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Département de physique
        Diplôme des Études Supérieures Approfondies (DESA)
     Modélisation, Simulation et Caractérisation en physique (MSCP)




                              Préparé par :

                    M. Mohamed REFFADI
                                                Sous la direction du : Pr. F. LAHNA
Comité de jury :
M. Mohamed ABID           Faculté des Sciences Ain Chok
M. Abdelkader BOULZHAR   Faculté des Sciences Ain Chok
M. Rachid SEHAQUI        Faculté des Sciences Ain Chok
M. EL hassan SAYOUTY     Faculté des Sciences Ain Chok
M. Fouzi LAHNA           Faculté des Sciences Ain Chok
                                                                                 2
                     Soutenu le : Jeudi 07 Février 2008 à 14h30.
Plan



  Introduction
  Généralités sur l’élasticité
  Généralités sur la mécanique de la rupture
  Méthodes de calcul du facteur d’intensité de
contraintes
  Résultats et interprétations
  Conclusion
  Perspectives


                                                 3
4
Introduction

  Dans le milieu industriel, de nombreuses applications sont
concernées par la mécanique de la rupture.

   La volonté de concevoir des structures de plus en plus légères
et à la durée de vie de plus en plus longue nécessite de prendre
en compte les fissures dans les calculs de structure.

   Définir les facteurs d’élasticité,
   Déterminer les critères de la rupture,
   Décrire les méthodes analytiques et numériques de calculs du
facteur d’intensité des contraintes,
  Analyser et discuter les résultats obtenus, analytiquement et
numériquement

                                                                    5
6
Généralités sur l’élasticité



           L’élasticité est la propriété physique d'un corps de
reprendre sa forme initiale après suppression de la
sollicitation.

  Le corps est parfaitement élastique s'il retrouve
complètement sa forme originale après suppression de la
charge.

   Il est partiellement élastique si la déformation produite par
les forces externes ne disparaît pas complètement lorsque
celles-ci sont annulées.




                                                                   7
Généralités sur l’élasticité
I- Tenseur des contraintes
  Quand un corps est soumis à l'action de forces extérieures des
contraintes s'établissent, par réaction, à l'intérieur de ce corps.




     Aux contraintes sont associées des déformations.


                                                                      8
Généralités sur l’élasticité
II- Tenseur des déformation
   Le tenseur des déformations, est un tenseur symétrique 3×3
servant à décrire l'état de déformation local résultant de
contraintes (efforts internes).

                         ε       ε        ε      
                          xx         xy       xz 
                     ε =  ε yx   ε        ε      
                         
                         ε
                                      yy       yz
                                                  
                          zx     ε   zy   ε      
                                               zz 



 Dans le cas de petites déformations, ce tenseur est le tenseur de
 Green, un tenseur dérivé du champ de déplacement.


                                                      Avec : i, j = (x, y, z)


                                                                                9
Généralités sur l’élasticité
III- Élasticité tridimensionnelle



   Pour bien définir le comportement entre le système et les
contraintes extérieures, on doit donc écrire les différentes
relations entre contraintes (σij), déformations (εij) et
déplacements (Ui).
  On a besoin de définir 15 équations pour résoudre un
problème d’élasticité en 3 dimensions.




                                                               10
Généralités sur l’élasticité
III- Élasticité tridimensionnelle
            A- Loi de Hooke

  - Dans le cas d'un matériau isotrope :

              1 +ν                       ν
   ε   ij   =      σ            ij   −       σ   kk   δ   ij   [6 équations]
                E                        E

   δ   ij   {   =1
                = 0
                      p o u r i= j
                      pour i≠ j


   Avec:
   E : Module de Young
   ν : Coefficient de poisson


                                                                               11
Généralités sur l’élasticité

 - Dans le cas d'un matériau anisotrope :
 Le comportement élastique est modélisé par un tenseur d'ordre
 4 [Cijkl] contenant 81 coefficients élastiques.




  En appliquant la sommation sur les indices k et l.
  Le nombre de coefficients indépendants est réduit à 21 en
  tenant compte de la symétrie des tenseurs de contraintes et de
  déformations, et de la stabilité énergétique du tenseur.

 Remarque :

           [σ ] = [C ][ε ]   Avec [C] Tenseur des rigidités

           [ε ] = [S ][σ ]   Avec [S ] Tenseur des complaisances élastiques.
                                                                         12
Généralités sur l’élasticité
   En introduisant les coefficients d’élasticité pour un matériau
 anisotrope [S ] s’écrit sous les formes.
           
               1         −ν      21
                                       −ν      31
                                                    η    1 , 23
                                                                  η    1 , 13
                                                                                η    1 , 12
                                                                                              
                                                                                              
                                                                                             
            E 1          E      2     E       3    G       23    G       13    G       12    
                                                    η             η             η
            ν 12
            −            1            −ν                                                     
                                               32        2 , 23        2 , 13        2 , 12
                                                                                              
            E 1          E            E       3    G       23    G       13    G       12    
                                 2
                                                                                              
            − ν 13       −ν      23       1        η    3 , 23
                                                                  η    3 , 13
                                                                                η    3 , 12   
                                                                                             
       S =  E 1          E      2     E       3    G       23    G       13    G       12    
            η            η            η                          η             η             
                23 , 1       23 , 2       23 , 3       1             23 , 13       23 , 12   
            E 1          E      2     E       3    G             G             G             
                                                                                             
                                                            23            13            12

            η 13 , 1     η   13 , 2
                                       η   13 , 3
                                                    η   13 , 23       1         η   13 , 12   
                                                                                             
            E 1          E      2     E       3    G       23    G       13    G       12    
            η            η            η            η             η                           
               12 , 1        12 , 2       12 , 3       12 , 23       12 , 13       1         
                                                                                             
            E 1          E      2     E       3    G       23    G       13    G       12    

   Ainsi, pour définir complètement un matériau dans le cas le plus général
d'anisotropie, il faut trois modules d'Young, trois modules de cisaillement, trois
coefficients de poisson, trois coefficients de CHENTSOV et neuf coefficients de
LEKHNITSKII.
                                                                                                  13
Généralités sur l’élasticité

   - Dans le cas d'un matériau orthotrope :
  Définition : Un matériau est dit orthotrope, s'il a deux plans de
  symétries de comportement mécanique, il y a donc trois axes
  d'orthotropies, d'où :
L'existence de deux plans de symétrie annule douze constantes élastiques.
                       1         −ν        −ν                                   
                                      21        31
                                                      0        0        0        
                       E    1    E    2    E    3
                                                                                 
                                                                                
                       −ν        1         −ν                                   
          ε         
                             12                  32
                                                      0        0        0
                                                                                  σ        
                                                                                            
               11
                     E                   E
          ε
                                                                                        11
                                  E
                                                                                 σ
               22 
                             1         2         3
                                                                                           
                       −ν        −ν
          ε
                                                                                        22
                                            1                                               
                                                                                 σ
                             13        23
              33                                   0        0        0
                   =  E                                                                    
          γ
                                 E         E                                    
                                                                                        33

                                                                                  τ
               23 
                             1         2         3
                                                                                             
                                                     1                                 23
          γ          0          0         0                 0        0         τ
                                                                                             
                                                    G                                 13   
               13
                                                                                
          γ                                                                      τ
                                                          23
                                                                                             
                 
               12     0          0         0        0
                                                               1
                                                                        0               12   
                                                                                
                                                              G   13
                                                                                 
                       0                                               1        
                                   0         0        0        0
                                                                                
                                                                       G   12   


    Dans ce cas on a neuf constantes élastiques indépendantes
                                                                                                 14
Généralités sur l’élasticité
III- Élasticité tridimensionnelle
               B- Les équations d’équilibre

Les équations d’équilibre sont données par les relations suivantes :
  ∂σ
                    + X         = 0
               ij
                                               [3 équations différentielles scalaires]
  ∂
                            i
           X   j




 Les Xi sont les composantes des forces volumiques.
                   C- Les équations géométriques
                      Les équations géométriques s’écrivent sous la forme :
               1  ∂U i     ∂U           
  ε        =            +
                                     j
                                           [6 équations différentielles scalaires]
      ij
               2  ∂x j     ∂x           
                                i       

                                                                                         15
Généralités sur l’élasticité

III- Élasticité bidimensionnelle
          A- Loi de Hooke
     - Dans le cas d'un matériau isotrope :
           1 +ν       ν
ε ij     =      σ ij − tra ce (σ ij ) δ ij                       [3 équations]
             E        E
    Avec : i, j=1 ,2
     - Dans le cas d'un matériau anisotrope :

ε   11
         = α 11σ 11 + α 12σ 22 + α 16σ 12
ε   22
         = α 12σ 11 + α 22σ 22 + α 26σ 12
γ   12
         = α 16σ 11 + α 26σ 22 + α 66σ 12
                     
                         S          en   C   . P                                SS
                                                                   C =S      −                  ; i, j = 1,2,6.
                                                                                 i3        j3
Où α             =             ij
                     
            ij
                        C          en    D   . P   ;   Avec :       ij   ij
                     
                              ij
                                                                                  S   33


                                                                                                          16
Généralités sur l’élasticité

III- Élasticité bidimensionnelle
                A- Loi de Hooke
    - Dans le cas d'un matériau orthotrope :
  Il est désormais plus simple d’exprimer les équations constitutives
d’un matériau orthotrope dans un état de contraintes planes par une
matrice des complaisances plus compacte.

