Estrategias PAEV.

- ¿Cómo empezar a trabajar los PAEV aditivos?
- ¿Hay casos más complejos que otros o dependen de las
cantidades que se usen?
Revisemos algunos PAEV para determinar su mayor o menor complejidad para los
estudiantes.
Luis tiene 6 camioncitos y José 8 trompos. ¿Cuántos juguetes tienen los
Tipo de PAEV
(información para
el/la docente)
Combinación 1 (conocemos las partes, preguntamos por el todo)
Acción a realizar
(respuesta que
debe brindar el
estudiante)
Juntar, unir, reunir
¿Qué estrategias
puede usar el
estudiante?3
• Usar materiales concretos que representen los dos tipos de
juguetes. Empezar a contar los trompos (mayor cantidad) y
luego realizar el conteo de los camiones (menor cantidad).
• Marcar en una hoja palitos o puntos por cada trompo hasta
llegar a 8 y seguir haciendo marcas y contando a continuación
del 8 hasta completar los 6 camiones.
• Empezar el conteo en 8 (cantidad mayor) y contar seguido
hasta que sean seis más por los camiones (cantidad menor).
• Sumar 8 + 6.
dos juntos?
José, yo tengo 6
camioncitos.
Si los juntamos
¿cuántos juguetes
habrá en total?
Yo tengo
8 trompos.

1
Gráficamente se
vería así
14 juguetes
8 trompos 6 camiones
De acuerdo a lo revisado, hemos descrito en progresión las estrategias que podría
utilizar el estudiante. Lo más probable es que si trabajas en segundo grado en estos
momentos tus estudiantes ya hayan progresado en el uso de estrategias para la
adición, y si aún no muestran progresos es porque necesitan mayor práctica de
las estrategias previas (material concreto y recuento).
Veamos otro caso y completemos la tabla:
Carmen infló 28 globos para una fiesta. Minutos antes de empezar la
Docente,
¿qué tipo de
PAEV es?
Cambio 2
Acción a
realizar
(propicia esta
respuesta en
tus
estudiantes)
Quitar, reducir.

2
¿Qué
estrategias
puede usar el
estudiante?
• Usar material concreto (estructurado o
no estructurado) que represente los 28
globos y quitar el material que
represente los globos que se revientan.
Contar los que quedan o contar
retrocediendo hasta llegar a 21.
Responder el problema.
• Representar gráficamente los
28 globos (como globos,
círculos o puntos)
y tachar los globos que
se reventaron; finalmente,
contar los que quedaron sin tachar,
y responder.
• Plantear una operación de sustracción
(28 – 7) para responder finalmente.
Gráficamente
se
vería
así
Los casos de combinación 1, cambio 1 y cambio 2 son las estructuras que resultan
más sencillas de comprender y resolver para los estudiantes, pues presentan el
valor incógnito como resultado final del proceso. Diversas investigaciones
corroboran este hecho.
Sigamos analizando el grado de complejidad de los PAEV aditivos. Veamos los
siguientes casos:
Juan tenía 13 figuritas. Su
hermano le regaló algunas
más, y ahora tiene 34.
¿Cuántas figuritas le regaló
su hermano?
En el aula hay 27
estudiantes. Doce son niñas.
Figura 1 Figura 2
Completemos la tabla:
¿Cuántos niños hay?

3
Problema Fig. 1 Fig. 2
Docente, ¿qué tipo de
PAEV es?
Cambio 4 Combinación 2
Acción a realizar
(propicia esta respuesta en
tus estudiantes)
Agregar Separar
¿Qué estrategias puede
usar el estudiante?
• Simular la situación
descrita mediante el uso
de material concreto
(chapas, papel, etc.)
para representar las
figuras.
• Representar con puntos
las 13 cartas y agregar
palitos de 5 en 5 hasta
completar 34 en total.
Contar los agregados y
responder.
• Plantear la operación:
34 – 13 = 21
• Usar material concreto
para representar a los
estudiantes e ir
descontando de los 27 a
las 12 niñas.
• Graficar las 12
niñas e ir
aumentando con
grá-
ficos a los
niños hasta llegar
a 27; luego, contar los
gráficos de
niños (15) y
responder el problema.
Gráficamente se vería
así:
Cambio 4
así:
Combinación 2
21 figuritas
1 5 niños

4
Si se sigue la secuencia de hechos, veremos que el valor incógnito ya no es el final
o el total. Este hecho significa para el estudiante un mayor grado de análisis de la
situación; por ello, los PAEV aditivos de combinación 2, cambio 3 y cambio 4 son
más complejos que los casos precedentes. De igual complejidad para los
estudiantes resultan los siguientes casos:
Observa el cartel y responde: ¿Cuántos metros más que el molle
mide el eucalipto?
PAEV es?
Comparación 1
Acción a realizar
(propicia esta respuesta en
tus estudiantes)
Comparar para establecer diferencia.
usar el estudiante?
• Usar las regletas de Cuisenaire para representar el
eucalipto y el molle y contar las unidades que
diferencian ambas regletas.
• Graficar en su cuaderno líneas o
barras que representen la medida de cada
árbol (asumiendo una cuadrícula como 1 m) y
establecer las cuadrículas que diferencian ambas
medidas.
• Plantear una sustracción de 10 – 8 = 2. Responder que
el eucalipto mide 2 metros más que el molle.

5
así
10
8 2
Ana tiene 11 fichas y Mariela tiene 6.
¿Cuántas fichas más tiene que ganar
Mariela para tener tantas como Ana?
PAEV es?
Igualación 1
Acción a realizar
(propicia esta respuesta
en tus estudiantes)
Comparar para igualar.
usar el estudiante?
• Comparar uno a uno dos filas de
botones en representación de
las fichas de Ana y de Mariela.
Completar con botones uno a
uno la fila de Mariela hasta
que sea de igual número que la de Ana.
Contar los botones que agregó y responder.
• Proponer la siguiente operación: 11 – 6 = 5. Responder
que Mariela tiene que ganar 5 fichas
para tener tantas como Ana.
Gráficamente, la primera estrategia se vería de la siguiente manera:

6
Como hemos visto, los casos de comparación e igualación 1 y 2 son tan complejos
para los estudiantes como los casos de combinación 2, cambio 3 y 4.
Es preciso mencionar que este orden de complejidad se cumple si los PAEV aditivos
se presentan en su formato simple, es decir, casos que se pueden resolver en una
sola etapa. Esta gradualidad de la complejidad de los PAEV varía si presentamos
problemas de dos o más etapas o si se requiere usar más de una estructura de
PAEV en un mismo problema. Recordemos, también, que usar cantidades
grandes con estudiantes que aún no consolidan la formalización operativa de
adición y sustracción, o incluso la noción de orden del sistema de numeración
decimal, puede de por sí ser un obstáculo para su buen desempeño aun en las
estructuras simples de los PAEV.
Revisemos el caso de Rosa, quien debe planchar las 64 sábanas del hotel en el
que trabaja. El lunes planchó 26 sábanas. ¿Cuántas le quedan por planchar el
martes? Es muy probable que si realizas esta pregunta a tus estudiantes, ellos, al
estar familiarizados con la estructura, te digan que deben quitar las 26 sábanas al
total de 64 sábanas, con lo que resulta que para el martes tendrá 38 sábanas por
planchar. Hasta aquí, este sería un PAEV aditivo de una etapa, pero veamos el
problema formulado de la siguiente manera:
Rosa debe planchar las 64 sábanas del hotel en el
que trabaja. El lunes planchó 26 sábanas. El martes
llegaron 8 sábanas más para planchar. Ese día no
pudo planchar. ¿Cuántas sábanas tendrá por
planchar el miércoles?
Para responder la pregunta que se formula, debemos, primero, descontar el
número de sábanas que plancha el lunes (26) y agregar a esa diferencia (38) el
Entonces, ¿qué casos son los más complejos de todo el grupo de PAEV ?
Los problemas de comparación 3 y 4
Los problemas de cambio 5 y 6
Los problemas de comparación e igualación 5 y 6

7
número de sábanas que llega el martes (8). Con ello, obtendríamos como
respuesta que para el miércoles Rosa tendrá 46 sábanas por planchar. Este
problema requirió de dos pasos u operaciones para dar con la respuesta. En casos
como este, decimos que estamos ante un PAEV aditivo de dos etapas.
Veamos otro caso:
Docente, ¿qué tipo
de PAEV es?
Combinación 1 y
comparación 1
Cambio 2 (dos veces)
Acción a realizar
(propicia esta
respuesta en tus
estudiantes)
Juntar, comparar Quitar, separar
¿Qué estrategias
puede usar el
estudiante?
• Coger 13 cuentas (1.er día)
y agregarle 17 más (2.° día).
Luego, en el grupo de 50
cuentas, separar 30 (total
de páginas leídas).
• Esta misma secuencia a
nivel operativo:
13 + 17 = 30; 50 – 30 = 20.
• Coger 50 cuentas o frijoles y
retirar 13 (por el 1. er día) y
luego 17 (por el 2.° día).
• Esta misma secuencia a
nivel operativo:
50 – 13 = 37; 37 – 17 = 20
Fernando está leyendo un libro de 50 páginas. El
primer día leyó 13 páginas y el segundo día leyó
17 páginas. ¿Cuántas páginas le faltan leer para
terminar el libro?

8
Gráficamentese
vería así
Descompone para quitar 13, le
quedan:
Ahora quita 17 (vuelve a
descomponer) y le quedan:
Hemos concluido con la presentación de los distintos casos de PAEV que puedes
trabajar con tus estudiantes. En el siguiente punto, nos centraremos en el estudio
de las estrategias que puedes emplear para orientarlos y, principalmente, en
aquellas que podrían usar con más frecuencia. Esto te ayudará a responder
preguntas como las siguientes:
- ¿Qué estrategias metodológicas debo seguir para ayudar a
mis estudiantes a resolver PAEV aditivos?
- ¿Qué estrategias puede usar el estudiante?
- ¿Cuál es la mejor estrategia para resolver PAEV aditivos?
Antes de compartir estrategias que
podrías usar en el aula con los estudiantes,
queremos que ingreses al siguiente enlace:
http://rpmatematicasegundoprim.blogspot.
pe/2012/01/los-problemas-aritmeticos
elementales.html

9
Según el enfoque de matemática propuesto en Rutas del Aprendizaje y en el
nuevo Diseño Curricular, se apuesta por trabajar en el área de Matemática con el
Enfoque Centrado en la Resolución de Problemas. Este enfoque permite al
estudiante aprender las nociones matemáticas a partir de situaciones que lo
problematizan y hacen necesario en él o en ella el aprendizaje de la noción que
deseamos que adquieran.
En Rutas del Aprendizaje se propone que ante todo problema desarrollemos las
siguientes etapas con los estudiantes: comprensión del problema, diseño o
adaptación de una estrategia, ejecución de la estrategia y
reflexión sobre el proceso de resolución del problema. Veamos
cómo seguir estos pasos en el aula mediante el siguiente problema:
Observa el cartel y responde: ¿Cuántas gallinas menos que patos
hay en la granja?
Esta fase es la más importante de todas, pues si el estudiante no logra comprender
cuál es la dificultad planteada, qué datos son relevantes para la solución y
qué relación existe entre los datos mostrados, no será
capazde proponer una estrategia válida.
Se sugiere empezar con preguntas como estas: ¿Puedes contarme de qué trata el
problema sin leerlo exactamente?; ¿existen datos que no
serán necesarios usar en el problema?, ¿por qué?; ¿en qué animales
1. Comprensión del problema
Cantidad
de animales
1
0
gallina conejo pato cuy
2
3
4
5
6
7
8
Animales
Animales de la granja

