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  9. 9. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses ▪ Physique a pour objectif de comprendre / expliquer et modéliser les phénomènes physiques de l'univers. ▪ Mécanique du Point Matériel s’intéresse à l’étude du mouvement des corps qu’on peut assimiler à des point matériels. est-ce qu’elle peut cerner tous les problèmes mécaniques ? ▪ Mécanique des Solides Indéformables s’intéresse à l’étude du mouvement des corps rigides qu’on ne peut pas assimiler à des point matériels. Permet de décrire et modéliser la rotation des corps rigides autour d’eux même. 9
  10. 10. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses ▪ Sciences et Techniques basées sur la mécanique du Solide Mécanique céleste Robotique / Mécanismes Infographie … est-ce la « Mécanique des Solide Indéformables » peut cerner tous les problèmes mécaniques ? ▪ Mécanique des Solides Déformables 10
  11. 11. I.1.1. Espace vectoriel et représentation d’un vecteur : Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses I - Rappels sur le Calcul Vectoriel I.1. Vecteurs Soit « E3 » un espace vectoriel de dimension « 3 », en fait « ℝ3 », de base « b = ex, ey, ez » formée de 3 vecteurs linéairement indépendants. Tout vecteur « A » de « E3 » peut être représenté par une combinaison linéaire des vecteurs de base de « b » : A = axex + ayey + azez L’espace vectoriel « E3 » est souvent représenté par un repère « R » possédant une origine « O » et une base « b = ex, ey, ez ». On notera ce repère : R(O, xyz) 11
  12. 12. I.1.2. Produit scalaire : vecteurs « A » dans la base « Soient deux « bx, by, bz » et « B ex, ey, ez » de composantes respectives « ax, ay, az » et » et, faisant entre eux l’angle « θ ». Le produit scalaire de « A » par « B » se calcule via la relation qui suit : A . B = axbx + ayby + azbz = A B cos θ Les propriétés du produit scalaire sont : - Commutatif - Distributif pour l’addition : A . B = B . A : A . B + C = A . B + A . C Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses I - Rappels sur le Calcul Vectoriel I.1. Vecteurs 12
  13. 13. I.1.3. Produit vectoriel : Soient deux vecteurs « A « bX , by, bz » dans la base « » et « B eX , ey, ez » de composantes respectives « ax, ay, az » et » et faisant entre eux l’angle « θ ». Le produit vectoriel ey + a1b2 − a2b1 ez de « A » par « B » se calcule via la relation qui suit : A ˄ B = a2b3 − a3b2 eX + a3b1 − a1b3 Aussi : A ˄ B = A B sin θ Les propriétés du produit vectoriel sont : - Distributif pour l’addition - Associatif pour la multiplication par scalaire - Anticommutatif pour la multiplication vectorielle : A ˄ B + C = A ˄ B + A ˄ C : λ A ˄ B = λA ˄ B = A ˄ λB : A ˄ B = −B ˄ A Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses I - Rappels sur le Calcul Vectoriel I.1. Vecteurs 13
  14. 14. I.1.4. Produit mixte : Le produit mixte de trois vecteurs « A », « B » et « C », qu’on notera (le produit) A, B, C , le nombre réel défini par la relation : c1 b1 a1 c2 b2 a2 = B ˄ C = A . A, B, C c3 b3 a3 Les propriétés du produit mixte sont : - invariant par rotation circulaire des vecteurs - Nul si les trois vecteurs sont coplanaires - Se transforme en son opposé si en permute deux des trois vecteurs Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses I - Rappels sur le Calcul Vectoriel I.1. Vecteurs 14
  15. 15. I.1.5. Double produit vectoriel : Le double produit vectoriel de trois vecteurs « A », « B » et « C » se calcule via la formule suivante : A ˄ B ˄ C = A . C . B − A . B . C I.1.6. Division vectorielle : Soit l’équation ci-dessous formée par les vecteurs « A », « B » et « X » : X ˄ A = B L’écriture de « X » solution de l’équation en question est : A ˄ B X = 2 + λA A « λ » est une constante arbitraire. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses I - Rappels sur le Calcul Vectoriel I.1. Vecteurs 15
  16. 16. I.1.7. Moment d’un vecteur par rapport à un point : V » le moment du Soient un vecteur « V » d’origine « A » et un point « O ». On appelle « MO vecteur « V » par rapport au point « O ». Le vecteur « MO V » s’écrit : MO V = OA ˄ V Tandis que la relation fondamentale de transport s’écrit si, « O’ » est un autre point : MO′ V = MO V + O′O ˄ V Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses I - Rappels sur le Calcul Vectoriel I.1. Vecteurs 16
  17. 17. I.1.8. Moment d’un vecteur par rapport à un axe : Le scalaire « M∆ V » s’écrit : M∆ V = MP∈∆ V . u Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses I - Rappels sur le Calcul Vectoriel I.1. Vecteurs 17 Soient un vecteur « V » et un axe «  » de vecteur directeur « u ». On appelle « M∆ V » le moment du vecteur « V » par rapport à l’axe «  » qui est la projection sur cet axe de son moment par rapport à n’importe quel point de l’axe en question « P  ».
