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Chapitre 1: Système de numération et
    représentation des données




                                       1
Sommaire
   Introduction


   Système décimal, binaire, octal et hexadécimal


   Conversion entre les bases


   Opérations arithmétiques


   Représentation des nombres négatifs


   Représentation des nombres réels


   Représentation des caractères




                                                    2
Comprendre c’est quoi un système de numération




Apprendre la méthode de conversion d’un système à un autre




 Apprendre à faire des opérations arithmétiques en binaire




        Représenter des nombres et des caractères



                                                             3
   Nous avons pris l'habitude de représenter les nombres en
    utilisant dix symboles différents: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ,
    8,9
   Ce système est appelé le système décimal (déci signifie dix).
   Il existe cependant d'autres formes de numération qui
    fonctionnent en utilisant un nombre de symboles distincts.
    ◦ Exemple :
        système binaire (bi: deux),
        le système octal (oct: huit),
        le système hexadécimal (hexa: seize).
   En fait, on peut utiliser n'importe quel nombre de symboles
    différents (pas nécessairement des chiffres).
   Dans un système de numération : le nombre de symboles
    distincts est appelé la base du système de numération.



                                                                         4
5
   On utilise dix symboles différents:
        {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
   N’importe quelle combinaison des symboles { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6
    , 7 , 8 , 9 } nous donne un nombre.



                        2334567

                                            Poids faible
         Poids fort



                        345 , 567
                                               Partie fractionnelle
       Partie entière
                                                                            6
•     Soit le nombre 1978, ce nombre peut être écrit sous la forme suivante :


             1978           1000         900          70       8
             1978           1 * 1000          9 * 100          7 * 10          8 *1
                                     3                2                1                0
             1978           1 * 10           9 * 10           7 * 10           8 * 10

                  Cette forma s’appelle la forme polynomiale


      Un nombre réel peut être écrit aussi sous la forme polynomiale

                        3                2                1                0                1            2            3
1978 , 265     1 * 10         9 * 10           7 * 10          8 * 10           2 * 10          6 * 10       5 * 10


                                                                                                                          7
   Sur une seule position : 0 ,1,2,3,4,5,….9= 101-1
   Sur deux positions : 00 , 01,02, …..,99=102-1
   Sur trois positions 000,001,……,999=103-1

   Sur n positions : minimum 0
                  maximum 10n-1
                  nombre de combinaisons 10n




                                                       8
9
Supposons qu’on a 14 jetons , si on forme des groupes de 10 jetons. On
va obtenir 1 seul groupe et il reste 4 jetons.




                                                  1     4



                                         Les dizaines   Les unités




                                                                         10
. Maintenant on va former des groupes de 2 jetons ( on obtient 7 groupes)
 . Par la suite on va regrouper les 7 groupes 2 à 2 ( on obtient 3 groupes ).
 . On va regrouper ces derniers aussi 2 à 2 ( on obtient 1 seul groupe )
 . Le schéma illustre le principe :




Nombre de jetons qui restent en dehors des groupes : 0
Nombre de groupes qui contiennent 2 jetons indépendants : 1
Nombre de groupes qui contiennent 2 groupes de 2 jetons : 1
Nombre de groupes qui contiennent des groupes de 2 groupes de 2 groupes de 2jetons
:1
    Si on regroupe les différents chiffres on obtient : 1110
        1110 est la représentation de 14 dans la base 2                         11
•   Dans le système binaire, pour exprimer n’importe quelle
      valeur on utilise uniquement 2 symboles : { 0 , 1}

                                                                            La base
                                                ( 1101)2
                Un bit


                                                ( 1 1 0 1)2
      Le bits du poids forts                                                 Le bits du poids faible


. Un nombre dans la base 2 peut être écrit aussi sous la forme polynomial
                      3          2          1          0
  (1110)   2
               1* 2       1* 2       1* 2        0*2       (14 ) 10
                             3          2          1         0          1         2          3
  (1110,101)    2
                      1* 2       1* 2       1* 2       0*2       1* 2       0*2       1* 2       (14 , 625 ) 10


                                                                                                      12
•     Sur un seul bit : 0 , 1            Sur 3 Bits

                                   Binaire        Décimal
                                   000            0
.Sur 2 bits :                      001            1
                                   010            2
    Binaire      Décimal
                                   011            3
    00           0                 100            4
    01           1                 101            5
    10           2                 110            6
    11           3                 111            7


              4 combinaisons= 22
                                   8 combinaisons= 23
                                                            13
•     8 symboles sont utilisés dans ce système:
            {0,1,2,3,4,5,6,7}

•     Exemple 1 :
                                  2         1          0
               (127)   8
                           1* 8       2*8       7 *8
                                      2         1          0         1         2
               (127,65)    8
                               1* 8       2*8       7 *8       6*8       5*8


    Exemple 2 :
    Le nombre (1289) n’existe pas dans la base 8 puisque les symboles 8 et 9
    n’appartiennent pas à la base .



                                                                                   14
Décimal   Hexadécimal
                                                                      0         0
                                                                      1         1
 •     On utilise seize (16) symboles
                                                                      2         2
       différents:                                                    3         3
                                                                      4         4
                                                                      5         5
(17)         1 * 16
                      1
                              7 * 16
                                       0                              6         6
       16
                          1                0             1
                                                                      7         7
(AB)          A * 16            B * 16         10 * 16       11 * 1
        16                                                            8         8
                                                                      9         9
                                                                      10        A
                                                                      11        B
                                                                      12        C
                                                                      13        D
                                                                      14        E
                                                                      15        F
                                                                                              15
   Dans une base X , on utilise X symboles distincts pour
    représenter les nombres.
   La valeur de chaque symbole doit être strictement inférieur à
    la base X.
   Chaque nombre dans une base X peut être écrit sous sa
    forme polynomiale .




                                                                    16
17
•          Cette conversion est assez simple puisque il suffit de faire le
                   développement en polynôme de ce nombre dans la base X , et
                   de faire la somme par la suite.


        Exemple :

                           3              2             1              0
(1101)         2
                    1* 2           1* 2       0*2           1* 2               (13 ) 10
                               2              1                0                    2              1             0
(1A7)       16
                    1 * 16           A * 16           7 * 16           1 * 16           10 * 16         7 * 16         256      160      7       ( 423 ) 10
                                     3            2                1            0              1             2              3
(1101,101)           2
                              1* 2        1* 2          0*2            1* 2             1* 2           0*2           1* 2       (13 , 625 ) 10
                          1              0              1
( 43 , 2 ) 5        4*5            3*5        2*5              20          3     0,4       ( 23 , 4 ) 10



                                                                                                                                                  18
   Effectuer les transformations suivantes à la base 10
    ?
    ◦ (123)6=(?)10
    ◦ (1100,11)2 =(?)10
    ◦ (1ABC)16 =(?)10




                                                           19
Le principe consiste à faire des divisions successives du nombre sur
2 , et prendre le reste des divisions dans l’ordre inverse.