10
debemos fijarnos para responder la pregunta del problema?, ¿por qué?; ¿qué
animal existe en mayorcantidad?; ¿qué animal existe en
menorcantidad?; ¿cuántas gallinas hay?; ¿cómo preguntarías lo mismo
pero con otras palabras?
2. Diseño o adaptación de una estrategia
Esta fase —si se desarrolló adecuadamente la primera— se puede recoger
mediante lluvia de ideas y en dicha participación los estudiantes muestran
entusiasmo, pues se sentirán con la confianza de saber cómo pueden resolver el
problema, ya que habrán comprendido qué se pide y qué deben hacer. No
obstante, si escuchamos alguna estrategia que sabemos no sería correcta, es
bueno permitir que el propio estudiante descubra por qué no era adecuada y no
decirlo nosotros.
En este problema podrían surgir (entre otras) las siguientes estrategias: hacer
comparaciones con material concreto, usar el modelo de barras para comparar,
efectuar una operación aritmética.
3. Ejecución de la estrategia
• Comparaciones con material concreto, haciendo correspondencias uno a
• Comparaciones con el modelo de barras:
7 patos
5 Gallinas
• Plantear una operación aritmética:
7 – 5 = 2
uno:
patos
1 2 Gallinas
2

11
4 . Reflexión sobre el proceso de resolución del problema
En esta fase, además de verificar si la respuesta cumple con las condiciones del
problema, se debe redactar la respuesta con las unidades correspondientes y
revisar el proceso seguido, procurando encontrar (si es posible) una mejor
estrategia que la utilizada.
En estudiantes de primero a tercer grado, por lo general, la mejor estrategia se
identifica cuando comparan sus procedimientos con los de otros(as)
compañeros(as). Sin embargo, recordemos siempre que la mejor estrategia será
aquella que el estudiante domine y que tenga sentido para él.
Veamos otro caso:
problema y qué pide, sin que lo lean. Incluso, podemos sugerirles que hagan una
representación de los personajes del problema y así
puedan explicar lo que han comprendido: un compañero
podría representar a Alberto y otro al papá, y explicar la relación
entre las dos estaturas.
También, se pueden formular preguntas como estas: ¿Qué personajes nos
presenta este problema?, ¿son ambos de la misma talla o estatura?, ¿quién es más
alto?; por su estatura, ¿qué edad puede tener Alberto?
2 . Diseño o adaptación de una estrategia
Comprendido el problema, es decir, las relaciones que
existen entre los datos presentados y qué se debe hallar, es

12
sencillo proponer estrategias como las siguientes: igualación con modelo de
barras y material base 10, igualación en la recta numérica, plantear una
operación aritmética.
Igualación en la recta numérica:
100 115 125 135 145 155 165 175
• Plantear una operación aritmética:
4 . Reflexión sobre el proceso de resolución del problema
En esta fase, el estudiante revisa su proceso y verifica que la respuesta cumpla con
las condiciones del problema, además, debe redactarla y acompañarla con las
unidades correspondientes.
Se debe propiciar la socialización de distintas estrategias, a fin de que los
estudiantes descubran aquellas que son más óptimas y que comprendan
plenamente.
178
1 7 8 –
1 1 5
6 3

13
Es importante mencionar que los nombres de estas estructuras aditivas no son
materia de información para los estudiantes, es decir, no es pertinente indicar que
están trabajando problemas de igualación o de cambio, y si son del tipo 2 o 3. Esta
clasificación solo es importante para ti como docente, porque es parte del
conocimiento didáctico que debes tener.
A continuación, proponemos otros casos en los que te orientamos con modelos de
estrategias que podrían usar tus estudiantes.
1. Claudia tenía varios lápices. Regaló 3 a su hermano y ahora tiene 14.
¿Cuántos lápices tenía Claudia?
Tipo de PAEV Cambio 6
N.° de etapas Una etapa
Secuencia de resolución
del problema
• Comprensión del problema
¿Conocemos la cantidad inicial de lápices de
Claudia? ¿Qué hizo Claudia con los lápices que
tenía? ¿Antes tenía más o menos de 14 lápices?
• Diseño o adaptación de la estrategia
Empezar por el final.
• Ejecución de la estrategia
Representa los 14 lápices (con material concreto,
los dibuja o escribe en cifras) y agrega los 3 lápices
que Claudia regaló a su hermano; luego, cuenta el
total (si trabajo con material concreto o gráfico) o
suma si trabajó con adición.
• Reflexión sobre el proceso de
solución
Revisa su procedimiento y confirma su respuesta:
Claudia tenía 17 lápices. Explica su procedimiento a
la clase y escucha el de otros(as) compañeros(as).
Responde si de las estrategias de sus
compañeros(as) hay alguna que le parezca mejor
que la que usó.
Esquema de la estrategia de empezar por el final, con cubinúmeros:

14
2. En un establo hay 34 animales, entre gallinas, vacas y cerdos. Si son 15 gallinas
y 8 vacas, ¿cuántos cerdos hay?
Tipo de PAEV Combinación 2
N.° de etapas Dos etapas
Secuencia de resolución
del problema
• Comprensión del problema
¿Qué tipos de animales hay en el establo? ¿La
cantidad de qué animales se conoce? ¿Importa
para la solución del problema saber si son más
cerdos que gallinas o que vacas? ¿Por qué?
• Búsqueda de la estrategia
Operaciones aritméticas
• Selección de la estrategia
Forma a: 15 + 8 = 23; 34 – 23 = 11
Forma b: 34 – 15 = 19; 19 – 8 = 11
Forma c: 34 – (15 + 8) = 34 – 23 = 11
• Visión retrospectiva
Redacta su respuesta indicando que hay 11 cerdos
en el establo y comprueba que la suma de los tres
tipos de animales da 34. Se socializan las tres formas
operativas y expresa sus dudas con preguntas en
cada caso; quizá opta por la forma c4.
Los seres humanos han desarrollado tres sistemas paralelos para procesar la
información y para representarla: uno, por medio de la manipulación y de la
acción; otro, por medio de la organización perceptual y el manejo de
imágenes; y otro, por medio del aparato simbólico.
( Bruner, 1966, p. 28).
En esa mismalínea, en las rutas de aprendizaje se
expresa lo siguiente: “Las ideas matemáticas adquieren

15
significado cuando se usan diferentes representaciones y se es capaz de
transitar de una representación a otra, de tal forma que se comprende la idea
matemática y la función que cumple en diferentes situaciones” (Rutas del
aprendizaje 2015: III ciclo, IV ciclo y V ciclo, pág.26).
4 Esta selección dependerá del grado del estudiante (usualmente, 5.° grado o más) y del dominio operativo que
posea.
Por consiguiente, se debe plantear al estudiante actividades que se inicien con
la manipulación y la acción; luego, pasar a las actividades de percepción visual,
de graficar; y, finalmente, actividades que lleven a la formulación de
operaciones simbólicas. Para el aprendizaje de cada nueva noción
matemática, se debe respetar esta secuencia de actividades.
Determinar el tiempo que estas deben durar dependerá del desarrollo de los
estudiantes. Lo cierto es que la evidencia sostiene que cuanto más se tenga la
posibilidad de experimentar y manipular, más rápido
se irá transitando de un estadio a otro, pues
en la experimentación de un problema se
empieza a construir la noción matemática.
En esta línea, Castro (1995) refiere los siguientes resultados en los estudios sobre
dificultades en la iniciación de la resolución de problemas aditivos:
• Para los primeros grados es indispensable presentar los problemas con
materiales concretos (estructurados o no estructurados) o mediante dibujos.
Recordemos que se encuentran en una fase predominantemente concreta de
su aprendizaje.
• La extensión del enunciado o la complejidad de su
redacción, así como la posición de la pregunta,
son variables que explican la dificultad del
problema para el estudiante. Se sugieren redacciones cortas de sujeto y
predicado, evitando los condicionales en los primeros años de primaria.
• El tamaño de los números y la presencia de simbología formal incrementa la
dificultad del problema, pues son lenguajes que aún están en construcción para
el estudiante.

16
• La relación entre el orden de aparición de los datos en el enunciado y el orden
en que deben ser colocados a la hora de realizar con ellos una operación
formal son también un factor de dificultad. Es decir, los estudiantes tienden a
operar con los datos en el orden en el que son presentados, lo que además
comunica que no hay una comprensión del problema.
Pongamos en práctica los criterios revisados y analicemos las actividades que se
proponen en el siguiente texto de 4.° grado de
primaria.
• ¿Qué estructuras aditivas de los PAEV se presentan?
- En ambos casos se trata de problemas aditivos de combinación 1.
• ¿Cuántas etapas tiene cada actividad?
- Ambos problemas son de una etapa, pues aunque en el segundo caso
haya tres sumandos, todo puede resolverse con un mismo proceso
operativo: la adición.
• ¿Dónde consideras que está la complejidad de estas actividades para el
estudiante?
- Las estructuras que abordan son las más sencillas según lo que reportan las
investigaciones. La dificultad no es de los problemas en sí, sino de las
cantidades que se deben sumar (son cantidades de varios dígitos).
4. Resuelve las siguientes situaciones.
a. De 816Brasil se han importado 734
vacunas contra la Fiebre Amarilla y
184 736 vacunas de Hepatitis B de
Estados Unidos. ¿ de estasCuántas
vacunas se han importado ?
b. Una empresa casta al año S/. 323
670 en pagar salarios. S/. 178 200 en
pago de servicios y S/. 250 090 en
mantenimiento de la maquinaria.
¿Cuánto gasta en total ?

17
• ¿Te parecen actividades apropiadas para 4° grado? ¿Por qué?
- Considerando que trabajan las estructuras aditivas más simples de
comprender y que solo se agrega dificultad por el tamaño de los números
que plantean, no son actividades demandantes para estudiantes de 4°
grado de primaria, pues no apelan a la comprensión de la estructura
aditiva, sino a desarrollar un algoritmo con números grandes. Este tipo de
problemas se consideran de baja demanda cognitiva.
Analicemos una actividad más, también de un texto de 4.°
grado de primaria:
• ¿Qué estructuras aditivas de los PAEV se presentan?
- Actividad a: Comparación 3
- Actividad b: Comparación 3
- Actividad c: Comparación 4
- Actividad d: Comparación 3
3. Completa los esquemas y resuelve.
a. Paola tiene
años.24
Ella tiene 13
años más
que Hilda.
¿Cuántos
años tiene
Hilda?
a. Renzo tiene
años y45
es 30 años
mayor que
su hijo.
¿Cuántos
años tiene
su hijo?
d. Bruno tiene
S/. 5 000, que.
son S/. 1 000
mas que los
que tiene
Diego.
¿Cuánto
dinero tiene
Diego?
Hilda tiene años. Tom tiene S/. .
Su hijo tiene años. Diego tiene S/. .
11
13
Hilda Paola
c. Liz tiene
S/. 800. Tom
tiene S/. 200
menos que
Liz.
¿Cuánto
dinero tiene
Tom?