  18. 18. I.2.1. Définition : Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses I - Rappels sur le Calcul Vectoriel I.2. Fonction Vectorielle 18 Soit une variable réelle « t [a, b] ». Une fonction vectorielle « V » associée à « t » a ses trois composantes qui sont fonction de « t » : x t V t = y t z t
  19. 19. I.2.2. Dérivation : La dérivée d’une fonction vectorielle « V t » par rapport à la variable « t » qu’on notera « dV t dt » est la limite finie quand « t » tend vers l’infini du rapport « V t+Δt −V t ». Les composantes de la dérivée « dV t dt Δt » sont les dérivées des composantes de « V t » : dV t dt = dx t dt dy t dt dz t dt Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses I - Rappels sur le Calcul Vectoriel I.2. Fonction Vectorielle 19
  20. 20. I.2.2. Dérivation : (suite) Propriétés : ▪ d B + dt ▪ dt dt dt ▪ d A .B dt dt d B . B + A. dt ▪ dt ▪ d A dt . A = 0 ; dt » est perpendiculaire à « A » Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses I - Rappels sur le Calcul Vectoriel I.2. Fonction Vectorielle 20 d A+B d A = dt dt d A . A + λ. d λA d λ = d A ˄ B d A = dt dt d B ˄ B + A ˄ d A = d A si A = cte «
  21. 21. II.1.1. Application antisymétrique / symétrique : Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses II - Généralités sur les Torseurs II.1. Champs Antisymétriques ou Equiprojectifs 21 Considérons l’espace vectoriel « En » de dimension « n ». Une application « 𝑓 » de « En » dans « En » est Antisymétrique si, quels que soient les vecteurs « A et B » de « En », on ait : A. 𝑓 B = −B. 𝑓 A Une application « 𝑓 » de « En » dans « En » est Symétrique si, quels que soient les vecteurs « A et B » de « En », on ait : A. 𝑓 B = B. 𝑓 A
  22. 22. II.1.1. Application antisymétrique / symétrique : (suite) Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses II - Généralités sur les Torseurs II.1. Champs Antisymétriques ou Equiprojectifs 22 La propriété fondamentale des applications symétriques et antisymétriques de « En » dans « En » est la linéarité. C’est-à-dire si les vecteurs « A et B » sont de « En » et si « αA et αB » sont deux réels, on a : 𝑓 αAA + αBB = αA𝑓 A + αB𝑓 B Ce sont les applications antisymétriques qui nous intéresserons dans ce qui suit.
  23. 23. II.1.2. Champ antisymétrique : Un champ antisymétrique est équiprojectif et réciproquement. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses II - Généralités sur les Torseurs II.1. Champs Antisymétriques ou Equiprojectifs Un champ de vecteur «U » de l’espace euclidien de dimension « n », « En » est antisymétrique si, c’est un champ dont l’application « 𝑓 » est antisymétrique et si, quel que soit les point « A et B », on ait : U B = U A + 𝑓 AB II.1.3. Champ équiprojectif : Un champ de vecteur « U » de l’espace euclidien de dimension « n », « En » est équiprojectif si, et seulement si, quel que soit les point « A et B », on a : AB. U A = AB. U B 23
  24. 24. II.1.4. Champ antisymétrique de l’espace vectoriel euclidien de dimension « 3 », « E3 » : Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses II - Généralités sur les Torseurs II.1. Champs Antisymétriques ou Equiprojectifs A tout champ de vecteur antisymétrique (ou équiprojectif) « U » de l’espace euclidien de dimension « 3 », « E3 », correspond un vecteur « R » et un seul, appelé vecteur du champ antisymétrique « U », tel que, quels que soient les points « A et B » de l’espace ponctuel homogène euclidien de dimension « 3 », « E3 », associé, on ait : U B = U A + R ˄ AB (danc ce cas, 𝑓 AB = R ˄ AB ) 24
  25. 25. 25 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses
  26. 26. 26 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses 26
  27. 27. II.2.1. Définition : - On appelle Torseur « τU », l’ensemble d’un champ antisymétrique « U » de l’espace euclidien de dimension « 3 », « E3 » et de son vecteur « R »: le moment du Torseur en « A »; s’appelle: » « U A + la résultante générale. s’appelle: « R » + », le couple de vecteurs - On appelle coordonnées vectoriels en « A » du Torseur « τU « R, U A ». - Les vecteurs « R et U A » sont les éléments de réduction du Torseur « τU » en « A » (qu’on nomme : point de réduction). Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses II - Généralités sur les Torseurs II.2. les Torseurs 27
