2.
Un conjunto es una agrupación de elementos, puede ser un conjunto de manzanas, un
conjunto de autos, un conjunto de ideas, un conjunto de naciones, Esto quiere decir que
un conjunto puede constar de elementos tangibles, intangibles o abstractos.
Llamamos Conjuntos numéricos a los grandes conjuntos formados por los
números naturales, enteros, racionales, irracionales, reales, imaginarios y complejos.
Podemos decir que los conjuntos numéricos son agrupaciones que guardan una serie de
propiedades estructurales para cada conjunto. Por ejemplo el sistema más usual
en aritmética natural está formado por el conjunto de los números naturales, con la suma,
la multiplicación y las relaciones usuales de orden aditivo.
Conjuntos Numéricos
3.
En las matemáticas, podemos hacer lo que queramos definir
a un conjunto, por ser un concepto primitivo, pero hacemos
abstracción y lo pensamos como una colección desordenada
de objetos, los objetos de un conjunto pueden ser cualquier
cosa siempre que tengan una relación entre ellos, a los
objetos de un conjunto se les llama elementos de dicho
conjunto, por lo tanto un conjunto contiene a sus elementos.
Se representan con una letra mayúscula y a los elementos o
miembros de ese conjunto se les mete entre llaves corchetes o
paréntesis. ({,}).
Operaciones con
conjuntos
4.
El símbolo del operador de esta operación es: ∪, y es llamado copa.
Es correspondiente a la formación de los elementos de dos conjuntos o incluso
más conjuntos que pueden, partiendo de esto conformar una nueva forma de
conjunto, en la cual los elementos dentro de este correspondan a los elementos
de los conjuntos originales. Cuando un elemento es repetido, forma parte de
una vez solamente; esto difiere del concepto de multiconjuntos en la
concepción tradicional de la suma, en la cual los elementos comunes se
consideran tantas veces como se encuentren en la totalidad de los conjuntos.
Sean A y B dos conjuntos, la junta de ambos (A ∪ B) es el conjunto C el cual
contiene a todos los elementos pertenecientes al conjuntoA o al conjunto B.
Unión
5.
El símbolo del operador de esta operación es: ∩, y es
llamado capa.
Sean A y B dos conjuntos, la coincidencia de ambos
(A ∩ B) es el conjunto C el cual contiene los elementos
que están en A y que están en B
Interseccion
6.
Se puede definir a los números reales como aquellos números que tienen
expansión decimal periódica o tienen expansión decimal no periódica
Números Reales
Se puede definir a los números reales como aquellos números que tienen
expansión decimal periódica o tienen expansión decimal no periódica. Por
ejemplo, a)
3 es un número real ya que 3 = 3,00000000000….
b)
½ es un número real ya que ½ = 0,5000000000….
c) 1/3 es un número real y
a que 1/3 = 0,3333333333333….
Números Reales
7.
d) 2es un número real ya que 2=
1,4142135623730950488016887242097….
e)
0,1234567891011121314151617181920212223…. Es un número real.
f)
1,01001000100001000001000000100000001….
g)Π también es real
Como puede verse algunos tienen expansión decimal periódica a, b y c y otros tienen
expansión decimal no periódica d, e, f y g. Los números que tienen expansión decimal
periódica se llaman números Racionales (denotados por Q) y los números que tienen
expansión decimal no periódica se llaman Irracionales (denotados por I). En consecuencia
a, b y c son números racionales y d, e, f y g son números irracionales.Claramente, la
propiedad de tener expansión decimal periódica para los racionalesy la propiedad de
tener expansión decimal no periódica para los irracionales define dos tipo de números
muy distintos. Lo que significa que un número real es racional o irracional, nunca ambos.
8.
Conjunto de los números Reales
De acuerdo a lo anteriormente expuesto, el conjunto de los
números reales sedefine como la unión de dos tipos de
números, a saber; los números racionales, losnúmeros
irracionales.A su vez, los números racionales se clasifican
en:a)
Números Naturales (N)
, los que usamos para contar. Por ejemplo, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10, 11, …
9.
b)
Números Enteros (Z)
, son los números naturales, sus negativos y el cero. Porejemplo: -3, -2, -
1, 0, 1, 2, 3,… c)
Números Fraccionarios
, son aquellos números que se pueden expresar comocociente de dos números enteros, es
decir,son números de la forma
a/b
con
a
, benteros y b
≠
0.
