Transformada Inversa

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para La Educación
Instituto Universitario “Santiago Mariño”
Porlamar- Nueva Esparta
Matematica IV
Realizado Por:
Mariana Fernández
V-20294854

2. Porlamar, 05 de Junio del 2015
Transformada Inversa y Sus Aplicaciones
Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos en una
ecuación algebraica, la cual podemos resolver para 𝑌(𝑠), es decir, 𝑌( 𝑠) = 𝐺( 𝑠). Ahora,
como 𝐿 { 𝑌(𝑡)} = 𝑌(𝑠) si pudiéramos devolvernos obtendríamos la solución 𝑌( 𝑡)que
buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa 𝐿−1{ 𝑌(𝑠)}, para hallar la
función 𝑌(𝑡)
𝑦( 𝑡) = 𝐿−1{ 𝐹(𝑠)} = 𝐿−1{ 𝐺(𝑠)}
Entonces definimos la Transformada Inversa de la Siguiente Manera.
𝑆𝑖 𝐹 ( 𝑠) 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑓( 𝑡), 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟, 𝐿{ 𝑓(𝑠)} =
𝐹( 𝑠), 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝐹( 𝑠), 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑎 𝐿−1{ 𝐹(𝑠)} 𝑒𝑠 𝑓( 𝑡),
𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝐿−1{ 𝐹(𝑠)} = 𝑓(𝑡).
Ejemplo:
Calcule
Solución:
Puesto Que
Tenemos que
Observación
𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑎𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎, 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑛𝑜 𝑠𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑐𝑎
𝐸𝑛 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜, 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝐿{ 𝑓(𝑡)} = 𝐿{ 𝑔(𝑡)}, 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑓( 𝑡) ≠ 𝑔( 𝑡). 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑛𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑜 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑜
𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑠 tan 𝑚𝑎𝑙𝑜 𝑐𝑚𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑐𝑒, 𝑝𝑢𝑒𝑠 , 𝑠𝑖 𝑓 𝑦 𝑔 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎𝑠 𝑦 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑛 [0,+∞] 𝑦
𝐿{ 𝐹(𝑡)} = 𝐿{ 𝑔(𝑡)} 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓( 𝑡) = 𝑔( 𝑡); 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑠𝑖 𝑓 𝑦 𝑔 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎𝑠 𝑦 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛
𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑛 [0, + ∞] 𝑦 𝐿{ 𝑓(𝑡)} = { 𝑔(𝑡)}, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎𝑠
𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑓 𝑦 𝑔 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠; 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟, 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑖𝑟 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑒𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒
𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑.
Teorema Nº1 (Comportamiento de F(s) en el Infinito)
Sea F: [ 𝟎, +∞] → 𝑹 Una función continúa a trozos y de orden exponencial en
[ 𝟎,+∞] entonces

3. Ejemplos Nº1
Teorema Nº2 (De Valor Inicial)
Si 𝑳 { 𝑭(𝒕)} = 𝑭( 𝒔) 𝒚 𝐥𝐢𝐦
𝒕→𝟎
+ 𝒇(𝒕) existe y es igual a 𝒇(𝒐) entonces
𝐥𝐢𝐦
𝒕→𝟎
𝒇( 𝒕) = 𝐥𝐢𝐦
𝒂→+∞
𝒔𝑭( 𝒔) = 𝑭(𝟎)
Teorema Nº3 (De Valor Final)
Si 𝑳 { 𝑭(𝒕)} = 𝑭(𝒔) y el Limite 𝐥𝐢𝐦
𝒕→∞
𝒇(𝒕) existe, entonces
𝐥𝐢𝐦
𝒕→+∞
𝒇( 𝒕) = 𝐥𝐢𝐦
𝒔→𝟎
𝒔 𝑭(𝒔)
Teorema Nº4 (Linealidad de la Transformada inversa)
Sean F y G funciones continuas a trozos y de orden exponencial en el
intervalo [ 𝟎,+∞]/ 𝑳 { 𝒇(𝒕)} = 𝑭( 𝒔) 𝒚 𝑳{ 𝒈(𝒕)} = 𝑮( 𝒔),entonces
𝑳−𝟏{∝ 𝑭( 𝒔)+ 𝑮(𝒔)} = ∝ 𝑳−𝟏{ 𝑭(𝒔)}+ 𝑳−𝟏{ 𝑮(𝒔)} = ∝ 𝒇( 𝒕) + 𝒈(𝒕)

4. Calcule
Solución
Para usar la propiedad de linealidad de la transformada inversa de Laplace primero
debemos expandir
En fracciones parciales
Ahora sí
Ejemplo Nº2
Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor
inicial
Solución
Aplicando transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial
𝐿 { 𝑦´ − 3𝑦} = 𝐿 { 𝑒2𝑡.}
𝐿 { 𝑦`} − 3𝐿{ 𝑦} =
1
𝑠 − 2
𝑠𝑌( 𝑠) − 𝑦(0) − 3𝑌( 𝑠) =
1
𝑠 − 2
𝑠𝑌( 𝑠) − 1 − 3𝑌( 𝑠) =
1
𝑠 − 2
𝑌( 𝑠) =
𝑠 − 1
( 𝑠 − 2)(𝑠 − 3)

5. 𝑌( 𝑠) = −
1
𝑠 − 2
+
2
𝑠 − 3
Ahora debemos de aplicar transformada inversa para hallar y (t)
𝐿−1{ 𝑌(𝑠)} = −𝐿−1 {
1
𝑆 − 2
} + 2𝐿−1 {
1
𝑠 − 3
}
𝑦( 𝑡) = −𝑒2𝑡 + 𝑒3𝑡