Fermatovi brojevi

1. Osječki matematički list 13 (2013), 21-31
Fermatovi brojevi
Ljubica Baćić∗
Sažetak
U ovom članku opisani su Fermatovi brojevi. Zanimljiv je geome-
trijski prikaz ovih brojeva pomoću kojih možemo vidjeti je li broj prost
ili složen. Navedena su i osnovna svojstva koja se lako dokazuju me-
todom matematičke indukcije.
Ključne riječi: Fermatovi brojevi, geometrijski prikaz
Fermat Numbers
Abstract
Fermat numbers are described in this article. It is particulary inte-
resting to see how the geometric interpretation of these numbers can
be used to determine whether the number is prime or composite. Basic
properties of Fermat numbers, which can be easily proved by mathe-
matical induction, are listed.
Keywords: Fermat numbers, geometric interpretation
1 Uvod
Francuski pravnik Pierre de Fermat postao je nadaleko poznat po svojim
Pierre de Fermat
(1601. - 1665.),
francuski matematičar.
postignućima u matematici. Bio je jedan od začetnika diferencijalnog ra-
čuna, te je dao znatan doprinos analitičkoj geometriji i vjerojatnosti. Po-
sebno se istaknuo teoremima u teoriji brojeva, gdje su kasnije po njemu
∗OŠ Nikole Andrića, Vukovar, Hrvatska, e-mail: ljubica.bacic@skole.hr

2. Ljubica Baćić
nazvani "Veliki Fermatov teorem" i "Mali Fermatov teorem". Pored toga
pretpostavio je da su brojevi oblika
Fn = 22n
+ 1, za n = 0, 1, 2, . . . (1)
prosti. Nakon njegove smrti ovi brojevi nazvani su Fermatovi brojevi.
Ako je Fn prost, onda kažemo da je on Fermatov prost broj. Fermat je
smatrao da su svi takvi brojevi prosti. Prvih 5 članova niza
F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537
su prosti. Međutim, F5 nije prost. 1732. godine Leonhard Euler našao je da
je F5 = 641 · 6700417 i tako opovrgnuo Fermatovu pretpostavku.
1796. godine njemački matematičar Carl Friedrich Gauss našao je zanim-
ljivu vezu između euklidske konstrukcije1 pravilnih n-terokuta i Fermato-
vih prostih brojeva. Pokazao je da se pravilni n-terokut može konstruirati
ravnalom i šestarom ako je broj stranica
n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, . . .
Preciznije, dokazao je da postoji euklidska konstrukcija pravilnog n-terokuta
s n stranica ako je
n = 2i
Fn1
Fn2 · · · Fnj
gdje su n ≥ 3, i ≥ 0, j ≥ 0 i Fn1
, Fn2 , . . . , Fnj
različiti Fermatovi prosti brojevi.
2 Geometrijski prikaz
Iz Gaussovih otkrića vidimo da Fermatovi brojevi mogu biti usko povezani
s nekim geometrijskim problemima. Stoga je korisno uočiti njihovo geome-
trijsko značenje.
Fermatov broj Fn = 22n
+ 1 za n ≥ 1 može se geometrijski prikazati kao
kvadrat s duljinom stranice 22n−1
uvećan za jedinični kvadrat. Zaista
Fn = (22n−1
)2
+ 1.
Pitanje je mogu li se jedinični kvadratni blokovi preraspodijeliti kako bi
činili pravokutan oblik. Važno je napomenuti da duljine stranica pravokut-
nika moraju biti različite od 1. Ako mogu, onda postoje prirodni brojevi
a, b 6= 1 takvi da je
Fn = a · b.
1Konstrukcije pomoću ravnala (bez oznake mjerne jedinice) i šestara zovemo euklidskim
konstrukcijama.
22

3. Fermatovi brojevi
Slika 1: Geometrijski prikaz za Fn.
To zapravo znači da je broj Fn složen. Ako ne postoje takvi prirodni brojevi,
onda je Fn prost. Stoga vidimo da je ovo jedna interesantna geometrijska
metoda ispitivanja prostosti Fermatovih brojeva, koja je pogodna za male
n.
Primjer 1. Fermatov broj F1 = 5 može se shvatiti kao kvadrat s duljinom
stranice 2 uvećan za jedinični kvadrat tj.
F1 = 22
+ 1 = 5.
Preraspodjelom jediničnih kvadratnih blokova nikako ne možemo dobiti
pravokutnik (s duljinama stranica različitim od 1) što zapravo znači da je
F1 prost.
−→
Slika 2: Preraspodjela jediničnih kvadratnih blokova za F1.
Primjer 2. Treći Fermatov broj F2 = 17 može se shvatiti kao kvadrat s du-
ljinom stranice 4 uvećan za jedinični kvadrat tj.
F2 = 42
+ 1 = 17.
Preraspodjelom jediničnih kvadratnih blokova nikako ne možemo dobiti
pravokutnik (s duljinama stranica različitim od 1) što zapravo znači da je
F2 prost.
23