                 
                      1
                                       −    ν   12
                                                             0
                                                                      
                                                                      
                      E                    E                         

   ε   11
             
                
                       ν
                           1
                                            1
                                                     2
                                                                         σ
                                                                          
                                                                                 11
                                                                                      
                                                                                      
   ε   22    =  −
                      E
                           21

                                           E
                                                             0        
                                                                      
                                                                          σ     22   

   γ   12
             
                
                               1                2
                                                             1        
                                                                          
                                                                           τ   12
                                                                                      
                                                                                      
                      0                    0                         
                                                        G            
                                                                12   



        Avec :
                                   E        1
                                                     =   E                 2

                           ν           12                ν            21




                                                                                          17
Généralités sur l’élasticité

III- Élasticité bidimensionnelle
               B- Les équations d’équilibre

Les équations d’équilibre sont données par les relations suivantes :
  ∂σ
                    + X         = 0
               ij
                                             [2 équations différentielles scalaires]
  ∂
                            i
           X   j




 Les Xi sont les composantes des forces volumiques.
                   C- Les équations géométriques
                       Les équations géométriques s’écrivent sous la forme :
               1  ∂U i     ∂U           
  ε        =            +
                                     j
                                            [3 équations différentielles scalaires]
      ij
               2  ∂x j     ∂x           
                                i       

                                                                                        18
19
Généralités sur la mécanique de la rupture



   La mécanique de la rupture est une philosophie de conception
visant à développer un critère de ruine prenant en compte
l’existence de fissures dans le matériau.

  La mécanique de la rupture a pour objet l’étude le
comportement mécanique d’un matériau en présence de fissures
macroscopiques.

  Le but de la mécanique de la rupture est de formuler des critères,
c'est-à-dire de définir les conditions pour les quelles un défaut
identifié (ou non) peut se propager sous une sollicitation donné.




                                                                       20
Généralités sur la mécanique de la rupture

I- Mode de rupture




                                           cisaillement anti-plan
     Traction                                    (Mode III)
     (Mode I)


                     Cisaillement simple
                          (Mode II)

                                                               21
Généralités sur la mécanique de la rupture

I- Essai et courbe de traction




                                              22
Généralités sur la mécanique de la rupture

I- Essai et courbe de traction




                                              23
Généralités sur la mécanique de la rupture

   II- Les facteurs de la rupture
            A- Facteur d’intensité de contraintes
                     i. Cas d’une géométrie infinie :

    KI = σ ∞ (π a)         1/ 2          En mode I



    KII = τ ∞ (π a)        1/ 2
                                         En mode II

                     ii. Cas d’une géométrie finie :
   Pour des éprouvettes de dimensions finies, plus intéressantes en pratique,
les facteurs d’intensité de contraintes K (m= I, II) sont de la forme :


    K m = ασ m (π a )             1/ 2
                                            σ m = σ ∞ ou τ ∞
                                                                                24
Généralités sur la mécanique de la rupture

II- Les facteurs de la rupture
        B- Le taux de restitution d’énergie
  Noté G, le taux de restitution d’énergie représente l’énergie
nécessaire pour faire progresser la fissure d’une longueur unité.




  Où E est le module d’Young et ν le coefficient de poisson.



                                                                    25
26
Calcule du facteur d’intensité de contrainte KI

I- La méthode des éléments finis
               1- Définition
  La méthode des éléments finis est une méthode de résolution
approchée d'équations aux dérivées partielles.

                2- Importance de la méthode
De très nombreux problèmes physiques s'expriment sous forme
d'équations aux dérivées partielles soumises à des conditions aux
limites particulières.
               Mécanique de la rupture
               Mécanique des solides déformables
               Conduction thermique
               Electromanitisme…




                                                                    27
Calcule du facteur d’intensité de contrainte KI

     II- Le maillage
     Dans la méthode des éléments finis, l’étape du maillage est primordiale.
                      1- Les types de maillage




Maillage triangulaire (3 et 6 nœuds).    Maillage quadrangle (4, 8 et 9 nœuds).




                                                                                  28
Calcule du facteur d’intensité de contrainte KI

        III- Méthodes de calcul de KI
                        1- Méthodes directes


                         u KI r (3 −ν )(1+ν ) −1+ 2sin2 (θ / 2) 
                          =
i. Méthode avec champ
                                                                  
                         v 2µ 2π (3 −ν )(1+ν ) +1− 2cos (θ / 2)
   de déplacement                                         2



                                               KI      θ        θ   3θ
                                   σ xx (θ ) =      cos (1 − sin sin )
                                               2π r    2        2    2
                                               KI      θ        θ   3θ
 ii. Méthode avec champ de         σ yy (θ ) =      cos (1 + sin sin )
 déplacement                                   2π r    2        2    2
                                                 KI      θ    θ   3θ
                                   σ xy (θ ) =        cos (sin sin )
                                                 2π r    2    2    2
                                                                   29
Calcule du facteur d’intensité de contrainte KI

III- Méthodes de calcul de KI
           1- Méthodes indirectes
                 i. Méthode de complaisance

              P ² ∂Cm(a)
          Gm = m .       ; m= I, II
               2 ∂a
                 ii. Méthode de déplacement virtuel


               Pm ² ∆C m ( a )
          Gm =     .           ; m = I , II
                2     ∆a



                                                      30
31
Résultats et interprétations

       I- Description de l’essai
                                                                   b
        P
                                     L= a + c

                                                                           2h


                     a                             c
        P
                                Éprouvette DCB

P : Charge appliquée = 10 daN    2h : Hauteur de l’éprouvette
a : Longueur de fissure          L    : Longueur de l’éprouvette (320mm)
c : Ligament                     b    : Épaisseur de l’éprouvette = 1 mm
                                                                            32
Résultats et interprétations

    II- Maillage utilisé

    En raison de symétrie, le maillage est effectué sur demi éprouvette



      .....
          4   6   9



      .....
          .
      1



h

      ..
      2

      3    5 8

          20mm
              7

                  10




                                    320mm




                                                                          33
Résultats et interprétations

 III- Matériaux isotropes
   Les matériaux isotropes utilisés dans notre travail sont
 représentés dans le tableau suivant :

      Matériaux            Acier    Cuivre   Aluminium   Plexiglas
Module de Young E en
                           20 000   12 500     7 400       290
      [daN/mm2]

Coefficient de poisson ν    0 ,3     0,35      0,34        0,36




                                                                  34
Résultats et interprétations

- Méthodes utilisées
               1- Méthode complaisance ( numérique)
  Nous tournons le programme pour avoir le déplacement virtuel Uy
complaisance C (a) pour chaque matériaux, avec C (a) =2Uy/P,

  Trace de la courbe de C (a)

  Lissage de C (a), afin de trouver le polynôme correspondante,
               ∂C ( a )
  Calcule de
                ∂a
                                       P ∂C
                                           2
                                                    (a )
  Calcule de              G I (a ) =            I

                                       2       ∂a
                                                                        1 −ν
                                                                               2

                                                           G I (a ) =
                                                                                       2
  Calcule de KI
                                                                          E        K   I
                                                                                           (a )


  En fin, on trace la courbe de KI (a).

                                                                                                  35
Résultats et interprétations

   - Méthodes utilisées
                        2- Formule de KANNINEN ( Analytique)


                            2×       3 × P × a × [1 + 0.64( h / a ) ]
     K1 (a ) =
                                                     b × h3/2
                        P    :    Charge appliquée
                        a    :    Longueur de fissure
                        h    :    Demi hauteur de l’éprouvette
                        b    :    Épaisseur de l’éprouvette
   a [mm]          60        80      100     120      140     160     180     200     220     240

KI [daN.mm-3/2]   21,06     26,60    32,15   37,69    43,23   48,77   54,32   59,86   65,40   70,94

     La formule analytique de KANNINEN du facteur d’intensité de
     contrainte ne dépend pas de la nature du matériau ( ν,E)                                   36
Résultats et interprétations

      - Résultats
         Les résultats obtenus sont présentés dans des tableaux comme
      le suivant :
       - Cas de l’acier avec (2h= 50mm).
Longueur
           Déplacement                ∂C (a )      Taux de
                                                                  FIC KI    FIC KI  Ecart en
    de                 Complaisance               restitution
fissure"a"
                Uy                     ∂a          d'énergie
                                                                Numérique "KANNINEN    %
    60      0,05191000  0,01038200     4,22E-04   0,02107722      21,52      21,06    2,19%
    80      0,10640000  0,02128000     6,79E-04   0,03394985      27,32      26,60    2,67%
    100     0,18970000  0,03794000     9,98E-04   0,04991838      33,12      32,15    3,04%
    120     0,30810000  0,06162000     1,38E-03   0,06898281      38,94      37,69    3,31%
    140     0,46780000  0,09356000     1,82E-03   0,09114314      44,76      43,23    3,53%
    160     0,67480000  0,13496000     2,33E-03   0,11639938      50,58      48,77    3,70%
    180     0,93540000  0,18708000     2,90E-03   0,14475153      56,40      54,32    3,84%
    200     1,25600000  0,25120000     3,52E-03   0,17619958      62,23      59,86    3,96%
    220     1,64200000  0,32840000     4,21E-03   0,21074353      68,06      65,40    4,06%
    240     2,10100000  0,42020000     4,97E-03   0,24838338      73,88      70,94    4,14%