  28. 28. II.2.1. Définition : (suite) - La connaissance de la résultante générale « R » et du moment en un point « A », détermine le moment en tout point « B » par : U B = U A + R ˄ AB A noter que la résultante est indépendante du point considéré. Elle est invariante. - « τU » peut s’écrire sous cette forme : R U A 28 τU = 𝐴 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses II - Généralités sur les Torseurs II.2. les Torseurs
  29. 29. II.2.2. Composantes d’un Torseur : Les six composantes (coordonnées scalaires) du torseur « τU » sont les coordonnées de la résultante générale « R » et du moment en un point « A ». II.2.3. Invariants d’un torseur : R U A 29 Soit le torseur « τU = 𝐴 » défini au point « A ». Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses II - Généralités sur les Torseurs II.2. les Torseurs
  30. 30. II.2.3. Invariants d’un torseur : (suite) Invariant scalaire : L’invariant scalaire « IsτU » du torseur « τU » est défini par le produit scalaire des éléments de réduction du torseur en question : IsτU = R . U A «IsτU » étant indépendant du point de réduction « A ». Soit un point « B », alors : IsτU = R . U A = R . U B 30 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses II - Généralités sur les Torseurs II.2. les Torseurs
  31. 31. II.2.3. Invariants d’un torseur : (suite) Invariant vectoriel : L’invariant vectoriel du torseur «τU » est défini sur la base de son invariant scalaire : τU R II.2.4. Opérations sur les torseurs : Soient les torseurs « τU R U A = 𝐴 , τU1 R1 1 U A = A U2 et τ = R2 2 U A 31 A » définis au même point « A ». Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses II - Généralités sur les Torseurs II.2. les Torseurs IsτUR Iv =
  32. 32. II.2.4. Opérations sur les torseurs : Torseurs équivalents ou égalité de deux torseurs : Les torseurs « τU1 et τU2 » sont dit équivalents, si leurs éléments de réduction définis au même sont égaux : R1 = R2 et U1 A = U2 A Torseur nul : Le torseur « τU » est nul, si ses éléments de réduction sont nuls : R = 0 et U A = 0 Addition de deux torseurs : La somme des torseurs « τU1 et τU2 » est un torseur dont les éléments de réduction sont : U1 U2 R1 + R2 U1 A + U2 A τ + τ = A Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses II - Généralités sur les Torseurs II.2. les Torseurs 32
  33. 33. II.2.4. Opérations sur les torseurs : (suite) Multiplication par un scalaire : Le torseur « τU» multiplier par un scalaire « λ ϵ ℝ » est un torseur dont les éléments de réduction sont : λτU = A Le comoment est un invariant, il est indépendant du pont « A ». Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses II - Généralités sur les Torseurs II.2. les Torseurs λR λU A Comoment de deux torseurs : Le comoment des torseurs « τU1 et τU2 » est un scalaire qui se calcule de la manière suivante : Comoment τU1, τU2 = R1. U2 A + R2. U1 A 33
  34. 34. II.2.4. Opérations sur les torseurs : (suite) Dérivée d’un torseur : La drivée d’un torseur « τU» éléments de réduction sont : par rapport à la variable temps « t » est un torseur dont les dτU = dt dR dt dU A dt A 34 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses II - Généralités sur les Torseurs II.2. les Torseurs
  35. 35. 35 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses II - Généralités sur les Torseurs II.2. les Torseurs II.2.5. Torseurs élémentaires : Glisseur : Un torseur « τU » est un glisseur s’il existe un point « A » où son moment est nul : τU = R 𝐴 U A = 0 Dans ce cas, le moment de « τU » en un point « B » s’écrit : U B = R ˄ AB Aussi, le glisseur a pour propriété, un invariant scalaire nul : Iτ = 0
  36. 36. II.2.5. Torseurs élémentaires : (suite) Couple : Un torseur « τU» est un couple si sa résultante générale est nulle : τU = R = 0 U A 𝐴 Dans ce cas, le moment de « τU » est indépendant du point de réduction, ainsi, le moment en un point « B » s’écrit : U B = U A Aussi, le couple a pour propriété, un invariant scalaire nul : Iτ = 0 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses II - Généralités sur les Torseurs II.2. les Torseurs 36
  37. 37. 37 II.2.5. Torseurs élémentaires : (suite) A noter qu’il est toujours possible de réduire un torseur en un torseur couple et un torseur glisseur. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses II - Généralités sur les Torseurs II.2. les Torseurs
