Vème Conférence Internationale en Recherche Opérationnelle                           CIRO10                 Marrakech, 24­...
Introduction:● Modéliser la demande lors de la période de   livraison.● On    considère  la  demande  des  stocks  de   di...
Objectifs: ● Optimiser (minimiser) le coût total de stockage.● Déterminer     le  minimum  de  la  quantité   commandée et...
Modélisation Stochastique de la            demande:●   Lois de probabilités: discrètes et continues.    ●   Dans le cas di...
Loi normale?    ●   Loi normale, non, les raisons:●   une loi normale a une probabilité non nulle de     prendre des valeu...
Loi exponentielle?    ●   Losque la symétrie nest plus vérifiée,     ●    La loi exponentielle (négative).●   De même, la ...
Loi Log­normale:●   On  se  propose  de  modéliser  la  demande  X     pendant  le  délai  de  livraison  L  par  une  loi...
Loi Log­normale:●   La loi lognormale a la propriété dêtre  asymétrique     et étalée vers la droite
 Schéma multiplicative:●   La demande durant le délai de livraison L est     notée X et elle est supposée égale à :       ...
Schéma multiplicative:●   Lorsque la demande D et le délai de livraison (ou     de  production)  L  sont  des  v.a.,  alor...
Schéma multiplicative:●   Si les lois suivies par D et L sont log­normales à     deux paramètres, alors la loi suivie par ...
Espérance et variance de la                      demande:●   La loi suivie par X et L se caractérise par les deux     para...
La méthode à point de commande:●   Le point de commande Sc  est le niveau de stock     auquel on déclenche une commande ou...
La méthode à point de commande:      ●   La fonction de répartition de la Log-normale étant:                              ...
 Détermination de Sc lorsque le      coût de rupture Cr est connu:●   Nr=nombre de ruptures dans la période de     réferen...
●    Lobjectif est min Espérance du coût total de    stockage pendant le délai de livraison.●   Notons E(Ct) l’espérance d...
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●   Un coût de rupture fixe est généralement associé     à des ventes différées et dans ce cas le stock de     sécurité s’...
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●   Le point de commande dans ce cas est déterminé     “implicitement” par:                                              ...
Détermination Sc lorsque Cr             proportionnel: ●   Cr fonction linéaire de du nombre d’unités dont     la demande ...
Ventes différées:    Cr=coût de rupture unitaire                                     E D    E(Ct) =C S  S C −E  X   ...
●   Nn dépende de Sc                      E D ∂                                 [                          ]            ...
Ventes perdues:       ●   Le stock de sécurité s’écrit, cette fois:                              S                  E  S ...
[      E  DE(Ct)=C S [ S C −E  X  ]  C S C r                                       Q          ]    ∞              ...
Conclusion :●   Cas numériques d’application, surtout dans le cas     d’un  très  grand  nombre  de  données,  que  ces   ...
Conclusion:●   Considérer  la  demande  suivant  une  loi  de  probabilité     log­normale  à  trois  paramètres,  avec  S...
Réferences:[1]  Aggarwal,  V. :  « Modelling  of  distributions  by  value   for multi­item inventory», IEEE Trans., 16, 9...
Références:[4]  Crow,  E.  L.  &  Shimitzu,  K.:  « Lognormal   Distributions:  Theory  and  Applications  »,  Marcel   De...
Références:[7]  Roger,  P. :  « Gestion  de  Production »,  Dalloz­Sirey,   1997.[8]  Strijbosch,  L.  W.  G.  &  Moors,  ...
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  1. 1. Vème Conférence Internationale en Recherche Opérationnelle CIRO10 Marrakech, 24­27 Mai 2010Modélisation Stochastique de la demande pour les stocks de distribution par une loi  de probabilité Log­normale Mohamed El Merouani Département de Statistique et Informatique Faculté Polydisciplinaire de Tétouan Université Abdelmalek Essaâdi Tétouan-Maroc
  2. 2. Introduction:● Modéliser la demande lors de la période de  livraison.● On  considère  la  demande  des  stocks  de  distribution comme variable aléatoire qui suit une  loi de probabilité Log­normale ● Tadikamalla  (1979);  Das  (1983);  Aggarwal  (1984); Al­Harkan & Hariga (2007). 2
  3. 3. Objectifs: ● Optimiser (minimiser) le coût total de stockage.● Déterminer  le  minimum  de  la  quantité  commandée et le point de commande.● Déterminer le nombre moyen des ruptures.● Déterminer  le  minimum  de  lespérance  du  coût  total du stock de sécurité,  On discute les deux cas: ✔ coût de rupture connu, ✔ coût de rupture proportionnel. 3
  4. 4. Modélisation Stochastique de la  demande:● Lois de probabilités: discrètes et continues. ● Dans le cas discrèt, ● Dans le cas on utilise la loi de continue, on utilise Poisson. la loi normale. ● Loi de Poisson (Non), pourquoi?: ● Discrète. ● Sa variance=sa moyenne. 4
  5. 5. Loi normale? ● Loi normale, non, les raisons:● une loi normale a une probabilité non nulle de  prendre des valeurs négatives.● La  demande  dun  produit  est  normale  lorsquelle porte sur un grand nombre dunités.● Elle est symétrique par rapport à la moyenne.
