Este documento propone actividades para trabajar la continuidad entre la educación primaria y secundaria en el área de matemáticas. Se enfoca en resolver problemas y analizar regularidades, más que en enseñar contenidos específicos. Plantea ejercicios sobre divisores, tablas de multiplicar, números primos y factores. El objetivo es que los estudiantes "hagan matemáticas" resolviendo problemas en lugar de aprender elementos por separado.

2. DIRECCIÓN PROVINCIAL DE EDUCACIÓN PRIMARIA
DIRECCIÓN PROVINCIAL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA
DIRECCIÓN PROVINCIAL DE EDUCACIÓN DE GESTIÓN PRIVADA

3. Propuestas curriculares para el último trimestre de la
educación Primaria y el primero de la educación Secundaria

4. Proyecto articulación Matemática
Continuidad de la enseñanza - un desafío compartido
Introducción
En este texto partimos del encuadre del área de Matemática de los Diseños Curriculares de ambos niveles
educativos deteniéndonos en algunas ideas que resultan claves para pensar en la continuidad pedagógica y en las
trayectorias escolares de los alumnos. Luego plantearemos algunas situaciones de enseñanza posibles para
explicitar ciertos criterios que orienten el diseño y gestión de propuestas didácticas dirigidas a sostener el trabajo
matemático de los alumnos y el avance de sus aprendizajes en el marco de Proyectos de Articulación.
La continuidad de las propuestas curriculares del área de Matemática de ambos niveles
La idea de articulación suele estar muy presente en los docentes, particularmente en los de 6º año de la escuela
primaria y 1º año de secundaria. Muchos de los de 6° año de la escuela primaria deciden enseñar ecuaciones o
cálculos combinados, partiendo de la idea de que esos contenidos son necesarios para el inicio de la escuela
secundaria. Es decir, se adelantan contenidos que se consideran que ayudarán a los alumnos en su tránsito inicial
por la escuela secundaria. Asimismo debe destacarse que no es indicación del Diseño Curricular de Secundaria el
trabajo con ejercicios combinados sino análisis reflexivo con uso de calculadora.
Sin embargo, creemos que adelantar contenidos no constituye una buena articulación. La noción de articulación
refiere a la unión de partes diferentes entre sí, pero que forman un todo. El reconocimiento de las diferencias y la
constitución de un todo lleva a la necesidad de un trabajo en conjunto.
La propuesta curricular del área de ambos niveles plantea claramente el rol central de la resolución de problemas
para introducir a los alumnos en el quehacer matemático. El Diseño Curricular para la Educación Primaria subraya
que:
“Un desafío [para la Escuela Primaria] consiste entonces en desplegar diversas propuestas que permitan a los
alumnos/as aprender matemática 'haciendo matemática'. Iniciarse en el trabajo matemático de esta manera es
bien diferente de pensar que primero se enseñan los 'elementos', los 'rudimentos' para usarlos más tarde, cuando
empiece la 'matemática en serio'. Se trata, por el contrario, de hacer matemática 'en serio' desde el inicio.”
(Diseño Curricular para la Educación Primaria, 2008, p. 171).

5. Por su parte, el Diseño Curricular para la Educación Secundaria plantea que:
“Hacer matemática es básicamente resolver problemas ya sea que provengan del interior o del exterior de la
matemática, y por lo tanto ocupa un lugar central en la enseñanza.
Es necesario destacar que la sola resolución de problemas no es suficiente: para la construcción de conocimientos
transferibles a situaciones nuevas es necesaria la reflexión sobre lo realizado y la intervención del docente para
que establezca las relaciones entre lo construido y el saber científico.
En la ESB las situaciones que se planteen deberán ir más allá de la aplicación de los conceptos. Deberá analizarse
el funcionamiento de los conocimientos como herramientas para la solución de problemas desde un punto de
vista que ayude a reconocer la necesidad de generalizaciones y permita pensar las nociones construidas como
objetos matemáticos”. (Diseño Curricular ES1, 2006, p. 174)
Las propuestas de ambos diseños curriculares plantean claramente una continuidad. En este sentido, creemos que
la articulación puede sostenerse desde el tipo de tarea matemática que se le solicita a los alumnos, más allá de los
contenidos abordados.
Propuesta didáctica
El material que se presenta puede utilizarse tanto en el último trimestre de sexto año de EP, como en primer
trimestre de primer año de ES. Se trabaja sobre contenidos que se abordan en ambos niveles, aunque con
diferentes niveles de complejidad. Como consecuencia de esto, el tratamiento de los problemas, las instancias de
trabajo colectivo y las sistematizaciones no serán iguales.
La primera parte de la propuesta aborda un trabajo integrador que se apoya en el análisis de regularidades,
observaciones y conjeturas en la Tabla Pitagórica. Proponemos una reflexión sobre los conceptos de
multiplicación, múltiplos, factores, divisores, números primos y factores primos atravesados por una mirada
curiosa, inquisidora y comprensiva por parte de los estudiantes.

