Corrigé TD chapitre I.pptx

1. Cinématique du point 1ère Année tronc commun Travaux dirigés de Mécanique de point 1 Série 1 Par : Pr. Mehdi El Amine

2. Fabrication additive TD Série 1 2 Exercice 1 : 1) Déterminer une base orthonormale directe dont le premier vecteur est colinéaire au vecteur (1,2,2). 2) Pour quelles valeurs de 𝑎 les vecteurs (1,0, 𝑎), (𝑎, 1,0) et (0, 𝑎, 1) sont-ils coplanaires ?

3. Fabrication additive TD Série 1 3 Exercice 1 : 1) mais il faut le normaliser (les vecteurs de la base doivent être normés) :  Le premier vecteur 𝑢 Condition : 𝑢 = 𝐴 𝐴 = 1. 𝑖 + 2. 𝑗 + 2. 𝑘 12 + 22 + 22 = 1. 𝑖 + 2. 𝑗 + 2. 𝑘 3 On peut choisir ce même vecteur Le premier vecteur de la base doit être colinéaire au vecteur 𝐴 = 1,2,2 = 1 3 . 𝑖 + 2 3 . 𝑗 + 2 3 . 𝑘 𝑢 = 1 3 . 𝑖 + 2 3 . 𝑗 + 2 3 . 𝑘 = ( 1 3 , 2 3 , 2 3 ) et unitaire

4. Fabrication additive TD Série 1 4 Exercice 1 : 1)  Le deuxième vecteur 𝑣 𝑢 et 𝐵 sont orthogonaux si et seulement si : 𝑢. 𝐵 = 0 𝑢. 𝐵 = 1 3 2 3 2 3 . 𝑥 𝑦 𝑧 = 1 3 𝑥 + 2 3 𝑦 + 2 3 𝑧 = 0 0 1 -1 -4 1 1 2 -1 0 Condition : Le deuxième vecteur de la base doit être orthogonal au premier vecteur 𝑢 = 1 3 , 2 3 , 2 3 et unitaire 𝑩 = (𝟎, 𝟏, −𝟏)

5. Fabrication additive TD Série 1 5 Exercice 1 : 1)  Le deuxième vecteur 𝑣 𝑢 = 𝐵 𝐵 = (0, 1 2 , − 1 2 ) On divise le vecteur (0,1, −1) par sa norme

6. Fabrication additive TD Série 1 6 Exercice 1 : 1)  Le troisième vecteur 𝑤 Pour que la base soit orthonormal directe, le troisième vecteur 𝑤 doit vérifier : 𝑤 = 𝑢 ∧ 𝑣 On calculant le produit vectoriel, on trouve 𝑤 = (− 4 3 2 , 1 3 2 , 1 3 2 ). La base (𝑢, 𝑣, 𝑤 ) est une base orthonormale directe. Condition : Le troisième vecteur de la base doit être orthogonal au deux premiers vecteur 𝑢 et 𝑣 , il doit être unitaire et (𝑢, 𝑣, 𝑤 ) doit être un trièdre direct

7. Fabrication additive TD Série 1 7 Exercice 1 : 2) On calcule donc le déterminant des trois vecteurs donnés : 1 𝑎 0 0 1 𝑎 𝑎 0 1 = 1. 1 𝑎 0 1 + 𝑎. 𝑎 0 1 𝑎 = 𝑎3 + 1 Donc pour que les trois vecteurs soit coplanaires, il faut donc que : 𝑎3 + 1 = 0 Cette quantité s'annule si et seulement si 𝑎 = −1. Les vecteurs sont donc coplanaires si et seulement si 𝑎 = −1. (1,0,a), (a,1,0) et (0,a,1) sont- ils coplanaires ? ⟺ Leur produit mixte (ou déterminant) est nul Propriété (produit mixte) :

8. Fabrication additive TD Série 1 8 Exercice 3 : Par rapport au repère 𝑜, 𝑖, 𝑗, 𝑘 orthonormé direct, soit 𝑈 = 0,3,1 et 𝑉 = 0,1,2 1) Calculer 𝑈. 𝑉et l’angle 𝜑 = 𝑈, 𝑉 2) Déterminer les cosinus directeurs de 𝑈 𝑒𝑡 𝑉 3) Calculer les composantes de 𝑊 = 𝑈 ∧ 𝑉 et vérifier que 𝑊 est ⊥ à 𝑈 et à 𝑉 4) Calculer le produit mixte 𝑈, 𝑉, 𝑊 et 𝑑𝑒𝑡 𝑈, 𝑉, 𝑊