18
• ¿Qué estrategia has estructurado para que sea usada por los estudiantes?
- En cada actividad, el estudiante debe usar el modelo de barras como
estrategia de solución.
• ¿Estas actividades permiten desarrollar las fases de resolución de problemas?
¿Por qué?
- Tal como se presenta cada actividad, no da oportunidad para una real
comprensión de cada caso, y es más evidente aún que no permite
proponer una estrategia de solución al estudiante, pues ya brinda una
estructura a seguir. Este es un típico caso en el cual una estrategia no
algorítmica, sino heurística, como el modelo de barras, es reducida a un
mecanismo, lo que no ayuda a que el estudiante desarrolle su
pensamiento matemático ni su capacidad para resolver problemas.
• Lo más propicio sería presentar situaciones y problematizarla, como la que
muestra el cuaderno de trabajo de cuarto grado:
Este es un problema de Igualación 5, el ámbito numérico alcanza hasta las
unidades de millar. El cuaderno de trabajo propone:
Fiesta del Corpus Christi
en Cusco
4 de junio de 2015
Cusco. deun año más en la plaza
Armas de Cusco y las personas se
fiestacongregaron para celebrar la
congregarondel Corpus Christi. Se
en la plaza 2 305 personas, pero
si se hubieran congregado 1 295
personas más, se habría igualado la
cantidad de personas que asistieron
el año pasado. ¿Cuántas personas
asistieron el año pasado ?

19
• Antes de la pregunta de los datos, que debe responder el estudiante, es
conveniente que ustedes propongan: Que los estudiantes les cuenten la
situación descrita sin mencionar ninguna cifra, esto con la intención de destacar
que la cantidad que asistió este año es menor a la cantidad que asistió el año
pasado, pues se dice que si hubieran asistido una cantidad más de personas,
serían tantos como el año anterior.
• Si de primera intención no expresan esta relación,
intenta con las preguntas: ¿este año asistieron más o menos
personas que el año pasado? ¿Cuántas personas asistieron este año? ¿Qué
cantidad de personas igualaría los asistentes de este año con los del año
pasado?
• Luego de esas preguntas, recién podrías pedir que completen lo que solicita el
cuaderno de trabajo, pues habrás cumplido con la fase más importante en la
solución de problemas: La comprensión. El cuaderno de trabajo sugiere usar el
material base 10, con la finalidad de seguir afianzando la construcción del
orden en el SND; sin embargo, se sugiere que luego animes a los estudiantes a
buscar y usar otra estrategia y socializarlas en clase. Es muy probable que tus
estudiantes opten por una estrategia operativa al tratarse de cifras grandes.
- ¿Cómo iniciar la noción de división?
- ¿Cuándo se inician las tablas de multiplicar?
Veamos este problema:
a. Comenta, ¿qué datos
permiten resolver el problema ?
Subráyenlos en la noticia.
b. Elaboren un esquema y
resuelvan con apoyo del
material Base Diez.
El año pasado asistieron .

20
La aproximación que los estudiantes deben realizar a la multiplicación y división
siempre debe ir posterior a la construcción de la noción de adición y sustracción,
pues estas son la base para la comprensión de las acciones que implica la
multiplicación, como “juntar tantas veces, reiterar tantas veces, añadir tantas
veces, reunir tantas veces, reiterar, etc.” (Godino, 2004, p. 209), y las acciones
propias de la división, como “repartir en partes iguales, hacer grupos iguales, restar
reiteradamente, distribuir equitativamente, compartir, fraccionar, trocear, partir,
etc.” (Godino, et. al., p. 210).
El problema presentado ha sido tomado de uno de los reportes que la UMC
(Oficina de Medición de la Calidad de los Aprendizajes) entregó a los docentes
luego de la ECE (Evaluación Censal de Estudiantes) de 2.° de primaria. En este
grado, si bien los estudiantes trabajan la noción de doble y triple, se espera que la
comprendan a partir de sumas reiteradas de la misma cantidad; por ello, este
problema podría ser resuelto de la siguiente manera:
Con material concreto (por ejemplo, los cubitos del material Base Diez)
Gráficamente (por ejemplo, con marcas de seis en seis)
Rosario tiene el triple de la cantidad de plumones
que hay en una caja
¿Cuántos plumones tiene Rosario ?
Tiene 18 plumones

21
Tiene 18 plumones
Operativamente (sumando tres veces 6)
6 + 6 = 12 12 + 6 = 18 Tiene 18 plumones
Para llegar a la exitosa solución del problema, previamente, se debe haber
trabajado en clase problemas en los cuales se haya tenido que juntar varias veces
una misma cantidad. Por ejemplo, se trata de haber propuesto en clases
preguntas como estas:

Estas podrían ser algunas de las estrategias usadas por los estudiantes de segundo
grado:
Otros casos que ayudan a construir la noción multiplicativa, que se inicia en
segundo grado de primaria, es de reiterar la misma cantidad varias veces.
¿Cuántos
tentáculos habrá
entre tres
pulpos?

1
El problema que a continuación se presenta puede ser planteado a
estudiantes de segundo grado que evidencian mayor avance, recuerde que
es importante
Algunos estudiantes de segundo grado podrían desarrollar las siguientes
estrategias 1:
atender a la diversidad en el aula, veamos:
¿Cuántas patas se
contarán si tenemos
cinco gatos?

2
1 Respuestas de estudiantes tomadas de las guías de orientaciones didácticas para la enseñanza de la
multiplicación y división en los tres ciclos de la EGB de la Dirección General de Educación Básica de
Buenos Aires.
En la solución de estos dos últimos ejemplos (problema de los pulpos y de los gatos),
un estudiante con estrategias más concretas podría haber usado chapitas o
tapitas de plástico para representar las patas del gato o los tentáculos del pulpo,
y bolsitas para representar a los animales. Si como docente sugieres esta estrategia
a tus estudiantes, recuérdales que deben llenar en cada bolsa 8 tapitas (caso del
pulpo) o 4 tapitas (caso del gato); además, podrías preguntarles: ¿Cuántas
bolsitas debemos tener? Se espera que respondan que deben tener 3 bolsitas con
8 tapitas de plástico cada una (caso del pulpo) o 5 bolsitas con 4 tapitas de
plástico (caso del gato); así, se indica la cantidad de “veces” que deben sumar 8
tentáculos (pulpo) o 4 patas (gato).
El procedimiento descrito es una manera concreta e intuitiva de ir trabajando
paulatinamente las primeras nociones de la multiplicación. En estos inicios es
importante que los estudiantes afronten el problema con sus propios recursos:
material concreto, dibujos, conteos, sumas o restas.
Es importante que tus estudiantes usen las estrategias utilizando el material
concreto o gráficas con facilidad, conviene formular y responder con ellos
preguntas como estas: ¿Es necesario realmente dibujar todos los pulpos o todos
los gatos? ¿Se puede dibujar solo un animal y contar las patas varias veces (según
como señale el problema)? Esta reflexión tiene la finalidad de ayudarlos a darse
cuenta de la conveniencia de usar marcas que representen los elementos del
problema. Unida a esta opción de usar marcas, conviene dialogar con los
estudiantes y hacerles notar la conveniencia de realizarlas ordenadamente, a fin
de no confundirse y contar más veces de las necesarias u omitir contar alguna de
ellas.
Para introducir la noción de mitad o de reparto en tres partes iguales, la dinámica
a seguir es similar, solo que en esta ocasión la noción base es la sustracción.
Veamos algunos casos que ejemplifican este proceso:

3
Las posibles estrategias que usarían los estudiantes se muestran a continuación:
Con material concreto (por ejemplo, botones que van repartiendo uno a uno en
dos filas hasta usar los ocho que tienen)
Gráficamente (por ejemplo, con puntos en una tabla, que van colocando uno
a uno para cada nieto hasta usar los 8 botones)
Nieto 1
Nieto 2
Operativamente (restando varias veces una misma cantidad hasta quedar en
cero)
Nieto 1: 8 – 2 = 6 4 – 2 = 2 tendrá 4 caramelos

4
Nieto 2: 6 – 2 = 4 2 – 2 = 0 tendrá 4 caramelos
Veamos el siguiente problema que puede ser trabajdo cuando tus estudiantes
manifiesten mayor avance:
Digamos que entregas en clase a cada estudiante un “album” con cuatro páginas
y además les entregas 28 figuritas (o stickers), además les das la consigna de que
peguen todas las figuritas en las páginas, cuidando que haya la misma cantidad
en cada página. Algunas respuestas1 reales que se obtuvieron de esta actividad
se muestran a continuación:
Vemos que algunos niños repartieron las 28 figuritas en cada página y llegaron a
la conclusión de que si pegaban 7 en cada página no sobraba ninguna. Estos
niños y niñas llegaron a esta respuesta porque emplearon el reparto de 1 en 1 o
de 2 en 2 hasta agotar las 28 figuritas. En cambio, otros(as) pegaron 6 en cada
página y anotaron que les sobraban 4. En casos como este, conviene preguntar a
la clase si se pueden seguir repartiendo las figuritas que sobran; esta pregunta
motivará a los estudiantes a intervenir hasta que toda la clase concluya que siete
figuritas es lo que debe ir en cada página.
1 Dirección general de educación básica de Buenos Aires, op. cit.