6. Actividad 1
1. En el aula de 6° A de una escuela hay 24 alumnos. Para realizar diferentes actividades, se los quiere dividir en
grupos formados por la misma cantidad de alumnos cada uno, sin que sobre ninguno.
a) Para la primera actividad se armaron grupos de 6 alumnos. ¿Cuántos grupos se armaron?
b) ¿Se podrían formar grupos distintos a los anteriores para realizar las demás actividades? ¿De qué
cantidad de alumnos deberían ser los grupos y cuántos grupos quedarían formados? ¿Hay más de una
posibilidad?
2. En el aula de 6° B hay 36 alumnos y se los quiere dividir también en grupos formados por la misma cantidad de
alumnos cada uno, sin que sobre ninguno. ¿Cuántos grupos se podrían formar y de qué cantidad de integrantes?
¿Hay más de una posibilidad?
3. En una actividad compartida por 6° A y 6° B, se propone armar grupos en los que no se mezclen los alumnos de
las dos clases, de modo que todos los grupos tengan la misma cantidad de alumnos y que no queden alumnos sin
participar. ¿De cuántos alumnos pueden ser estos grupos?
Análisis y gestión
Este primer conjunto de problemas pone en escena a los divisores de un número. La parte a) del problema 1, si bien
resulta simple, tiene por objetivo que los alumnos comprendan la situación que se plantea, por un lado, y por el
otro, que comiencen a considerar a la división como una herramienta útil para hallar la cantidad de grupos con 6
alumnos. La parte b) propone pensar en otras cantidades para los grupos, que son divisores de 24, y la cantidad de
grupos que se pueden formar, que es el cociente de la división entre 24 y cada uno de los divisores. Puede resultar
interesante discutir que, para este contexto, considerar grupos de 1 alumno equivale a que cada uno trabaje solo,
mientras que un grupo de 24 alumnos significa que toda la clase trabaja junta.
El docente podría en este momento sistematizar que los números por los que se puede dividir exactamente a 24
son sus divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.
El problema 2 requiere de los mismos conocimientos que el 1, solo que en este caso no se proporciona ninguna
ayuda para hallar los posibles divisores. En una instancia de trabajo colectivo será importante proponer y discutir
sobre estrategias que permitan ser exhaustivos en cuanto a la búsqueda de divisores de un número.
En el problema 3, se trata de encontrar números que al mismo tiempo sean divisores de 24 y de 36: 1, 2, 3, 4, 6 y
12, es decir los divisores comunes.

7. Actividad 2
La siguiente Tabla Pitagórica, donde aparecen todos los productos desde 1 × 1 hasta 12 × 12, encierra un
abundante número de particularidades, curiosidades y regularidades que son interesantes de descubrir.
En esta primera propuesta les pedimos que observen la tabla y escriban cuántas veces aparece repetido el 36.
¿Qué sucede con el 31?
Para cada caso escriban todos los productos que dan 36 y 31.

8. Análisis y gestión
Esta actividad pone de relieve los productos en una tabla Pitagórica y propone analizar sus factores. Es decir,
implica relacionar cada aparición de un número en la tabla con una multiplicación diferente que lo tiene como
producto. Resulta importante analizar con los alumnos que los factores se obtienen de la fila y columna donde se
encuentra el producto.
Hemos propuesto considerar al 36 y el 31, uno de los cuales tiene varios factores mientras que el otro es un
número primo, razón por la cual no se encuentra en la tabla.
El trabajo realizado a propósito de este problema es la base para recordar la definición de múltiplo.
Actividad 3
1. Decidan si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Fundamenten su decisión.
a) 24 es múltiplo de 8.
b) 72 es divisor de 12.
c) 2 y 3 son múltiplos de 6.
d) 36 es divisible por 9.
2. Escriban todos los números de la tabla que solo puedan expresarse como un producto en el que exactamente
uno de los factores sea 1. Por ejemplo: 7 = 1 x 7 = 7 x 1
Análisis y gestión
El objetivo de la actividad 1 es que los alumnos se familiaricen con el uso de los términos “múltiplo”, “divisor” y
“divisible”, y que fundamenten su uso sobre la base de las definiciones que se recuerdan en el enunciado.
Por ejemplo, se podría fundamentar que 72 no es divisor de 12 porque no existe ningún número natural que
multiplicado por 72 dé 12, que es menor que 72. El docente podría repreguntar por la relación inversa, si es cierto
Para recordar
Un número es múltiplo de otro si puede escribirse como un producto entre ese número
y otro número natural. En ese caso se dice que el segundo es divisor del primero.
Por ejemplo, 15 es múltiplo de 3 y 3 es divisor de 15, pues 15 = 3 x 5.
Un número es divisible por otro si este último es divisor del primero.
Por ejemplo, 15 es divisible por 3 y por 5.

