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Méthodologie
Théorie Expériences
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de la rupture
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Partie théorique
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 σ 𝑥...
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Essai de traction uni axiale
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  1. 1. Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes Mécanique des solides et du génie civil Durabilité des matériaux et des structures pour l’énergie 11/23/2016 1 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes Préparé par: Mohamad ABDULMAJID Encadré par: Prof. Laurent PONSON
  2. 2. 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 2 Enjeux techniques Les fissures dans le bétons, n’ont pas une forme régulière
  3. 3. 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 3 Motivations et approches proposé Fissure perturbée dans un milieu hétérogène
  4. 4. 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 4 Motivations et approches proposé Fissure perturbé dans un milieu hétérogène Simplification du problème Milieu homogène
  5. 5. 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 5 Motivations et approches proposé Fissure perturbé dans un milieu hétérogène Simplification du problème Milieu homogène??
  6. 6. 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 6 Motivations et approches proposé Fissure perturbé dans un milieu hétérogène Simplification du problème Milieu homogène?? Quelle est l’effet des hétérogénéités? Comment prévoit-on la trajectoire?
  7. 7. 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 7 Motivations et approches proposé Fissure perturbé dans un milieu hétérogène Simplification du problème Milieu homogène?? Quelle est l’effet des hétérogénéités? Comment prévoit-on la trajectoire? La fissure revient-elle à son plan moyen?? Comment se fait la relaxation de la fissure??
  8. 8. Méthodologie Théorie Expériences 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 8 • Calcul des champ de contrainte à la pointe • Calcul des facteurs d’intensité des contraintes • Prédire l’équation de la trajectoire • Découper l’échantillon • Tracer la pré-fissure • Faire l’expérience • Extraire la surface de rupture
  9. 9. Méthodologie Théorie Expériences 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 9 • Calcul des champ de contrainte à la pointe • Calcul des facteurs d’intensité des contraintes • Prédire la trajectoire de la fissure • Découper l’échantillon • Tracer la pré-fissure • Faire l’expérience • Extraire la surface de rupture Comparer les deux résultats
  10. 10. Elements de la mécanique de la rupture 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 10 Mode I : Traction normale au plan de fissure Mode II : Contrainte de cisaillement agissant parallèlement au plan de la fissure
  11. 11. Partie théorique 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 11 • Champs de contraintes en mode I  σ 𝑥𝑥= 𝐾 𝐼 2π𝑟 𝑓𝑥 Ɵ + 𝑇 + 𝐴 𝑟 + …  σ 𝑦𝑦= 𝐾 𝐼 2π𝑟 𝑓𝑦 Ɵ + 𝐴 𝑟 + …
  12. 12. Partie théorique 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 12 • Champs de contraintes en mode I  σ 𝑥𝑥= 𝐾 𝐼 2π𝑟 𝑓𝑥 Ɵ + 𝑇 + 𝐴 𝑟 + …  σ 𝑦𝑦= 𝐾 𝐼 2π𝑟 𝑓𝑦 Ɵ + 𝐴 𝑟 + … T et A – stress
  13. 13. Partie théorique 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 13 • Critère de Griffith Un bilan énergétique d’une structure fissurée permet de calculer le taux de restitution d’énergie comme étant: G=- 𝑑𝐸 𝑚 𝑑𝑠 Où 𝐸 𝑚 = 𝑊𝑒𝑥𝑡 + 𝑊𝑒𝑙𝑎𝑠 Le critère de propagation d’une fissure est alors: G<𝐺𝑐 pas de propagation G=𝐺𝑐 propagation de la fissure
  14. 14. Partie théorique 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 14 • Prédiction de la trajectoire de la fissure: La direction de propagation d’une fissure en un point donné M est la direction de 𝑘𝐼𝐼(𝑀) = 0 Ɵ=-2 𝑘 𝐼𝐼 𝑘 𝐼 Avec 𝑘𝐼 𝑒𝑡 𝑘𝐼𝐼 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝐾𝐼, 𝐾𝐼𝐼, 𝑇 𝑒𝑡 𝐴.