9. donc 𝜑 = 𝜋 4 Fabrication additive TD Série 1 9 Exercice 3 : a) Calculer 𝑈. 𝑉et l’angle 𝜑 = 𝑈, 𝑉 𝑈. 𝑉 = 𝑈 . 𝑉 . 𝑐𝑜𝑠 𝜑 On sait que : D’un autre coté, l’expression analytique donne : 𝑈. 𝑉 = 0 3 1 . 0 1 2 = 0.0 + 3.1 + 1.2 = 5 𝑈 . 𝑉 . 𝑐𝑜𝑠 𝜑 = 5 Donc : 𝑐𝑜𝑠 𝜑 = 5 𝑈 . 𝑉 𝑈 = 02 + 32 + 12 = 10 𝑈 = 0,3,1 et 𝑉 = 0,1,2 𝑉 = 02 + 12 + 22 = 5 = 5 10. 5 = 1 2

11. Fabrication additive TD Série 1 11 Exercice 3 : b) Déterminer les cosinus directeurs de 𝑈 𝑒𝑡 𝑉 𝑈 = 0,3,1 et 𝑉 = 0,1,2 Définition : les cosinus directeurs d’un vecteur 𝑈 sont les cosinus des angles formés entre ce vecteur et les trois vecteurs de la base 𝑖, 𝑗, 𝑘 : 𝑪𝒐𝒔(𝑼, 𝒊) 𝑪𝒐𝒔(𝑼, 𝒋) 𝑪𝒐𝒔(𝑼, 𝒌)

12. Fabrication additive TD Série 1 12 Exercice 4 : b) Déterminer les cosinus directeurs de 𝑈 𝑒𝑡 𝑉 𝑈 = 0,3,1 et 𝑉 = 0,1,2 cos 𝑈, 𝑖 = 𝑈. 𝑖 𝑈 = 0 cos 𝑈, 𝑗 = 𝑈. 𝑗 𝑈 = 3 10 cos 𝑈, 𝑘 = 𝑈. 𝑘 𝑈 = 1 10  Les cosinus directeurs de 𝑈  donc le vecteur 𝑈 est sur le plan 𝑗, 𝑘 𝑈. 𝑖 = 0 × 1 + 3 × 0 + 1 × 0 = 0 𝑈. 𝑗 = 0 × 0 + 3 × 1 + 1 × 0 = 3 𝑈 = 02 + 32 + 12 = 10 𝑈. 𝑘 = 0 × 0 + 3 × 0 + 1 × 1 = 1 𝑈 = 02 + 32 + 12 = 10

13. Fabrication additive TD Série 1 13 Exercice 4 : b) Déterminer les cosinus directeurs de 𝑈 𝑒𝑡 𝑉 𝑈 = 0,3,1 et 𝑉 = 0,1,2 cos 𝑉, 𝑖 = 𝑉. 𝑖 𝑉 = 0 cos 𝑉, 𝑗 = 𝑉. 𝑗 𝑉 = 1 5 cos 𝑉, 𝑘 = 𝑉. 𝑘 𝑉 = 2 5  Les cosinus directeurs de 𝑉 → donc le vecteur 𝑉est sur le plan 𝑗, 𝑘 𝑉. 𝑖 = 0 × 0 + 1 × 0 + 2 × 0 = 0 𝑉. 𝑗 = 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 0 = 1 𝑉 = 02 + 12 + 22 = 5 𝑉. 𝑘 = 0 × 0 + 1 × 0 + 2 × 1 = 1 𝑉 = 02 + 12 + 22 = 5

15. Fabrication additive TD Série 1 15 Exercice 4 : c) Calculer les composantes de 𝑊 = 𝑈 ∧ 𝑉 𝑈 = 0,3,1 𝑉 = 0,1,2 𝑊 = 𝑈 ∧ 𝑉 = 0 3 1 ∧ 0 1 2 = 3 × 2 − 1 × 1 0 1 = 5 0 0 On a : 𝑊. 𝑈 = 5 0 0 ℛ . 0 3 1 ℛ = 0 On a : 𝑊. 𝑉 = 5 0 0 ℛ . 0 1 2 ℛ = 0 ⟹ 𝒘 ⊥ 𝑼 ⟹ 𝑾 ⊥ 𝑽  vérifier que 𝑊 est ⊥ à 𝑈 et à 𝑉