9. que 12 es divisor de 72. Así, para responder a esta pregunta se deberá poner en juego la definición y encontrar un
número de manera que 12 multiplicado por ese número dé 72 (en este caso, 6). Podría ahondarse en cómo se
encuentra ese número si no se dispone de la tabla Pitagórica. Es posible afirmar que como 72 = 12 x 6, entonces al
dividir 72 por 12 el cociente es 6 y el resto, 0.
De aquí se puede escribir la definición de múltiplo de la siguiente manera: Un número es múltiplo de otro si al
dividir el primero por el segundo el resto es 0.
Resulta también importante expresar la misma relación de diferentes maneras. Por ejemplo, las siguientes
afirmaciones son equivalentes:
12 es divisor de 72.
72 es divisible por 12.
72 es múltiplo de 12.
El resto de la división entre 72 y 12 es 0.
En la actividad 2 se presenta un caso particular, el de los números que solo pueden expresarse como un
producto donde exactamente uno de los factores sea 1. Estos números solo tendrán dos divisores, el mismo
número y 1. A partir de esta observación, el docente podrá definir números primos.
Luego de analizar la definición anterior, el docente podrá proponer las siguientes
actividades para resolver en grupos:
1. Decidan si 1 es un número primo.
2. Encuentren otros números primos que no estén en la tabla Pitagórica.
3. ¿Es posible que un número primo aparezca más de dos veces en la tabla Pitagórica?
Las preguntas anteriores tienen como propósito profundizar en la comprensión de la noción de número primo.
Creemos importante que las respuestas a las preguntas queden registradas en las carpetas de los alumnos, por
ejemplo de la siguiente manera:
El número 1 solo puede escribirse como 1 x 1. Como los dos factores son 1, y no solo uno de ellos,
entonces no es primo.
Si un número aparece más de dos veces en la tabla, entonces tiene otros factores además de 1 y el
mismo número, por lo que no puede ser primo.
Hay números que aparecen dos veces en la tabla pero que no son primos. Por ejemplo, el 33. No es
primo porque es posible expresarlo como 3 x 11, donde ninguno de los factores es 1.
Un número natural es primo si solo puede expresarse como un producto donde
exactamente uno de los factores es 1.
Algunos ejemplos de números primos son: 2 (pues 2 = 1 x 2 = 2 x 1), 5, etc.

10. Actividad 4 1
En el siguiente cuadro, los números han sido pintados de colores según un código particular:
1. Observen este cuadro y analicen qué significado o sentido tienen los colores en los números.
a) ¿Por qué creen que el 2, 4, 8 y 16 tienen el mismo color? ¿Por qué el 4, 8 y 16 tienen además más de una
zona de ese color?
b) Encuentren dos números más que solo tengan el color amarillo.
c) ¿Qué pueden decir de los números que tienen el color celeste?
d) ¿Qué significa el 17 que está escrito en el número 51?
e) Expliquen el por qué de los colores de los números 81, 42 y 52.
f) Escriban un texto que explique y ayude a una persona que nunca vio el cuadro a poder interpretar el
sentido de los colores.
1 Basado en una actividad Prime Climb de Daniel Finkel y Catherine Cook disponible en:
http://mathforlove.com/