       N.B : Pour le lissage, on a trouvé que le polynôme en 3ème degré donne
       des bons résultas.
                                                                                          37
Résultats et interprétations

                        - Résultats
                                     - Cas d’Acier

                       Courbe de complaisance enfonctionde "a"                                                           Courbe de FIC en mode I en fonction de "a"
                                        -Acier-                                                                                     -Acier 2h = 50 mm-
C plaisance en
 om
    [m /daN
      m ]                                                                                         FIC[daN.m -3/2]
                                                                                                           m
  4,50E-01                                                                                        80,00

  4,00E-01
                                                                                                  70,00
  3,50E-01
                                                                                                  60,00
  3,00E-01
                                                                                                  50,00
  2,50E-01                                                               C plaisance
                                                                          om
                                                                         Lissage 3èm degré
                                                                                    e             40,00
  2,00E-01                                                                                                                                                                      C plaisance
                                                                                                                                                                                 om
                                                                                                  30,00                                                                         KANN N
                                                                                                                                                                                    INE
  1,50E-01

  1,00E-01                                                                                        20,00

  5,00E-02                                                                                        10,00

 0,00E+00                                                                Longueur de la fissure    0,00                                                                   Longueur de fissure
             60   80     100   120   140   160   180   200   220   240        "a" en [m ]
                                                                                       m                   60       80    100   120   140   160   180   200   220   240         "a"[m ]
                                                                                                                                                                                     m




                                                                                                                                                                            38
Résultats et interprétations

                      - Résultats
                                   - Cas du cuivre

                            Courbe de complaisance en fonction de "a"                                          Courbe de FIC en mode I en fonction de "a"
                                            -Cuivre-                                                                           -Cuivre-
C plaisance en
 om
    [m /daN
      m ]                                                                                   FIC [daN.m -3/2]
                                                                                                      m
 8,00E-01                                                                                   8,00E+01

 7,00E-01                                                                                   7,00E+01

 6,00E-01                                                                                   6,00E+01

 5,00E-01                                                                                   5,00E+01
                                                                                                                                                                          Complaisance
 4,00E-01                                                                                   4,00E+01
                                                                                                                                                                          KANINNEN

 3,00E-01                                                                                   3,00E+01
                                                                       C plaisance
                                                                        om
 2,00E-01                                                              Lissage 3èm degré 2,00E+01
                                                                                  e

 1,00E-01                                                                                   1,00E+01

 0,00E+00                                                             Longueur de la fissure 0,00E+00                                                               Longueur de fissure
            60   80   100   120   140   160   180   200   220   240        "a" en [m ]
                                                                                    m                    60    80   100   120   140   160   180   200   220   240        "a"[m ]
                                                                                                                                                                              m




                                                                                                                                                                      39
Résultats et interprétations

                        - Résultats
                                     - Cas d’Aluminium

                                                                                                                Courbe de FIC en m I en fonction de "a"
                                                                                                                                   ode
                      Courbe de complaisance enfonctionde "a"                                                                  -Alimunium-
                                    -Alum -
                                          inium
C plaisance en
 om                                                                                           FIC[daN.m -3/2]
                                                                                                       m
    [m /daN
      m ]
1,20E+00                                                                                      8,00E+01

                                                                                              7,00E+01
1,00E+00
                                                                                              6,00E+01

8,00E-01
                                                                                              5,00E+01

6,00E-01                                                                                      4,00E+01

                                                                                                                                                               Méthode de complaisance
                                                                          C plaisance
                                                                           om                 3,00E+01
4,00E-01                                                                                                                                                       Méthode de KANNINEN
                                                                          Lissage 3èm degré
                                                                                     e
                                                                                              2,00E+01
2,00E-01
                                                                                              1,00E+01

0,00E+00                                                                Longueur de la fissure 0,00E+00                                                              Longueur de fissure
           60    80    100    120   140   160   180   200   220   240        "a" en [m ]
                                                                                      m                   60    80   100   120   140   160   180   200   220   240         "a"[m ]
                                                                                                                                                                                m




                                                                                                                                                                        40
Résultats et interprétations

                        - Résultats
                                     - Cas du Plexiglas


                  Courbe de complaisance en fonction de "a"                                                  Courbe de FIC en mode I en fonction de "a"
                                 -Plexiglas-                                                                                -Plexiglas-
C plaisance en
 om
   [m /daN
     m ]                                                                                  FIC [daN.mm-3/2]
35                                                                                        8,00E+01

30                                                                                        7,00E+01

                                                                                          6,00E+01
25
                                                                                          5,00E+01
20
                                                                    Données réelles       4,00E+01                                                                      Complaisance
15
                                                                    Lissage 3èm degré
                                                                               e                                                                                        KANNINEN
                                                                                          3,00E+01
10
                                                                                          2,00E+01

5
                                                                                          1,00E+01

0                                                                   Longueur de la fissure 0,00E+00                                                               Longueur de fissure
      60     80   100    120   140    160   180   200   220   240        "a" en [m ]
                                                                                  m                    60    80   100   120   140   160   180   200   220   240        "a"[mm]




                                                                                                                                                                     41
Résultats et interprétations

                        - Résultats
                               La limite de fiabilité de la formule de KANNINEN


                       Courbe de complaisance enfonctionde "a"                                                             Courbe de FICen m I en fonction de "a"
                                                                                                                                              ode
                                  -Acier 2h= 20 m -
                                                 m                                                                                    -Acier 2h = 20 m -
                                                                                                                                                      m
C plaisance en
 om
    [m /daN
      m ]                                                                                           FIC[daN m
                                                                                                           .m -3/2]
  8,00E+00
                                                                                                    350,00

 7,00E+00
                                                                                                    300,00
 6,00E+00
                                                                                                    250,00
 5,00E+00
                                                                          C plaisance
                                                                           om                       200,00
 4,00E+00
                                                                          Lissage 4èm degré
                                                                                     e                                                                                            C plaisance
                                                                                                                                                                                   om
                                                                                                    150,00
 3,00E+00                                                                                                                                                                         KAN IN N
                                                                                                                                                                                     NE

                                                                                                    100,00
 2,00E+00

 1,00E+00                                                                                            50,00


 0,00E+00                                                                  Longueur de la fissure     0,00                                                                   Longueur de fissure
             60   80     100    120   140   160   180   200   220   240         "a" en [m ]
                                                                                         m                    60      80     100   120   140   160   180   200   220   240         "a"[m ]
                                                                                                                                                                                        m




                                                                                                                                                                               42
Résultats et interprétations

                       - Résultats
                            La limite de fiabilité de la formule de KANNINEN

                       Courbe de complaisance en fonction de "a"                                                          Courbe de FIC en mode I en fonction de "a"
                                  -Acier 2h = 25 m -
                                                  m                                                                                  -Acier 2h = 25 mm-
C plaisance en
 om
    [m /daN
      m ]
                                                                                                   FIC[daN m
                                                                                                          .m -3/2]
  3,50E+00
                                                                                                   250,00

 3,00E+00
                                                                                                   200,00
 2,50E+00


 2,00E+00                                                                                          150,00
                                                                         C plaisance
                                                                          om
                                                                         Lissage 3èm degré
                                                                                    e                                                                                            C plaisance
                                                                                                                                                                                  om
 1,50E+00
                                                                                                   100,00                                                                        KANN N
                                                                                                                                                                                     INE
 1,00E+00

                                                                                                    50,00
  5,00E-01


 0,00E+00                                                                 Longueur de la fissure     0,00                                                                   Longueur de fissure
             60   80     100   120   140   160   180   200   220   240         "a" en [m ]
                                                                                        m                    60      80     100   120   140   160   180   200   220   240        "a"[m ]
                                                                                                                                                                                      m




                                                                                                                                                                              43
Résultats et interprétations

                         - Résultats
                                La limite de fiabilité de la formule de KANNINEN

                        Courbe de complaisance en fonction de "a"                                                           Courbe de FIC en mode I en fonction de "a"
                                   -Acier 2h = 130 mm-                                                                                 -Acier 2h = 130 mm-

Com plaisance en
    [m /daN]
      m                                                                                             FIC [daN.mm-3/2]
  3,50E-02                                                                                          25,00

  3,00E-02
                                                                                                    20,00
  2,50E-02

  2,00E-02                                                          Complaisance                    15,00
                                                                    Lissage 3èm degré
                                                                               e                                                                                               Complaisance
  1,50E-02                                                                                                                                                                     KANNINEN
                                                                                                    10,00

  1,00E-02
                                                                                                     5,00
  5,00E-03