4. Ljubica Baćić
−→
Slika 3: Preraspodjela jediničnih kvadratnih blokova za F2.
3 Osnovna svojstva
Fermatovi brojevi zadovoljavaju nekoliko rekurzivnih relacija koje ćemo
ovdje navesti. Posebnu pažnju posvetit ćemo geometrijskim interpretaci-
jama rekurzivnih relacija.
Teorem 3.1. Za svaki n ≥ 1 vrijedi
Fn = (Fn−1 − 1)2
+ 1.
Dokaz. Provedimo najprije dokaz metodom matematičke indukcije.
1.) Baza indukcije: Provjerimo vrijedi li tvrdnja za n = 1.
F1 = (F0 − 1)2
+ 1
F1 = (3 − 1)2
+ 1
F1 = 22
+ 1
F1 = 4 + 1
F1 = 5
2.) Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k tj. pretpostavimo da vrijedi
Fk = (Fk−1 − 1)2
+ 1. (2)
24

5. Fermatovi brojevi
3.) Korak indukcije: Dokažimo da tvrdnja vrijedi za n = k + 1 tj. doka-
žimo da vrijedi
Fk+1 = (Fk − 1)2
+ 1. (3)
Primjenom formule (2) dobivamo
(Fk − 1)2
+ 1 = (Fk−1 − 1)2
+ 1 − 1
2
+ 1
= (Fk−1 − 1)2
2
+ 1
= (Fk−1 − 1)4
+ 1
= 22k−1
+ 1 − 1
4
+ 1
= 22k−1 4
+ 1
= 24·2k−1
+ 1
= 22k+1
+ 1
= Fk+1,
čime smo dokazali formulu (3).
Pogledajmo sada i drugi dokaz.
(Fn−1 − 1)2
+ 1 = (22n−1
+ 1 − 1)2
+ 1 = (22n−1
)2
+ 1 = 22n
+ 1 = Fn.
Zgodno je spomenuti geometrijsku interpretaciju ovog teorema. Naime,
svaki Fermatov broj Fn jednak je površini kvadrata duljine stranice Fn−1 − 1
uvećanoj za jedinični kvadrat.
25

6. Ljubica Baćić
Slika 4: Geometrijska interpretacija Teorema 1.
Teorem 3.2. Za svaki n ≥ 2 vrijedi
Fn = F2
n−1 − 2(Fn−2 − 1)2
.
Dokaz. Pogledajmo prvi dokaz.
1.) Baza indukcije: Provjerimo vrijedi li tvrdnja za n = 2.
F2 = F2
1 − 2(F0 − 1)2
F2 = 52
− 2(3 − 1)2
F2 = 25 − 2 · 4
F2 = 17
2.) Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k tj. pretpostavimo da vrijedi
Fk = F2
k−1 − 2(Fk−2 − 1)2
. (4)
3.) Korak indukcije: Dokažimo da tvrdnja vrijedi za n = k + 1 tj. doka-
žimo da vrijedi
Fk+1 = F2
k − 2(Fk−1 − 1)2
. (5)
26

7. Fermatovi brojevi
Primjenom formule (4) dobivamo
F2
k − 2(Fk−1 − 1)2
= F2
k−1 − 2(Fk−2 − 1)2
2
− 2(Fk−1 − 1)2
=
22k−1
+ 1
2
− 2 22k−2
+ 1 − 1
2
2
− 2 22k−1
+ 1 − 1
2
=
22k
+ 2 · 22k−1
+ 1 − 2 22k−2 2
2
− 2 22k−1 2
=
22k
+ 2 · 22k−1
+ 1 − 2 · 22k−1
2
− 2 · 22k
= 22k
+ 1
2
− 2 · 22k
= 22k+1
+ 2 · 22k
+ 1 − 2 · 22k
= 22k+1
+ 1
= Fk+1,
čime smo dokazali formulu (5).
Pogledajmo sada i drugi dokaz. Dovoljno je uočiti da izjednačavanjem iz-
raza
Fn = (Fn−1 − 1)2
+ 1 i Fn = F2
n−1 − 2(Fn−2 − 1)2
lako dobivamo formulu koja povezuje Fn−1 i Fn−2
(Fn−2 − 1)2
= Fn−1 − 1. (6)
Stoga, primjenom Teorema 1 slijedi
F2
n−1 − 2(Fn−2 − 1)2
= F2
n−1 − 2(Fn−1 − 1)
= F2
n−1 − 2Fn−1 + 2
= (F2
n−1 − 2Fn−1 + 1) + 1
= (Fn−1 − 1)2
+ 1
= Fn.
Geometrijsko interpretacija ovog teorema je da svaki Fermatov broj Fn
predstavlja površinu kvadrata duljine stranice Fn−1 umanjenu za dvije po-
vršine kvadrata duljine stranice Fn−2 − 1. U slučaju F2 = 17 imamo
42
+ 1 = 52
− 2 · 22
.
27