17. Fabrication additive TD Série 1 17 4) Calculer le produit mixte 𝑼, 𝑽, 𝑾 et 𝒅𝒆𝒕 𝑼, 𝑽, 𝑾 = 0 0 5 3 1 0 1 2 0 𝑈, 𝑉, 𝑊 = 𝑈. 𝑉 ∧ 𝑊 = 0 3 1 ℛ . 0 1 2 ℛ ∧ 5 0 0 ℛ ℛ = 0 3 1 ℛ . 0 10 −5 ℛ = 25 On a : On a : 𝑑𝑒𝑡 𝑈, 𝑉, 𝑊 = 0 1 0 2 0 −0 3 0 1 0 +5 3 1 1 2 = 5 × 5 = 25 Donc : 𝑼, 𝑽, 𝑾 = 𝒅𝒆𝒕 𝑼, 𝑽, 𝑾 le volume engendré par le parallélépipède 𝑼, 𝑽, 𝑾 est égal à la valeur absolue du produit mixte : 𝑊 𝑂 Conclure. (Le Volume = 𝑼, 𝑽, 𝑾 )

18. 18 Exercice 4 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs

19. 19 Exercice 4 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs 1) Calculer le moment en 𝑶 , 𝑴𝑶 𝑭𝟏 𝑀𝑂 𝐹1 = 𝑂𝐴 ∧ 𝐹1 = 𝐿 0 0 ℛ ∧ 𝐹1 sin 60° 𝐹1 cos 60° 0 ℛ = 0 0 𝐿 𝐹1 cos 60° ℛ = 𝐿 𝐹1 cos 60° 𝑘 Car 𝐴 est le point d’application de la force 𝐹1

20. 20 Exercice 4 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs 2) Calculer le moment en 𝑶 , 𝑴𝑶 𝑭𝟐 et le moment par rapport à l’axe Oz , 𝑴𝑶𝒛 𝑭𝟐 𝑀𝑂 𝐹2 = 𝑂𝐵 ∧ 𝐹2 = 2𝐿 0 0 ℛ ∧ 𝐹2 sin 30° − 𝐹2 cos 30° 0 ℛ = 0 0 −2𝐿 𝐹2 cos 30° ℛ = −2𝐿 𝐹2 cos 30° 𝑘 𝑀𝑂𝑧 𝐹2 = 𝑀𝑂 𝐹2 . 𝑘 𝑘 = 0 0 −2𝐿 𝐹2 cos 30° . 0 0 1 0 0 1 = −2𝐿 𝐹2 cos 30° 𝑘 Car 𝐵 est le point d’application de la force 𝐹2

21. 21 Exercice 4 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs 3) Calculer le moment en 𝑨 , 𝑴𝑨 𝑭𝟐 𝑀𝐴 𝐹2 = 𝐴𝐵 ∧ 𝐹2 = 𝑥𝑏 − 𝑥𝑎 𝑦𝑏 − 𝑦𝑎 𝑧𝑏 − 𝑧𝑎 ℛ ∧ 𝐹2 sin 30° − 𝐹2 cos 30° 0 ℛ = 0 0 −𝐿 𝐹2 cos 30° ℛ = −𝐿 𝐹2 cos 30° 𝑘 = 1𝐿 0 0 ℛ ∧ 𝐹2 sin 30° − 𝐹2 cos 30° 0 ℛ Car 𝐵 est le point d’application de la force 𝐹2

22. 22 Exercice 4 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs 4) Déduire de ce qui précède 𝑴𝟎 𝑭𝟐 + 𝑭𝟐 𝑀0 𝐹1 + 𝐹2 = 𝑀0 𝐹1 + 𝑀0 𝐹2 = 𝐿 𝐹1 cos 60° 𝑘 − 2𝐿 𝐹2 cos 30° 𝑘 = 𝐿 𝐹1 cos 60° − 2𝐿 𝐹2 cos 30° 𝑘

23. 23 Exercice 5 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs

24. 24 Exercice 5 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs 1) Exprimer 𝒆𝒓 , 𝒆𝜽 dans la base i , j et investissement  Vecteur 𝒆𝒓 𝑒𝑟 = cos 𝜃 𝑡 i + sin 𝜃 𝑡 j  Vecteur 𝒆𝜽 𝑒𝜃 = −sin 𝜃 𝑡 i + cos 𝜃 𝑡 j  Expression de 𝒆𝒓 , 𝒆𝜽 dans la base i , j