                                      35     2
Exemple 1 : (35)10=(?)2               1     17   2
                                             1
                                                     8   2
                                                  0      4   2
Après division :                                         0   2   2
on obtient : (35)10=(100011)2
                                                             0   1   2
                                                                 1   0




                                                                         20
    Un nombre réel est constitué de deux parties : la partie entière
     et la partie fractionnelle.
    La partie entière est transformée en effectuant des divisions
     successives.
    La partie fractionnelle est transformée en effectuant des
     multiplications successives par 2 .


    Exemple : 35,625=(?)2                 0,625 * 2 = 1 ,25
    P.E= 35 = (100011)2                   0,25 * 2 = 0 ,5
                                          0,5 * 2 = 1 ,0
    PF= 0,625 = (?)2


                       (0,625)=(0,101)2
                       Donc 35,625=(100011,101)2

                                                                        21
    Exemple 2: (0,6)10=(?)2
        0,6 * 2 = 1,2
         0,2 * 2 = 0,4                             (0,6)= (0,1001)2
        0,4 * 2 = 0,8
        0,8 * 2 = 1,6

      Remarque :
      Le nombre de bits après la virgule va déterminer la précision .



Exercice :
Effectuer les transformations suivantes :
(23,65)=(? )2
(18,190)=(?)2




                                                                        22
   La conversion se fait en prenant les restes des
      divisions successives sur la base X dans le sens
      inverse.
Exemple :                           35    3
35 = (?)3                           2          3
                                          11
                                           2
                                                   3   3
      35=(1022)3                               0       1   3
                                                       1   0




• Question : Effectuer les transformations suivantes :
                 (43)10=(?)2=(?)5 =(?)8 =(?)16
                                                               23
43       2
                                          43        5
1        21    2
                                          3         8    5
          1   10
                      2                             3        1   5
                0         5   2                          1       1
                      1       2   2
                              0   1   2
                                                        (133)5
                                  1   0
         (101011)2



                                               43       16
     43        8
                      8                        11        2 16
     3         5
                                                         2   0
               5      0

                                                    (2B)16
              (53)8
                                                                     24
   Il n’existe pas de méthode pour passer d’une base b1 à une
    autre base b2 directement.
   L’idée est de convertir le nombre de la base b1 à la base 10 ,
    en suit convertir le résultat de la base 10 à la base b2 .




                              ?
                    b1                b2

          Développement
          en polynôme                Divisions successives

                             10

                                                                     25
Exemple : ( 34)5=(?)7

                          1         0
      ( 34 ) 5      3*5       4*5        15   4       (19 ) 10   (?)   7




                                    19    7
     (19)10=(25)7
     ( 34)5=(25)7                   5     2   7
                                          2       0




Exercice : effectuer les transformations suivantes

          (43)6=(?)5=(?)8
           (2A)16=(?)9




                                                                           26
Octal   Binaire
. En octal chaque, symbole de la base s’écrit sur 3          0       000
bits en binaire.                                             1       001
. L’idée de base est de replacer chaque symbole              2       010
dans la base octal par sa valeur en binaire sur 3            3       011
bits ( faire des éclatement sur 3 bits ).                    4       100
                                                             5       101
Exemples :                                                   6       110
(345)8=(011 100 101)2                                        7       111
(65,76)8=(110 101, 111 110)2
(35,34)8=(011 101 , 011 100)2

Remarque :
le remplacement se fait de droit à gauche pour la partie entière
et de gauche à droite pour la partie fractionnelle .

                                                                           27
. L’idée de base est de faire des regroupements de 3 bits à partir du
 poids faible.
 . Par la suite remplacer chaque regroupement par la valeur octal
 correspondante .

Exemple :


(11001010010110)2=(011 001 010 010 110)2=(31226)8

(110010100,10101)2= (110 010 100 , 101 010)2=(624,51)8

Remarque :
le regroupement se fait de droit à gauche pour la partie entière
et de gauche à droite pour la partie fractionnelle .

                                                                         28
Décimal   Hexadécimal
                                                          0         0
                                                          1         1

. En Hexa chaque symbole de la base s’écrit sur 4 bits.   2
                                                          3
                                                                    2
                                                                    3
. L’idée de base est de replacer chaque symbole           4         4
par sa valeur en binaire sur 4 bits ( faire des           5         5
éclatement sur 4 bits ).                                  6         6
                                                          7         7
                                                          8         8
                                                          9         9
                                                          10        A
                                                          11        B
                                                          12        C
                                                          13        D
                                                          14        E
 Exemple :                                                15        F
 (345B)16=(0011 0100 0101 1011)2
 (AB3,4F6)16 = ( 1010 1011 0011 , 0100 1111 0110 ) 2
                                                                             29
. L’idée de base est de faire des regroupements de 4 bits à partir du poids faible.


Par la suite remplacer chaque regroupement par la valeur Héxa correspondante .



Exemple :
(11001010100110)2=(0011 0010 1010 0110)2=(32A6)16
(110010100,10101)2= (0001 1001 0100,1010 1000)2=(194,A8)16




                                                                                  30
0           0                       1                        1
+           +                   +                           +
    0           1                       0                        1
    0               1                   1                       1 0




                                                1       1
                        1   1       0       0   0       1        1

        +
                1       0   0       0       1       0   1        1

                1       1   1       0       1       1   1        0



                                                                      31
1       1

          4      3      6      5
  +
                 4      5      1
         5       8      11        6


En octal 8 s’écrit 10   En octal 11 s’écrit 13

                 0            3



 Le résultat final : (5036)8
                                                 32
1

                4          8     6         5
+
                7      A         5         1
               12       18       11        6



    C                            En hexa 11 s’écrit B
         En hexa 18 s’écrit 12
                                       B
                       2



        Le résultat final : (C2B6)16

                                                        33
   Effectuer les opérations suivantes et transformer le
    résultat au décimal à chaque fois:
   (1101,111)2+(11,1)2=(?)2
   (43)16+(34)16=(?)16
   (11011)2+(11000)2=(?)2
   (AB1)16+(237)8=(?)16




                                                           34
. Les machines numériques utilisent le système binaire.
. Dans le système binaire : uniquement 2 symboles sont utilisés : 0 et 1.
. C’est facile de représenter ces deux symboles dans les machines numériques.
. Le 0 et le 1 sont représentés par deux tensions .

                                    5v
   Binaire      Tension                               Binaire : 1
   (logique )                     2,8 v
                                                         Inutilisée
   0            0V
                                  0,8 v
   1            5V
                                                     Binaire : 0
                                    0v
                                                                                35
36
37
Code ASCII ( American Standard Code for Information Interchange)




                                                                   38
39
   Il existe deux types d’entiers :
    ◦ les entiers non signés ( positifs )
    ◦ et les entiers signés ( positifs ou négatifs )
   Problème : Comment indiquer à la machine qu’un
    nombre est négatif ou positif ?

   Il existe 3 méthodes pour représenter les nombres
    négatifs :
    ◦ Signe/ valeur absolue
    ◦ Complément à 1( complément restreint )
    ◦ Complément à 2 ( complément à vrai )




                                                        40
    Si on travail sur n bits , alors le bit du poids fort est utilisé
     pour indiquer le signe :
      1 : signe négatif
      0 : signe positif
    Les autres bits ( n -1 ) désignent la valeur absolue du nombre.

    Exemple : Si on travail sur 4 bits.