 0,00E+00                                                                  Longueur de la fissure    0,00                                                                     Longueur de fissure
              60   80     100   120   140   160   180   200   220    240        "a" en [m ]
                                                                                         m                    60       80     100   120   140   160   180   200   220   240         "a"[mm]




                                                                                                                                                                                44
Résultats et interprétations

                        - Résultats
                              La limite de fiabilité de la formule de KANNINEN


                      Courbe de com plaisance enfonctionde "a"                                                          Courbe de FIC en mode I en fonction de "a"
                                 -Acier 2h= 135 m -
                                                  m                                                                                -Acier 2h = 135 mm-

C plaisance en
 om
    [m /daN
      m ]
                                                                                                 FIC[daN m
                                                                                                        .m -3/2]
  3,50E-02
                                                                                                  20,00
 3,00E-02                                                                                        18,00

                                                                                                 16,00
 2,50E-02
                                                                                                 14,00
 2,00E-02                                                         C plaisance
                                                                   om                            12,00
                                                                  Lissage 3èm degré
                                                                             e                   10,00                                                                     C plaisance
                                                                                                                                                                            om
 1,50E-02                                                                                                                                                                  KAN IN N
                                                                                                                                                                              N E
                                                                                                  8,00
 1,00E-02                                                                                         6,00
                                                                                                  4,00
 5,00E-03
                                                                                                  2,00
 0,00E+00                                                               Longueur de la fissure    0,00                                                                    Longueur de fissure
            60   80     100   120   140   160   180   200   220   240        "a" en [m ]
                                                                                      m                    60      80     100   120   140   160   180   200   220   240         "a"[m ]
                                                                                                                                                                                     m




                                                                                                                                                                             45
Résultats et interprétations

IV- Matériaux orthotropes
  Les matériaux orthotropes utilisés dans notre travail sont
représentés dans le tableau suivant :

       Matériaux      Pin sylvestre   Eucalyptus   Douglas

      E1 (daN/mm2)       1 700          1 924      1 669
      E2 (daN/mm2)        108           96,1        132
      E3 (daN/mm2)        108             _          92

      G12 (daN/mm2)       141           101,4       120
           ν12            0,22           0,5       0,367
           ν21          0,0139        2,497E-02    0,029
           ν13            0,22            _        0,384
           ν31          0,0139            _        0,021
           ν23            0,62            _        0,594
           ν32            0,62            _        0,414




                                                               46
Résultats et interprétations

- Méthodes utilisées
              1- Méthode complaisance ( numérique)
    Nous suivons les même étapes que pour les matériaux
 isotrope, sauf que pour le calcul de KI nous utiliserons la
 formule suivante :
                                                                                      1
                                                                                
                         α 11α 22             α 22              2α 12 + α 66 
                                       1                   1                              2
                                           2
                                                              2

                    = KI                                         +
                        2
            G                                   α 
                I       
                            2                11 
                                                                       2α 11     

   Avec :

  α   ij
           = S ij               En contraintes planes



                                                                                              47
Résultats et interprétations

- Méthodes utilisées
                     2- Formule du Pr. LAHNA ( Analytique)
                                                                                     1
                                                                          2
                                                                                 
                   12   sh λc + sin λc   sh λc ch λc − sin λc cos λc 
                              2         2                                            2
                                                                              3r 
          ( P I )  3 3 λa                +                            + 
            b  λ h   sh λc − sin λc  
                              2         2
                                                      sh λc − sin λc
                                                          2            2
                                                                            h
                                                                          
K   I
        =                                                          1

                                 α 22  α 22  2 2α 12 + α 66 
                                                   1                 4

                                       
                                                +             
                                                                 
                                
                                 2α 11  α 11 
                                                   2α 11     



                     r =α                    1  6α 11 
                                                           1
                                                               4
                                 66
        Où                            et   λ=         
                        α        11
                                             h  α 22 
                                               
                                                       

        Avec :      α   ij
                             = S ij   En contraintes planes


                                                                                         48
Résultats et interprétations

- Résultats
Les résultats obtenus sont présentés dans des tableaux comme le
suivant :
 - Cas de Pin Sylvester avec (2h= 50mm).

Longueur
    de       Déplacement Uy Complaisance
                                           ∂C (a )      Taux de
                                                       restitution
                                                                     FIC KI
fissure"a"                                   ∂a         d'énergie
                                                                   Numérique

    60          1,17E+00      2,35E-01      7,75E-03   3,88E-01      8,67
    80          2,12E+00      4,24E-01      1,14E-02   5,71E-01     10,46
   100          3,47E+00      6,94E-01      1,58E-02   7,90E-01     12,31
   120          5,30E+00      1,06E+00      2,09E-02   1,05E+00     14,16
   140          7,68E+00      1,54E+00      2,68E-02   1,34E+00     16,02
   160          1,07E+01      2,14E+00      3,34E-02   1,67E+00     17,89
   180          1,44E+01      2,87E+00      4,07E-02   2,03E+00     19,75
   200          1,88E+01      3,77E+00      4,87E-02   2,44E+00     21,62
   220          2,41E+01      4,83E+00      5,75E-02   2,88E+00     23,48


                                                                            49
Résultats et interprétations

                   - Résultats
                              - Cas du Pin Sylvester


                 Courbe de complaisance en fonction de "a"                                             Courbe de FIC en mode I en fonction de "a"
                                                                                   FIC [daN.mm-3/2]
                             -Pin sylvestere -                                     25,00
                                                                                                                   -Pin sylvestere -
C plaisance en
 om
    [m /daN]
      m
  6,00E+00
                                                                                   20,00

 5,00E+00

                                                                                   15,00
 4,00E+00

                                                            Complaisance
 3,00E+00
                                                            Lissage 3èm degré 10,00
                                                                       e
                                                                                                                                                  Complaisance-CP-
 2,00E+00
                                                                                    5,00
 1,00E+00

                                                          Longueur de la fissure                                                                Longueur de fissure
 0,00E+00                                                                           0,00                                                              "a"[mm]
                                                               "a" en [m ]
                                                                        m
            60   80   100   120   140   160   180   200    220                              60        80   100   120   140   160   180   200   220




                                                                                                                                                     50
Résultats et interprétations

                      - Résultats
                                    - Cas du Douglas


                      Courbe de complaisance en fonction de "a"                                          Courbe de FIC en mode I en fonction de "a"
                                     -Douglas-                                                                           -Douglas-
C plaisance en
 om
    [m /daN
      m ]                                                                             FIC [daN.mm-3/2]
6,000                                                                                   30,000


5,000                                                                                  25,000


4,000                                                                                  20,000

                                                               C plaisance
                                                                om
3,000                                                                                  15,000
                                                               Lissage 3èm degré
                                                                          e
                                                                                                                                                            Complaisance

2,000                                                                                  10,000


1,000                                                                                   5,000

                                                             Longueur de la fissure
0,000                                                             "a" en [m ]
                                                                           m            0,000                                                      Longueur de fissure
        60       80     100   120    140   160   180   200   220                                  60     80   100   120   140   160   180   200   220    "a"[mm]




                                                                                                                                                         51
Résultats et interprétations

                       - Résultats
                                     - Cas d’Eucalyptus

                       Courbe de complaisance en fonction de "a"                                                Courbe de FIC en mode I en fonction de "a"
                                    - Eucalyptus -                                                                            -Eucalyptus -
Complaisance en
    [mm/daN]
  5,000                                                                                 FIC [daN.mm-3/2]
                                                                                        25,000
  4,500

  4,000
                                                                                        20,000
  3,500

  3,000
                                                                                        15,000
  2,500

  2,000                                                          Complaisance                                                                                  Complaisance
                                                                                        10,000
  1,500                                                          Lissage 3ème degré

  1,000                                                                                  5,000

  0,500
                                                               Longueur de la fissure                                                                    Longueur de fissure
  0,000                                                             "a" en [mm]          0,000
                                                                                                                                                              "a"[mm]
           60     80     100   120    140   160   180   200   220                                  60      80      100   120   140   160   180   200   220




                                                                                                                                                              52
Résultats et interprétations

                            - Résultats
                                   La limite de fiabilité de la formule du Pr. LAHNA

                          Courbe de com plaisance en fonction de "a"
                                   -E ucalyptus 2h=35m -m                                                           Courbe de FICen mode I en fonction de "a" -
                                                                                                                               Eucalyptus 2h=35mm-
C plaisance[m /daN
 om          m ]                                                                            FIC [daN.mm-3/2]
                                                                                            40,000
14,000

                                                                                            35,000
12,000
                                                                                            30,000
10,000
                                                                                            25,000
 8,000
                                                                         C plaisance
                                                                          om
                                                                                            20,000
                                                                         Lissage3èm degré
                                                                                   e
 6,000
                                                                                            15,000

 4,000                                                                                                                                                           C plaisance
                                                                                                                                                                  om
                                                                                            10,000
                                                                                                                                                                 P LAH A
                                                                                                                                                                  r.  N
 2,000
                                                                                             5,000

 0,000                                                                                       0,000
         60          80      100    120   140    160    180    200     220    a[m ]
                                                                                 m                    60       80     100   120   140   160   180   200   220
                                                                                                                                                                     a [mm]



