Este documento presenta información sobre el plano numérico y diferentes curvas cónicas como la circunferencia, elipse, parábola e hipérbola. Explica que el plano numérico está conformado por dos rectas numéricas perpendiculares que se cortan en un punto de origen y permite representar puntos mediante coordenadas. Luego define elementos y ecuaciones de las distintas curvas cónicas mencionadas. Finalmente incluye una bibliografía con enlaces de referencia sobre estos temas.
2. ¡Un cordial saludo amigos!. En este
proyecto conoceremos brevemente
sobre el tema de Plano Numérico , ya
que nos ayudara a expandir las ramas
de nuestro conocimiento.
Bienvenidos a mi Presentación!
3. ¿Qué es un Plano Numérico?
El plano numérico es un sistema de referencias que se encuentra conformado
por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un
determinado punto.
A la horizontal se la llama eje de las abscisas o de las x y al vertical eje de las
coordenadas o de las yes, en tanto, el punto en el cual se cortarán se denomina
origen.
La principal función o finalidad de este plano es el de describir la posición de
puntos, los cuales se encontrarán representados por sus coordenadas o pares
ordenados. Las coordenadas se formarán asociando un valor del eje x y otro
del eje y.
4. Distancia
•La distancia que separa el lugar desde donde nosotros nos hayamos, hasta por
ejemplo el lugar al cual nos queremos dirigir, que, supongamos queda a cuatro
cuadras al norte y seis al oeste, puede ser plasmada a través de un plano
numérico, tomando como origen del plano aquel en el cual nos encontramos
nosotros.
La distancia entre dos puntos está vinculada al plano numérico , ya que este permite
calcular la distancia que existe entre ambos puntos, a partir de la ubicación de las
coordenadas de ambos.
Por su parte, cuando ambos puntos pasan del plano a la superficie terrestre, su
distancia se calcula de otra manera. De acuerdo con la metodología denominada
fórmula del Haversine.
5. Punto Medio
Punto medio o punto equidistante, es el
punto que se encuentra a la misma
distancia de cualquiera de los extremos. Si
es un segmento acotado, el punto medio es
el que lo divide en dos partes iguales.
•Si los puntos extremos extremos de un
segmento son A y B:
•Las coordenadas del punto
medio del segmento coinciden con
la semisuma de las coordenadas de
los puntos extremos
Ejemplo:
•El punto medio del segmento AB es:
7. Circunferencias
Se define como el lugar geométrico de los puntos del
plano que equidistan de un punto fijo que llamado centro.
• No debemos confundir el círculo con el circulo de
circunferencia, ya que en realidad una circunferencia es la
curva que encierra a un círculo.
Elementos básicos
Centro: es un punto interior equidistante de todos los puntos
de la circunferencia
Radio: es un segmento que une el centro con un punto de la
circunferencia
Cuerda:es un segmento que une dos puntos de la
circunferencia. Las cuerdas con mayor longitud que podemos
encontrar son los diámetros.
Diámetro: es el mayor segmento que une dos puntos de la
circunferencia. Corresponde al doble del radio.
Recta secante: es una recta que corta la circunferencia en
dos puntos
Recta tangente: es una recta que toca la circunferencia en
un solo punto.
Arco: es un segmento curvilíneo de puntos que pertenecen a
la circunferencia.
8. Ecuaciones de Circunferencias
Ecuación general:
X² + y² + Ax + By + C= 0
Coordenadas del centro: a= -A/2
b=-B/2
Radio: X²= a² + b² - c
La obtendremos aplicando la formula de la
distancia entre C (a,b) y un punto
cualquiera de la circunferencia P(x,y),
resulta:
√(x-a)² + (y-b)²=r² : (x-a)² + (y-b)² =r²
X² + y² - 2ax – 2by +a² + b² - r² =0
X² + y² =r²
• circunferencia con
centro de aborigen de
coordenadas
Ecuación reducida:
-A2ª=
-2b=B
a²+b²-r²=0
9. Parábola
Queda definida por el conjunto de los puntos
del plano que equidistan de una recta fija y
un punto fijo:
Elementos de la parábola
•Foco: Es el punto fijo F.
•Directriz: Es la recta fija D.
•Parámetro: A la distancia entre el foco y la
directriz de una parábola se le llama parámetro P.
•Eje: La recta perpendicular a la directriz y que
pasa por el foco recibe el nombre de eje. Es el
eje de simetría de la parábola.
•Vértice: Es el punto medio entre el foco y la
directriz. También se puede ver como el punto de
intersección del eje con la parábola.
•Radio vector: Es el segmento que une un punto
cualquiera de la parábola con el foco.