11. Análisis y gestión
En esta actividad se propone un cuadro de números, donde cada uno de ellos está identificado con uno o más
colores vinculados con sus divisores. Las preguntas que se plantean tienen por finalidad que los alumnos puedan
expresar la relación entre cada número y el o los colores que lo representan.
La pregunta a. propone explorar la relación entre los números 2, 4, 8 y 16. El hecho de que todos tengan solo el
color amarillo, y que el primero de ellos sea el 2, lleva a intentar relacionar a los demás con él. La cantidad de veces
que ese color está en cada uno de los números funciona como indicio que permite expresar cada relación, que
puede adquirir diversas formas. Por ejemplo, es esperable que algunos alumnos escriban: 4 = 2 x 2, 8 = 2 x 2 x 2 y
16 = 2 x 2 x 2 x 2. También es probable que utilicen productos como 8 = 4 x 2. Será tarea del docente hacer
evolucionar esas escrituras hacia otras que solo utilicen productos y el número 2. Es posible que sea necesario
recordar la definición de potenciación para obtener: 4 = 2 x 2 = 2 , 8 = 2 x 2 x 2 = 2 , 16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 2 .
La pregunta b. propone extender la idea explorada en la parte a. Los números que tienen solo el color amarillo son
aquellos que pueden escribirse como producto usando solo al 2 como factor, por ejemplo, 2 =32, 2 =64.
Para responder a la pregunta c., es posible que los alumnos digan que los que tienen color celeste están en la
columna del 5 o en la del 10. También podrán decir que terminan en 0 o en 5. Será importante registrar que todos
ellos son múltiplos de 5.
La pregunta d. propone avanzar con el análisis de los códigos de colores usados en el cuadro. En este caso, el color
rojo ya ha sido usado para otros números, por lo que resulta necesario aclarar que en este caso identifica al factor
17. El docente puede proponer a los alumnos que escriban a 51 como producto de números, que en este caso
resulta 51 = 17 x 3, donde el 3 resulta del color verde.
Las relaciones entre los colores y los números construidas hasta el momento tienen que ser puestas en juego para
responder a la pregunta e.. Se espera que los alumnos puedan realizar afirmaciones del estilo:
Como en el 81 aparece 4 veces el color verde, que simboliza al 3, entonces 81 = 3 x 3 x 3 x 3 = 3 .
El 42 está formado por el amarillo (2), verde (3) y violeta (7), por lo que puede escribirse como 42 = 2 x 3 x 7.
El número 52 tiene dos veces el amarillo (2) y una vez el rojo (13). Luego, 52 = 2 x 2 x 13 = 2 ×13
Por último, la pregunta f. tiene por finalidad que los alumnos puedan dejar un registro de las relaciones entre los
colores, los números y su descomposición en factores primos. En un primer momento, puede proponerse que cada
grupo elabore su respuesta. Luego, en un espacio de discusión colectiva será posible discutir acerca de las mismas
con el objetivo de elaborar un escrito común a la clase.
Como conclusión del trabajo hecho, el docente podrá proponer la siguiente sistematización:
2 3 4
5 6
4
2
Los números naturales pueden expresarse como producto de números primos,
por ejemplo:
72 puede expresarse como
72 puede expresarse como 72=2×2×2×3×3=2 ×3 .23

12. Actividad 5
Expresen los siguientes números como producto de sus factores primos. Se pueden ayudar con el cuadro de
números de la actividad 4. Luego, comprueben haciendo los cálculos.
24=
32=
27=
72=
91=
31=
Análisis y gestión
El propósito de esta Actividad es que los alumnos reinviertan las relaciones elaboradas a partir de la actividad
anterior y continúen conformando la caracterización de los números como producto de factores primos,
trabajando la relación entre los colores y los factores primos que componen los números
Se espera que, dado un número, puedan expresarlo como producto de otros, especialmente como producto de
números primos y utilizando también una escritura que incluya potencias.
Se incluye como último número con el cual trabajar el 31, que es un número primo. El objetivo es que lo reconozcan
como tal, al no encontrar números distintos de 1 y de 31 que multiplicados den 31. Es posible también proponer
buscar otros números primos para analizar cómo están coloreados. Se trata de ver que están representados con
un solo color, del mismo modo que el número 1, lo cual plantea una nueva ocasión para diferenciarlo de los
números primos.

13. Actividad 6
En la siguiente tabla Pitagórica se han coloreado los números de manera diferente a la tabla de la actividad
anterior.
1. ¿Qué representan el color rojo y el color verde del número 6?
2. Observen que todos los números de la columna del 6 tienen por lo menos una parte roja y una parte verde. ¿A
qué se debe esto? ¿Qué otros colores forman estos números?
3. ¿Sucede lo mismo en las demás columnas? ¿Por qué?

14. Análisis y gestión
El propósito de estas consignas es que los alumnos analicen cómo se relacionan los factores que componen un
número y los que componen un múltiplo del mismo.
Con respecto a las primeras dos preguntas, en la tabla se puede observar que el número 6 está compuesto por los
colores rojo y verde, que corresponden al número 2 y al número 3, respectivamente. Al analizar todos los números
que forman la columna del 6 se puede concluir que están formados también por una parte roja y una parte verde
debido a que son múltiplos de 6. Por lo tanto, también son múltiplos de 2 y de 3. A su vez, se agregan una o varias
porciones más de colores, dependiendo del número por el cual se está multiplicando al 6. Por , el número 30 tiene
una parte roja, una verde y una celeste, esta última correspondiente al número 5, ya que 30=6×5=2×3×5. O el
número 24, que tiene 3 partes rojas y una verde: 24 = 6 x 4 = 3 x 2 x 4 = 3 x 2 x 2 x 2.
Aquí el docente puede preguntar a los alumnos qué relación hay entre la escritura y las porciones y colores que
componen al 24 en la tabla.
Cabe mencionar que una escritura como la anterior, en donde el “resultado” aparece a la izquierda, no utiliza el
símbolo “=” solamente para indicar “cuánto da” un cálculo, sino que expresa la equivalencia de resultados en
ambos miembros. Es por esto que su utilización durante la gestión de la clase puede favorecer una interpretación
de tipo algebraico.
El propósito de la tercera pregunta es que los alumnos generalicen y/o pongan a prueba sus conjeturas o
conclusiones generales a las que arribaron a partir del trabajo con las primeras dos preguntas. Es esperable que
hayan formulado sus conclusiones y argumentaciones sobre la base de los números 2, 3, 6 y los demás números
de la tabla del 6. Con esta tercera pregunta se intenta que las formulaciones sean de tipo más general, sin apelar
tanto a los números en particular. Por ejemplo, el número 7 está compuesto de una sola parte de un solo color y, al
igual que en el caso del 6, todos los números de su columna conservan esta parte de este color, mientras se
agregan otras partes de colores dependiendo de por qué número se lo esté multiplicando.
Actividad 7
Les proponemos analizar los números que están compuestos de un solo color. Algunos de ellos, además de tener
un solo color, están compuestos por más de una parte. ¿A qué creen que se debe esto?
¿Qué tienen en común y en qué se diferencian los números de un solo color completo y los que tienen un solo color
pero más de una parte?