  15. 15. Partie théorique 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 15 • Prédiction de la trajectoire de la fissure: Ɵ=-2 𝑘 𝐼𝐼 𝑘 𝐼 • 𝑘𝐼 = 𝐾𝐼 • 𝑘𝐼𝐼 = 𝐾𝐼𝐼 + 𝐾 𝐼 2 𝑑ℎ 𝑑𝑥 − π 2 A h(x) - 2 π 𝑇 −∞ 𝑥 ℎ′ 𝑢 𝑑𝑢 (𝑥−𝑢)
  16. 16. Partie théorique 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 16 • Prédiction de la trajectoire de la fissure: Or 𝐾𝐼𝐼 = 0, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑜𝑛 𝑎 ∶ 𝑑ℎ 𝑑𝑥 = 2 2 π 𝑇 𝐾 𝐼 −∞ 𝑥 ℎ′ 𝑢 𝑑𝑢 (𝑥−𝑢) - 2π 𝐴 𝐾 𝐼 ℎ(𝑥) Pour la résolution, on va définir les deux longueurs ℓ1 et ℓ2 comme suit: ℓ1 = 𝜋 8 ( 𝐾 𝐼 𝑇 ) 2 ℓ2 = 1 2π 𝐾 𝐼 𝐴
  17. 17. Partie théorique 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 17 • Prédiction de la trajectoire de la fissure: L’équation précéd𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒𝑟𝑎: 𝑑ℎ 𝑑𝑥 = 1 ℓ1 −∞ 𝑥 ℎ′ 𝑢 𝑑𝑢 (𝑥−𝑢) - 1 ℓ2 ℎ(𝑥)
  18. 18. Partie théorique 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 18 • Prédiction de la trajectoire de la fissure: L’équation précéd𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒𝑟𝑎: 𝑑ℎ 𝑑𝑥 = 1 ℓ1 −∞ 𝑥 ℎ′ 𝑢 𝑑𝑢 (𝑥−𝑢) - 1 ℓ2 ℎ(𝑥) F1 F2
  19. 19. Partie théorique 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 19 • Prédiction numérique de la trajectoire:
  20. 20. Partie théorique 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 20 • Prédiction numérique de la trajectoire: Fonction perturbatrice : h(x) = c sin(2πx/λ)
  21. 21. Partie théorique 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 21 • Prédiction numérique de la trajectoire: Propagation stable pour une valeur de λ 12 mm, λ/ℓ1 = 0.27, 𝑒𝑡λ/ℓ2 = 0.8
  22. 22. Partie théorique 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 22 • Prédiction numérique de la trajectoire: Propagation instable pour une valeur de λ 24 mm, λ/ℓ1 = 0.55, 𝑒𝑡λ/ℓ2 = 0.51
  23. 23. Partie théorique 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 23 • Prédiction numérique de la trajectoire(Cas instable): Critère de stabilité
  24. 24. Partie théorique 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 24 • Prédiction numérique de la trajectoire(Cas stable): Trajectoire stable présentant des oscillations
  25. 25. Partie théorique 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 25 • Prédiction numérique de la trajectoire(Cas stable): Différentes longueur d’ondes en fonction de λ
  26. 26. Partie théorique 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 26 • Prédiction numérique de la trajectoire(Cas stable): Différentes longueur d’ondes en fonction de λ λ n’influe pas les longueurs d’ondes des oscillations
  27. 27. Partie théorique 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 27 • Prédiction numérique de la trajectoire(Cas stable): Amplitude maximales des oscillations
  28. 28. Partie théorique 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 28 • Prédiction numérique de la trajectoire(Cas stable): Amplitude maximales des oscillations en échelle semi-log
  29. 29. Partie théorique 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 29 • Prédiction numérique de la trajectoire(Cas stable): Amplitude maximales des oscillations en échelle semi-log A=𝑒 − 𝑛 𝑛_𝑐
  30. 30. Partie théorique 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 30 • Prédiction numérique de la trajectoire(Cas stable): Valeurs de 𝑛 𝑐 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 λ
  31. 31. Partie théorique 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 31 • Prédiction numérique de la trajectoire(Cas stable): Valeurs de 𝑛 𝑐 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 λ • La stabilité ne dépend pas de λ • Les longueur d’ondes ne dépendent pas de λ • 𝑛 𝑐 𝑛𝑒 𝑑é𝑝𝑒𝑛𝑑 𝑝𝑎𝑠 𝑑𝑒 λ
  32. 32. Partie théorique 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 32 • Récapitulatif: Problème traité
  33. 33. Partie théorique 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 33 • Récapitulatif: Problème traité Prédiction de la trajectoire
  34. 34. Partie théorique 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 34 • Récapitulatif: Problème traité Prédiction de la trajectoire • λ lié aux perturbations peu influe la trajectoire
  35. 35. Partie théorique 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 35 • Récapitulatif: Problème traité Prédiction de la trajectoire • λ lié aux perturbations peu influe la trajectoire • ℓ1, ℓ2 𝑙𝑖é à 𝑙𝑎 𝑔é𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑒 𝑎𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑒 𝑝𝑙𝑢𝑠 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑗𝑒𝑐𝑡𝑜𝑖𝑟𝑒
  36. 36. Partie expérimentale 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 36
  37. 37. Partie expérimentale 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 37 Echantillon de TDCB
  38. 38. Partie expérimentale 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 38 Echantillon de TDCB Pourquoi utiliser le TDCB?