  6. 6. Loi exponentielle? ● Losque la symétrie nest plus vérifiée,  ●  La loi exponentielle (négative).● De même, la loi exponentielle, non, parce que:● Elle est caractérisée par E=   ● Loi  exponentielle  négative,  modélise  les   phénomènes de désintégration.
  7. 7. Loi Log­normale:● On  se  propose  de  modéliser  la  demande  X  pendant  le  délai  de  livraison  L  par  une  loi  de  probabilité Log­normale. ● X ~ ,  Notation:                     si sa fonction de densité  de probabilité est  { 2 1 1  Ln x −μ  exp {− } si x0 f  x =  2π σx 2 σ 2 0 si x≤0
  8. 8. Loi Log­normale:● La loi lognormale a la propriété dêtre  asymétrique  et étalée vers la droite
  9. 9.  Schéma multiplicative:● La demande durant le délai de livraison L est  notée X et elle est supposée égale à : X=D.L      où D est la demande globale ou totale
  10. 10. Schéma multiplicative:● Lorsque la demande D et le délai de livraison (ou  de  production)  L  sont  des  v.a.,  alors  la  demande  X,  les  dates  et  durées  de  rupture  de  stocks  éventuelles  et  les  coûts  de  détention  deviennent  eux­mêmes aléatoires.
  11. 11. Schéma multiplicative:● Si les lois suivies par D et L sont log­normales à  deux paramètres, alors la loi suivie par le produit  D.L=X est aussi log­normale dont les paramètres  sont exactement la somme des paramètres de D et  de L. Ceci est grâce à la propriété de la fonction  logarithme, Ln(D.L)=Ln(D)+Ln(L).
  12. 12. Espérance et variance de la  demande:● La loi suivie par X et L se caractérise par les deux  paramètres: 2 σ ­Lespérance E  X =exp { μ } 2 ­La variance σ2 2μσ 2 Var  X = e −1 e
  13. 13. La méthode à point de commande:● Le point de commande Sc  est le niveau de stock  auquel on déclenche une commande ou auquel on  entame la production d’un nouveau lot.
  14. 14. La méthode à point de commande: ● La fonction de répartition de la Log-normale étant: 2 1 x 1  Ln t− μ  F  x = σ  2π ∫0 t exp {− 2σ2 }dt● L’événement “une rupture de stock se produit” n’est rien d’autre que l’événement {X >SC}; en conséquence la probabilité de rupture s’écrit: 2 1 ∞ 1  Ln t− μ  P  X S C =1−F  S C = σ  2π ∫S t exp {− 2σ2 }dt C
  15. 15.  Détermination de Sc lorsque le  coût de rupture Cr est connu:● Nr=nombre de ruptures dans la période de  réference (lannée, par exemple)● Cr =Coût de ruptutre Cr =● CS=Coût de détention● Ct=Coût totale du stock de sécurité Ct=CS+Cr
  16. 16. ● Lobjectif est min Espérance du coût total de stockage pendant le délai de livraison.● Notons E(Ct) l’espérance du coût total du stock  de sécurité E(Ct) =Cr E(Nr) + CS E(SS)
  17. 17. Nous  supposons  implicitement  que  la  quantité optimale de commande    a déjà été déterminée par   Qles  techniques  déterministes  classiques  (Le  modèle de Wilson). le coût de rupture total est égal au produit Nr.Cr  où Nr  est  le  nombre  de  ruptures  dans  l’année;  on  a alors:
  18. 18. E D E  N r = ×P  X S C  Q { } 2 E D 1 ∞ 1  Ln t−μ  E  N r =  Q σ  2π ∫S t exp − 2σ dt C ED En effet, le rapport          est le nombre moyen de  Q commandes  et  par  conséquent  le  nombre  moyen  de possibilités de rupture de stock.
  19. 19. ● Lorsqu’on  cherche  à  évaluer  un  coût  de  rupture  moyen  (une  espérance),  il  faut  connaître  le  nombre  moyen  d’unités  non  livrées  et  appliquer  le coût unitaire de rupture à ce nombre (que nous  noterons E(Nn)). On a alors: ∞ E  N n =∫S  x−S  f  x  dx C C ∞  x−S C  2 1  Ln x− μ  E  N n = σ  2π ∫SC x exp {− 2σ 2 }dx
  20. 20. ● Un coût de rupture fixe est généralement associé  à des ventes différées et dans ce cas le stock de  sécurité s’écrit : S S =S C −X
  21. 21. E DMin E(Ct) =C r P  X S C  C S  S C −E  X   Qce qui conduit à résoudre l’équation : ∂ E(Ct)=0 ∂ SC E D −C r f  S C C S =0  Q où f est la fonction de densité de la loi log-normale.