15. Análisis y gestión
El propósito de esta Actividad es que los alumnos trabajen sobre la definición de número primo a partir de la
comparación entre números en los cuales interviene un solo factor en su descomposición en factores primos. El
objetivo es que puedan establecer que para que un número sea primo no es suficiente que aparezca solamente un
factor, sino que ese factor “tiene que aparecer una sola vez”, además del 1. Pues si un factor “aparece más de una
vez”, el número posee más de dos divisores.
Se podría usar de ejemplo el número 25. En el cuadro está conformado por un solo color y, sin embargo, no es un
número primo. Esto se debe a que en su descomposición en números primos el 5 “aparece dos veces” (25=5 ) y, por
lo tanto, tiene de divisores a 1 y a 25, pero también a 5. Es decir que tiene tres divisores y no dos.
Actividad 8
Juego de adivinar el número
Organización de la clase: cada equipo tiene una tabla pitagórica con colores, (con la cual se viene trabajando). El
docente elige uno de los números de la tabla sin que los alumnos sepan de cuál se trata.
Consigna: Yo elegí un número. Cada grupo a su turno deberá realizar una pregunta que se responda por sí o por no,
con el objetivo de adivinar cuál es. Si algún equipo arriesga y no adivina, deja de jugar. Pero si arriesga y adivina,
para poder ganar debe expresar el número mediante el producto de sus factores primos. Deberán discutir en cada
grupo cuáles son las preguntas más convenientes a realizar.
Análisis y gestión
Esta actividad tiene por objetivo que los estudiantes caractericen los números a partir de su descomposición en
factores primos. Varias de las preguntas que los alumnos realicen servirán como punto de partida para un
posterior análisis en torno a este tipo de caracterización de los números.
A continuación proponemos un ejemplo de una ronda del juego. Supongamos que el docente elige el número 60.
Los alumnos podrían preguntar por la cantidad de colores que componen el número. En este caso serían tres. Pero
esta información no es suficiente, ya que hay muchos números compuestos por tres colores. Podrían seguir
preguntando si está compuesto por 2 colores o 3 colores y luego preguntar por los colores: ¿está el rojo? hasta
determinar que tiene 3 colores que son, en este caso, verde, celeste y rojo. Pero esta información tampoco es
suficiente. Por ejemplo, el número 30 también está compuesto únicamente por estos tres colores. Las preguntas
podrían desarrollarse entonces hacia la cantidad de veces que se usa cada color para formar el número. Para el
2

16. número 60 se usa dos veces el rojo, una vez el verde y una vez el celeste. Mediante esta caracterización sí queda
definido de manera única y se corresponde con la expresión a partir de su descomposición en factores primos:
60=2 ×3×5
A medida que transcurre el juego es esperable y deseable que los alumnos construyan las preguntas que les
permitan deducir más rápidamente cuál es el número elegido y, de esta manera, determinen cuáles son las
características que definen de manera única a cada número. Por otro lado, la intención del docente estará
ligada a la caracterización de los números a partir de los factores que componen los números ayudando a los
estudiantes a independizarse de los colores que los representan. Así, en lugar de cuántos colores conforman
un número se debería hacer referencia a cuántos factores primos lo componen.
Otros números interesantes que puede elegir el docente para que los alumnos adivinen son el 54 (dos
factores, tres de un factor y uno del otro), 35 (dos factores, un factor de uno y uno del otro), 32 (cinco
factores iguales), etc.
Es deseable que la presencia de los colores haga más sencillo el análisis de los factores primos de cada
número pero por sobre todo ayude en la construcción del sentido de la factorización de los números.
A partir de lo trabajado anteriormente podremos abordar el análisis de los divisores de los números.
El docente podrá plantear a sus alumnos que escriban los divisores del número 42.
Se trata de una actividad que pone en relación a la factorización de un número en sus factores primos con
sus divisores. Se espera que algunos alumnos logren listar algunos divisores de 42 a partir de sus
conocimientos, mientras que otros podrán expresarlo como producto de otros números naturales, como por
ejemplo:
2 x 21
2 x 3 x 7
6 x 7
1 x 3 x 14
1 x 42
1 x 2 x 21
1 x 6 x 7
2