                                                                                                                                                                53
Résultats et interprétations

                         - Résultats
                               La limite de fiabilité de la formule du Pr. LAHNA

                       Courbe de com plaisance en fonction de "a"
                                -E ucalyptus 2h=40m -m                                                            Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -
                                                                                                                             Eucalyptus 2h=40mm-
C plaisance [m /daN
 om           m ]                                                                         FIC [daN.mm-3/2]
                                                                                          30,000
9,000

8,000
                                                                                          25,000
7,000

6,000                                                                                     20,000


5,000
                                                                      C plaisance
                                                                       om                 15,000
4,000                                                                 Lissage 3èm degré
                                                                                 e

3,000                                                                                     10,000
                                                                                                                                                               Complaisance
2,000                                                                                                                                                          P LAHNA
                                                                                                                                                                r.
                                                                                           5,000
1,000

0,000                                                                                      0,000
                                                                           a [m ]
                                                                               m                    60       80     100   120   140   160   180   200   220
                                                                                                                                                               a [mm]
         60       80     100    120    140    160    180    200     220




                                                                                                                                                              54
Résultats et interprétations

                        - Résultats
                               La limite de fiabilité de la formule du Pr. LAHNA

                       Courbe de com plaisance en fonction de "a"
                                -E ucalyptus 2h=50m -m                                                            Courbe de FICen m I en fonction de "a" -
                                                                                                                                    ode
                                                                                                                             Eucalyptus 2h=50m -
                                                                                                                                              m
C plaisance [m /daN
 om           m ]                                                                         FIC [daN.mm-3/2]
                                                                                          25,000
5,000

4,500
                                                                                          20,000
4,000

3,500

3,000                                                                                     15,000

                                                                      C plaisance
                                                                       om
2,500
                                                                      Lissage 3èm degré
                                                                                 e
2,000                                                                                     10,000

1,500                                                                                                                                                              C plaisance
                                                                                                                                                                    om

1,000                                                                                      5,000                                                                   P LAH A
                                                                                                                                                                    r.  N

0,500

0,000                                                                                      0,000
         60       80     100    120    140    160    180    200     220     a [m ]
                                                                                m                   60       80     100   120   140   160   180   200   220
                                                                                                                                                                   a [mm]



                                                                                                                                                              55
Résultats et interprétations

                        - Résultats
                               La limite de fiabilité de la formule du Pr. LAHNA


                       Courbe de com plaisance en fonction de "a"
                                -E ucalyptus 2h=60m  m-                                                           Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -
                                                                                                                             Eucalyptus 2h=60mm-
C plaisance [m /daN
 om           m ]                                                                         FIC [daN.mm-3/2]
                                                                                          20,000
3,500
                                                                                          18,000
3,000
                                                                                          16,000

2,500                                                                                     14,000

                                                                                          12,000
2,000
                                                                      C plaisance
                                                                       om                 10,000

1,500                                                                 Lissage 3èm degré
                                                                                 e
                                                                                           8,000

                                                                                           6,000                                                               Complaisance
1,000
                                                                                           4,000                                                               P LAHN
                                                                                                                                                                r.   A

0,500
                                                                                           2,000

0,000                                                                                      0,000
                                                                           a [m ]
                                                                               m                    60       80     100   120   140   160   180   200   220
                                                                                                                                                               a [mm]
         60       80     100    120    140    160    180    200     220




                                                                                                                                                              56
Résultats et interprétations

                         - Résultats
                               La limite de fiabilité de la formule du Pr. LAHNA

                       Courbe de complaisance enfonctionde "a"
                                -Eucalyptus 2h=65m -
                                                   m                                                           Courbe de FIC en mode I en fonction de "a"
                                                                                                                         -Eucalyptus 2h=65mm-
C plaisance [m /daN
 om           m ]                                                                      FIC [daN.mm-3/2]
                                                                                       20,000
3,000
                                                                                       18,000

2,500                                                                                  16,000

                                                                                       14,000
2,000
                                                                                       12,000

                                                                   C plaisance
                                                                    om                 10,000
1,500
                                                                   Lissage 3èm degré
                                                                              e
                                                                                        8,000

1,000                                                                                   6,000                                                                  C plaisance
                                                                                                                                                                om

                                                                                        4,000                                                                  P LAH A
                                                                                                                                                                r.  N
0,500
                                                                                        2,000

0,000                                                                                   0,000
                                                                        a [m ]
                                                                            m                    60       80    100   120   140   160   180   200   220
                                                                                                                                                            a [mm]
         60       80     100    120   140   160    180   200     220




                                                                                                                                                          57
58
Conclusion

   Le KI en fonction de la longueur de la fissure a est linéaire,
pour les matériaux isotropes et orthotropes
   Une concordance entre les valeurs de KI obtenus à partir les
formules analytiques (KANNINEN et Pr. LAHNA) et ceux
obtenus par la méthode numérique (méthode de complaisance),
   Le KI ne dépend pas de la nature du matériau mais seulement
de sa géométrie dans le cas des isotropes.
   Le KI dépend de la nature du matériau dans le cas des
orthotrope
   La formule de KANNINEN est valable dans l'intervalle :
               h                              h
     25 mm (     = 4%   ) < 2h < 135 mm (        = 21%      ).
               l                               l
  La formule du Pr. LAHNA est valable dans l'intervalle :

     40 mm ( h = 6,2% ) < 2h < 65 mm ( h = 10,2% ).
               l                               l

                                                                    59
60
Perspectives


Dans cette étude on a cherché à étudier la propagation de la
fissure en supposant que cette dernière se propage d'une
manière linéaire, ce qui n'est pas toujours vrai dans la réalité.

    Cette étude reste encore un sujet très vaste de recherche
que nous proposons de poursuivre afin de la cerner, et pour
cela on prévoit dans des études à venir de :

    Prendre en considération le changement de la direction de
la fissure (critère de bifurcation).

   Étudier une géométrie d'éprouvette afin de trouver la
formule analytique de calcul de KI.