5
Con el trabajo de las nociones de doble, triple, mitad y tercera parte, que se
trabajan en segundo grado, se cubren los preámbulos para iniciar en tercer grado
el trabajo de que el estudiante comprenda la multiplicación y el producto como
cantidad de elementos o medida resultante de grupos de igual número de
elementos, transitar por el concepto de campo ordenado (mediante los arreglos
rectangulares: filas y columnas), la escritura convencional, la construcción de la
tabla como un todo integrado, la construcción de propiedades; reservando la
propiedad distributiva y la del cero para cuarto grado. Todos estos aprendizajes
deben construirse a partir de la resolución de problemas.
Una de las creencias erróneas que aún existe en nuestras escuelas y hogares es
considerar que para multiplicar, primero, se debe aprender las tablas de
multiplicar “de memoria”. Por ejemplo: si preguntamos a un estudiante cuánto es
6 × 7 y responde inmediatamente 42, esta respuesta no es evidencia contundente
de que comprende qué significa ni los procedimientos que debe seguir para
obtenerla. Las tablas de multiplicar deben construirse con los niños y las niñas
haciendo que ellos brinden explicaciones descriptivas y deductivas, es decir,
establezcan relaciones entre los números para comprender el origen de cada
producto y, después, solo después, memorizarlo. La memorización es uno de los
actos finales del proceso de aprendizaje, lo primero es asegurar la comprensión
de la noción multiplicativa y de las acciones que esta conlleva.
Las primeras multiplicaciones que se formalizan son las multiplicaciones por 1 y por
10. Luego, se construye la tabla de multiplicar del 2, la cual se ha construido antes
con las soluciones de distintos problemas. Después, la tabla del 5, asociándola a
la del 10 y a la noción de mitad, y la tabla del 3. Posteriormente, y a partir de la
tabla del 2 y apoyándonos en la propiedad conmutativa, se construye la tabla del
4. La tabla del 6 se construye análogamente a partir de la tabla del 3. Se prosigue
con las tablas del 8 y del 9, relacionándolas con las del 2 y del 3, respectivamente,
y la noción de triple. Las últimas en completarse son las tablas del 7, del 11 y del
12: hacer notar con ayuda de la propiedad conmutativa que ya se saben varios
de estos productos. En el siguiente enlace: http://es.wikihow.com/aprender-las-
tablas-de-multiplicar podrás encontrar consejos prácticos para ayudar a tus
estudiantes en este necesario aprendizaje. Adicionalmente, es muy importante
tener en cuenta lo que Castro y Rico3 (1995) nos recomiendan sobre este punto:
Se debe dedicar un curso completo a la construcción de la tabla de multiplicar y
a su empleo en la resolución de todo tipo de problemas. No debe importar que
los datos numéricos sean pequeños, lo realmente importante es la comprensión

6
de todas las relaciones que pueden expresarse mediante la estructura
multiplicativa y la variedad de significados —variables semánticas—con las que
dichas relaciones pueden expresarse. Al igual que con la suma y resta, no existen
combinaciones más sencillas para el producto, salvo la regla general que
aumenta la dificultad conforme aumentan los factores. Por razones obvias,
resultan más fáciles de memorizar las tablas de 5 y 10.
3 Cuando mencionan que se debe dedicar todo un curso, se
refieren a trabajar la construcción de las tablas de multiplicar a lo
largo de un grado.
La tabla de multiplicar, una vez construida, se olvida. Por ello al curso siguiente
conviene recordarle al niño de nuevo cuáles son los significados más usuales del
producto y cómo se construye la tabla. A partir de ahí debe irse exigiendo cierto
grado de memorización en el que se combinen la fijación de algunos datos y el
uso de la estructura interna de relaciones entre la totalidad de ellos. Carece de
todo sentido el exigir una memorización mecánica total de la tabla. El énfasis no
hay que ponerlo en la repetición sino en la comprensión. Aun así, conviene que el
alumno recuerde el mayor número posible de resultados o al menos sepa cómo
obtenerlos.
Castro y Rico. 1995. p. 51
- ¿Cuáles son los PAEV multiplicativos?
- Qué estrategias deben usar los estudiantes para resolverlos?
- ¿Cuáles son las principales dificultades que tienen los
estudiantes en estos problemas?
Así como vimos en el módulo anterior que existen problemas aditivos que por su
estructura semántica dan origen a cuatro clases de PAEV, en los problemas
multiplicativos (que incluyen tanto acciones asociadas a multiplicar como a
dividir) la estructura semántica del enunciado origina diferentes clases de
problemas: los problemas de razón o proporcionalidad, los problemas de
comparación multiplicativa y los problemas de combinatoria o producto
cartesiano. A efectos de este módulo, nos dedicaremos solo a los problemas que,

7
según el nuevo Diseño Curricular y demás documentos oficiales2, corresponden
abordar en el IV Ciclo de la EBR: los PAEV multiplicativos de razón o
proporcionalidad y los de comparación.
Problemas de estructura multiplicativa de una etapa: multiplicación o división
Para este caso se
desarrollarán dos tipos de
problemas:
1. Multiplicación-división-
razón
Son problemas de
proporcionalidad directa
Multiplicación-razón 1
División participación-razón
División cualición o
agrupamiento
3 .° grado
2. Problemas de
comparación
Multiplicación- Comparación en más
División-partitiva-comparación en
más.
División agrupación
comparación en más.
3 .° grado
4 .° grado
Como sabemos, en los problemas de razón o de proporcionalidad existe esta
relación entre dos magnitudes y son problemas en los cuales uno de los términos
es 1, es decir, la razón es referida a la unidad.
Veamos con ejemplos cómo se presenta esta estructura multiplicativa.
2 Rutas del Aprendizaje (2015), Cuadernos de trabajo (2015) y Mapas de progreso (2015).

8
Tipo de PAEV
multiplicativo (responde
el docente)
Proporcionalidad - razón uno (hallar el total)
Acción implícita
( responde el estudiante
)
Reiterar tantas veces la misma cantidad.

9
Posibles estrategias de
solución
• Si el estudiante está aún construyendo la noción
multiplicativa, lo más seguro es que opte por una estrategia
apoyada en material concreto, como formar tres grupos de
cuatro y luego contar todo.
Rinde
12 vasos
1 vez 4 2 veces 4 3 veces 4
• Si ya está entrando a una fase de representación gráfica,
puede hacer grupos de cuatro aspas o dibujar los vasos e
indicar que cada grupo es un litro de leche; finalmente,
contará todo desde el inicio o irá contando de corrido a
medida que avanza con cada grupo.
1.° jarra = 4 vasos 2.° jarra = 8 vasos 3.° jarra = 12 vasos
• Si, en cambio, ya tiene la noción de multiplicación
construida, es muy probable que opte por una estrategia
operativa y plantee una multiplicación de tres por cuatro.
3 × 4 = 12 Rinden 12 vasos
Veamos otros ejemplos de cómo se presentan los PAEV multiplicativos de
proporcionalidad. En cada caso, las posibles estrategias que presentaremos
ilustrarán las distintas fases de construcción de la noción multiplicativa en la que
podrían encontrarse los estudiantes, con la finalidad de que identifiques estas
características en los tuyos y les brindes el apoyo que necesitan.

10
Tipo de PAEV
multiplicativo
( responde el docente )
Proporcionalidad - división cuotitiva (hallar el número de unidades)
Acción implícita
(responde el
estudiante)
Partir, fraccionar
Posibles estrategias
de solución
• Puede optar (o le puedes sugerir) la estrategia de simulación, en la
cual él (o ella) será el estudiante que compra cuadernos. Deberá
tener varios carteles con el precio (S/ 5) y colocarlos uno junto al
otro hasta llegar a los 20 soles gastados. Luego, en cada cartel de
precio asignará un cuaderno, contará los cuadernos y
responderá que se compraron 4 cuadernos.
S/ 5 S/ 5 S/ 5 S/ 5
Un cuaderno cuesta
5 soles. ¿Cuántos
cuadernos compró
Mario si gastó 20
soles?

11
• También puede darse el caso monedas de 5 soles,
las cuales cuaderno a la vez, para compró 4
cuadernos.
• Una estrategia operativa podrí
de repartir
graficará
finalmente
2
a ser
dividir 20
20 ÷ 5
=
los 20
soles
y
asociará
responder
que
3
entre 5.
4
en
con un
Mario
4
20 5
4
NUEVOS
SOLES
S/ 20
# cuadernos 1
NUEVOS
SOLES
NUEVOS
SOLES
NUEVOS
SOLES

13
Tipo de PAEV multiplicativo
(responde el
docente)
Proporcionalidad - división partitiva (hallar el valor de la
unidad)
Acción implícita
( responde el estudiante )
Repartir en partes iguales.

14
Posibles estrategias de
solución
• Hace el reparto uno a uno entre tres compañeros (que
simulan ser los hijos de Carmen), para finalmente
responder que a cada hijo (como a cada compañero) le
corresponden 8 lápices.
• Puede que empiece a dibujar en una tabla de tres
columnas (una por cada hijo) cierta cantidad de lápices
(5 u otro valor) y, luego, termine de repartir los que aún
tiene hasta que todos los hijos tengan 8 lápices.
Hijo 1 Hijo 2 Hijo 3
• Sabe que la cantidad a repartir son los 24 lápices
(dividendo) y debe repartirla entre tres personas ( divisor),
por lo que propone el algoritmo de la división.
24 ÷ 3 = 8

15
En estos problemas, una señal de que el estudiante no está comprendiendo la
noción multiplicativa y, por lo tanto, requiere más trabajo concreto y mayor apoyo
a fin de que no se aleje de lo esperado para el grado, es cuando tiende a sumar
o restar los valores dados, por ejemplo3:
Este tipo de respuestas claramente comunican que los estudiantes no
comprenden qué significan los valores en el problema ni de qué trata o qué
acción demanda, a diferencia de las variadas estrategias que hemos visto que
pueden usar, donde se evidencia que comprenden la estructura multiplicativa
pero que están en niveles distintos de concretización de los procedimientos de
multiplicación o división. Dentro de estos tres tipos de problemas de
proporcionalidad o razón multiplicativa, el primer caso es el más sencillo para los
3 Imágenes tomadas de una investigación de Mary Poveda, para la Fundación Fumigas, p. 2.
1. ¿Cuántos pedazos de 20 metros se
pueden cortar de un rollo de piola
de 140 metros?
2. Compré 12 dulces, cada uno a S/
26 ¿Cuántos pague en total ?

16
estudiantes, pues fácilmente se asocia a una suma iterativa o a la multiplicación
directa; mientras que los casos de división cuotitiva o partitiva, si bien tienen
algunos elementos de la multiplicación, estos no son los dos factores, por lo que se
debe usar el proceso inverso (noción de división).
Te recomendamos revisar las páginas 95 a 99 de las Rutas del Aprendizaje (2015)
del IV ciclo antes de continuar.
Recordemos ahora la segunda estructura multiplicativa que se propone trabajar
con los estudiantes del IV Ciclo de primaria: los PAEV multiplicativos de
comparación. En esta estructura se utilizan tres tipos de expresiones comparativas,
según refiere Castro (1994) en su tesis doctoral: “comparación de superioridad que
se forma incluyendo la expresión ‘más... que’; comparación de igualdad que se
forma con ‘tanto... como’ o ‘tan... como’, y la comparación de inferioridad que
se forma con ‘menos... que’”. (p. 31). Veamos las comparaciones de aumento y
disminución en la tabla que el mismo Enrique
Ahora, trabajaremos problemas en los que se presentan estas estructuras y cómo
los estudiantes pueden afrontarlas. Al igual que en el caso anterior, presentaremos
la secuencia de aproximación a la formalidad operativa de la estructura
multiplicativa.
Castro presenta:
Tabla 1.3. Comparación de aumento y de disminución
Referente Comparado
c = 6 ∙ r
(Comparado = 6 x referente )
A2
A1
Referente Comparado
c = 6 : r
Comparado = referente : 6)(
A2
A1

17
Tipo de PAEV
multiplicativo
(responde el
docente)
Comparación - ampliación de la magnitud (hallar la magnitud
amplificada)
Acción implícita
(responde el
estudiante)
Reiterar tantas veces la misma cantidad.
El tanque del edificio
A tiene 22 litros de
agua y el tanque del
edificio B tiene el
triple de agua que A.
¿Cuántos litros de
agua hay en el tanque
del edificio B?