                 1 001                                 0 001


        Signe      Valeur absolue             Signe      Valeur absolue

    1001 est la représentation de - 1      0001 est la représentation de + 1

                                                                          41
Sur 3 bits on obtient :
 signe   VA     valeur
                                 Les valeurs sont comprises •
 0       00     +0                              entre -3 et +3
 0       01     +1
 0       10     +2                                     -3 ≤ N ≤ +3
 0       11     +3                         - ( 4-1 ) ≤ N ≤ + (4 -1 )
                                             -(22 -1) ≤ N ≤ +(22-1 )
                                  -(2 (3 -1) -1) ≤ N ≤ +(2 (3 -1) -1 )
 1       00     -0
 1       01     -1
 1       10     -2
 1       11     -3



      Si on travail sur n bits , l’intervalle des valeurs qu’on
                                    peut représenter en S/VA :
              -(2 (n -1) -1) ≤ N ≤ +(2 (n -1) -1 )
                                                                         42
   C’est une représentation assez simple .
   On remarque que le zéro possède deux représentations +0 et
    -0 ce qui conduit à des difficultés au niveau des opérations
    arithmétiques.
   Pour les opérations arithmétiques il nous faut deux circuits :
    l’un pour l’addition et le deuxième pour la soustraction .

    L’idéal est d’utiliser un seul circuit pour faire les deux
    opérations, puisque    a- b =a + ( -b )



                                                                     43
   On appel complément à un d’un nombre N un autre
    nombre N’ tel que :
                          N+N’=2n-1
    n : est le nombre de bits de la représentation du
     nombre N .
    Exemple :
Soit N=1010 sur 4 bits donc son complément à un de N :
           N’= (24 - 1)-N
N’=(16-1 )-(1010)2= (15 ) - (1010)2 = (1111)2 – (1010)2
 = 0101

                          1 0 1 0
                    +     0 1 0 1
                          1 1 1 1
                                                          44
   Pour trouver le complément à un d’un nombre, il
    suffit d’inverser tous les bits de ce nombre : si le
    bit est un 0 mettre à sa place un 1 et si c’est un 1
    mettre à sa place un 0 .
   Exemple :


            Sur 4 Bits            Sur 5 Bits

            0 1     0 1               0 1 0 1      0


                                     1 0 1     0   1
           0 1 0         1


                                                           45
   Dans cette représentation , le bit du poids fort nous indique le
    signe ( 0 : positif , 1 : négatif ).
   Le complément à un du complément à un d’un nombre est
    égale au nombre lui même .
                            CA1(CA1(N))= N
   Exemple :
    Quelle est la valeur décimale représentée par la valeur
    101010 en complément à 1 sur 6 bits ?
   Le bit poids fort indique qu'il s'agit d'un nombre négatif.
   Valeur = - CA1(101010)
    = - (010101)2= - ( 21)10



                                                                       46
Si on travail sur 3 bits :

                      Valeur en    Valeur en       Valeur
                      CA1          binaire         décimal
                      000          000             +0
                      001          001             +1
                      010          010             +2
                      011          011             +3
                      100          - 011           -3
                      101          - 010           -2
                      110          - 001           -1
                      111          - 000           -0



 Dans cette représentation , le bit du poids fort nous indique le signe .•
   On remarque que dans cette représentation le zéro possède aussi une •
                                     double représentation ( +0 et – 0 ) .

                                                                             47
Sur 3 bits on remarque que les valeurs sont comprises •
                                         entre -3 et +3

                        -3 ≤ N ≤ +3
                - ( 4-1 ) ≤ N ≤ + (4 -1 )
                 -(22 -1) ≤ N ≤ +(22-1 )
            -(2 (3 -1) -1) ≤ N ≤ +(2 (3 -1) -1 )



 Si on travail sur n bits , l’intervalle des valeurs qu’on peut
                                          représenter en CA1 :

           -(2 (n -1) -1) ≤ N ≤ +(2 (n -1) -1 )




                                                              48
   Si on suppose que a est un nombre sur n bits alors :

                         a + 2 n = a modulo 2n
    et si on prend le résultat sur n bits on va obtenir la
      même valeur que a .
                            a + 2 n= a

    Exemple : soit a = 1001 sur 4 bits
        24= 10000
                             1 0 0 1
                        +
                          1 0 0 0 0

                                    1 1 0 0 1
Si on prend le résultat sur 4 bits on trouve la même valeur de a = 1001


                                                                          49
Si on prend deux nombres entiers a et b sur n bits , on •
      remarque que la soustraction peut être ramener à une
                                   addition : a – b = a + (-b)
  Pour cela il suffit de trouver une valeur équivalente à -b ? •

             a – b = a + 2n – b = a + (2n – 1) – b + 1
      On a b + CA1(b)= 2n – 1 donc CA1(b) = (2n – 1) – b

    Si on remplace dans la première équation on obtient :
                              a– b = a + CA1(b) + 1
La valeur CA1(b)+1 s’appelle le complément à deux de b :
                  CA1(b)+1 = CA2(b)
Et enfin on va obtenir : a - b = a+ CA2(b)  transformer
                           la soustraction en une addition .
                                                               50
   Trouver le complément à vrai de : 01000101 sur 8 bits ?

CA2(01000101)= CA1(01000101)+ 1
CA1(01000101)= (10111010)
CA2(01000101)=(10111010)+ 1 = (10111011)

 Remarque 1 :
Pour trouver le compétemment à 2 d’un nombre : il faut
  parcourir les bits de ce nombre à partir du poids faible et
  garder tous les bits avant le premier 1 et inverser les autres
  bits qui viennent après.


            0 1 0 0 0 1 0 1               1 1 0 1 0 1 0 0



            1 0 1 1 1 0 1 1               0 0 1 0 1 1 0 0


                                                                   51
   Dans cette représentation , le bit du poids fort nous indique le
    signe ( 0 : positif , 1 : négatif ).
   Le complément à deux du complément à deux d’un nombre
    est égale au nombre lui même .
                            CA2(CA2(N))= N
   Exemple :
    Quelle est la valeur décimale représentée par la valeur
    101010 en complément à deux sur 6 bits ?
   Le bit poids fort indique qu'il s'agit d'un nombre négatif.
   Valeur = - CA2(101010)
    = - (010101 + 1)
    = - (010110)2= - ( 22)


                                                                       52
Si on travail sur 3 bits :

                   Valeur en     Valeur en valeur
                   CA2           binaire
                   000           000        +0
                   001           001        +1
                   010           010        +2
                   011           011        +3
                   100           - 100      -4
                   101           - 011      -3
                   110           - 010      -2
                   111           - 001      -1


Dans cette représentation , le bit du poids fort nous indique le signe .•
       On remarque que le zéro n’a pas une double représentation.•


                                                                            53
Sur 3 bits on remarque que les valeurs sont comprises entre -4 et +3

                            -4 ≤ N ≤ +3
                       - 4 ≤ N ≤ + (4 -1 )
                        - 22 ≤ N ≤ +(22-1 )
                    -2 (3 -1) ≤ N ≤ (2 (3 -1) -1 )



   Si on travail sur n bits , l’intervalle des valeurs qu’on peut
                                            représenter en CA2 :
                 -(2 (n -1)) ≤ N ≤ +(2 (n -1) -1 )

La représentation en complément à deux ( complément à vrai )
est la représentation la plus utilisée pour la représentation des
              nombres négatifs dans la machine.