8. Ljubica Baćić
Slika 5: Geometrijska interpretacija Teorema 2 za F2 = 17.
Teorem 3.3. Za svaki n ≥ 1 vrijedi
Fn = F0 · · · Fn−1 + 2.
Dokaz. Dokaz provodimo metodom matematičke indukcije.
1.) Baza indukcije: Provjerimo vrijedi li tvrdnja za n = 1.
F1 = F0 + 2
F1 = 3 + 2
F1 = 5
2.) Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k tj. pretpostavimo da vrijedi
Fk = F0 · · · Fk−1 + 2. (7)
3.) Korak indukcije: Dokažimo da tvrdnja vrijedi za n = k + 1 tj. doka-
žimo da vrijedi
Fk+1 = F0 · · · Fk + 2. (8)
Primjenom formule (7) dobivamo
F0 · · · Fk + 2 = F0 · · · Fk−1 · Fk + 2
= (Fk − 2) · Fk + 2
= (22k
− 1) · (22k
+ 1) + 2
= 22k+1
− 1 + 2
= 22k+1
+ 1
= Fk+1,
čime smo dokazali formulu (8).
28

9. Fermatovi brojevi
Kako bi razumjeli geometrijski dokaz ovog teorema, uočimo prvo da iz
Teorema 3.1 oduzimanjem broja 2 s obje strane lako dobivamo
Fn − 2 = (Fn−1 − 1)2
− 1.
Uvrštavanjem formule (1)
22n
+ 1 − 2 = (22n−1
+ 1 − 1)2
− 1
(22n−1
)2
− 1 = (22n−1
)2
− 1
(22n−1
)2
− 1 = (22n−1
− 1)(22n−1
− 1).
To zapravo znači da Fn − 2 predstavlja površinu kvadrata s duljinom stra-
nice Fn−1 umanjenu za jedinični kvadrat. Preraspodjelom jediničnih kva-
dratnih blokova dobije se pravokutnik što je i prikazano na Slici 6.
Slika 6: Geometrijska interpretacija Teorema 3.
Teorem 3.4. Za svaki n ≥ 1 vrijedi
Fn+1 = Fn + 22n
F0 · · · Fn−1.
Dokaz. Teorem dokazujemo metodom matematičke indukcije.
1.) Baza indukcije: Provjerimo vrijedi li tvrdnja za n = 1.
F2 = F1 + 221
· F0
F2 = 5 + 4 · 3
F2 = 17
29

10. Ljubica Baćić
2.) Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k tj. pretpostavimo da vrijedi
Fk+1 = Fk + 22k
F0 · · · Fk−1. (9)
3.) Korak indukcije: Dokažimo da tvrdnja vrijedi za n = k + 1 tj. doka-
žimo da vrijedi
Fk+2 = Fk+1 + 22k+1
F0 · · · Fk. (10)
Primjenom formule (9) dobivamo
Fk+1 + 22k+1
F0 · · · Fk = Fk+1 + 22k
· (22k
F0 · · · Fk−1) · Fk
= Fk+1 + 22k
· Fk · (Fk+1 − Fk)
= 22k+1
+ 1 + 22k
· (22k
+ 1) · (22k+1
− 22k
)
= 22k+1
+ 1 + 22k
· (22k
+ 1) · 22k
· (22k
− 1)
= 22k+1
+ 1 + 22k+1
· (22k+1
− 1)
= 22k+1
+ 1 + 22k+2
− 22k+1
= 22k+2
+ 1
= Fk+2,
čime smo dokazali formulu (10).
Na kraju, istaknimo kako je geometrijska interpretacija Fermatovih bro-
jeva pogodna i prilikom obrade prostih brojeva u 5. razredu osnovne škole.
Velik dio dokaza može se iskoristiti i kod obrade principa matematičke in-
dukcije u 4. razredu gimnazije.
Ali i dalje postoje neka otvorena pitanja! Naglasimo da su jedini do sada
poznati prosti Fermatovi brojevi upravo F0, . . . , F4. Je li Fn složen za svaki
n 4? Postoji li beskonačno mnogo prostih Fermatovih brojeva? Postoji li
beskonačno mnogo složenih Fermatovih brojeva?
Literatura
[1] M. Križek, F. Luca and L. Somer, 17 Lectures on Fermat Numbers – From
Number Theory to Geometry, Springer-Verlag, New York, 2001.
[2] I. Matić, Uvod u teoriju brojeva, Skripta, Odjel za matematiku, Sveučilište
J. J. Strossmayera u Osijeku, Osijek, 2011.
30

11. Fermatovi brojevi
[3] C. Tsang, Fermat Numbers, završni projekt iz kolegija Math414 Number
Theory, profesora Williama Steina na University of Washington, 2010.
http://modular.math.washington.edu/edu/2010/414/projects/
tsang.pdf
[4] Wikipedia, http://hr.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat
31