18
de solución
• Con el material base 10, formará 22 (tanque del edificio A) y lo
reiterará tres veces para formar la cantidad de litros de agua
del tanque del edificio B. Luego, reagrupará este total y
responderá que en el tanque de B hay 66 litros de agua.
• Puede usar la adición reiterada de la misma cantidad para dar
la respuesta final.
Tanque A: 22 litros
Tanque B: 22 litros + 22 litros + 22 litros = 66 litros
• Formula una multiplicación de 22 (multiplicando) por 3 (
multiplicador ).
En un día de trabajo, el taxista Abel gana 150
soles y el taxista Bruno gana 600.
¿Cuántas veces mayor es la cantidad de
dinero que gana Bruno con relación a Abel?
Tipo de PAEV
multiplicativo
(responde el
docente)
Comparación - división cuotitiva (hallar el factor de
comparación)
Acción implícita
(responde el
estudiante)
Encajar un número de veces exactas una cantidad en otra.
22 × 3 = 66

19
de solución
• Grafica una recta numérica con escala 50 en 50, hasta 600 o
más, y cuenta el número de saltos de 150 en 150 que contiene
600. Responde que Bruno gana 4 veces lo que gana Abel.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650
• Resta reiteradamente 150 de 600 hasta llegar a cero; luego,
cuenta las veces que tuvo que efectuar esa sustracción y
responde el problema.
600 – 150 = 450 450
– 150 = 300
300 – 150 = 150
150 – 150 = 0
Bruno gana 4 veces lo que gana Abel.
• Formula una división en la que 600 es el dividendo y 150 es el
divisor. Concluye que Bruno gana el cuádruple de lo que gana
Abel.
Alicia tiene 240 puntos en el juego “Saltarines”.
Es seis veces el puntaje acumulado por Daniel.
¿Cuántos puntos tiene Daniel?
Tipo de PAEV
multiplicativo
(responde el
docente)
Comparación - reducción de la magnitud (hallar el valor de la
magnitud reducida)
Acción implícita
(responde el
estudiante)
Repartir en partes iguales, formar grupos de igual tamaño.
600 150
4
600 ÷ 150 = 4

20
de solución
• Arma, con material base diez, seis grupos con una cantidad de
puntos (digamos que 20); luego, al ver que sobran puntos,
aumenta a cada grupo de 10 en 10 hasta agotar los 240
• Mediante el modelo de barras, compara los puntos de Alicia
(barra de seis secciones) con los de Daniel (barra de una
sección) y empieza a asignar valores a cada sección hasta
decidir que valen 40 puntos, lo que equivale al puntaje de
Daniel.
Alicia
30 30 30 30 30 30
40 40 40 40 40 40
Daniel
Daniel tiene 40 puntos.
• Plantea una división entre 240 (magnitud a reducir) y 6 ( factor
de comparación ).
240 ÷ 6 = 40
Al igual que en la estructura multiplicativa de proporcionalidad, de estos tres casos
de comparación multiplicativa, el primero suele ser el más sencillo para los
estudiantes, pues es una aplicación directa de la noción de multiplicación; en los
otros dos casos, uno de los factores no es conocido, por lo que se requiere trabajar
con estrategias vinculadas a la noción de división.
El aprendizaje de la multiplicación y de la división presenta dificultades ya
estudiadas por diversos autores. Citaremos a Martínez (1993), quien a su vez es
citado por Godino en el texto Didáctica de las Matemáticas para Maestros (2004
, pp. 210-211):
a) Vocabulario y conceptos
En situaciones de multiplicación, los términos “cada”, “a cada uno”, “para cada
uno”, etc., tienen un sentido que, normalmente, no ha sido trabajado por los niños

21
con anterioridad. Otra dificultad puede ser el empleo de la palabra “producto”.
b) Nivel de abstracción
En el caso de la multiplicación, el multiplicando es un número que indica la
medida de una cantidad de magnitud, es decir, es un estado, mientras que el
multiplicador nos dice las veces que se repite la cantidad inicial (es una razón o
una comparación). Para calcular el coste de 3 kg de peras a 2 euros el kilo,
multiplicamos 3 × 2 = 6 y decimos que el resultado es 6 euros; 3 es la medida de la
cantidad de peso de las peras y 2 el precio (medida del valor económico) por
unidad de peso, es decir, la razón entre el valor económico y el peso.
El resultado también puede ser una cantidad de una naturaleza diferente de los
factores (área o volumen; mientras que los factores son longitudes o longitud y
área). Todo esto supone un nivel de generalidad o abstracción superior y, por
tanto, origen de dificultades en el proceso de estudio.
En el caso de la división, debemos tener en cuenta la existencia de dos sentidos bien
distintos para esa operación:
- según se considere como “resta sucesiva” de una cantidad fija d de otra D
y lo que se debe hallar es el número de veces (q) que se puede restar hasta agotar
D (la división como agrupamiento)
- o bien el sentido de “reparto en partes iguales” de una cantidad D entre un
número dado de “sujetos” d, donde lo que se debe hallar es a cuánto tocan (q)
(la división como distribución o reparto).
c) Dificultades en operaciones
La primera dificultad que suele pasar desapercibida es que una simple
multiplicación como 123 × 12 es, en realidad, un conjunto variado de
multiplicaciones que se escalonan y se combinan de acuerdo con unas reglas
específicas. Este proceso queda notablemente oscurecido en el algoritmo
habitual al suprimir pasos intermedios, lo que sin duda es una fuente de dificultades
y errores. Estas dificultades son mayores incluso en el cálculo de la división donde
deben realizarse procesos de tanteo, aparte de aplicar de manera coordinada
las operaciones de multiplicación, adición y sustracción.
d) Solución de problemas
El estudio de la estructura semántica de los problemas multiplicativos y el análisis
de los tipos de cantidades que intervienen como factores muestran¬¬ la gran
complejidad de este campo conceptual cuyo estudio integral abarca un período
bastante dilatado de tiempo. …Parece que resuelven mejor las situaciones
multiplicativas de razón que las de comparación (salvo cuando en estas últimas
la incógnita está en el primer término de la comparación), resultándoles las de
combinación más difíciles de resolver que las otras. Dentro de las situaciones de
razón, los problemas de reparto parecen ser más fáciles que los de agrupamiento.
Nuestro rol como docentes, ahora que conocemos de manera sistematizada las
principales dificultades que significa para los estudiantes afrontar estas estructuras
multiplicativas, es apelar siempre a la construcción de la noción paso a paso,
priorizando las estrategias de simulación o manipulación de material concreto, de
modo que visualicen de qué trata el problema y descubran qué deben hacer. De

22
esta manera, ellos mismos irán migrando poco a poco a estrategias más gráficas
hasta ver la ventaja de las estrategias operativas, especialmente, cuando se trata
de cifras grandes. Sin embargo, este es un proceso que no tiene tiempo definido
y que debe ser valorado inicialmente en la adecuada selección de la estrategia;
posteriormente, con la seguridad que van demostrando los estudiantes, cobra la
misma importancia la adecuada solución del problema.
En esta estrategia, el estudiante comunica que comprende la situación
multiplicativa, aunque está aún en la fase de trabajo aditivo. Convendría hacerlo
reflexionar con preguntas como estas: ¿Cuánto es el doble de 8? ¿Cuántas veces
usaste el doble de 8 en tu procedimiento? ¿Podrías escribirlo de otra manera? De
esta forma, lo podemos aproximar a usar el doble o el triple de un mismo valor,
para posteriormente proponerle problemas en los que necesite optimizar su
tiempo y recursos, y, así, pueda valerse de la
En esta estrategia, se puede apreciar que la noción multiplicativa también está
comprendida y el estudiante está un paso adelante en su proceso de
formalización respecto del estudiante anterior, pues va duplicando los valores que
relaciona hasta dar con la respuesta. Se sugiere ayudar al estudiante a notar el
uso de la tabla del 8, pidiéndole que escriba en una tabla de tres columnas el
número de botones que va en cada bolsa (primera columna), el número de bolsas
Comentemos dos estrategias usadas para resolver el siguiente problema:
. Alvaro empacó de a 8 botones en 9 bolsas. ¿Cuántos botones empacó?2
Álvaro empacó, de 8 en 8, botones en 9
bolsas. ¿Cuántos botones empacó?

23
(segunda columna) y el total de botones en la tercera columna. Así, lo ayudamos
a construir la tabla del 8 y a hacerlo consciente de
Este estudiante, a pesar de no desarrollar el algoritmo de la multiplicación,
claramente comunica que asocia la estructura del problema con la expresión
operativa de la multiplicación. Quizá su inconveniente sea que no sabe las tablas
de multiplicar, sin embargo, como ha trabajado variadas estrategias en sus
procesos previos de solución de problemas, encuentra la manera de resolver el
producto de 3 × 450. Cuando trabajemos estas estructuras, recordemos que lo que
se debe valorar es el proceso mismo de solución del problema: si lo comprendió,
si lo asoció a las estructuras correctas, si la estrategia usada es pertinente (aun
cuando no sea la más económica en tiempo) y, finalmente, si lo resolvió; si hay
fallas en esta última etapa, quizá sea por error de cálculo o falta de organización
en el proceso seguido.
Recapitulemos lo visto en este módulo compartiendo soluciones dadas por
estudiantes al siguiente problema multiplicativo que se propone en el kit de
evaluación de salida de 4.° grado:
Todos los estudiantes de un colegio de Bagua realizarán un paseo para
conocer la fortaleza de Kuélap.
Para esto contratarán buses que pueden llevar hasta 40 personas.
Si en total, 316 personas irán de paseo, ¿cuántos buses serán necesarios
contratar?
Estamos ante un problema multiplicativo de proporcionalidad, del tipo de división
cuotitiva. Algunas de las posibles estrategias de solución usadas por los

24
En ambos casos, las soluciones son correctas. Aun cuando en la segunda
estrategia no se diga 8 buses, se señala que se debe contar con un bus adicional
a los 7 calculados inicialmente. En estos casos se evidencia comprensión de la
estructura multiplicativa y uso de la multiplicación y división.
En caso de que el estudiante manifieste una respuesta errada, como responder
que se necesitan 7 buses, el docente debe ayudarlo sugiriéndole revisar el
problema y usar las siguientes estrategias:
Cantidad de buses # personas
1 40
? falta el cociente 316
Con material concreto: base diez y cajita Mackinder
cajitas.