10. Ecuaciones de una Parábola
•La ecuación más simple para una parábola es y = x2
Si la giramos de lado nos queda y2 = x
(o y = √x para la parte superior)
•De forma más general:
y2 = 4ax
donde a es la distancia desde el origen al
foco (y también desde el origen a la
directriz)
11. x2 = −4ay
y2 = 4ax y2 = −4ax
x2 = 4ay
Las ecuaciones de las parábolas en las distintas orientaciones son:
12. Elipse
Es el lugar geométrico de los puntos del
plano cuya suma de distancias a dos
puntos fijos llamados focos es constante.
Elementos de la elipse:
1. Focos: Son los puntos fijos F y F'.
2. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
3. Eje secundario: Es la mediatriz del
segmento FF'.
4. Centro: Es el punto de intersección de los
ejes.
5. Radios vectores: Son los segmentos que
van desde un punto de la elipse a los focos: PF
y PF'.
6. Distancia focal: Es el segmento de longitud
2c, c es el valor de la semidistancia focal.
13. 7. Vértices: Son los puntos de
intersección de la elipse con los ejes: A,
A', B y B'.
8. Eje mayor: Es el segmento segmento
de longitud 2a, a es el valor del semieje
mayor.
9. Eje menor: Es el segmento segmento
de longitud 2b, b es el valor del semieje
menor.
10. Ejes de simetría: Son las rectas que
contienen al eje mayor o al eje menor.
11. Centro de simetría: Coincide con el
centro de la elipse, que es el punto de
intersección de los ejes de simetría.
14. Ecuaciones de un Elipse
Ecuación general:
•Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en
general, una ecuación de la forma:
•Donde A y B tienen el mismo signo.
Ecuación ordinaria:
•Existen otras posibilidades.
Una sería que el semieje mayor (en consecuencia, los
focos F1 y F2) estuviera sobre el eje de las ordenadas OY.
•Por simetría con la ecuación del caso normal, suponiendo que
el centro de la elipse es el (0,0), la ecuación, en este caso, sería:
15. Fácilmente se puede apreciar cual es el semieje mayor, viendo cuál de las
incógnitas lleva el denominador mayor.
La figura quedaría así:
16. Hipérbola
Es el lugar geométrico de los puntos del
plano cuya diferencia de distancias a
dos puntos fijos llamados focos es
constante.
Elementos de la hipérbola:
1. Focos: Son los puntos fijos F y F'.
2. Eje principal o real: Es la recta que pasa por los focos.
3. Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF'.
4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
5. Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la
hipérbola con el eje focal.
Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la
circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.
17. 6. Radios vectores: Son los
segmentos que van desde un
punto de la hipérbola a los focos:
PF y PF'.
7. Distancia focal: Es el
segmento de longitud 2c.
8. Eje mayor: Es el
segmento de longitud 2a.
9. Eje menor: Es el
segmento de longitud 2b.
10. Ejes de simetría: Son las
rectas que contienen al eje real o
al eje imaginario.
11. Asíntotas: Son las rectas de
ecuaciones:
12. Relación entre los semiejes:
19. Ecuación ordinaria
de la parábola
Dada la parábola ,
calcular su vértice, su foco
y la recta directriz
20. Ecuación reducida de la parábola
de eje vertical
Dada la parábola ,
calcular su vértice, su foco
y la recta directriz.
21. Ecuación de la parábola de
eje vertical
Dada la parábola ,
calcular su vértice, su foco y la
recta directriz.
22. Grafica de una cónica
Son curvas planas que cumplen una condición
geométrica determinada. Pueden obtenerse
como la intersección de un cono circular con un
plano que no contenga al vértice del cono.
Se conocen 4 curvas cónicas, la circunferencia,
la elipse, la parábola y la hipérbola, .que
dependen de la inclinación del plano respecto al
eje de un cono.
•Si el plano es perpendicular a
dicho eje produce
una circunferencia. El eje forma
con el plano 90º=β
•si se lo inclina ligeramente, se
obtiene una elipse. El ángulo
es β<90º sin superar el ángulo
que forma el eje y la generatriz
el cono = α.
•si la inclinación no forma una
curva cerrada es una parábola.
El ángulo es β>90º pero supera
al que forma el eje con la
generatriz del cono =α
•Cuando es paralelo a una
generatriz del cono se tiene
una parábola y si corta a
ambas ramas del cono la curva
es una hipérbola. El ángulo es
0º, paralelo al eje.
23. •Superficie: una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una
recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo.
•Generatriz: la generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.
•Vértice: el vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.
•Hojas: las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de
revolución.
•Sección :se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano
que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de
conicidad y la inclinación del plano respecto del eje del cono , pueden obtenerse
diferentes secciones cónicas.
Elementos de las cónicas
Elipse Circunferencia Parábola Hipérbola