                                                                    61
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Expo DESA

  • 1.
  • 2. Département de physique Diplôme des Études Supérieures Approfondies (DESA) Modélisation, Simulation et Caractérisation en physique (MSCP) Préparé par : M. Mohamed REFFADI Sous la direction du : Pr. F. LAHNA Comité de jury : M. Mohamed ABID Faculté des Sciences Ain Chok M. Abdelkader BOULZHAR Faculté des Sciences Ain Chok M. Rachid SEHAQUI Faculté des Sciences Ain Chok M. EL hassan SAYOUTY Faculté des Sciences Ain Chok M. Fouzi LAHNA Faculté des Sciences Ain Chok 2 Soutenu le : Jeudi 07 Février 2008 à 14h30.
  • 3. Plan Introduction Généralités sur l’élasticité Généralités sur la mécanique de la rupture Méthodes de calcul du facteur d’intensité de contraintes Résultats et interprétations Conclusion Perspectives 3
  • 4. 4
  • 5. Introduction Dans le milieu industriel, de nombreuses applications sont concernées par la mécanique de la rupture. La volonté de concevoir des structures de plus en plus légères et à la durée de vie de plus en plus longue nécessite de prendre en compte les fissures dans les calculs de structure. Définir les facteurs d’élasticité, Déterminer les critères de la rupture, Décrire les méthodes analytiques et numériques de calculs du facteur d’intensité des contraintes, Analyser et discuter les résultats obtenus, analytiquement et numériquement 5
  • 6. 6
  • 7. Généralités sur l’élasticité L’élasticité est la propriété physique d'un corps de reprendre sa forme initiale après suppression de la sollicitation. Le corps est parfaitement élastique s'il retrouve complètement sa forme originale après suppression de la charge. Il est partiellement élastique si la déformation produite par les forces externes ne disparaît pas complètement lorsque celles-ci sont annulées. 7
  • 8. Généralités sur l’élasticité I- Tenseur des contraintes Quand un corps est soumis à l'action de forces extérieures des contraintes s'établissent, par réaction, à l'intérieur de ce corps. Aux contraintes sont associées des déformations. 8
  • 9. Généralités sur l’élasticité II- Tenseur des déformation Le tenseur des déformations, est un tenseur symétrique 3×3 servant à décrire l'état de déformation local résultant de contraintes (efforts internes). ε ε ε   xx xy xz  ε =  ε yx ε ε   ε yy yz   zx ε zy ε  zz  Dans le cas de petites déformations, ce tenseur est le tenseur de Green, un tenseur dérivé du champ de déplacement. Avec : i, j = (x, y, z) 9
  • 10. Généralités sur l’élasticité III- Élasticité tridimensionnelle Pour bien définir le comportement entre le système et les contraintes extérieures, on doit donc écrire les différentes relations entre contraintes (σij), déformations (εij) et déplacements (Ui). On a besoin de définir 15 équations pour résoudre un problème d’élasticité en 3 dimensions. 10
  • 11. Généralités sur l’élasticité III- Élasticité tridimensionnelle A- Loi de Hooke - Dans le cas d'un matériau isotrope : 1 +ν ν ε ij = σ ij − σ kk δ ij [6 équations] E E δ ij { =1 = 0 p o u r i= j pour i≠ j Avec: E : Module de Young ν : Coefficient de poisson 11
  • 12. Généralités sur l’élasticité - Dans le cas d'un matériau anisotrope : Le comportement élastique est modélisé par un tenseur d'ordre 4 [Cijkl] contenant 81 coefficients élastiques. En appliquant la sommation sur les indices k et l. Le nombre de coefficients indépendants est réduit à 21 en tenant compte de la symétrie des tenseurs de contraintes et de déformations, et de la stabilité énergétique du tenseur. Remarque : [σ ] = [C ][ε ] Avec [C] Tenseur des rigidités [ε ] = [S ][σ ] Avec [S ] Tenseur des complaisances élastiques. 12
  • 13. Généralités sur l’élasticité En introduisant les coefficients d’élasticité pour un matériau anisotrope [S ] s’écrit sous les formes.   1 −ν 21 −ν 31 η 1 , 23 η 1 , 13 η 1 , 12      E 1 E 2 E 3 G 23 G 13 G 12  η η η  ν 12  − 1 −ν  32 2 , 23 2 , 13 2 , 12   E 1 E E 3 G 23 G 13 G 12   2   − ν 13 −ν 23 1 η 3 , 23 η 3 , 13 η 3 , 12    S =  E 1 E 2 E 3 G 23 G 13 G 12   η η η η η   23 , 1 23 , 2 23 , 3 1 23 , 13 23 , 12   E 1 E 2 E 3 G G G    23 13 12  η 13 , 1 η 13 , 2 η 13 , 3 η 13 , 23 1 η 13 , 12     E 1 E 2 E 3 G 23 G 13 G 12   η η η η η   12 , 1 12 , 2 12 , 3 12 , 23 12 , 13 1     E 1 E 2 E 3 G 23 G 13 G 12  Ainsi, pour définir complètement un matériau dans le cas le plus général d'anisotropie, il faut trois modules d'Young, trois modules de cisaillement, trois coefficients de poisson, trois coefficients de CHENTSOV et neuf coefficients de LEKHNITSKII. 13
  • 14. Généralités sur l’élasticité - Dans le cas d'un matériau orthotrope : Définition : Un matériau est dit orthotrope, s'il a deux plans de symétries de comportement mécanique, il y a donc trois axes d'orthotropies, d'où : L'existence de deux plans de symétrie annule douze constantes élastiques.  1 −ν −ν   21 31 0 0 0   E 1 E 2 E 3     −ν 1 −ν  ε   12 32 0 0 0  σ    11    E E ε 11 E σ 22  1 2 3    −ν −ν ε 22  1  σ 13 23  33   0 0 0  =  E  γ  E E  33  τ 23  1 2 3   1 23 γ   0 0 0 0 0  τ    G 13  13   γ  τ 23    12   0 0 0 0 1 0 12     G 13   0 1  0 0 0 0    G 12  Dans ce cas on a neuf constantes élastiques indépendantes 14
  • 15. Généralités sur l’élasticité III- Élasticité tridimensionnelle B- Les équations d’équilibre Les équations d’équilibre sont données par les relations suivantes : ∂σ + X = 0 ij [3 équations différentielles scalaires] ∂ i X j Les Xi sont les composantes des forces volumiques. C- Les équations géométriques Les équations géométriques s’écrivent sous la forme : 1  ∂U i ∂U  ε = + j   [6 équations différentielles scalaires] ij 2  ∂x j ∂x   i  15
  • 16. Généralités sur l’élasticité III- Élasticité bidimensionnelle A- Loi de Hooke - Dans le cas d'un matériau isotrope : 1 +ν ν ε ij = σ ij − tra ce (σ ij ) δ ij [3 équations] E E Avec : i, j=1 ,2 - Dans le cas d'un matériau anisotrope : ε 11 = α 11σ 11 + α 12σ 22 + α 16σ 12 ε 22 = α 12σ 11 + α 22σ 22 + α 26σ 12 γ 12 = α 16σ 11 + α 26σ 22 + α 66σ 12   S en C . P SS C =S − ; i, j = 1,2,6. i3 j3 Où α = ij  ij  C en D . P ; Avec : ij ij  ij S 33 16
  • 17. Généralités sur l’élasticité III- Élasticité bidimensionnelle A- Loi de Hooke - Dans le cas d'un matériau orthotrope : Il est désormais plus simple d’exprimer les équations constitutives d’un matériau orthotrope dans un état de contraintes planes par une matrice des complaisances plus compacte.   1 − ν 12 0    E E    ε 11    ν 1 1 2  σ  11    ε 22  =  −  E 21 E 0   σ 22    γ 12    1 2 1    τ 12    0 0   G   12  Avec : E 1 = E 2 ν 12 ν 21 17
  • 18. Généralités sur l’élasticité III- Élasticité bidimensionnelle B- Les équations d’équilibre Les équations d’équilibre sont données par les relations suivantes : ∂σ + X = 0 ij [2 équations différentielles scalaires] ∂ i X j Les Xi sont les composantes des forces volumiques. C- Les équations géométriques Les équations géométriques s’écrivent sous la forme : 1  ∂U i ∂U  ε = + j   [3 équations différentielles scalaires] ij 2  ∂x j ∂x   i  18
  • 19. 19
  • 20. Généralités sur la mécanique de la rupture La mécanique de la rupture est une philosophie de conception visant à développer un critère de ruine prenant en compte l’existence de fissures dans le matériau. La mécanique de la rupture a pour objet l’étude le comportement mécanique d’un matériau en présence de fissures macroscopiques. Le but de la mécanique de la rupture est de formuler des critères, c'est-à-dire de définir les conditions pour les quelles un défaut identifié (ou non) peut se propager sous une sollicitation donné. 20
  • 21. Généralités sur la mécanique de la rupture I- Mode de rupture cisaillement anti-plan Traction (Mode III) (Mode I) Cisaillement simple (Mode II) 21
  • 22. Généralités sur la mécanique de la rupture I- Essai et courbe de traction 22
  • 23. Généralités sur la mécanique de la rupture I- Essai et courbe de traction 23
  • 24. Généralités sur la mécanique de la rupture II- Les facteurs de la rupture A- Facteur d’intensité de contraintes i. Cas d’une géométrie infinie : KI = σ ∞ (π a) 1/ 2 En mode I KII = τ ∞ (π a) 1/ 2 En mode II ii. Cas d’une géométrie finie : Pour des éprouvettes de dimensions finies, plus intéressantes en pratique, les facteurs d’intensité de contraintes K (m= I, II) sont de la forme : K m = ασ m (π a ) 1/ 2 σ m = σ ∞ ou τ ∞ 24