25. 25 Exercice 5 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs  Expression de i , j dans la base 𝒆𝒓 , 𝒆𝜽  Vecteur i i = cos 𝜃 𝑡 𝑒𝑟 − sin 𝜃 𝑡 𝑒𝜃  Vecteur j j = sin 𝜃 𝑡 𝑒𝑟 + cos 𝜃 𝑡 𝑒𝜃 i j

26. 26 Exercice 5 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs 2) Calculer en fonction de l’angle 𝜽  𝒆𝒓 ∧ j 𝑒𝑟 ∧ j = cos 𝜃 𝑡 sin 𝜃 𝑡 0 ℛ ∧ 0 1 0 ℛ = 0 0 cos 𝜃 𝑡 ℛ  𝒆𝒓 ∧ i 𝑒𝑟 ∧ i = cos 𝜃 𝑡 sin 𝜃 𝑡 0 ℛ ∧ 1 0 0 ℛ = 0 0 −sin 𝜃 𝑡 ℛ = cos 𝜃 𝑡 𝑘 = −sin 𝜃 𝑡 𝑘  j ∧ 𝒆𝜽 j ∧ 𝑒𝜃 = 0 1 0 ℛ ∧ −sin 𝜃 𝑡 cos 𝜃 𝑡 0 ℛ = 0 0 sin 𝜃 𝑡 ℛ = sin 𝜃 𝑡 𝑘  𝒆𝜽 ∧ i 𝑒𝜃 ∧ i = −sin 𝜃 𝑡 cos 𝜃 𝑡 0 ℛ ∧ 1 0 0 ℛ = 0 0 −cos 𝜃 𝑡 ℛ = − cos 𝜃 𝑡 𝑘  𝒆𝒓. j 𝑒𝑟. j = cos 𝜃 𝑡 sin 𝜃 𝑡 0 ℛ . 0 1 0 ℛ = sin 𝜃 𝑡  i . 𝒆𝜽 i. 𝑒𝜃 = 1 0 0 ℛ . −sin 𝜃 𝑡 cos 𝜃 𝑡 0 ℛ = −sin 𝜃 𝑡

27. 27 Exercice 5 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs 3) Dérivation des vecteur unitaires de la base mobile  Calculer : 𝒅𝒆𝒓 𝒅𝜽 et 𝒅𝒆𝒓 𝒅𝒕 𝑑𝑒𝑟 𝑑𝜃 = 𝑑 cos 𝜃 i + sin 𝜃 j 𝑑𝜃 = 𝑑 cos 𝜃 i 𝑑𝜃 + 𝑑 sin 𝜃 j 𝑑𝜃 Car i et j sont des vecteurs constants = 𝑑 cos 𝜃 𝑑𝜃 i + 𝑑 sin 𝜃 𝑑𝜃 j = − sin 𝜃 i + cos 𝜃 j = 𝒆𝜽 𝒅𝒆𝒓 𝒅𝜽 𝑒𝑟 = cos 𝜃 𝑡 i + sin 𝜃 𝑡 j 𝑒𝜃 = −sin 𝜃 𝑡 i + cos 𝜃 𝑡 j On a déjà trouvé :

28. 28 Exercice 5 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs 3) Dérivation des vecteur unitaires de la base mobile 𝑑𝑒𝑟 𝑑𝑡 = 𝑑𝜃 𝑑𝑡 × 𝑑𝑒𝑟 𝑑𝜃 = 𝜃 × 𝑑𝑒𝑟 𝑑𝜃 = 𝜽𝒆𝜽 𝒅𝒆𝒓 𝒅𝒕  Calculer : 𝒅𝒆𝒓 𝒅𝜽 et 𝒅𝒆𝒓 𝒅𝒕

