Ejercicios de ecuaciones bicuadradas

1. Matemáticas Académicas
© Marta Martín Sierra 1
004. 9x4
– 37x2
+ 4 = 0
Se trata de una ecuación bicuadrada
Efectuamos unos cambios de variable:
x2
= z
x4
= z2
9z2
– 37 z + 4 = 0
z =
92
4943737 2
⋅
⋅⋅−±
=
18
144136937 −±
=
18
122537 ±
=
18
3537 ±
z1 = 4 ; z2 = 1/9
Deshacemos el cambio de variable:
z = x2
x = z±
x1 = + 4 = + 2 ; x2 = – 4 = – 2
x3 = + 9/1 = + 1/3 ; x4 = – 9/1 = – 1/3
x1 = + 2 ; x2 = – 2 ; x3 = 1/3 ; x4 = – 1/3
005 36x4
– 97x2
+ 36 = 0
Efectuamos unos cambios de variable:
x2
= z
x4
= z2
36z2
– 97z + 36 = 0
z =
362
363649797 2
⋅
⋅⋅−±
=
72
5184940997 −±
=
72
422597 ±
=
72
6597 ±
=






=
−
=
=
+
=
94
72
6597
49
72
6597
2
1
/z
/z
Deshacemos el cambio de variable si x2
= z → x = z±
x1 = 9/4+ = + 2/3 ; x2 = – 9/4 = – 2/3
x3 = 4/9+ = + 3/2 ; x4 = – 4/9 = – 3/2
x1 = + 2/3 ; x2 = – 2/3 ; x3 = 3/2 ; x4 = – 3/2
006 16x4
– 73x2
+ 36 = 0
Efectuamos unos cambios de variable:
x2
= z
x4
= z2
16z2
– 73z + 36 = 0
z =
162
361647373 2
⋅
⋅⋅−±
=
32
2304532973 −±
=
32
302573 ±
=
32
5573 ±
=
32
5573 ±
=






=
−
=
=
+
=
16
9
32
5573
4
32
5573
2
1
z
z
Deshacemos el cambio de variable si x2
= z → x = z±

2. Ecuaciones bicuadradas
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x1 = 4+ = + 2 ; x2 = – 4 = – 2
x3=
4
3
16
9
+=+ ; x4=
4
3
16
9
−=−
x1 = + 2 ; x2 = – 2 ; x3 = 3/4 ; x4 = – 3/4
009. x4
+ 21x2
– 100 = 0
RESOLUCIÓN:
Efectuamos un cambio de variable x2
= z ; x4
= z2
z2
+ 21z – 100 = 0
z =
12
100142121 2
·
)·(· −−±−
=
2
40044121 +±−
=
2
84121±−
=
2
2921±−
=
z1 = 4 ; z2 = – 25
Deshacemos el cambio de variable:
si x2
= z → x = z±
x1 = + 4 = + 2 x2 = – 4 = – 2
x3 = + 25− ∉ R x4 = – 25− ∉ R
Solo dos soluciones son posibles, 2 y – 2, pues las otras dos no son números reales.
012 x4
+ x2
+ 1 = 0
RESOLUCIÓN:
Efectuamos un cambio de variable: x2
= z x4
= z2
z2
+ z + 1 = 0
z =
12
11411 2
⋅
⋅⋅−±−
=
2
411 −±−
=
2
31 −±−
Como la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real, podemos concluir
que no hay ningún número Real que verifique la ecuación del enunciado.
019 9 x4
– 40x2
+ 16 = 0
Efectuamos un cambio de variable z = x2
z2
= x4
9z2
– 40 z + 16 = 0
z =
92
16944040 2
⋅
⋅⋅−±
=
18
576160040 −±
=
18
102440 ±
=
18
3240 ±
z1 = 4 ; z2 = 4/9
Deshacemos el cambio de variable: z = x2
x = z±
x1 = + 4 = + 2 x2 = – 4 = – 2
x3 = + 9/4 = + 2/3 x4 = – 9/4 = – 2/3
x1 = + 2 x2 = – 2 x3 = + 2/3 x4 = – 2/3