                                                                            54
Effectuer les opérations suivantes sur 5 Bits , en utilisant la représentation en CA2




                                                                       0 1 0 0 1
                       0 1 0 0 1                               +
               +                              +9
+9                                                                    1    1 1 0 0
                       0 0 1 0 0               -4
+4
                                              +5
+ 13                                                            1 0 0 1 0 1
                   0 1 1 0 1


          Le résultat est positif                   Report
              (01101)2= ( 13)10
                                                      Le résultat est positif
                                                             (00101)2= ( 5)10




                                                                                     55
1 0 1 1 1                              1 0 1 1 1
 -9               +                        -9          +
                        1 1 1      0 0                         0 1 0 0 1
 -4                                        +9
 - 13                                      +0
                      1 1    0 0 1 1                       1   0 0 0 0 0


      Report                                Report

               Le résultat est négatif :
Résultat = - CA2 (10011)= -( 01101)                  Le résultat est positif
                                  = - 13                   (00000)2= ( 0)10




                                                                               56
   On dit qu’il y a une retenue si une opération
    arithmétique génère un report .
   On dit qu’il y a un débordement (Over Flow ) ou
    dépassement de capacité: si le résultat de
    l’opération sur n bits et faux .
    ◦ Le nombre de bits utilisés est insuffisant pour contenir le
      résultat
    ◦ Autrement dit le résultat dépasse l’intervalle des valeurs sur
      les n bits utilisés.




                                                                       57
58
   Un nombre réel est constitué de deux parties : la
    partie entière et la partie fractionnelle ( les deux
    parties sont séparées par une virgule )
   Problème : comment indiquer à la machine la
    position de la virgule ?
   Il existe deux méthodes pour représenter les
    nombre réel :
    ◦ Virgule fixe : la position de la virgule est fixe
    ◦ Virgule flottante : la position de la virgule change
       ( dynamique )



                                                             59
   Dans cette représentation la partie entière est
    représentée sur n bits et la partie fractionnelle sur p bits
    , en plus un bit est utilisé pour le signe.
   Exemple : si n=3 et p=2 on va avoir les valeurs suivantes

Signe   P.E     P.F     valeur

0       000     00      + 0,0                 Dans cette représentation les
0       000     01      + 0,25                 valeurs sont limitées et nous
                                         n’avons pas une grande précision
0       000     10      + 0,5
0       000     11      + 0,75
0       001     .00     + 1,0
.       .       .       .
.       .       .       .

                                                                        60
   Chaque nombre réel peut s’écrire de la façon
    suivante :
                   N= M * b e
    ◦ M : mantisse ,
    ◦ b : la base ,
    ◦ e : l’exposant

   Exemple :
     15,6 = 0,156 * 10+2
    - ( 110,101)2 = - (0,110101)2 * 2+3
     (0,00101)2= ( 0,101)2 * 2-2

Remarque :
on dit que la mantisse est normalisée si le premier
 chiffre après la virgule est différent de 0 et le
 premier chiffre avant la virgule est égale à 0.
                                                      61
   Dans cette représentation sur n bits :
    ◦ La mantisse est sous la forme signe/valeur absolue
       1 bit pour le signe
       et k bits pour la valeur.
    ◦ L’exposant ( positif ou négatif ) est représenté sur p
      bits .


    Signe mantisse     Exposant        Mantisse normalisée
            1 bit             p bits                k bits


           Pour la représentation de l’exposant on utilise :


              * Le complément à deux

              * Exposant décalé ou biaisé

                                                               62
   On veut représenter les nombres ( 0,015)8 et -( 15, 01)8 en
    virgule flottante sur une machine ayant le format suivant :


      Signe mantisse      Exposant en CA2       Mantisse normalisée

              1 bit                4 bits                 8 bits

                                       (0,015)8=(0,000001101)2= 0,1101 * 2-5
                                                Signe mantisse : positif ( 0)
                                               Mantisse normalisé : 0,1101
       Exposant = -5  utiliser le complément à deux pour représenter le -5
                                                Sur 4 bits CA2(0101)=1011



             0        1 0 1 1               1 1 0 1 0 0 0 0
                  1 bit       4 bits                        8 bits
                                                                                63
- (15,01)8 = - (001101,000001)2= - 0,1101000001 * 24
  Signe mantisse : négatif ( 1)
  Mantisse normalisée : 0,1101000001
  Exposant = 4 , en complément à deux il garde la même valeur ( 0100)

  On remarque que la mantisse est sur 10 bits (1101 0000 01), et sur la
            machine seulement 8 bits sont utilisés pour la mantisse.
        Dans ce cas on va prendre les 8 premiers bits de la mantisse

         1        0 1 0 0        1 1 0 1 0 0 0 0
          1 bit      4 bits                 8 bits
Remarque :
          si la mantisse est sur k bits et si elle est représentée sur la machine
sur k’ bits tel que k> k’ , alors la mantisse sera tronquée : on va prendre
uniquement k’ bits  perdre dans la précision .


                                                                                64
   en complément à 2, l’intervalle des valeurs qu’on peut
    représenter sur p bits :

                   -2     (p -1)      ≤N≤ 2           (p -1)   -1
Si on rajoute la valeur 2        (p -1)   à tout les terme de cette inégalité :

    -2   (p -1)   +2    (p -1)    ≤ N + 2 (p -1) ≤ 2               (p -1)   -1+
                                     2 (p -1)

                  0 ≤      N+2              (p -1)    ≤ 2      p   -1

   On pose N’= N + 2       (p -1)        donc : 0 ≤       N’ ≤ 2       p   -1

   Dans ce cas on obtient des valeur positives.
   La valeur 2p-1 s’appelle le biais ou le décalage

                                                                                  65
   Avec l’exposant biaisé on a transformé les exposants
    négatifs à des exposants positifs en rajoutons à
    l’exposant la valeur 2p -1.

          Exposant Biaisé = Exposant réel + Biais




                                                           66
   On veut représenter les nombres ( 0,015)8 et -( 15, 01)8en
    virgule flottante sur une machine ayant le format suivant :


      Signe mantisse          Exposant décalé           Mantisse normalisée

               1 bit                    4 bits                     11 bits

                                                   (0,015)8=(0,000001101)2= 0,1101 * 2-5
                                                             Signe mantisse : positif ( 0)
                                                            Mantisse normalisé : 0,1101
                                                                     Exposant réel = -5
                                                           Calculer le biais : b= 24-1 = 8
                                                 Exposant Biaisé = -5 + 8 = +3 = ( 0011)2




           0           0011           1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

                              1 bit       4 bits                     11 bits
                                                                                             67
- (15,01)8=(001101,000001)2= 0,1101000001 * 24
                      Signe mantisse : négatif ( 1)
              Mantisse normalisée : 0,1101000001
                             Exposant réel = + 4
                     Calculer le biais : b= 24-1 = 8
           Exposant Biaisé = 4 + 8 = +12 = ( 1100)2




1   1100           1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0
           1 bit     4 bits            11 bits