10.
D)
Números Algebraicos
, son aquellos que provienen de la solución de alguna
ecuación algebraica y se representan por un número
finito de radicales libres o anidados. Por ejemplo,
11.
e) Numeros Trascendentales
, no pueden representarse mediante un número finitode raíces libres o
anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes:trigonométricas,
logarítmicas y exponenciales. El número
π
y e son irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante
radicales. Los irracionales trascendentes también surgen al escribir números
decimales no periódicos al azar ocon un patrón que no lleva periodo
definido.Para terminar es recomendable observar con atención el siguiente
mapa conceptual, para reafirmar todo lo anteriormente expuesto a cerca de los
números reales.A partir de ahora, cuando se diga número sin adjetivo
calificativo, estaremos hablando de número real. Puedes estar seguro de eso
12.
La recta real
Llamamos recta real a la recta donde cada punto que la conforma es un
número real. Como cada punto de ella está identificado con un número
racional o irracional
esta recta es una recta compacta donde no queda ningún “espacio libre”entre
dos
puntos de ella. Para tener una idea de esta propiedad imagine que dados dos
números racionales siempre es posible encontrar uno entre ellos. Esto es
simple considerando que la semisuma de dos números cualquiera siempre está
entre ellos dos. En la recta real representamos todos los números (recuerde que
todo punto de la recta esta etiquetado con un número real) y en ella podemos
visualizar el orden en que se ubican.
13.
Desigualdad matemática es una proposición de relación
de orden existente entre dos expresiones algebraicas
conectadas a través de los signos: desigual que ≠, mayor
que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como
mayor o igual que ≥, resultando ambas expresiones de
valores distintos.
Desigualdades
14.
Si se multiplica ambos miembros de la expresión por el
mismo valor, la desigualdad se mantiene.
Si dividimos ambos miembros de la expresión por el mismo
valor, la desigualdad se mantiene.
Si restamos el mismo valor a ambos miembros de expresión,
la desigualdad se mantiene.
Si sumamos el mismo valor a ambos miembros de la
expresión, la desigualdad se mantiene.
Propiedades de las
desigualdades
15.
Hay que tener presente que las desigualdades matemáticas poseen también las siguientes
propiedades:
Si se multiplica ambos miembros de la expresión por un número negativo, la desigualdad
cambia de sentido.
Si se divide ambos miembros de la expresión por un número negativo, la desigualdad
cambia de sentido.
Para terminar, hemos de destacar que desigualdad matemática e inecuación son
diferentes. Una inecuación se genera mediante una desigualdad, pero podría no tener
solución o ser incongruente. Sin embargo, una desigualdad podría no ser una inecuación.
Por ejemplo
3 < 5
Se cumple la desigualdad, ya que 3 es menor que 5. Ahora bien, no es una inecuación
puesto que no tiene incógnitas.
16.
En matemáticas, el valor absoluto o módulo1 de un número real x,
denotado por |x|, es el valor de x sin considerar el signo, sea
este positivo o negativo. Por ejemplo, el valor absoluto de 3 es 3 y el valor
absoluto de -3 es 3. Algunos autores extienden la noción de valor absoluto
a los números complejos, donde el valor absoluto coincide con el módulo.
El valor absoluto está vinculado con las nociones
de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y
físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede
generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son
los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
Valor Absoluto
17.
Desigualdad de Valor Absoluto (<)
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro.
La desigualdad x < 3 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4
Así x > -3 y < 3. El conjunto de solucion es (x I -3 < x < 3 xeR
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
Desigualdad de Valor
Absoluto
18.
La solución es la intersección de las soluciones de estos
dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números
reales a y b si (a) < b entonces a < b y a > - b
19.
Desigualdad de Valor Absoluto (>)
La desigualdad │x│> 3 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4
Así x < - 3 o x > 3. El conjunto solucion es (x│x < - 3 o x > 3, xeR
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa
20.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y
b si │a │> b entonces a > b o a < - b
21.
Ejercicios de Valor Absoluto
1) │ ― 3│Y su valor absoluto es=3
2) │ ―8│Y su valor absoluto es= 8
3) │ ―2.5│Y su valor absoluto es=2.5
4) │ 3.4│Y su valor absoluto es=3.4
5) │ 6│Y su valor absoluto es=6
Ejercicios