29. 29 Exercice 5 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs 3) Dérivation des vecteur unitaires de la base mobile  Calculer : 𝒅𝒆𝜽 𝒅𝜽 et 𝒅𝒆𝜽 𝒅𝒕 𝑑𝑒𝜃 𝑑𝜃 = 𝑑 − sin 𝜃 i + cos 𝜃 j 𝑑𝜃 = 𝑑 − sin 𝜃 i 𝑑𝜃 + 𝑑 cos 𝜃 j 𝑑𝜃 = − 𝑑 sin 𝜃 𝑑𝜃 i + 𝑑 cos 𝜃 𝑑𝜃 j = − cos 𝜃 i − sin 𝜃 j = −𝒆𝒓 𝒅𝒆𝜽 𝒅𝜽 = − cos 𝜃 i + sin 𝜃 j 𝑒𝑟 = cos 𝜃 𝑡 i + sin 𝜃 𝑡 j 𝑒𝜃 = −sin 𝜃 𝑡 i + cos 𝜃 𝑡 j On a déjà trouvé : Car i et j sont des vecteurs constants

30. 30 Exercice 5 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs 3) Dérivation des vecteur unitaires de la base mobile  Calculer : 𝒅𝒆𝜽 𝒅𝜽 et 𝒅𝒆𝜽 𝒅𝒕 𝑑𝑒𝜃 𝑑𝑡 = 𝑑𝜃 𝑑𝑡 × 𝑑𝑒𝜃 𝑑𝜃 = 𝜃 × 𝑑𝑒𝜃 𝑑𝜃 = −𝜽𝒆𝒓 𝒅𝒆𝜽 𝒅𝒕

31. 31 Exercice 5 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs 4) Sachant que 𝛀 = 𝛚𝐤 (avec 𝛚 = 𝐝𝛉 𝐝𝐭 = 𝛉), montrer que 𝒅𝒆𝒓 𝒅𝒕 = 𝛀 ∧ 𝒆𝒓 et 𝒅𝒆𝜽 𝒅𝒕 = 𝛀 ∧ 𝒆𝜽  Montrer : 𝒅𝒆𝒓 𝒅𝒕 = 𝛀 ∧ 𝒆𝒓 𝑒𝑟 = cos 𝜃 𝑡 i + sin 𝜃 𝑡 j 𝑒𝜃 = −sin 𝜃 𝑡 i + cos 𝜃 𝑡 j On a déjà trouvé : Il faut que ça soit le même repère  Montrer : 𝒅𝒆𝜽 𝒅𝒕 = 𝛀 ∧ 𝒆𝜽 On a : 𝛀 ∧ 𝒆𝒓 = 0 0 ω ℛ ∧ cos 𝜃 𝑡 sin 𝜃 𝑡 0 ℛ = −ω sin 𝜃 𝑡 ω cos 𝜃 𝑡 0 ℛ = −ω sin 𝜃 𝑡 i + ω cos 𝜃 𝑡 j = ω𝑒𝜃 = θ𝑒𝜃 = 𝑑𝑒𝑟 𝑑𝑡 On a : 𝛀 ∧ 𝒆𝜽 = 0 0 ω ℛ ∧ − sin 𝜃 𝑡 cos 𝜃 𝑡 0 ℛ = −ω cos 𝜃 𝑡 −ω sin 𝜃 𝑡 0 ℛ = −ω cos 𝜃 𝑡 i − ω sin 𝜃 𝑡 j = −ω𝑒𝑟 = θ𝑒𝑟 = 𝑑𝑒𝜃 𝑑𝑡

32. 32 Exercice 1 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs  Surface de niveau : Surface de niveau 𝜑 = 1 C’est la surface constituée de l’ensemble des points pour lesquels la fonction 𝜑 𝑥, 𝑦, 𝑧 donne la même valeur Surface de niveau 𝜑 = 2 Surface de niveau 𝜑 = 3 Surface de niveau 𝜑 = 4 Ca veut dire que quelque soit le point 𝑥, 𝑦, 𝑧 appartenant à cette surface, alors 𝜑 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1 Exemple de surface de niveau : Si on calcul le gradient d’un point sur cette surface de niveau, il sera normal à cette surface 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 𝑀 𝑴

33. 33 Exercice 1 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs  Donc pour répondre à la question :  Determiner le gradient de 𝝋 𝒙, 𝒚, 𝒛 en fonction de 𝒙, 𝒚, 𝒛  Calculer ce gradient au point 𝑨 ⟹ Le vecteur obtenu est ⊥ à la surface de niveau en A  On va normer le vecteur obtenue en le divisant par son module 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 = 𝜕𝜑 𝜕𝑥 i + 𝜕𝜑 𝜕𝑦 j + 𝜕𝜑 𝜕𝑧 k 𝑛 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 𝐴 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 𝐴 = 2𝑥𝑦𝑧 + 4𝑧2 i + 𝑥2 𝑧 j + 𝑥2 𝑦 + 8𝑥𝑧 k 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑 𝐴 = 8i − 1j − 10k = 8i − 1j − 10k 165 = 8 165 i − 1 165 j − 10 165 k