                                                       68
69
   Pour passer du décimal au binaire , il   Décimal   Binaire
    faut effectuer des divisions             0         0000
    successives. Il existe une autre         1         0001
    méthode simplifiée pour le passage
                                             2         0010
    du décimal au binaire.
                                             3         0011
                                             4         0100
   Le principe consiste à faire des
    éclatement sur 4 bits et de remplacer    5         0101
    chaque chiffre décimal par sa valeur     6         0110
    binaire correspondante .                 7         0111
                                             8         1000
   Les combinaisons supérieures à 9         9         1001
    sont interdites


                                                                 70
1    2     9               5    6     2

0001       0010   1001     0101       0110   0010


129 = ( 0001 0010 1001)2    562 = (0101 0110 0010)2




                                                      71
   le passage d’un mot-code au suivant
    entraînera toujours le changement d’un bit et
    d’un seul.
    le code gray n’est pas pondéré, il n’est donc
    pas adapté pour le calcul numérique.
             Décimal   Binaire naturel   Code de Gray
             0         000               000
             1         001               001
             2         010               011
             3         011               010
             4         100               110
             5         101               111
             6         111               101
                                                        72
   Les caractères englobent : les lettres alphabétiques ( A, a, B ,
    B,.. ) , les chiffres , et les autres symboles ( > , ; / : …. ) .
   Le codage le plus utilisé est le ASCII (American Standard Code
    for Information Interchange)
   Dans ce codage chaque caractère est représenté sur 8 bits .
   Avec 8 bits on peut avoir 28 = 256 combinaisons
   Chaque combinaison représente un caractère
    ◦ Exemple :
       Le code 65 (01000001)2correspond au caractère A
       Le code 97 (01100001) correspond au caractère a
       Le code 58 (00111010 )correspond au caractère :
   Actuellement il existe un autre code sur 16 bits , se code
    s’appel UNICODE .
                                                                        73
   ASCII: American Standard Code for
    Information Interchange.