17. El docente podrá en ese momento ayudar a relacionar los factores con los divisores: Todos los factores de las
descomposiciones en producto de 42 son divisores de 42.
Los divisores de 42 son entonces: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 y 42.
Actividad 9
Las siguientes tablas muestran los números naturales hasta el 32 y sus divisores:
a) ¿Cuáles son los números que tienen dos divisores?
b) Busquen los números primos en las tablas anteriores.
c) ¿Cuáles son los números que tienen una cantidad impar de divisores?
d) Les pedimos que se organicen en grupos diferentes y continúen esta tabla (cada grupo lo hace para diferentes
números) para pegarla en el aula y tenerla disponible para cuando les resulte útil.

18. Más sobre divisores:
e) Registren los números con más cantidad de divisores.
f) Elijan dos números con muchos divisores, analicen los divisores comunes y registren cuál es el mayor de ellos.
g) ¿Qué característica tiene el anteúltimo número de cada columna mirando la columna hacia arriba?
h) ¿Cómo podemos saber si falta algún divisor en una columna?
i) En los números que tienen cuatro divisores, ¿hay mayor cantidad de números primos como divisores? ¿Habrá
alguna razón?

19. Análisis y gestión
La idea de estas actividades es revisar los divisores de los números propuestos y poder determinar cuáles tienen
mayor o menor cantidad y qué relación tiene ese hecho con los factores primos que lo componen.
También se propone discutir con los estudiantes de qué manera es posible recorrer de manera exhaustiva y
organizada todos los divisores, por ejemplo empezando con un factor primo 2, etc.
Como parte de la gestión, resulta importante que el docente aproveche para recordar algunas definiciones y
registrar estrategias y propiedades que luego serán reutilizadas. Por ejemplo, podrá, junto con los alumnos,
construir una definición para el Máximo Común Divisor sobre la base de la resolución del ítem f.
Actividad 10
a) Encuentren todos los múltiplos de 7 mayores que 80 y menores que 150. Expliquen cómo los encontraron.
b) Andrea dice que para encontrar cualquier múltiplo de 15, multiplica 15 por cualquier número natural. Por
ejemplo, dice que 15 x 23 es múltiplo de 15. Expliquen por qué es verdad lo que afirma Andrea y utilicen el mismo
método para encontrar otros múltiplos de 15.
c) Encuentren todos los números múltiplos de 16 que sean mayores que 260 y menores que 1500. Expliquen cómo
los encontraron.
d) ¿Cuáles son todos los números que no son múltiplos de 3 mayores que 200 y menores que 450?
e) ¿Cuántos múltiplos de 3 se encuentran entre los 1.000 primeros números naturales?
Análisis y gestión
El objetivo de esta actividad es que los estudiantes puedan reutilizar la definición de múltiplo para encontrar
múltiplos sin necesidad de dividir y que identifiquen que los múltiplos no se limitan a los números que están en la
tabla de multiplicar.
En la parte a. es posible que los alumnos listen los números desde 81 a 149 y prueben cuáles son múltiplos de 7 a
través de divisiones. Este procedimiento es correcto y esperable, ya que muchas veces los estudiantes no disponen
de otra herramienta para determinar si un número es o no múltiplo de otro.
Puede notarse que a lo largo de esta secuencia hemos propuesto trabajar con ambas definiciones de múltiplo, sin
embargo la que tal vez esté más arraigada es la de que “al dividir el resto es 0”, que requiere de una cuenta. A
partir del ítem b. se propone analizar la generación de múltiplos a través de multiplicaciones.