  22. 22. ● Le point de commande dans ce cas est déterminé  “implicitement” par:  Q CS f  S C = E  D  Cr pour éviter l’obtention du point de commande  « implicitement » est de considérer la demande  suivant une loi de probabilité log­normale à trois  paramètres, avec SC comme le paramètre seuil.
  23. 23. Détermination Sc lorsque Cr  proportionnel: ● Cr fonction linéaire de du nombre d’unités dont  la demande n’a pu être satisfaite Nn.● Distinguer deux cas:● Ventes différées:● Ventes perdues:
  24. 24. Ventes différées: Cr=coût de rupture unitaire  E D E(Ct) =C S  S C −E  X   C r  E  N n  Q E  D  ∞ =C S  S C −E  X   C r Q ∫S  x−S C  f  x  dx C { } 2 ED 1 ∞  x−SC   Ln x−μ   σ  2π ∫S=C S  S C −E  X   C r exp − 2 dx Q C x 2σ
  25. 25. ● Nn dépende de Sc E D ∂ [ ] ∞ ∂ E(Ct) =C S C r  Q ∂ SC ∫  x−S  f  x  dx S C C ∂ SC E D ∂ E(Ct) =C S −C r P  X S C   Q ∂ SC Q CS ¿ P  X S C  =1−F  S C  = E  D  Crou F est la fonction de répartition de la log­normale (de X)
  26. 26. Ventes perdues: ● Le stock de sécurité s’écrit, cette fois: S E  S S  =∫0  S C −x  f  x  dx C { } 2 1 S  SC− x   Ln x−μ  E  S S = ∫0 x exp − 2σ2 dx C σ  2π ● Le coût total de stockage s’écrit alors: [ ] ∞E(Ct) =C S S C −E  X ∫S  x−S C  f  x  dx C E  D  ∞ C r Q ∫S  x−S C  f  x  dx C
  27. 27. [ E  DE(Ct)=C S [ S C −E  X  ]  C S C r  Q ] ∞ ∫  x−S  f  x  dx SC C ∂ E(Ct)=0 ∂ SC CS  CSQ P  X S C = = [ ] [C QC r E  D  ] E  D S  C S C r Q
  28. 28. Conclusion :● Cas numériques d’application, surtout dans le cas  d’un  très  grand  nombre  de  données,  que  ces  derniers soient réels ou générées par simulation. ● Inférence  statistique,  en  particulier  l’estimation  des paramètres de la loi log­normale pour prévoir  la demande futur, ainsi que les délai de livraison  dans les périodes à venir.
  29. 29. Conclusion:● Considérer  la  demande  suivant  une  loi  de  probabilité  log­normale  à  trois  paramètres,  avec  SC  comme  le  paramètre seuil.● Modéliser la demande par des processus stochastiques  au lieu de le faire par des simples lois de probabilités.
  30. 30. Réferences:[1]  Aggarwal,  V. :  « Modelling  of  distributions  by  value  for multi­item inventory», IEEE Trans., 16, 90­98, 1984.[2]  Aitchison,  J.  &  Brown,  J.  A.  C.:  «  The  Lognormal  Distribution  »,  Cambridge  University  Press,  London,  1957.[3]  Al­Harkan,  I.  &  Hariga,  M.:  « A  Simulation  Optimization  Solution  to  the  Inventory  Continuous  Review  Problem  with  lot  size  dependent  Lead  Time  »,  The  Arabian  Journal  for  Science  and  Engineering,  Vol.  32, N° 2B, 327­338, October 2007.
  31. 31. Références:[4]  Crow,  E.  L.  &  Shimitzu,  K.:  « Lognormal  Distributions:  Theory  and  Applications  »,  Marcel  Dekker, Inc., New York, 1988.[5] Cohen, A. C.: « Estimating parameters of logarithmic­ normal  distributions  by  maximum  likelihood  »,  Journal  of  the  American  Statistical  Association,  46,  206­212,  1951.[6] Das, C.: «Inventory control for Lognormal demand »,  Computers & Operations Res., 10, 267­276, 1983.
  32. 32. Références:[7]  Roger,  P. :  « Gestion  de  Production »,  Dalloz­Sirey,  1997.[8]  Strijbosch,  L.  W.  G.  &  Moors,  J.  J.  A.  :  « Modified  normal  demand  distributions  in  (R,  S)­inventory  control»,  European  Journal  of  Operational  Research,  172,  201­212,  2006.[9]  Tadikamalla,  Pandu  R : « The  lognormal  approximation  to the lead time demand in inventory control », Omega, vol.  7, issue 6, pages 553­556, 1979.[10]  Tadikamalla,  Pandu  R :  « A  comparison  of  several  approximations  to  the  lead  time  demand  distribution»,  Omega, vol. 12, issue 6, pages 575­581, 1984.

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