                                        74
Fin du premier
      Chapitre



                 75

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Circuits logiques1

  • 1. Chapitre 1: Système de numération et représentation des données 1
  • 2. Sommaire Introduction Système décimal, binaire, octal et hexadécimal Conversion entre les bases Opérations arithmétiques Représentation des nombres négatifs Représentation des nombres réels Représentation des caractères 2
  • 3. Comprendre c’est quoi un système de numération Apprendre la méthode de conversion d’un système à un autre Apprendre à faire des opérations arithmétiques en binaire Représenter des nombres et des caractères 3
  • 4. Nous avons pris l'habitude de représenter les nombres en utilisant dix symboles différents: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8,9  Ce système est appelé le système décimal (déci signifie dix).  Il existe cependant d'autres formes de numération qui fonctionnent en utilisant un nombre de symboles distincts. ◦ Exemple :  système binaire (bi: deux),  le système octal (oct: huit),  le système hexadécimal (hexa: seize).  En fait, on peut utiliser n'importe quel nombre de symboles différents (pas nécessairement des chiffres).  Dans un système de numération : le nombre de symboles distincts est appelé la base du système de numération. 4
  • 5. 5
  • 6. On utilise dix symboles différents: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}  N’importe quelle combinaison des symboles { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } nous donne un nombre. 2334567 Poids faible Poids fort 345 , 567 Partie fractionnelle Partie entière 6
  • 7. Soit le nombre 1978, ce nombre peut être écrit sous la forme suivante : 1978 1000 900 70 8 1978 1 * 1000 9 * 100 7 * 10 8 *1 3 2 1 0 1978 1 * 10 9 * 10 7 * 10 8 * 10 Cette forma s’appelle la forme polynomiale Un nombre réel peut être écrit aussi sous la forme polynomiale 3 2 1 0 1 2 3 1978 , 265 1 * 10 9 * 10 7 * 10 8 * 10 2 * 10 6 * 10 5 * 10 7
  • 8. Sur une seule position : 0 ,1,2,3,4,5,….9= 101-1  Sur deux positions : 00 , 01,02, …..,99=102-1  Sur trois positions 000,001,……,999=103-1  Sur n positions : minimum 0 maximum 10n-1 nombre de combinaisons 10n 8
  • 9. 9
  • 10. Supposons qu’on a 14 jetons , si on forme des groupes de 10 jetons. On va obtenir 1 seul groupe et il reste 4 jetons. 1 4 Les dizaines Les unités 10
  • 11. . Maintenant on va former des groupes de 2 jetons ( on obtient 7 groupes) . Par la suite on va regrouper les 7 groupes 2 à 2 ( on obtient 3 groupes ). . On va regrouper ces derniers aussi 2 à 2 ( on obtient 1 seul groupe ) . Le schéma illustre le principe : Nombre de jetons qui restent en dehors des groupes : 0 Nombre de groupes qui contiennent 2 jetons indépendants : 1 Nombre de groupes qui contiennent 2 groupes de 2 jetons : 1 Nombre de groupes qui contiennent des groupes de 2 groupes de 2 groupes de 2jetons :1 Si on regroupe les différents chiffres on obtient : 1110 1110 est la représentation de 14 dans la base 2 11
  • 12. Dans le système binaire, pour exprimer n’importe quelle valeur on utilise uniquement 2 symboles : { 0 , 1} La base ( 1101)2 Un bit ( 1 1 0 1)2 Le bits du poids forts Le bits du poids faible . Un nombre dans la base 2 peut être écrit aussi sous la forme polynomial 3 2 1 0 (1110) 2 1* 2 1* 2 1* 2 0*2 (14 ) 10 3 2 1 0 1 2 3 (1110,101) 2 1* 2 1* 2 1* 2 0*2 1* 2 0*2 1* 2 (14 , 625 ) 10 12
  • 13. Sur un seul bit : 0 , 1 Sur 3 Bits Binaire Décimal 000 0 .Sur 2 bits : 001 1 010 2 Binaire Décimal 011 3 00 0 100 4 01 1 101 5 10 2 110 6 11 3 111 7 4 combinaisons= 22 8 combinaisons= 23 13
  • 14. 8 symboles sont utilisés dans ce système: {0,1,2,3,4,5,6,7} • Exemple 1 : 2 1 0 (127) 8 1* 8 2*8 7 *8 2 1 0 1 2 (127,65) 8 1* 8 2*8 7 *8 6*8 5*8 Exemple 2 : Le nombre (1289) n’existe pas dans la base 8 puisque les symboles 8 et 9 n’appartiennent pas à la base . 14
  • 15. Décimal Hexadécimal 0 0 1 1 • On utilise seize (16) symboles 2 2 différents: 3 3 4 4 5 5 (17) 1 * 16 1 7 * 16 0 6 6 16 1 0 1 7 7 (AB) A * 16 B * 16 10 * 16 11 * 1 16 8 8 9 9 10 A 11 B 12 C 13 D 14 E 15 F 15
  • 16. Dans une base X , on utilise X symboles distincts pour représenter les nombres.  La valeur de chaque symbole doit être strictement inférieur à la base X.  Chaque nombre dans une base X peut être écrit sous sa forme polynomiale . 16
  • 17. 17
  • 18. Cette conversion est assez simple puisque il suffit de faire le développement en polynôme de ce nombre dans la base X , et de faire la somme par la suite. Exemple : 3 2 1 0 (1101) 2 1* 2 1* 2 0*2 1* 2 (13 ) 10 2 1 0 2 1 0 (1A7) 16 1 * 16 A * 16 7 * 16 1 * 16 10 * 16 7 * 16 256 160 7 ( 423 ) 10 3 2 1 0 1 2 3 (1101,101) 2 1* 2 1* 2 0*2 1* 2 1* 2 0*2 1* 2 (13 , 625 ) 10 1 0 1 ( 43 , 2 ) 5 4*5 3*5 2*5 20 3 0,4 ( 23 , 4 ) 10 18
  • 19. Effectuer les transformations suivantes à la base 10 ? ◦ (123)6=(?)10 ◦ (1100,11)2 =(?)10 ◦ (1ABC)16 =(?)10 19
  • 20. Le principe consiste à faire des divisions successives du nombre sur 2 , et prendre le reste des divisions dans l’ordre inverse. 35 2 Exemple 1 : (35)10=(?)2 1 17 2 1 8 2 0 4 2 Après division : 0 2 2 on obtient : (35)10=(100011)2 0 1 2 1 0 20
  • 21. Un nombre réel est constitué de deux parties : la partie entière et la partie fractionnelle.  La partie entière est transformée en effectuant des divisions successives.  La partie fractionnelle est transformée en effectuant des multiplications successives par 2 . Exemple : 35,625=(?)2 0,625 * 2 = 1 ,25 P.E= 35 = (100011)2 0,25 * 2 = 0 ,5 0,5 * 2 = 1 ,0 PF= 0,625 = (?)2 (0,625)=(0,101)2 Donc 35,625=(100011,101)2 21
  • 22. Exemple 2: (0,6)10=(?)2 0,6 * 2 = 1,2 0,2 * 2 = 0,4 (0,6)= (0,1001)2 0,4 * 2 = 0,8 0,8 * 2 = 1,6 Remarque : Le nombre de bits après la virgule va déterminer la précision . Exercice : Effectuer les transformations suivantes : (23,65)=(? )2 (18,190)=(?)2 22
  • 23. La conversion se fait en prenant les restes des divisions successives sur la base X dans le sens inverse. Exemple : 35 3 35 = (?)3 2 3 11 2 3 3 35=(1022)3 0 1 3 1 0 • Question : Effectuer les transformations suivantes : (43)10=(?)2=(?)5 =(?)8 =(?)16 23
  • 24. 43 2 43 5 1 21 2 3 8 5 1 10 2 3 1 5 0 5 2 1 1 1 2 2 0 1 2 (133)5 1 0 (101011)2 43 16 43 8 8 11 2 16 3 5 2 0 5 0 (2B)16 (53)8 24
  • 25. Il n’existe pas de méthode pour passer d’une base b1 à une autre base b2 directement.  L’idée est de convertir le nombre de la base b1 à la base 10 , en suit convertir le résultat de la base 10 à la base b2 . ? b1 b2 Développement en polynôme Divisions successives 10 25
  • 26. Exemple : ( 34)5=(?)7 1 0 ( 34 ) 5 3*5 4*5 15 4 (19 ) 10 (?) 7 19 7 (19)10=(25)7 ( 34)5=(25)7 5 2 7 2 0 Exercice : effectuer les transformations suivantes (43)6=(?)5=(?)8 (2A)16=(?)9 26
  • 27. Octal Binaire . En octal chaque, symbole de la base s’écrit sur 3 0 000 bits en binaire. 1 001 . L’idée de base est de replacer chaque symbole 2 010 dans la base octal par sa valeur en binaire sur 3 3 011 bits ( faire des éclatement sur 3 bits ). 4 100 5 101 Exemples : 6 110 (345)8=(011 100 101)2 7 111 (65,76)8=(110 101, 111 110)2 (35,34)8=(011 101 , 011 100)2 Remarque : le remplacement se fait de droit à gauche pour la partie entière et de gauche à droite pour la partie fractionnelle . 27