20. Es interesante reflexionar acerca de cuándo cada definición resulta más adaptada para resolver un problema. Por
ejemplo, si se trata de determinar si el número 266 es múltiplo de 7, es posible que convenga dividirlo por 7. En
cambio, si la tarea consiste en hallar un múltiplo de 7 mayor que 200, la estrategia más conveniente consiste en
buscar un número de modo que al multiplicarlo por 7 dé un producto mayor que 200.
Esta forma de encontrar los múltiplos es más económica y permite buscar múltiplos tan grandes como se quiera
y/o en un rango mayor de números, sin la necesidad de comprobar. Sabiendo que un número es el resultado de
multiplicar a 7 por un número natural se puede asegurar que es múltiplo de 7 sin la necesidad de hacer cuentas.
Como consecuencia, se podrá debatir con los alumnos acerca de que una escritura multiplicativa permite analizar
si un número es múltiplo de otro sin la necesidad de realizar un cálculo. Por ejemplo, es posible afirmar que el
número que resulta de la cuenta 7 x 23 es múltiplo de 7 porque puede expresarse como el producto entre 7 y un
número natural. También, por la misma razón, se puede decir que es múltiplo de 23.
Por otro lado es necesario que en una segunda etapa puedan obtener por cuánto multiplicar al 7 para pasarse de
80. En este caso se puede hallar mentalmente a través de estimaciones. A partir de que 7 x 10 = 70, se puede
“llegar” a que 7 x 12 = 84.
El primer múltiplo de 7 mayor que 80 es entonces 84. Para saber hasta cuál número hay que multiplicar a 7 para
no pasarse de 150 también se pueden realizar estimaciones. Resulta más o menos sencillo porque 7 x 20 = 140, 7
x 21 = 147 y el siguiente múltiplo se pasa de 150.
Luego, los números que son solución son todos los múltiplos de 7 desde 7 x 12 hasta 7 x 21. La cantidad total es 21
- 12 + 1. El reconocimiento de este cálculo para hallar la cantidad de múltiplos puede requerir de un debate en
clase. Se podría acompañar con una propuesta de análisis para cantidades menores, en donde sea posible
comprobar a través del conteo de casos. Por ejemplo, contar la cantidad de números que hay entre el 5 y el 10,
incluyendo ambos números.
En las actividades siguientes se trabaja con números más grandes, por lo que es posible que para analizar entre
qué múltiplos moverse resulte insuficiente apelar a estrategias de estimación y sea conveniente dividir utilizando
la calculadora.Esto, además permitirá hacer una lectura de lo que devuelve el el visor de la calculadora al hacer esa
división. Por ejemplo, para los múltiplos de 16 entre 260 y 1500 puede hacerse lo siguiente, donde las divisiones
sirven para determinar por cuáles números debe multiplicarse al 16:
Al hacer 260 : 16 la calculadora indica 16,25. Será interesante realizar una reflexión respecto a la parte decimal, ya
que es posible que muchos alumnos consideren que 16 es el cociente y 25 el resto.

21. Este número indica que si se hace 16 x 16 el resultado será menor que 260 por lo que el primer múltiplo mayor que
260 se podrá obtener haciendo 16 x 17.
De la misma manera, al hacer 1500 : 16 la calculadora da 93,75 como resultado, por lo que el múltiplo de 16 más
cercano a 1500 y menor que él será 16 x 93.
Por lo tanto, todos los múltiplos de 16 que se piden están entre 16 x 17 y 16 x 93.
Para el caso de los números que no son múltiplos de 3, en el ítem d., es necesario tener en cuenta que si un
múltiplo de 3 tiene resto 0 al dividirse por 3, entonces los que no son múltiplos de 3 tienen resto 1 o 2 al dividirlos
por 3.
Por lo tanto, si a un múltiplo de 3 se le suma 1 o 2, el número resultante será 1 o 2 unidades mayor que un múltiplo
de 3. Es decir, su resto al dividirlo por 3 será 1 o 2.
Por ejemplo, el número 3 x 238 es múltiplo de 3 porque resulta de la multiplicación entre 3 y un número natural.
Luego, los números 3 x 238 + 1 ó 3 x 238 + 2 seguro no son múltiplos de 3, pues lo que se le agrega a 3 x 238 no es
múltiplo de 3.
A modo de cierre
La propuesta que hemos presentado se apoya en la concepción de enseñanza y aprendizaje de la Matemática que
se propone en los Diseños Curriculares de la escuela Primaria y Secundaria. Se trata de situaciones que apuestan a
que los alumnos construyan sus conocimientos en lugar de que se les revelen formas de resolver ajenas y con
pocas posibilidades de que se las apropien.
Esta selección de actividades, que están presentadas en forma secuenciada, permite abordar un tema que es parte
tanto de los contenidos de 6° año de la Escuela Primaria como de 1° año de la Escuela Secundaria. Este hecho
permitiría trabajar una parte de ella en un año y otra en el otro.
Claramente es una sugerencia y cada docente puede recorrer esta secuencia de la manera que crea más
conveniente con sus alumnos, saltear problemas, agregar más o incluir intermedios.
Es solo una propuesta que tiene por objetivo que tanto en uno como en otro año se trabaje de manera similar, con
el objetivo de que los alumnos no sientan un salto brusco. Por un lado, se busca que los docentes de 6° no crean

