la derivadas de funciones de forma
rápida sin tener que recurrir a la definición.
5. TEOREMA Nº1: Derivadas de Funciones Elementales
Sea f : , entonces para toda x
se cumple que
c x f c 0 x f
1) Si , , (Función Constante), entonces
f x x f x 1
2) Si , (Función Identidad), entonces
n f x x 1 n f x nx
3) Si , (Función Potencia), entonces
Ejemplo Nº 3:
3 2 f x f ´ 3x x x
2 ´ 0 x x f f
6. TEOREMA Nº1: Derivadas de Funciones Elementales
4) Si , (Función Seno), entonces
f (x) senx f (x) cosx
5) Si , (Función Coseno), entonces
f x cos x f x senx
x f x e x f x e
6) Si ,(Función Exponencial), entonces
7. TEOREMA Nº2: Propiedades de la Derivada
Sean f y g funciones definidas en un intervalo y sea
, entonces
1)
2) con
3)
f
f x . g x f x .
g x
gx 0
4) Siempre que
b a,
xa,b
f
g x f x gx
kf x k f x
. k
f . g x f x . gx f x .
gx
g x
2
x
g
8. Ejemplo Nº4:
Encontrar la derivada de las funciones
4 6 1 2 y x x x y x .e 3
1) 2)
y 8x 6 x x y 3x .e x .e 2 3
R1) R2)
9. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA:
Teorema: Regla de la Cadena
y f u u gx
Si diferenciable en “u” y es diferenciable
en x, entonces la función compuesta f o g es derivable en
x y se cumple que
( f g)(x) f (g(x)) g(x)
La derivada de una función compuesta es el producto de
la derivada de una función externa por la derivada de la
función interna.
10. Ejemplo:
Encontrar la derivada de 2 3 f x x 5
3 5 . 5 2 2 2 f x x x
f x 3x 2 2
5 .2x
x 2
5
2x
11. TEOREMA DEL VALOR MEDIO
b a f , : ba,
ba, b a c ,
Sea una función continua en , y derivable
en , entonces existe un tal que
b a
f b f a
f c
Este Teorema garantiza la
existencia de una recta
tangente paralela a una
recta secante
12. REGLA DE L`HOPITAL
Sean f y g funciones diferenciables y cerca de a
excepto posiblemente en a. Si
1) y
2)
Entonces
gx 0
lim f x 0
a x
lim gx 0
a x
lim f x
a x
lim gx
a x
f
x
g x
f x
g x
lim lim
xa xa
13. VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES
Punto Crítico:
Un número crítico de una función f es un número c del
dominio f tal que f c 0 o f c
no existe.
c, f c
En este caso el número es un punto crítico
14. Ejemplo:
f x x3
Sea la función . Demostrar que 0 es un número
crítico de f
3 0 0 2 f x x f
15. VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS GLOBALES
La función f tiene un máximo absoluto en un intervalo
si existe algún número c en dicho intervalo tal que
para toda x en el intervalo
f c f x
f c
El número es el valor máximo absoluto en el
intervalo
16. VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS GLOBALES
La función f tiene un mínimo absoluto en un intervalo
si existe algún número c en dicho intervalo tal que
para toda x en el intervalo
f c f x
f c
El número es el valor mínimo absoluto en el
intervalo
17. EJEMPLO:
f x x2
La función definida para tiene
dos puntos x
1que producen un máximo absoluto en
A y el único punto que produce un mínimo
absoluto en A
x A: 1,1
0 x
18. VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES
Máximo Local:
Una función f tiene un máximo local en un punto p si
para toda x alrededor de dicho punto.
Mínimo Local:
Una función f tiene un mínimo local en un punto p si
para toda x alrededor de dicho punto.
f p f x
f p f x
19. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
Sea f una función continua en un intervalo I y
diferenciable en todo punto interior del intervalo
f x 0
Si en todo punto interior de I, entonces f es
creciente en I
f x 0
Si en todo punto interior de I, entonces f es
decreciente en I
20. f x x
Por Ejemplo la función es creciente en el
intervalo
, 0
De acuerdo a lo indicado en la definición anterior
f x x0,
para toda
0
2
1
x
21. CONCAVIDAD
Sea f una función dos veces diferenciable en un intervalo
abierto I
f x 0
1. Si para todo punto x interior de I, entonces el
gráfico de f es cóncavo hacia arriba en I
f x 0
2. Si para todo punto x interior de I, entonces el
gráfico de f es cóncavo hacia abajo en I
22. PUNTOS DE INFLEXIÓN
c, f c
Un punto sobre la gráfica de f es un punto de
inflexión si f es continua en c y f cambia de concavidad en
c.
23. Ejemplo:
Hallar los puntos de inflexión del gráfico de la función
f x x
f x x
Si
Si
1
3
f x x
2
1
3
3
2
5
3
9
f x 0 x 0
f x 0 x 0