25
Canjeando las centenas a decenas y haciendo el reparto de personas en la cajita
Mackinder, tenemos:
Luego, se cuentan los buses representados por las cajitas donde caben 40
personas; también, el de 36, pues es válido según la condición del problema. En
total, son 8 buses.
Por restas sucesivas:
316 – 40 = 276 196 – 40 = 156
276 – 40 = 236 156 – 40 =116
236 – 40 = 196 116 – 40 =76
76 – 40 = 36
Como siete veces se quita 40, el cociente o resultado hasta ahora es 7 buses,
sobrando 36 personas, las cuales pueden entrar en otro bus, ya que según la
condición del problema pueden entrar en un bus hasta 40 personas. Por lo tanto,
la respuesta es 8 buses.
Ahora, veamos una actividad propuesta en la página 61 del Cuaderno de trabajo
de 4.° grado:

26
Recordemos que antes de pedir que los estudiantes desarrollen alguna estrategia
de solución, debemos asegurarnos de que comprendan el problema. Tal como se
sugirió en el módulo anterior, lo mejor es empezar solicitándoles que cuenten de
qué trata el problema, sin leerlo, con sus propias palabras, ayudándolos a resaltar
las relaciones que se establecen entre las cantidades mencionadas en la situación
propuesta. En este caso, se podría preguntar: ¿Cada integrante debe recibir el
mismo número de palitos de chupete? ¿Cuántos palitos se deben repartir? ¿Entre
cuántos estudiantes se deben repartir los palitos? ¿Qué nos preguntan?
Para ayudarlos a ubicar la estrategia (aunque está sugerida ya en el Cuaderno de
trabajo), podemos pedir que asocien este caso con otro similar trabajado en
clase: ¿Hemos visto algún caso similar en clase? ¿Qué hicimos en ese caso?
¿Resultará esa estrategia en este problema? También es válido sugerir, después de
desarrolladas las estrategias planteadas en el Cuaderno, solicitar otras formas de
solución y compartir aquellas innovadoras, e incluso las erróneas, para hacer la
corrección entre toda la clase.
Como recomendación final de este módulo, les compartimos la secuenciación
que propone Godino (2004, pp. 209-210) para el trabajo con la multiplicación y
el procedimiento operativo de la división:
Los 6 integrantes del equipo 1 recibirán palitos de chupete
para armar barquitos. Si Manuel les debe repartir 42 palitos
equitativamente, ¿cuántos palitos recibirá cada integrante?
a. Dibuja los palitor de chupete que recibirá cada estudiante.
b. Expresa el reparto con una división.
Cada integrante recibirá
=

27
En un principio, las situaciones problemáticas deben resolverse tanto con la suma
como con la multiplicación, hasta que el alumno observe que con la
multiplicación y más con el uso de las tablas, es más rápido y seguro.
Los dos términos de la multiplicación desempeñan funciones diferentes: uno de ellos
es la cantidad que se repite (multiplicando). El otro factor nos dice las veces que
se repite la cantidad inicial (el multiplicador); se refiere a un “objeto” (número de
veces que se repite la acción) de naturaleza diferente que el multiplicando.
En cuanto al aprendizaje de las técnicas operatorias, habría que comenzar por el
producto de un dígito por un dígito, respetando las fases manipulativas, gráficas (
figurativas), esquemáticas y simbólicas.
…
El aprendizaje del cálculo de la división requerirá también tener en cuenta las fases
manipulativa, gráfica (figurativa) y simbólica, y la siguiente secuenciación:
• Una cifra en el dividendo y una en el divisor.
• Dos cifras en el dividendo y una en el divisor: ab : c, distinguiendo los casos, a > c, y
a < c. Se pueden presentar dificultades cuando exista un cero en el cociente.
• Tres o más cifras en el dividendo y dos cifras en el divisor: abc entre d. Los casos en
que pueden surgir dificultades son:
- Cuando hay que tomar tres cifras en el dividendo.
Estrategias para resolver problemas
relacionados con fracciones
A. ¿Qué conocimientos básicos habrá que tener en cuenta?
Las fracciones, históricamente, aparecen asociadas a la necesidad de medir, pero
en el lenguaje cotidiano la idea de fracción como “la mitad”, “la cuarta parte”, o
“la quinta parte” de un todo se relaciona con el proceso de dividir o repartir. Por
ejemplo, para calcular longitudes, usamos como unidad de medida el metro (m);
pero la medida de las longitudes de los objetos no miden metros completos, por lo
que también es posible y necesario medirlos en centímetros (cm) o milímetros
(mm). Para este fin, dividiremos la unidad en partes más pequeñas, lo cual nos
lleva a la idea de fracción.

28
Cuando se parte una unidad en un número entero de partes iguales y se toma un
número entero de esas partes, posiblemente mayor que el número de partes
contenidas en la unidad, se obtiene una fracción. La fracción 2/5 da cuenta de la
partición de una unidad en cinco partes iguales, de las cuales se han tomado dos
de esas partes, es decir, dos veces un quinto 2 (1/5) = 2/5, a la que llamamos “dos
quintos”.
Cuando se parte una unidad por un número de unidades (2, 3, 4...) y tomamos un
número de estas partes, se habla de fracción: 2/5, 5/4, 3/10, etc. Cuando se parte
una unidad por un número de unidades igual a una potencia de 10 (10, 100,
1000...), la fracción obtenida se llama fracción decimal: 4/10, 54/10, 4/100,
3 /1000…
Las fracciones en un inicio están vinculadas a los repartos o particiones físicas
de las cuales dan cuenta, pero poco a poco se van desligando cuando se
comparan, se ordenan, se ubican en una semirrecta graduada o se opera
con ellas. A estos números, que podemos escribir bajo la forma de una
fracción, se les llama números racionales4. Por tanto, la fracción es una
representación del número racional. La construcción del número racional es
un proceso de “largo aliento” cuyas primeras nociones empiezan en el nivel
primario y continúan en los siguientes niveles.
En general, en el nivel de primaria, se trabaja solo con números racionales que a
se pueden representar como el cociente indicado de dos números naturales , b
donde b es diferente de cero.
Los estudiantes de cuarto grado resuelven problemas relacionados con las
particiones de una unidad, las fracciones usuales5 y las equivalencias entre
fracciones.
B. ¿Cómo construyen los estudiantes el concepto de fracción?
En este módulo, las fracciones se incorporan al estudio de los números con nuevas
representaciones y nuevos procedimientos que amplían el sentido numérico. La
estimación que se realice con algunas unidades del sistema métrico decimal, tales
4 Eduscol.education.fr/ressources-2016-Ministere de l education nationale, de l´enseignement superieur et de la
recherche. Mars 2016
5 Con denominadores 2, 4, 8, 3, 6, 5 y 10.

29
como centímetros, metros, kilogramos, litros, así como la ubicación y visualización
en segmentos y formas geométricas, serán experiencias necesarias para facilitar
las equivalencias con estas unidades, además de enriquecer los problemas con
más elementos del entorno físico y social del estudiante.
Si bien se recomienda que debe predominar lo intuitivo y sensorial en estos grados,
a la vez, se tiene que representar las relaciones que se establecen y encuentran
en estas experiencias con expresiones numéricas, para avanzar en el desarrollo
de las capacidades cognitivas de los estudiantes y en el lenguaje matemático.

30
Algunos de los estudios recientes acerca de las fracciones6, que destacan lo
cognitivo, son los estudios de Kieren (1983), quien propone dos tipos de
herramientas o mecanismos mentales para la construcción del conocimiento
del número fraccionario, unos de desarrollo y otros constructivos. Los de
desarrollo están vinculados con la experiencia, se identifican con la
conservación del todo y el razonamiento proporcional; los constructivos se
relacionan con la partición, la equivalencia cuantitativa y la generación de
unidades divisibles. Los significados y sus correspondientes “mecanismos” se
encuentran ligados a aplicaciones espe¬cíficas y forman parte de lo que se ha
denominado matemática intuitiva.
Al respecto, Piaget, Inheler y Szeminska (Dickson y otros; 1991) puntualizan siete
subconceptos para comprender las nociones básicas de la fracción. Estos
subconceptos o criterios se condicen con los mecanismos de formación (la
partición, la equivalencia cuantitativa y la generación de unidades divisibles) y
son transversales a todos los significados de la fracción, los cuales son los
siguientes:
1. Considerar divisible el “todo” (región o colección), potencialmente
compuesto por elementos separables.
2. El mismo “todo” se puede dividir, cortarse o partir en diferente número de
partes “iguales” (congruentes) o equivalentes, según se solicite, y
podemos elegir el número de partes.
3. La subdivisión debe ser exhaustiva.
4. Centrar la equivalencia de las partes en su tamaño.
5. Distinguir entre número de cortes y número de partes (el número de cortes
y el número de partes no son necesariamente iguales).
6. Comprender la relación inversa entre el número de partes equivalentes y
el valor de cada parte (a mayor número de partes, menor extensión de
las mismas).
7. Admitir la construcción del todo como suma de las partes, es decir, el
“todo” se conserva aunque sea dividido en partes.
Asimismo, para que los estudiantes construyan el concepto de fracción, es
importante que los docentes los ayuden a establecer todas las posibles
relaciones entre las propias fracciones, entre estas, las equivalencias, la división,
la medida, la proporcionalidad y otras.
6 Perera, P.; Valdemoros M. (abril, 2009). Enseñanza experimental de las fracciones en cuarto grado en
Educación Matemática. Scielo. 21(1), pp. 29-61

31
Muchos de nuestros estudiantes presentan dificultades de comprensión de este
importante concepto y ello es debido, según varios autores, a sus diversas
concepciones, interpretaciones, acepciones y representaciones.
C. ¿Qué estrategias se pueden utilizar para superar
dificultades en la construcción de esta noción?
Para que nuestros estudiantes puedan aprender de sus errores, veamos cuáles
son sus mayores dificultades. Con base en estas, se proponen actividades que
se han experimentado en aula o proceden de otros estudios realizados en
diferentes contextos.
El propósito de esta actividad es que los niños y las niñas establezcan la relación
entre la parte y el todo, pues, generalmente, se centran solo en el conteo de
las partes. Veamos:
Con todos los estudiantes del aula se inicia una exploración de cubrimiento de
superficies usando piezas circulares de fracciones. Luego, comienzan a
familiarizarse con los colores y relaciones entre estas piezas de colores azules,
marrones y amarillas, y el círculo negro que representa el todo o la unidad:
Luego, en grupos pequeños de 3 estudiantes o en parejas, los estudiantes
continúan esta exploración usando estos materiales circulares:
El/la docente formula estas preguntas:
- ¿Cuántas piezas azules cubren el círculo negro ?
- ¿Cuántas marrones cubren el círculo negro ?
- ¿Cuál es más grande: 1 marrón o 1 azul ?
- ¿Cuántas piezas azules cubren 1 círculo amarillo ?
- ¿Cuál es más grande: 1 marrón o 2 azules ?
- ¿Cuántas azules cubren 1 círculo amarillo ?
1. Cubriendo el círculo

32
Los sectores circulares rosados son octavos del círculo y el gris es un sexto.
Los sectores rojos son novenos.
1. marrones son iguales a 1 círculo unidad.
2. 1 círculo es igual a azules.
3. amarillos son iguales a 1 círculo unidad.
4. azules son iguales a 1 amarillo.
5. 1círculo unidad es igual a 1 marrón rojos.
6. 1 marrón es (menor que, igual a, mayor que) 1 rosado.
7. 1 es rojo es (menor que, igual a, mayor que) 1 marrón.
8. 1 amarillo es (menor que, igual a, mayor que) 1 marrón.
9. 1 amarillo y 1 marrón y 1 es igual a 1 círculo
unidad.
10. 1 amarillo y 1 marrón es igual a 1 marrón y 2 .
11. 4 rosados y 1 equivalen a 1 círculo conjunto.
12. rosados y 1 azul y 1 amarillo es igual a 1 círculo unidad.
13. 2 rosados y 1 azul son iguales a grises.
14. 1 marrón es igual a rojos.
15. 4 son iguales a 1 amarillo.
A cada grupo se le entrega la siguiente lista, para que la complete según la
exploración realizada. Cada grupo dispone del material necesario.