  • 28. . L’idée de base est de faire des regroupements de 3 bits à partir du poids faible. . Par la suite remplacer chaque regroupement par la valeur octal correspondante . Exemple : (11001010010110)2=(011 001 010 010 110)2=(31226)8 (110010100,10101)2= (110 010 100 , 101 010)2=(624,51)8 Remarque : le regroupement se fait de droit à gauche pour la partie entière et de gauche à droite pour la partie fractionnelle . 28
  • 29. Décimal Hexadécimal 0 0 1 1 . En Hexa chaque symbole de la base s’écrit sur 4 bits. 2 3 2 3 . L’idée de base est de replacer chaque symbole 4 4 par sa valeur en binaire sur 4 bits ( faire des 5 5 éclatement sur 4 bits ). 6 6 7 7 8 8 9 9 10 A 11 B 12 C 13 D 14 E Exemple : 15 F (345B)16=(0011 0100 0101 1011)2 (AB3,4F6)16 = ( 1010 1011 0011 , 0100 1111 0110 ) 2 29
  • 30. . L’idée de base est de faire des regroupements de 4 bits à partir du poids faible. Par la suite remplacer chaque regroupement par la valeur Héxa correspondante . Exemple : (11001010100110)2=(0011 0010 1010 0110)2=(32A6)16 (110010100,10101)2= (0001 1001 0100,1010 1000)2=(194,A8)16 30
  • 31. 0 0 1 1 + + + + 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 + 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 31
  • 32. 1 1 4 3 6 5 + 4 5 1 5 8 11 6 En octal 8 s’écrit 10 En octal 11 s’écrit 13 0 3 Le résultat final : (5036)8 32
  • 33. 1 4 8 6 5 + 7 A 5 1 12 18 11 6 C En hexa 11 s’écrit B En hexa 18 s’écrit 12 B 2 Le résultat final : (C2B6)16 33
  • 34. Effectuer les opérations suivantes et transformer le résultat au décimal à chaque fois:  (1101,111)2+(11,1)2=(?)2  (43)16+(34)16=(?)16  (11011)2+(11000)2=(?)2  (AB1)16+(237)8=(?)16 34
  • 35. . Les machines numériques utilisent le système binaire. . Dans le système binaire : uniquement 2 symboles sont utilisés : 0 et 1. . C’est facile de représenter ces deux symboles dans les machines numériques. . Le 0 et le 1 sont représentés par deux tensions . 5v Binaire Tension Binaire : 1 (logique ) 2,8 v Inutilisée 0 0V 0,8 v 1 5V Binaire : 0 0v 35
  • 36. 36
  • 37. 37
  • 38. Code ASCII ( American Standard Code for Information Interchange) 38
  • 39. 39
  • 40. Il existe deux types d’entiers : ◦ les entiers non signés ( positifs ) ◦ et les entiers signés ( positifs ou négatifs )  Problème : Comment indiquer à la machine qu’un nombre est négatif ou positif ?  Il existe 3 méthodes pour représenter les nombres négatifs : ◦ Signe/ valeur absolue ◦ Complément à 1( complément restreint ) ◦ Complément à 2 ( complément à vrai ) 40
  • 41. Si on travail sur n bits , alors le bit du poids fort est utilisé pour indiquer le signe :  1 : signe négatif  0 : signe positif  Les autres bits ( n -1 ) désignent la valeur absolue du nombre.  Exemple : Si on travail sur 4 bits. 1 001 0 001 Signe Valeur absolue Signe Valeur absolue 1001 est la représentation de - 1 0001 est la représentation de + 1 41
  • 42. Sur 3 bits on obtient : signe VA valeur Les valeurs sont comprises • 0 00 +0 entre -3 et +3 0 01 +1 0 10 +2 -3 ≤ N ≤ +3 0 11 +3 - ( 4-1 ) ≤ N ≤ + (4 -1 ) -(22 -1) ≤ N ≤ +(22-1 ) -(2 (3 -1) -1) ≤ N ≤ +(2 (3 -1) -1 ) 1 00 -0 1 01 -1 1 10 -2 1 11 -3 Si on travail sur n bits , l’intervalle des valeurs qu’on peut représenter en S/VA : -(2 (n -1) -1) ≤ N ≤ +(2 (n -1) -1 ) 42
  • 43. C’est une représentation assez simple .  On remarque que le zéro possède deux représentations +0 et -0 ce qui conduit à des difficultés au niveau des opérations arithmétiques.  Pour les opérations arithmétiques il nous faut deux circuits : l’un pour l’addition et le deuxième pour la soustraction . L’idéal est d’utiliser un seul circuit pour faire les deux opérations, puisque a- b =a + ( -b ) 43
  • 44. On appel complément à un d’un nombre N un autre nombre N’ tel que : N+N’=2n-1 n : est le nombre de bits de la représentation du nombre N . Exemple : Soit N=1010 sur 4 bits donc son complément à un de N : N’= (24 - 1)-N N’=(16-1 )-(1010)2= (15 ) - (1010)2 = (1111)2 – (1010)2 = 0101 1 0 1 0 + 0 1 0 1 1 1 1 1 44
  • 45. Pour trouver le complément à un d’un nombre, il suffit d’inverser tous les bits de ce nombre : si le bit est un 0 mettre à sa place un 1 et si c’est un 1 mettre à sa place un 0 .  Exemple : Sur 4 Bits Sur 5 Bits 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 45
  • 46. Dans cette représentation , le bit du poids fort nous indique le signe ( 0 : positif , 1 : négatif ).  Le complément à un du complément à un d’un nombre est égale au nombre lui même . CA1(CA1(N))= N  Exemple : Quelle est la valeur décimale représentée par la valeur 101010 en complément à 1 sur 6 bits ?  Le bit poids fort indique qu'il s'agit d'un nombre négatif.  Valeur = - CA1(101010) = - (010101)2= - ( 21)10 46
  • 47. Si on travail sur 3 bits : Valeur en Valeur en Valeur CA1 binaire décimal 000 000 +0 001 001 +1 010 010 +2 011 011 +3 100 - 011 -3 101 - 010 -2 110 - 001 -1 111 - 000 -0 Dans cette représentation , le bit du poids fort nous indique le signe .• On remarque que dans cette représentation le zéro possède aussi une • double représentation ( +0 et – 0 ) . 47
  • 48. Sur 3 bits on remarque que les valeurs sont comprises • entre -3 et +3 -3 ≤ N ≤ +3 - ( 4-1 ) ≤ N ≤ + (4 -1 ) -(22 -1) ≤ N ≤ +(22-1 ) -(2 (3 -1) -1) ≤ N ≤ +(2 (3 -1) -1 ) Si on travail sur n bits , l’intervalle des valeurs qu’on peut représenter en CA1 : -(2 (n -1) -1) ≤ N ≤ +(2 (n -1) -1 ) 48
  • 49. Si on suppose que a est un nombre sur n bits alors : a + 2 n = a modulo 2n et si on prend le résultat sur n bits on va obtenir la même valeur que a . a + 2 n= a Exemple : soit a = 1001 sur 4 bits 24= 10000 1 0 0 1 + 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 Si on prend le résultat sur 4 bits on trouve la même valeur de a = 1001 49
  • 50. Si on prend deux nombres entiers a et b sur n bits , on • remarque que la soustraction peut être ramener à une addition : a – b = a + (-b) Pour cela il suffit de trouver une valeur équivalente à -b ? • a – b = a + 2n – b = a + (2n – 1) – b + 1 On a b + CA1(b)= 2n – 1 donc CA1(b) = (2n – 1) – b Si on remplace dans la première équation on obtient : a– b = a + CA1(b) + 1 La valeur CA1(b)+1 s’appelle le complément à deux de b : CA1(b)+1 = CA2(b) Et enfin on va obtenir : a - b = a+ CA2(b)  transformer la soustraction en une addition . 50
  • 51. Trouver le complément à vrai de : 01000101 sur 8 bits ? CA2(01000101)= CA1(01000101)+ 1 CA1(01000101)= (10111010) CA2(01000101)=(10111010)+ 1 = (10111011)  Remarque 1 : Pour trouver le compétemment à 2 d’un nombre : il faut parcourir les bits de ce nombre à partir du poids faible et garder tous les bits avant le premier 1 et inverser les autres bits qui viennent après. 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 51
  • 52. Dans cette représentation , le bit du poids fort nous indique le signe ( 0 : positif , 1 : négatif ).  Le complément à deux du complément à deux d’un nombre est égale au nombre lui même . CA2(CA2(N))= N  Exemple : Quelle est la valeur décimale représentée par la valeur 101010 en complément à deux sur 6 bits ?  Le bit poids fort indique qu'il s'agit d'un nombre négatif.  Valeur = - CA2(101010) = - (010101 + 1) = - (010110)2= - ( 22) 52
  • 53. Si on travail sur 3 bits : Valeur en Valeur en valeur CA2 binaire 000 000 +0 001 001 +1 010 010 +2 011 011 +3 100 - 100 -4 101 - 011 -3 110 - 010 -2 111 - 001 -1 Dans cette représentation , le bit du poids fort nous indique le signe .• On remarque que le zéro n’a pas une double représentation.• 53