  • 25. Généralités sur la mécanique de la rupture II- Les facteurs de la rupture B- Le taux de restitution d’énergie Noté G, le taux de restitution d’énergie représente l’énergie nécessaire pour faire progresser la fissure d’une longueur unité. Où E est le module d’Young et ν le coefficient de poisson. 25
  • 26. 26
  • 27. Calcule du facteur d’intensité de contrainte KI I- La méthode des éléments finis 1- Définition La méthode des éléments finis est une méthode de résolution approchée d'équations aux dérivées partielles. 2- Importance de la méthode De très nombreux problèmes physiques s'expriment sous forme d'équations aux dérivées partielles soumises à des conditions aux limites particulières. Mécanique de la rupture Mécanique des solides déformables Conduction thermique Electromanitisme… 27
  • 28. Calcule du facteur d’intensité de contrainte KI II- Le maillage Dans la méthode des éléments finis, l’étape du maillage est primordiale. 1- Les types de maillage Maillage triangulaire (3 et 6 nœuds). Maillage quadrangle (4, 8 et 9 nœuds). 28
  • 29. Calcule du facteur d’intensité de contrainte KI III- Méthodes de calcul de KI 1- Méthodes directes u KI r (3 −ν )(1+ν ) −1+ 2sin2 (θ / 2)   = i. Méthode avec champ   v 2µ 2π (3 −ν )(1+ν ) +1− 2cos (θ / 2) de déplacement 2 KI θ θ 3θ σ xx (θ ) = cos (1 − sin sin ) 2π r 2 2 2 KI θ θ 3θ ii. Méthode avec champ de σ yy (θ ) = cos (1 + sin sin ) déplacement 2π r 2 2 2 KI θ θ 3θ σ xy (θ ) = cos (sin sin ) 2π r 2 2 2 29
  • 30. Calcule du facteur d’intensité de contrainte KI III- Méthodes de calcul de KI 1- Méthodes indirectes i. Méthode de complaisance P ² ∂Cm(a) Gm = m . ; m= I, II 2 ∂a ii. Méthode de déplacement virtuel Pm ² ∆C m ( a ) Gm = . ; m = I , II 2 ∆a 30
  • 31. 31
  • 32. Résultats et interprétations I- Description de l’essai b P L= a + c 2h a c P Éprouvette DCB P : Charge appliquée = 10 daN 2h : Hauteur de l’éprouvette a : Longueur de fissure L : Longueur de l’éprouvette (320mm) c : Ligament b : Épaisseur de l’éprouvette = 1 mm 32
  • 33. Résultats et interprétations II- Maillage utilisé En raison de symétrie, le maillage est effectué sur demi éprouvette ..... 4 6 9 ..... . 1 h .. 2 3 5 8 20mm 7 10 320mm 33
  • 34. Résultats et interprétations III- Matériaux isotropes Les matériaux isotropes utilisés dans notre travail sont représentés dans le tableau suivant : Matériaux Acier Cuivre Aluminium Plexiglas Module de Young E en 20 000 12 500 7 400 290 [daN/mm2] Coefficient de poisson ν 0 ,3 0,35 0,34 0,36 34
  • 35. Résultats et interprétations - Méthodes utilisées 1- Méthode complaisance ( numérique) Nous tournons le programme pour avoir le déplacement virtuel Uy complaisance C (a) pour chaque matériaux, avec C (a) =2Uy/P, Trace de la courbe de C (a) Lissage de C (a), afin de trouver le polynôme correspondante, ∂C ( a ) Calcule de ∂a P ∂C 2 (a ) Calcule de G I (a ) = I 2 ∂a 1 −ν 2 G I (a ) = 2 Calcule de KI E K I (a ) En fin, on trace la courbe de KI (a). 35
  • 36. Résultats et interprétations - Méthodes utilisées 2- Formule de KANNINEN ( Analytique) 2× 3 × P × a × [1 + 0.64( h / a ) ] K1 (a ) = b × h3/2 P : Charge appliquée a : Longueur de fissure h : Demi hauteur de l’éprouvette b : Épaisseur de l’éprouvette a [mm] 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 KI [daN.mm-3/2] 21,06 26,60 32,15 37,69 43,23 48,77 54,32 59,86 65,40 70,94 La formule analytique de KANNINEN du facteur d’intensité de contrainte ne dépend pas de la nature du matériau ( ν,E) 36
  • 37. Résultats et interprétations - Résultats Les résultats obtenus sont présentés dans des tableaux comme le suivant : - Cas de l’acier avec (2h= 50mm). Longueur Déplacement ∂C (a ) Taux de FIC KI FIC KI Ecart en de Complaisance restitution fissure"a" Uy ∂a d'énergie Numérique "KANNINEN % 60 0,05191000 0,01038200 4,22E-04 0,02107722 21,52 21,06 2,19% 80 0,10640000 0,02128000 6,79E-04 0,03394985 27,32 26,60 2,67% 100 0,18970000 0,03794000 9,98E-04 0,04991838 33,12 32,15 3,04% 120 0,30810000 0,06162000 1,38E-03 0,06898281 38,94 37,69 3,31% 140 0,46780000 0,09356000 1,82E-03 0,09114314 44,76 43,23 3,53% 160 0,67480000 0,13496000 2,33E-03 0,11639938 50,58 48,77 3,70% 180 0,93540000 0,18708000 2,90E-03 0,14475153 56,40 54,32 3,84% 200 1,25600000 0,25120000 3,52E-03 0,17619958 62,23 59,86 3,96% 220 1,64200000 0,32840000 4,21E-03 0,21074353 68,06 65,40 4,06% 240 2,10100000 0,42020000 4,97E-03 0,24838338 73,88 70,94 4,14% N.B : Pour le lissage, on a trouvé que le polynôme en 3ème degré donne des bons résultas. 37
  • 38. Résultats et interprétations - Résultats - Cas d’Acier Courbe de complaisance enfonctionde "a" Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Acier- -Acier 2h = 50 mm- C plaisance en om [m /daN m ] FIC[daN.m -3/2] m 4,50E-01 80,00 4,00E-01 70,00 3,50E-01 60,00 3,00E-01 50,00 2,50E-01 C plaisance om Lissage 3èm degré e 40,00 2,00E-01 C plaisance om 30,00 KANN N INE 1,50E-01 1,00E-01 20,00 5,00E-02 10,00 0,00E+00 Longueur de la fissure 0,00 Longueur de fissure 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a" en [m ] m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a"[m ] m 38
  • 39. Résultats et interprétations - Résultats - Cas du cuivre Courbe de complaisance en fonction de "a" Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Cuivre- -Cuivre- C plaisance en om [m /daN m ] FIC [daN.m -3/2] m 8,00E-01 8,00E+01 7,00E-01 7,00E+01 6,00E-01 6,00E+01 5,00E-01 5,00E+01 Complaisance 4,00E-01 4,00E+01 KANINNEN 3,00E-01 3,00E+01 C plaisance om 2,00E-01 Lissage 3èm degré 2,00E+01 e 1,00E-01 1,00E+01 0,00E+00 Longueur de la fissure 0,00E+00 Longueur de fissure 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a" en [m ] m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a"[m ] m 39
  • 40. Résultats et interprétations - Résultats - Cas d’Aluminium Courbe de FIC en m I en fonction de "a" ode Courbe de complaisance enfonctionde "a" -Alimunium- -Alum - inium C plaisance en om FIC[daN.m -3/2] m [m /daN m ] 1,20E+00 8,00E+01 7,00E+01 1,00E+00 6,00E+01 8,00E-01 5,00E+01 6,00E-01 4,00E+01 Méthode de complaisance C plaisance om 3,00E+01 4,00E-01 Méthode de KANNINEN Lissage 3èm degré e 2,00E+01 2,00E-01 1,00E+01 0,00E+00 Longueur de la fissure 0,00E+00 Longueur de fissure 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a" en [m ] m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a"[m ] m 40
  • 41. Résultats et interprétations - Résultats - Cas du Plexiglas Courbe de complaisance en fonction de "a" Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Plexiglas- -Plexiglas- C plaisance en om [m /daN m ] FIC [daN.mm-3/2] 35 8,00E+01 30 7,00E+01 6,00E+01 25 5,00E+01 20 Données réelles 4,00E+01 Complaisance 15 Lissage 3èm degré e KANNINEN 3,00E+01 10 2,00E+01 5 1,00E+01 0 Longueur de la fissure 0,00E+00 Longueur de fissure 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a" en [m ] m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a"[mm] 41
  • 42. Résultats et interprétations - Résultats La limite de fiabilité de la formule de KANNINEN Courbe de complaisance enfonctionde "a" Courbe de FICen m I en fonction de "a" ode -Acier 2h= 20 m - m -Acier 2h = 20 m - m C plaisance en om [m /daN m ] FIC[daN m .m -3/2] 8,00E+00 350,00 7,00E+00 300,00 6,00E+00 250,00 5,00E+00 C plaisance om 200,00 4,00E+00 Lissage 4èm degré e C plaisance om 150,00 3,00E+00 KAN IN N NE 100,00 2,00E+00 1,00E+00 50,00 0,00E+00 Longueur de la fissure 0,00 Longueur de fissure 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a" en [m ] m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a"[m ] m 42
  • 43. Résultats et interprétations - Résultats La limite de fiabilité de la formule de KANNINEN Courbe de complaisance en fonction de "a" Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Acier 2h = 25 m - m -Acier 2h = 25 mm- C plaisance en om [m /daN m ] FIC[daN m .m -3/2] 3,50E+00 250,00 3,00E+00 200,00 2,50E+00 2,00E+00 150,00 C plaisance om Lissage 3èm degré e C plaisance om 1,50E+00 100,00 KANN N INE 1,00E+00 50,00 5,00E-01 0,00E+00 Longueur de la fissure 0,00 Longueur de fissure 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a" en [m ] m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a"[m ] m 43
  • 44. Résultats et interprétations - Résultats La limite de fiabilité de la formule de KANNINEN Courbe de complaisance en fonction de "a" Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Acier 2h = 130 mm- -Acier 2h = 130 mm- Com plaisance en [m /daN] m FIC [daN.mm-3/2] 3,50E-02 25,00 3,00E-02 20,00 2,50E-02 2,00E-02 Complaisance 15,00 Lissage 3èm degré e Complaisance 1,50E-02 KANNINEN 10,00 1,00E-02 5,00 5,00E-03 0,00E+00 Longueur de la fissure 0,00 Longueur de fissure 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a" en [m ] m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a"[mm] 44