33
El trabajo en los grupos pequeños es pausado y verificado, esto da lugar a
discusiones y razonamientos que deben ser compartidos. La sesión se prolonga
a una nueva sesión si es necesario. Pueden hacer más anotaciones y nuevas
propuestas de cubrimientos de unas partes con otras, de manera que, en
ocasiones, la unidad círculo negro ya no sea la unidad, sino una de las partes
pase a ser la unidad de otras partes.
Cierre de sesión
Se puede plantear la siguiente situación como cierre de sesión:
La figura de la izquierda representa el círculo que se desea cubrir. A la derecha
están las partes de círculo que serán escogidas para cubrir el círculo propuesto.
Los estudiantes tienen que determinar qué combinación de partes cubrirán la
forma del círculo de la izquierda.
Con respecto al material, las piezas seleccionadas no tienen que ser del mismo
color. En sesiones siguientes, los estudiantes explorarán las relaciones entre las
piezas (partes) del círculo (todo), así como la nomenclatura oral de las
fracciones para la unidad: un medio, un tercio, un cuarto, un sexto, un octavo,
un noveno.
Nótese que 1 pieza gris es un tercio de la pieza amarilla; 1 gris también es un
medio de la pieza marrón. Al evaluar, tanto lo que diga Sofía como Nicolás será
correcto, una vez que se sepa con qué unidad se está comparando la pieza
gris.

34
Otra manera de evaluar la respuesta a la pregunta del caso es colocando sobre
una mesa una pieza de cada color: amarillo, azul, rosa, gris y, luego, plantear lo
siguiente: “Aquí tienen todas estas piezas que se llaman ‘un medio’ o ‘una
mitad’, pero son de diferentes tamaños. ¿Cómo es esto posible?”.
La siguiente alternativa de caso fue propuesta por una docente: “Encuentra tres
maneras diferentes de cubrir 1 pieza amarilla. Encuentra tres diferentes formas
de cubrir 1 pieza marrón”.
Sería muy interesante que pudieran reemplazar el material de los círculos con
las regletas de colores4, a fin de que sea más fácil la representación concreta,
pictórica, gráfica y simbólica de medios, tercios, cuartos, sextos, quintos,
novenos y décimos, como parte de un todo y como fracciones usuales
6
cativas del Minedu.
5 Minedu. (1997). Aprendemos Matemática. Guía y cuaderno de trabajo de 4.° grado, pp. 150 y 152.
Minedu. (2015). Cuaderno de trabajo Matemática 4.° grado,
p. 83. 6 Minedu. (2015). Cuaderno de trabajo Matemática 4.° grado,
p. 83.
Una vez realizada la actividad exploratoria con las regletas, se les propone
hacer una alfombra usando regletas a partir de una regleta como referencia.
Si
equivalentes5
.
4 Regletas de Cuisenaire, que forman parte de la dotación de materiales educativos de las instituciones edu
que representanRegletas
lo que comió Lola.
Comí dos pedazos de mi barra.
Regleta que representa el
chocolate entero.
Regletas que representan
lo que comió Paco.
Regleta que representa
el chocolate entero.
Lola comió .
Paco comió .
Comí tres pedazos de mi barra.

35
Se aclaró a los estudiantes que una alfombra bonita sería aquella que usara solo
regletas del mismo color en cada fila. Entonces, ellos determinaron lo
En una de las aulas, la docente decidió escribir con acierto las relaciones que
encontraron los estudiantes: 8 = 4 × 2 y 2 es 1/4 de 8; ¼ × 8 = 2; 2/4 × 8 = 4 (regleta
rosada); ¾ × 8 = 6 (regleta verde oscura) y 4/4 × 8 = 8
- Niña: La naranja equivale a 5 rojas.
- Docente (escribe en la pizarra):
5 /4 × 8 = 10
- Niña: No entiendo por qué ¾ × 8 es la
regleta verde oscura.
- Docente (indica la resolución): Vamos a retomar la alfombra para verificar
que la regleta verde oscura recubre exactamente 3 regletas rojas; es decir,
¾ de 8 es 6. También, esta regleta recubre 3/2 de una rosada: 3/2 × 4 = 6.
2. Plegando tiras de papel
El propósito de esta actividad es representar diferentes fracciones en una misma
unidad, pues los niños y las niñas, generalmente, representan solo una fracción
en cada unidad. Veamos:
escogemos la marrón:
Reconocieron valores de laslos
regletas que ya conocían:
• La marrón vale 8 y es una regleta.
• dos rosadas, una regletaHay es
/2 de la marrón.1
• Las regletas son losblancas
octavos.
• La regleta roja es un cuarto de la
regleta marrón.
siguiente:

36
Luego, colorean la mitad de una tira. 1 de 2 partes iguales es azul, es decir, de
la tira es azul. Posteriormente, doblan la tira de nuevo por la mitad.
¿Qué partes están coloreadas?
2 de 4 partes iguales son azules: de la tira es azul.
Con base en la tira trabajada, la doblan por tercera vez por la mitad. ¿Qué
partes están coloreadas?
1 2 4
4 de 8 partes iguales son azules: de la tira son azules. = =
2 4 8
1 2 4
Entonces: , y son fracciones equivalentes.
2 4 8
¿Cómo son los numeradores de estas fracciones? ¿Y los denominadores?
1 2
4 ,
y
2 4
8
- Los numeradores van de 1, 2, 4. Es decir, se duplican.
- Los denominadores 2, 4, 8. También se duplican.
Los estudiantes forman grupos de tres o cuatro integrantes y usan tiras de papel
del mismo tamaño. La idea es que encuentren fracciones equivalentes a ¼ y ¾.
Los estudiantes reciben varias tiras de papel para doblarlas por la mitad.

37
En la dotación de los cuadernos de trabajo7 existe una versión de los rectángulos
de colores que puede usarse adecuadamente para aprovechar la búsqueda
de nuevas fracciones equivalentes. ¿Y qué son fracciones equivalentes?
• Ejemplo:
Julio dibuja en su cuaderno una figura cuadrangular, como la de la
derecha.
Según esta situación, responde la siguiente pregunta:
- ¿Crees que la fracción que representa la región sombreada en la figura de
Julio es ? ¿ Por qué?
Julio siguió dibujando e hizo estas dos figuras:
12 4
- ¿La fracción que Julio representó es o ? Justifica tu respuesta.
18 6
Ahora, analiza este nuevo ejemplo:
¿Cómo están divididos los tres rectángulos?
El primer rectángulo está dividido en 8 partes iguales y 4 de las partes están
coloreadas. La fracción representa la parte coloreada del entero. El segundo
rectángulo tiene el mismo tamaño que el primero, pero está dividido en 4 partes
iguales. La fracción representa la parte coloreada de la unidad. Como
representan la misma parte de la unidad, se escribe:
7 Minedu. (2016). Matemática 4. Cuaderno de trabajo de 4.° grado, p. 129.
Recordemos que una misma fracción se puede escribir
y representar de múltiples formas.

38
El tercer rectángulo tiene el mismo tamaño que los otros dos rectángulos, pero
está dividido en 2 partes iguales. representa la parte coloreada de la unidad.
Aplica el criterio conocido y verifica si la fracción es equivalente a la fracción
4/8.
El propósito de esta actividad es que los estudiantes tengan en cuenta que la
unidad es toda la colección de flores, conformada por las 12 flores. Esto da lugar
a establecer el todo de las flores chicas y el todo de las flores grandes. Los niños
y las niñas deben darse cuenta de que el “todo” es una colección porque se
trata de cantidades que pueden contar (cantidades discretas) y, como
colección, es divisible en un número finito de veces con igual cantidad de
elementos. Sin embargo, como unidad, es decir, una persona, un animal o una
cosa —en este caso una flor— no es divisible; o sea, no se puede dividir a un
niño por la mitad, a un perro en tres partes, una moto en cinco partes o una flor
en cuatro partes “iguales”, respectivamente.
Veamos el siguiente ejemplo:
Nathalia entregó a cada uno de sus estudiantes esta lámina de flores y les pidió
que la recortaran para trabajar según sus colores y formas:
Ellos, mientras recortaban las figuras, observaron las flores, buscaron similitudes
entre ellas y les asignaron nombres, pues en la zona donde vivían había muchas
Para verificar si dos fracciones son equivalentes,
se multiplica el numerador de una fracción por el
denominador de la otra y ambos productos deben
ser iguales:
conocidoEste criterio muy
define la equivalencia de
4/8 y 2/4.4 × 4 = 8 × 2
4
8
2
4
–
3. Flores y colores

39
flores parecidas a las de las figuras que recortaron. Concluidas estas
actividades, Nathalia les hizo estas preguntas:
- ¿Cuántas flores hay? ¿Todas las flores son azules?
- ¿Es cierto que la mitad de las flores son amarillas?
- ¿Qué hay más: flores azules o flores grandes? ¿Por qué?
- ¿Será correcto afirmar que un tercio de las flores son azules? ¿Por qué?
- ¿Cómo sabremos que los dos girasoles son un sexto de las flores? (Varios
estudiantes dijeron que un girasol era un sexto y no dos girasoles).
- ¿Puedo partir una flor roja? ¿Cómo lo harían?
Como docentes, ¿qué propondrían para ayudar a Nathalia? ¿Trabajarían con
las doce flores? ¿Por qué?
El propósito de esta actividad es trabajar la conservación del “todo”, a partir de
la construcción y reconstrucción de la unidad o el “todo” (en el caso de las
naranjas será una cantidad discreta) como suma de las partes, es decir, los
estudiantes comprenden que el total se conserva aunque sea dividido en
partes. Veamos el siguiente ejemplo:
Con el fin de resolver el caso, los estudiantes representan 12 naranjas. Algunos
sacan sus tarjetas y otros no. Los que tienen tarjetas representan 12 así:
La profesora Daniela entra al aula y plantea este caso:
Sofía ha recogido 12
naranjas en una canasta y
separadoha 1/3 de esas
naranjas para regalarlas a
su primo Nicolás. ¿Cómo
encontraremos 1/3 de 12 ?
4. Repartiendo naranjas

40
La docente indica que representen 12, pero formando grupos de 3 en las
casillas:
Luego, plantea esta pregunta: ¿Cómo representaremos 1/3 de cada grupo en
las tarjetas?
Los estudiantes dejan un tercio de cada tres y lo representan así:
Todos responden que hay 4. La docente precisa que “1/3 de 12 es 4” y se escribe
así: “1/3 de 12 = 4”.
Cabe resaltar que algunos estudiantes han utilizado semillas para representar
las 12 naranjas y formado grupos de 3:
12 naranjas en grupos de 3
(Dibujo de 12 círculos representando a las naranjas en grupos de 3)
La docente aprovecha esta idea y les pide representar las naranjas en una hoja
de papel, de esta manera:
000 000 000 000
Posteriormente, señala que representen 1/3 de cada grupo de naranjas y las
pinten:
000 000 000 000
Continúa preguntando: ¿Cuántas naranjas pintadas? 4
Entonces, escribe en la pizarra: 4 es 1/3 de 12.
La docente propicia la resolución con el grupo clase; para ello, propone
calcular mentalmente. Luego, pregunta: Si 4 es 1/3 de 12 naranjas, ¿cuántas
naranjas son “dos tercios de 12 naranjas”?