  • 54. Sur 3 bits on remarque que les valeurs sont comprises entre -4 et +3 -4 ≤ N ≤ +3 - 4 ≤ N ≤ + (4 -1 ) - 22 ≤ N ≤ +(22-1 ) -2 (3 -1) ≤ N ≤ (2 (3 -1) -1 ) Si on travail sur n bits , l’intervalle des valeurs qu’on peut représenter en CA2 : -(2 (n -1)) ≤ N ≤ +(2 (n -1) -1 ) La représentation en complément à deux ( complément à vrai ) est la représentation la plus utilisée pour la représentation des nombres négatifs dans la machine. 54
  • 55. Effectuer les opérations suivantes sur 5 Bits , en utilisant la représentation en CA2 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 + + +9 +9 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 -4 +4 +5 + 13 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 Le résultat est positif Report (01101)2= ( 13)10 Le résultat est positif (00101)2= ( 5)10 55
  • 56. 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 -9 + -9 + 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 -4 +9 - 13 +0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 Report Report Le résultat est négatif : Résultat = - CA2 (10011)= -( 01101) Le résultat est positif = - 13 (00000)2= ( 0)10 56
  • 57. On dit qu’il y a une retenue si une opération arithmétique génère un report .  On dit qu’il y a un débordement (Over Flow ) ou dépassement de capacité: si le résultat de l’opération sur n bits et faux . ◦ Le nombre de bits utilisés est insuffisant pour contenir le résultat ◦ Autrement dit le résultat dépasse l’intervalle des valeurs sur les n bits utilisés. 57
  • 58. 58
  • 59. Un nombre réel est constitué de deux parties : la partie entière et la partie fractionnelle ( les deux parties sont séparées par une virgule )  Problème : comment indiquer à la machine la position de la virgule ?  Il existe deux méthodes pour représenter les nombre réel : ◦ Virgule fixe : la position de la virgule est fixe ◦ Virgule flottante : la position de la virgule change ( dynamique ) 59
  • 60. Dans cette représentation la partie entière est représentée sur n bits et la partie fractionnelle sur p bits , en plus un bit est utilisé pour le signe.  Exemple : si n=3 et p=2 on va avoir les valeurs suivantes Signe P.E P.F valeur 0 000 00 + 0,0 Dans cette représentation les 0 000 01 + 0,25 valeurs sont limitées et nous n’avons pas une grande précision 0 000 10 + 0,5 0 000 11 + 0,75 0 001 .00 + 1,0 . . . . . . . . 60
  • 61. Chaque nombre réel peut s’écrire de la façon suivante : N= M * b e ◦ M : mantisse , ◦ b : la base , ◦ e : l’exposant  Exemple : 15,6 = 0,156 * 10+2 - ( 110,101)2 = - (0,110101)2 * 2+3 (0,00101)2= ( 0,101)2 * 2-2 Remarque : on dit que la mantisse est normalisée si le premier chiffre après la virgule est différent de 0 et le premier chiffre avant la virgule est égale à 0. 61
  • 62. Dans cette représentation sur n bits : ◦ La mantisse est sous la forme signe/valeur absolue  1 bit pour le signe  et k bits pour la valeur. ◦ L’exposant ( positif ou négatif ) est représenté sur p bits . Signe mantisse Exposant Mantisse normalisée 1 bit p bits k bits Pour la représentation de l’exposant on utilise : * Le complément à deux * Exposant décalé ou biaisé 62
  • 63. On veut représenter les nombres ( 0,015)8 et -( 15, 01)8 en virgule flottante sur une machine ayant le format suivant : Signe mantisse Exposant en CA2 Mantisse normalisée 1 bit 4 bits 8 bits (0,015)8=(0,000001101)2= 0,1101 * 2-5 Signe mantisse : positif ( 0) Mantisse normalisé : 0,1101 Exposant = -5  utiliser le complément à deux pour représenter le -5 Sur 4 bits CA2(0101)=1011 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 bit 4 bits 8 bits 63
  • 64. - (15,01)8 = - (001101,000001)2= - 0,1101000001 * 24 Signe mantisse : négatif ( 1) Mantisse normalisée : 0,1101000001 Exposant = 4 , en complément à deux il garde la même valeur ( 0100) On remarque que la mantisse est sur 10 bits (1101 0000 01), et sur la machine seulement 8 bits sont utilisés pour la mantisse. Dans ce cas on va prendre les 8 premiers bits de la mantisse 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 bit 4 bits 8 bits Remarque : si la mantisse est sur k bits et si elle est représentée sur la machine sur k’ bits tel que k> k’ , alors la mantisse sera tronquée : on va prendre uniquement k’ bits  perdre dans la précision . 64
  • 65. en complément à 2, l’intervalle des valeurs qu’on peut représenter sur p bits : -2 (p -1) ≤N≤ 2 (p -1) -1 Si on rajoute la valeur 2 (p -1) à tout les terme de cette inégalité : -2 (p -1) +2 (p -1) ≤ N + 2 (p -1) ≤ 2 (p -1) -1+ 2 (p -1) 0 ≤ N+2 (p -1) ≤ 2 p -1  On pose N’= N + 2 (p -1) donc : 0 ≤ N’ ≤ 2 p -1  Dans ce cas on obtient des valeur positives.  La valeur 2p-1 s’appelle le biais ou le décalage 65
  • 66. Avec l’exposant biaisé on a transformé les exposants négatifs à des exposants positifs en rajoutons à l’exposant la valeur 2p -1. Exposant Biaisé = Exposant réel + Biais 66
  • 67. On veut représenter les nombres ( 0,015)8 et -( 15, 01)8en virgule flottante sur une machine ayant le format suivant : Signe mantisse Exposant décalé Mantisse normalisée 1 bit 4 bits 11 bits (0,015)8=(0,000001101)2= 0,1101 * 2-5 Signe mantisse : positif ( 0) Mantisse normalisé : 0,1101 Exposant réel = -5 Calculer le biais : b= 24-1 = 8 Exposant Biaisé = -5 + 8 = +3 = ( 0011)2 0 0011 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 bit 4 bits 11 bits 67
  • 68. - (15,01)8=(001101,000001)2= 0,1101000001 * 24 Signe mantisse : négatif ( 1) Mantisse normalisée : 0,1101000001 Exposant réel = + 4 Calculer le biais : b= 24-1 = 8 Exposant Biaisé = 4 + 8 = +12 = ( 1100)2 1 1100 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 bit 4 bits 11 bits 68
  • 69. 69
  • 70. Pour passer du décimal au binaire , il Décimal Binaire faut effectuer des divisions 0 0000 successives. Il existe une autre 1 0001 méthode simplifiée pour le passage 2 0010 du décimal au binaire. 3 0011 4 0100  Le principe consiste à faire des éclatement sur 4 bits et de remplacer 5 0101 chaque chiffre décimal par sa valeur 6 0110 binaire correspondante . 7 0111 8 1000  Les combinaisons supérieures à 9 9 1001 sont interdites 70
  • 71. 1 2 9 5 6 2 0001 0010 1001 0101 0110 0010 129 = ( 0001 0010 1001)2 562 = (0101 0110 0010)2 71
  • 72. le passage d’un mot-code au suivant entraînera toujours le changement d’un bit et d’un seul.  le code gray n’est pas pondéré, il n’est donc pas adapté pour le calcul numérique. Décimal Binaire naturel Code de Gray 0 000 000 1 001 001 2 010 011 3 011 010 4 100 110 5 101 111 6 111 101 72
  • 73. Les caractères englobent : les lettres alphabétiques ( A, a, B , B,.. ) , les chiffres , et les autres symboles ( > , ; / : …. ) .  Le codage le plus utilisé est le ASCII (American Standard Code for Information Interchange)  Dans ce codage chaque caractère est représenté sur 8 bits .  Avec 8 bits on peut avoir 28 = 256 combinaisons  Chaque combinaison représente un caractère ◦ Exemple :  Le code 65 (01000001)2correspond au caractère A  Le code 97 (01100001) correspond au caractère a  Le code 58 (00111010 )correspond au caractère :  Actuellement il existe un autre code sur 16 bits , se code s’appel UNICODE . 73
  • 74. ASCII: American Standard Code for Information Interchange. 74
  • 75. Fin du premier Chapitre 75