34. 34 Exercice 2 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs 1) Calculer 𝒓𝒐𝒕𝑽 𝑟𝑜𝑡𝑉 = i 𝜕 𝜕𝑥 𝑉 𝑥 j 𝜕 𝜕𝑦 𝑉 𝑦 k 𝜕 𝜕𝑧 𝑉 𝑧 𝑽𝒙 𝑽𝒚 𝑽𝒛 = 𝜕𝑉 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕𝑉 𝑦 𝜕𝑧 i − 𝜕𝑉 𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕𝑉 𝑥 𝜕𝑧 j + 𝜕𝑉 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕𝑉 𝑥 𝜕𝑦 k = 0 − 0 i − 3𝑧2 − 3𝑧2 j + 2𝑥 − 2𝑥 k = 0 𝑟𝑜𝑡𝑉

35. 35 Exercice 2 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs 1) Calculer 𝒅𝒊𝒗𝑽 𝑑𝑖𝑣𝑉 𝑽𝒙 𝑽𝒚 𝑽𝒛 = 𝜕𝑉 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝑉 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝑉 𝑧 𝜕𝑧 = 2𝑦 + 0 + 0 + 2 + 6𝑥𝑧 − 0 = 2𝑦 + 6𝑥𝑧 + 2 𝑑𝑖𝑣𝑉

36. 36 Exercice 2 : Série TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs 1) Montrer que la forme différentielle suivante est exacte : 𝜹𝝎 = 𝟐𝒙𝒚𝒅𝒙 + 𝒙𝟐𝒅𝒚 𝛿𝜔 = 2𝑥𝑦𝑑𝑥 + 𝑥2 𝑑𝑦 𝑷 𝒙, 𝒚 𝑸 𝒙, 𝒚 →Il faut montrer que : 𝑑𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑑𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 On a : 𝑑𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 2𝑥 On a : 𝑑𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥 𝑑𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑑𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 La forme différentielle 𝜹𝝎 est donc excacte = 𝑑2𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥2 𝑑𝑥

37. 37 Exercice 2 : érie TD N°1 : Eléments de Calcul vectoriel et opérateurs 2) Quelle est la fonction 𝐕 𝐱, 𝐲 telle que 𝛅𝛚 = −𝐝𝐕 On sait la différentielle de 𝑉(𝑥, 𝑦) s’exprime par : 𝑑𝑉 = 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝑑𝑉 𝑑𝑦 𝑑𝑦 Or nous avons :δω = −dV Donc : 𝑑𝑉 = −δω = −2𝑥𝑦𝑑𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑦 On conclut : 𝑑𝑉 𝑑𝑥 = −2𝑥𝑦 𝑑𝑉 𝑑𝑦 = −𝑥2 ⟹ 𝑑𝑉 = −2𝑥𝑦𝑑𝑥 𝑉 𝑥, 𝑦 = −2 𝑥𝑦𝑑𝑥 + 𝐶 𝑦 ⟹ ⟹𝑉 𝑥, 𝑦 = −𝑦𝑥2 + 𝐶(𝑦) ⟹ 𝑑𝑉 = −𝑥2 𝑑𝑦 ⟹ 𝑉 𝑥, 𝑦 = − 𝑥2 𝑑𝑦 + 𝐶 𝑥 ⟹𝑉 𝑥, 𝑦 = −𝑦𝑥2 + 𝐶(𝑥) 𝐶 ne dépond pas de 𝑦 car si on dérive 𝑉 𝑥, 𝑦 par rapport à 𝑦 elle diaprait 𝐶 ne dépond pas de 𝑥 car si on dérive 𝑉 𝑥, 𝑦 par rapport à 𝑥 elle diaprait = = Donc 𝐶 ne dépond ni de 𝑥 ni de 𝑦 : 𝑽 𝒙, 𝒚 = −𝒚𝒙𝟐 + 𝑪

Corrigé TD chapitre I.pptx

Corrigé TD chapitre I.pptx

Recommandé

Contenu connexe

Similaire à Corrigé TD chapitre I.pptx

Similaire à Corrigé TD chapitre I.pptx(20)

Corrigé TD chapitre I.pptx

Notes de l'éditeur