22. que deben enseñar contenidos de otro año para que los alumnos estén mejor “preparados”. Por otro lado, se busca
que los docentes de 1° año comiencen el trabajo con sus alumnos sobre la base de los conocimientos que poseen al
ingresar en la escuela secundaria.
Tanto en un año como en el otro la finalidad es que los alumnos construyan conocimientos que les permitan
trabajar en forma autónoma y haciéndose cargo de la validez de sus producciones.
Hacer matemática implica el desafío de resolver problemas, enfrentándose a ellos, basándose en los
conocimientos disponibles para intentar hallar su solución. Implica idas y vueltas, empezar de nuevo, buscar otros
conocimientos que permitan resolverlos, buscar ayuda, etc. Esperamos que nuestros estudiantes tengan la
oportunidad de hacerlo y poder acompañarlos en ese camino.

23. reescribir, resumir, citar, expandir un texto, leer para resolver problemas como escritor; así también participar de
diversas situaciones donde los alumnos escuchan leer y leen por sí mismos, dictan al docente, copian con sentido,
escriben por sí mismos, narran o exponen oralmente frente a otros, con diferentes propósitos comunicativos y
didácticos, con diversos destinatarios, transitando diversidad de géneros y formatos textuales, entre otros.
La alternancia metodológica tanto en la consideración del tiempo didáctico a través de las modalidadesŸ
organizativas (planificación por proyectos, secuencias, situaciones permanentes/habituales, situaciones
sistemáticas y ocasionales) como en la organización de los agrupamientos en modalidad colectiva, en pequeños
grupos (parejas, tríos) y/o en forma individual.
La creación de un ambiente cooperativo en donde se procuran una serie de interacciones entre los alumnos,Ÿ
con alternancia de roles, con prácticas donde uno escribe y otro comenta oralmente lo producido por otro, uno
copia y el otro relee y corrige, uno escribe y el otro controla la ortografía, uno revisa y reescribe y el otro pasa en
limpio con marcas de edición acordadas.
Pensar la articulación como un proceso complejo y sistémico -aquello que une, que entrelaza, que no implica diluir
lo que es la especificidad de cada nivel y que el proceso formativo de los niños y jóvenes requiere tiempos
prolongados- otorga a la enseñanza un lugar central que permite reconocer las particularidades de cada nivel y
que garantiza continuidades y acuerdos que se sostienen entre la escuela primaria y la escuela secundaria.
Propósitos didácticos
Se espera que la enseñanza:
Proponga variadas situaciones de lectura, escritura e intercambio oral y fomente la reflexión sobre los contextosŸ
de producción y de recepción de esas prácticas.
Promueva la formación de lectores literarios que puedan profundizar y diversificar gradualmente recorridos deŸ
lectura, explorar las potencialidades del lenguaje estético para la creación de mundos posibles y establecer
distintas relaciones entre la literatura y otros lenguajes artísticos. En esta propuesta se hace el recorte de la
formación de lectores de literatura fantástica y de ciencia ficción.
Favorezca la apropiación gradual de estrategias de lectura, escritura y oralidad en el ámbito de estudio.Ÿ
Propicie instancias de reflexión sobre el lenguaje.Ÿ
Organice el tiempo didáctico de manera que se garantice la continuidad en la apropiación de las prácticas aŸ
través de una propuesta didáctica que consta de dos tramos, los que propician progresión y necesaria
articulación entre la Primaria y la Secundaria.
Bibliografía:
- Dirección General de Cultura y Educación de la Provincia de Buenos Aires. (2008). Diseño Curricular para la
Educación Primaria. Segundo Ciclo. Recuperado de:
- Dirección General de Cultura y Educación de la Provincia de Buenos Aires. (2008). Diseño Curricular para la
Educación Secundaria: 1º año ESB. Recuperado de:
- Dirección Provincial de Educación Inicial y Dirección Provincial de Educación Primaria. (2016). Continuidad de la
enseñanza entre el nivel inicial y el nivel primario. Un desafío compartido. Recuperado de:
- Novembre, A. y Tarasow, P. (2013). Algunos caminos posibles en la articulación entre la escuela primaria y
secundaria en matemática. Revista Novedades Educativas, (271).
- Grimaldi, V. y Itzcovich, H. (2013). Tensiones en el paso de la escuela primaria a la escuela media. Algunas
reflexiones en el área de matemática. En Broitman, C. (Comp.) Matemáticas en la escuela primaria II. Buenos Aires,
Argentina: Paidós.
http://servicios.abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/d-curriculares/disenio-curricular-segun
do-ciclo.pdf
http://servicios.abc.gov.ar/lainstitucion/organismos/consejogeneral/disenioscurriculares/documentosdescarga/s
ecundaria1.pdf
http://servicios.abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/areas_curriculares/matematica/continu
idad_de_la_ensenianza_un_desafio_%20compartido_matematica.pdf