41
• 2/3 de 12 es 1/3 y 1/3
• “1/3 y otro 1/3 es 4 y 4, o sea, 8”
Formula esta interrogante a sus estudiantes: ¿Cómo lo representaríamos?
Seguidamente, guía la resolución:
• ¡Dibujen y coloreen las naranjas!
12 naranjas en grupos de 3: 000 000 000 000
2/3 de cada grupo: 000 000 000 000
• ¿Cuántas naranjas pintadas? 8
• Escribe en la pizarra: 2/3 de 12 es 8
• ¿Cuántas naranjas serían 3/3 de 12 naranjas?
12 naranjas en grupos de 3: 000 000 000 000
Se representa 3/3 de cada grupo:
000 000 000 000
• ¿Cuántas naranjas pintadas? 12
• Escribe: 12 es 3/3 de 12
• La docente motiva a los estudiantes mencionando “Hoy están trabajando
muy bien”. Luego, propone esta pregunta: ¿Podrían encontrar 5/3 de 12?
Algunos(as) niños(as) responden que 5/3 son 5 veces un tercio y que no
alcanzarán las naranjas. La docente indaga por qué respondieron que no
alcanzarían las naranjas:
• 3/3 son 12 y no hay más naranjas.
• Imaginemos que hay más naranjas8. Ya encontramos 1/3, que es 4, entonces,
es más de 12.
• 2 /3 es 8 (no dicen 2/3 de 12).
• 12 y 8 son 20 naranjas.
• Sofía tenía solo 12; no puede ser, hay algo raro.
• Hemos imaginado que tiene más naranjas.
8 Nuevamente, la reflexión de Fandiño Pinilla en torno a las
fracciones como parte de la unidad-todo.

42
• Entonces, es otra historia.
En este momento, se hace necesario demostrar lo encontrado y verbalizado por
algunos de los estudiantes. Es muy posible que no todos hayan seguido el mismo
razonamiento ni coincidido con las respuestas a las preguntas de la docente.
Resulta necesario compartir y aclarar estos hallazgos que se dan en el aula.
La docente intenta, con ayuda de los estudiantes participantes, dar esta
explicación y lo escribe simbólicamente en la pizarra. Los cálculos que surgieron
como una prolongación del problema de las naranjas fueron los siguientes:
Finalmente, la docente y sus estudiantes registraron en sus cuadernos el
problema y los cálculos realizados ese día.
El propósito de esta actividad es que los niños y las niñas puedan relacionar la
posición de los puntos de la recta y la división de la longitud unidad (recorrido-
cantidad continua) en partes “iguales” y, luego, comunicar a sus
compañeros(as) estas posiciones.
Esta actividad permite introducir la notación de fracción como respuesta a un
problema: el sentido del numerador y denominador, pues estos dan información
para colocar el punto en la posición correcta. Además, hace posible visualizar
las fracciones impropias. Asimismo, la ampliación de esta actividad implica
superar errores como “1/5 > 1/3”, que devienen de la comparación entre
números naturales (5 > 3).
Veamos este ejemplo:
5/3 de 12 (Se les pidió encontrar)
3/3 2/3 (Andrés separó 5/3 en 3/3 y 2/3)
1/3 + 1/3
12 4 4 (Joaquín recordó que 3/3 es 12 y
que si 1/3 es 4, entonces, 2/3 es 8)
20 (Julio dijo: “Si sumamos 12 + 4 + 4, se obtiene 20”)
Entonces, 20/3 de 12 es5 .
5. Corremos y ganamos

43
Al finalizar una sesión en el patio, los estudiantes entraron a su aula y
encontraron esta figura:
Pista de carreras
PARTIDA META
0 1
Los estudiantes se preguntaban si la docente había estado con ellos en el patio.
Por su parte, ella les explica lo que significa la imagen. Con este fin, menciona:
“¿Ven esta pista de carreras? En ella encontrarán a algunos niños corriendo y
que, por un momento, se quedarán inmóviles, para que ustedes los
encuentren”. Luego, presenta la siguiente historia en un papelote:
Andrés se encuentra a un
tercio de la meta, Julio está
en la mitad del recorrido,
Joaquín se ha desplazado en
dos tercios, Nicolás recorrió
un sexto y David está en los
cinco sextos. Sergio está en
un tercio del recorrido.
A partir de la presentación del caso, pregunta:
• ¿Dónde se encuentran esos niños? ¿Quién está más cerca de la meta?
• ¿Quiénes se encuentran en el mismo lugar del recorrido?
• ¿Quién está más lejos de la meta?
La docente indica que se formen en grupos de tres y a cada grupo le entrega
una copia de la figura en una hoja de papel. Seguidamente, brinda algunas
acotaciones y escucha las preguntas y los comentarios de los estudiantes:
• Van a leer con atención el caso, para ubicar a cada niño en un lugar de
esa pista de carreras y, luego, escribirán los nombres una vez que estén
seguros que allí se encuentran.

44
• “Necesitamos reglas para medir” (Comentan algunos estudiantes)
• “¿Podemos doblar la hoja?” (El segmento de recta les recuerda a las tiras
de papel a las que les hicieron dobleces y que usaron en una sesión
anterior).
• “¿Para qué son esas rayitas?” (Repara una niña en las marcas)
• “Solo hay tercios y sextos” (Menciona otra niña que leyó reiteradamente el
enunciado e hizo preguntas sobre “partida” y “meta”)
La mayoría de los grupos encuentra primero a Julio, pues les ha sido fácil
ubicarlo a la mitad del segmento. Varios estudiantes ubican a Andrés en un
tercio del recorrido y no a un tercio de la meta; además, dicen que Sergio y
Andrés están juntos. Aquí, el “todo” es el segmento de recta y las partes no son
partes de una tira. La docente les sugiere hacer dobleces en el papel:
• Pueden usar las tiras de papel, pero pongan atención a las “rayitas”, pues
son marcas que presenta la pista de carrera. Estas nos dan una idea para
ubicar a los niños que están corriendo.
Uno de los grupos señaló que la pista tenía 60 cm, esto dio lugar a que los demás
grupos sacaran sus reglas o pidieran a la docente las cintas métricas para
realizar mediciones.
• “Julio ha recorrido 30 centímetros”
• “Cada rayita está en 10, 20, 30...”
La docente reiteró algunas orientaciones y, finalmente, realizó el cierre de esta
sesión:
• Muy bien por hacer esas mediciones en el segmento.
• ¿De qué trataba el problema? ¿Qué decía? ¿Qué han encontrado?
El caso planteado en esta sesión se prolongó a dos sesiones más, pues luego de
encontrar a los niños corredores, tuvieron que teatralizar tanto la situación como
los roles de los diferentes niños, para convencer a los demás que una ubicación
era “estar a 1/3 de la meta” y otra “haber recorrido un tercio” de la pista; así
como explicar por qué Andrés y Joaquín estaban en el mismo lugar.
Cabe señalar que, también, encontraron relaciones como “30 era la mitad de
60”, “20 era la tercia de 60”, “10 era un sexto de 60” y otras como “10 era un
décimo de 100”.
Por ello, fue necesario orientar las preguntas y dirigirlas a las mediciones usando
segmentos graduados como el siguiente:

45
1 2 3 4
2 2 2 2 A B C
1 1
0 1 1 2 3 3 4 5 6
2 2
1 2 3 4 5 6
3 3 3 3 3 3 D E F
0 1 2 3 4 5 6
A partir de este segmento, se pudo ubicar fracciones llamadas “impropias” y
“números mixtos”, además, trabajar con metros (m) y centímetros (cm) y
establecer las relaciones decimales que se daban en las mediciones de
segmentos y la escritura de esas fracciones decimales.
¿Qué otras preguntas pudo haber planteado la docente? ¿Por qué?
Una de las aulas vecinas, además de trabajar estas situaciones, planteó este
problema:
Julio es carpintero y
trabaja haciendo marcos de
cuadros, por eso, necesita cortar
varillas de madera en trozos más
pequeños. Él ha cortado una varilla de
de 5 m de largo en trozos de 25
centímetros. ¿Cuántos trozos
obtuvo Julio después de
cortar toda la varilla?
La varilla es un todo, pero de 5 m de longitud, y las partes serán trozos de 25 cm
de longitud. Los docentes de estas aulas no estaban muy convencidos de
trabajar la equivalencia de las unidades de longitud, porque este tema estaba
previsto para el 4.° bimestre, sin embargo, luego de la experiencia, decidieron
que una vez a la semana trabajarían estas actividades de medición. ¿Por qué
crees que pudo haber ocurrido esto?

46
6. Figuras y partes en un Tangrama
El propósito de esta actividad es que los niños diferencien una parte del todo,
además reconstituyan la unidad a partir de una de sus partes.
Veamos:
En otra aula de cuarto grado, los estudiantes habían trabajado con los
tangrama para reconocer diferentes figuras poligonales y establecer algunas
equivalencias y congruencias entre algunas de las 7 piezas. Desde luego
también habían construido interesantes figuras usando todas las piezas del
• ¿Cuántas piezas tiene el tangrama?
• ¿Será cierto que si todo el tangrama vale 1, la pieza cuadrada azul vale 1/7
del tangrama? ¿cómo lo saben? ¿por qué es así? O ¿por qué no lo es?
tangrama. El docente les propuso entonces lo siguiente:
Hoy vamos a trabajar con los tangrama.
Que bueno voy a
formar un zorro”
“yo voy a hacer un triángulo
grande con todas las piezas”
“ya hice el
paralelogramo”
Escuchen, pueden hacer las construcciones,
pero esta vez hay un nuevo reto, van a
encontrar cuánto vale cada pieza del
tangrama si todo el diagrama vale 1.
Tangrama

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