  39. 39. Partie expérimentale 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 39 Echantillon de TDCB Pourquoi utiliser le TDCB? Le TDCB assure une propagation lente et contrôlé de fissure
  40. 40. Partie expérimentale 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 40
  41. 41. Partie expérimentale 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 41 Préparation de l’échantillon: • Découper les plaques de PMMA en TDCB • Tracer la pré-fissure
  42. 42. Partie expérimentale 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 42 Essai de traction uni axiale
  43. 43. Partie expérimentale 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 43 • Extraction des surfaces de rupture:
  44. 44. Partie expérimentale 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 44 • Extraction des surfaces de rupture: • On peint les échantillons cassé • On prend des photos sur un fond noir • On implémente les photos dans un programme de Matlab qui donne la surface de fissuration par différence de niveau de gris
  45. 45. Partie expérimentale 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 45 • Calcul de ℓ1 𝑒𝑡 ℓ2: ℓ1 = 𝜋 8 ( 𝐾 𝐼 𝑇 ) 2 ℓ2 = 1 2π 𝐾 𝐼 𝐴
  46. 46. Partie expérimentale 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 46 • Calcul de ℓ1 𝑒𝑡 ℓ2: ℓ1 = 𝜋 8 ( 𝐾 𝐼 𝑇 ) 2 ℓ2 = 1 2π 𝐾 𝐼 𝐴
  47. 47. Partie expérimentale 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 47 • Calcul de ℓ1 𝑒𝑡 ℓ2: Maillage de Cast3M
  48. 48. Partie expérimentale 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 48 • Calcul de ℓ1 𝑒𝑡 ℓ2: Maillage de Cast3M Calcul de 𝐾𝐼 𝑝𝑎𝑟 𝐽 − 𝑖𝑛𝑡é𝑔𝑟𝑎𝑙𝑒
  49. 49. Partie expérimentale 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 49 • Calcul de ℓ1 𝑒𝑡 ℓ2: Maillage de Cast3M σ 𝑥𝑥= 𝐾 𝐼 2π𝑟 𝑓𝑥 Ɵ + 𝑇 + 𝐴 𝑟
  50. 50. Partie expérimentale 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 50 • Calcul de ℓ1 𝑒𝑡 ℓ2: σ 𝑥𝑥= 𝐾 𝐼 2π𝑟 𝑓𝑥 Ɵ + 𝑇 + 𝐴 𝑟
  51. 51. Partie expérimentale 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 51 • Calcul de ℓ1 𝑒𝑡 ℓ2: σ 𝑥𝑥 − 𝐾 𝐼 2π𝑟 𝑓𝑥 Ɵ = 𝑇 + 𝐴 𝑟
  52. 52. Partie expérimentale 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 52 • Calcul de ℓ1 𝑒𝑡 ℓ2: Maillage dans Code-ASTER
  53. 53. Partie expérimentale 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 53 • Comparaison: o Angle d’initiation: 𝑑ℎ 𝑑𝑥 = 1 ℓ1 −∞ 𝑥 ℎ′ 𝑢 𝑑𝑢 (𝑥−𝑢) - 1 ℓ2 ℎ(𝑥) Pour x = 0: Cet équation se réduit à α𝑖𝑛𝑖= π 𝑐 λℓ1
  54. 54. Partie expérimentale 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 54 • Comparaison: o Angle d’initiation:
  55. 55. Partie expérimentale 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 55 • Comparaison: o Trajectoire:
  56. 56. Partie expérimentale 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 56 • Comparaison: o Trajectoire: Théo vs. exp Pour c=2mm λ =12mm λ/ℓ1 = 0.27 λ/ℓ2 = 0.8
  57. 57. Partie expérimentale 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 57 • Comparaison: o Trajectoire: Théo vs. exp Pour c=1mm λ =12mm λ/ℓ1 = 0.27 λ/ℓ2 = 0.8
  58. 58. Partie expérimentale 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 58 • Comparaison: o Trajectoire: Théo vs. exp Pour c=1mm λ =12mm λ/ℓ1 = 0.55 λ/ℓ2 = 0.4
  59. 59. Perspectives 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 59 o Nous avons proposé une méthode permettant de prévoir la trajectoire suivie par une fissure perturbée. Qui est fortement influencée par la géométrie de l’échantillon et du chargement appliqué. o Ces facteurs peuvent être décrit à travers les paramètres L1 et L2 qui entrent en jeux dans l’équation de trajectoire de la fissure. o Nous avons proposé une méthodologie robuste permettant de mesurer L1 et L2 à partir de simulations éléments finis. On a un accord qualitatif entre la théorie et les expériences. Le problème dans nos expériences est l’initiation des fissures. Le diamètre du Laser utilisé est de 150 mm ce qui nous donne une pré-fissure pas totalement pointue, ce qui affecte la trajectoire. Peut-être en utilisant un fil diamanté, ou une propagation par fatigue, on peut avoir une bonne pointe.
  60. 60. Merci pour votre attention 11/23/2016 Propagation de fissure dans les milieux hétérogènes 60

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