  • 45. Résultats et interprétations - Résultats La limite de fiabilité de la formule de KANNINEN Courbe de com plaisance enfonctionde "a" Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Acier 2h= 135 m - m -Acier 2h = 135 mm- C plaisance en om [m /daN m ] FIC[daN m .m -3/2] 3,50E-02 20,00 3,00E-02 18,00 16,00 2,50E-02 14,00 2,00E-02 C plaisance om 12,00 Lissage 3èm degré e 10,00 C plaisance om 1,50E-02 KAN IN N N E 8,00 1,00E-02 6,00 4,00 5,00E-03 2,00 0,00E+00 Longueur de la fissure 0,00 Longueur de fissure 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a" en [m ] m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 "a"[m ] m 45
  • 46. Résultats et interprétations IV- Matériaux orthotropes Les matériaux orthotropes utilisés dans notre travail sont représentés dans le tableau suivant : Matériaux Pin sylvestre Eucalyptus Douglas E1 (daN/mm2) 1 700 1 924 1 669 E2 (daN/mm2) 108 96,1 132 E3 (daN/mm2) 108 _ 92 G12 (daN/mm2) 141 101,4 120 ν12 0,22 0,5 0,367 ν21 0,0139 2,497E-02 0,029 ν13 0,22 _ 0,384 ν31 0,0139 _ 0,021 ν23 0,62 _ 0,594 ν32 0,62 _ 0,414 46
  • 47. Résultats et interprétations - Méthodes utilisées 1- Méthode complaisance ( numérique) Nous suivons les même étapes que pour les matériaux isotrope, sauf que pour le calcul de KI nous utiliserons la formule suivante : 1    α 11α 22   α 22  2α 12 + α 66  1 1 2 2  2 = KI  + 2 G  α  I   2    11  2α 11   Avec : α ij = S ij En contraintes planes 47
  • 48. Résultats et interprétations - Méthodes utilisées 2- Formule du Pr. LAHNA ( Analytique) 1  2   12   sh λc + sin λc   sh λc ch λc − sin λc cos λc  2 2 2 3r  ( P I )  3 3 λa  +  +  b  λ h   sh λc − sin λc   2 2 sh λc − sin λc 2 2  h        K I = 1  α 22  α 22  2 2α 12 + α 66  1 4     +     2α 11  α 11    2α 11   r =α 1  6α 11  1 4 66 Où et λ=   α 11 h  α 22    Avec : α ij = S ij En contraintes planes 48
  • 49. Résultats et interprétations - Résultats Les résultats obtenus sont présentés dans des tableaux comme le suivant : - Cas de Pin Sylvester avec (2h= 50mm). Longueur de Déplacement Uy Complaisance ∂C (a ) Taux de restitution FIC KI fissure"a" ∂a d'énergie Numérique 60 1,17E+00 2,35E-01 7,75E-03 3,88E-01 8,67 80 2,12E+00 4,24E-01 1,14E-02 5,71E-01 10,46 100 3,47E+00 6,94E-01 1,58E-02 7,90E-01 12,31 120 5,30E+00 1,06E+00 2,09E-02 1,05E+00 14,16 140 7,68E+00 1,54E+00 2,68E-02 1,34E+00 16,02 160 1,07E+01 2,14E+00 3,34E-02 1,67E+00 17,89 180 1,44E+01 2,87E+00 4,07E-02 2,03E+00 19,75 200 1,88E+01 3,77E+00 4,87E-02 2,44E+00 21,62 220 2,41E+01 4,83E+00 5,75E-02 2,88E+00 23,48 49
  • 50. Résultats et interprétations - Résultats - Cas du Pin Sylvester Courbe de complaisance en fonction de "a" Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" FIC [daN.mm-3/2] -Pin sylvestere - 25,00 -Pin sylvestere - C plaisance en om [m /daN] m 6,00E+00 20,00 5,00E+00 15,00 4,00E+00 Complaisance 3,00E+00 Lissage 3èm degré 10,00 e Complaisance-CP- 2,00E+00 5,00 1,00E+00 Longueur de la fissure Longueur de fissure 0,00E+00 0,00 "a"[mm] "a" en [m ] m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 60 80 100 120 140 160 180 200 220 50
  • 51. Résultats et interprétations - Résultats - Cas du Douglas Courbe de complaisance en fonction de "a" Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Douglas- -Douglas- C plaisance en om [m /daN m ] FIC [daN.mm-3/2] 6,000 30,000 5,000 25,000 4,000 20,000 C plaisance om 3,000 15,000 Lissage 3èm degré e Complaisance 2,000 10,000 1,000 5,000 Longueur de la fissure 0,000 "a" en [m ] m 0,000 Longueur de fissure 60 80 100 120 140 160 180 200 220 60 80 100 120 140 160 180 200 220 "a"[mm] 51
  • 52. Résultats et interprétations - Résultats - Cas d’Eucalyptus Courbe de complaisance en fonction de "a" Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" - Eucalyptus - -Eucalyptus - Complaisance en [mm/daN] 5,000 FIC [daN.mm-3/2] 25,000 4,500 4,000 20,000 3,500 3,000 15,000 2,500 2,000 Complaisance Complaisance 10,000 1,500 Lissage 3ème degré 1,000 5,000 0,500 Longueur de la fissure Longueur de fissure 0,000 "a" en [mm] 0,000 "a"[mm] 60 80 100 120 140 160 180 200 220 60 80 100 120 140 160 180 200 220 52
  • 53. Résultats et interprétations - Résultats La limite de fiabilité de la formule du Pr. LAHNA Courbe de com plaisance en fonction de "a" -E ucalyptus 2h=35m -m Courbe de FICen mode I en fonction de "a" - Eucalyptus 2h=35mm- C plaisance[m /daN om m ] FIC [daN.mm-3/2] 40,000 14,000 35,000 12,000 30,000 10,000 25,000 8,000 C plaisance om 20,000 Lissage3èm degré e 6,000 15,000 4,000 C plaisance om 10,000 P LAH A r. N 2,000 5,000 0,000 0,000 60 80 100 120 140 160 180 200 220 a[m ] m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 a [mm] 53
  • 54. Résultats et interprétations - Résultats La limite de fiabilité de la formule du Pr. LAHNA Courbe de com plaisance en fonction de "a" -E ucalyptus 2h=40m -m Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" - Eucalyptus 2h=40mm- C plaisance [m /daN om m ] FIC [daN.mm-3/2] 30,000 9,000 8,000 25,000 7,000 6,000 20,000 5,000 C plaisance om 15,000 4,000 Lissage 3èm degré e 3,000 10,000 Complaisance 2,000 P LAHNA r. 5,000 1,000 0,000 0,000 a [m ] m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 a [mm] 60 80 100 120 140 160 180 200 220 54
  • 55. Résultats et interprétations - Résultats La limite de fiabilité de la formule du Pr. LAHNA Courbe de com plaisance en fonction de "a" -E ucalyptus 2h=50m -m Courbe de FICen m I en fonction de "a" - ode Eucalyptus 2h=50m - m C plaisance [m /daN om m ] FIC [daN.mm-3/2] 25,000 5,000 4,500 20,000 4,000 3,500 3,000 15,000 C plaisance om 2,500 Lissage 3èm degré e 2,000 10,000 1,500 C plaisance om 1,000 5,000 P LAH A r. N 0,500 0,000 0,000 60 80 100 120 140 160 180 200 220 a [m ] m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 a [mm] 55
  • 56. Résultats et interprétations - Résultats La limite de fiabilité de la formule du Pr. LAHNA Courbe de com plaisance en fonction de "a" -E ucalyptus 2h=60m m- Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" - Eucalyptus 2h=60mm- C plaisance [m /daN om m ] FIC [daN.mm-3/2] 20,000 3,500 18,000 3,000 16,000 2,500 14,000 12,000 2,000 C plaisance om 10,000 1,500 Lissage 3èm degré e 8,000 6,000 Complaisance 1,000 4,000 P LAHN r. A 0,500 2,000 0,000 0,000 a [m ] m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 a [mm] 60 80 100 120 140 160 180 200 220 56
  • 57. Résultats et interprétations - Résultats La limite de fiabilité de la formule du Pr. LAHNA Courbe de complaisance enfonctionde "a" -Eucalyptus 2h=65m - m Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Eucalyptus 2h=65mm- C plaisance [m /daN om m ] FIC [daN.mm-3/2] 20,000 3,000 18,000 2,500 16,000 14,000 2,000 12,000 C plaisance om 10,000 1,500 Lissage 3èm degré e 8,000 1,000 6,000 C plaisance om 4,000 P LAH A r. N 0,500 2,000 0,000 0,000 a [m ] m 60 80 100 120 140 160 180 200 220 a [mm] 60 80 100 120 140 160 180 200 220 57
  • 58. 58
  • 59. Conclusion Le KI en fonction de la longueur de la fissure a est linéaire, pour les matériaux isotropes et orthotropes Une concordance entre les valeurs de KI obtenus à partir les formules analytiques (KANNINEN et Pr. LAHNA) et ceux obtenus par la méthode numérique (méthode de complaisance), Le KI ne dépend pas de la nature du matériau mais seulement de sa géométrie dans le cas des isotropes. Le KI dépend de la nature du matériau dans le cas des orthotrope La formule de KANNINEN est valable dans l'intervalle : h h 25 mm ( = 4% ) < 2h < 135 mm ( = 21% ). l l La formule du Pr. LAHNA est valable dans l'intervalle : 40 mm ( h = 6,2% ) < 2h < 65 mm ( h = 10,2% ). l l 59
  • 60. 60
  • 61. Perspectives Dans cette étude on a cherché à étudier la propagation de la fissure en supposant que cette dernière se propage d'une manière linéaire, ce qui n'est pas toujours vrai dans la réalité. Cette étude reste encore un sujet très vaste de recherche que nous proposons de poursuivre afin de la cerner, et pour cela on prévoit dans des études à venir de : Prendre en considération le changement de la direction de la fissure (critère de bifurcation). Étudier une géométrie d'éprouvette afin de trouver la formule analytique de calcul de KI. 61