  38. 38. II.2.5. Axe central d’un torseur : Point central : Le point central d’un torseur est tout point de l’espace où le moment est colinéaire à la résultante générale du torseur. L’ensemble des points centraux est appelé axe central Axe central : R U A L’axe central d’un torseur « τU = 𝐴 » est le lieu des points de l’espace « P » où le moment et la résultante générale de « τU » sont colinéaires U A = λR ; λ ϵ ℝ : R ˄ U A = R ˄ λR = 0 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses II - Généralités sur les Torseurs II.2. les Torseurs 38
  39. 39. II.2.5. Axe central d’un torseur : (suite) Si « O » est le centre du repère « R0 » alors, l’ensemble des points « P » est donné par : OP = R ˄ U O R 2 + μR ; μ ϵ ℝ L’axe central de « τU » est ainsi la droite parallèle à la résultante « R » et passant par le point « H » tel que : OH = R ˄ U O R 2 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses II - Généralités sur les Torseurs II.2. les Torseurs 39
  40. 40. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses 40
  41. 41. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses 41
  42. 42. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses 42 42
  43. 43. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses 43 43
  44. 44. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses 44
  45. 45. - Un solide est un ensemble fini ou infini de points dont les distances mutuelles sont indépendantes du temps (constantes / au temps). - Si « A » et « B » sont deux points liés à un solide, alors : AB = cte Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses I - Définitions et Notations 45
  46. 46. - Quel que soit le solide « S », on peut lui associé au moins un repère « R » par rapport auquel les points de « S » lui sont liés. - Si « A » et « B » sont deux points liés ou fixes au solide « S », alors : dt dt dAB| = dAB| R S = 0 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses I - Définitions et Notations 46
  47. 47. - Aussi, un point « M » qui vérifie : dOM | dt R = 0 Est dit lié (ou fixe) à « R » (ou « S »). Et on note : « M  R » ou « M  S » Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses I - Définitions et Notations 47
  48. 48. - Soit « R(O, xyz) » un repère lié à « S » (l’origine « O » est liée à « S »). - On suppose que « S » (donc « R ») est en mouvement par rapport à un repère de référence « R0(O0, x0y0z0) ». - On se propose d’étudier le mouvement (position, vitesse et accélération) d’un point « M » appartenant (lié ou fixe) au solide « S » en mouvement par rapport à un repère de référence « R0 ». On a : Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses I - Définitions et Notations 48
  49. 49. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses I - Définitions et Notations 49
  50. 50. Soit « 𝐔 » un vecteur quelconque et « R » et R0 » sont deux repères. On a : 0 dt dt R R 0 + Ω R/R ˄ 𝐔 Le vecteur« Ω R/R0 » et le vecteur instantané de rotation « R » par rapport à « R0 ». Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses II - Formule de la Dérivation de Varignon d𝐔| = d𝐔 | 50
  51. 51. Soit « A » et « B » deux point liés à un solide « S » qui est en mouvement par rapport au repère de référence « R0 ». Si « R » est un repère lié à « S », on aura : dt dt dAB| = dAB| R S = 0 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses III - Champ des Vitesses / Distribution des Vitesses 51
  52. 52. Ainsi, On aura en appliquant la formule de dérivation : dt R0 dAB| = dAB| dt S 0 + Ω S/R 0 ˄ AB = Ω S/R ˄ AB Le vecteur« Ω S/R0 » et le vecteur instantané de rotation « S » par rapport à « R0 ». On a aussi : dAB| dt R0 dt R0 0 = −V A ϵ S/R 0 52 + V B ϵ S/R Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses III - Champ des Vitesses / Distribution des Vitesses d AO0 + O0B = |
  53. 53. Finalement : V B ϵ S/R0 = V A ϵ S/R0 + Ω S/R0 ˄ AB Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses III - Champ des Vitesses / Distribution des Vitesses 53
  54. 54. D’après la relation de distribution des vitesses, on remarque bien qu’on peut représenter le champ de distribution des vitesses du solide « S » par rapport au repère « R0 » par un torseur, qu’on nommera « torseur cinématique ». Ce torseur noté « τV S/R0 - Résultante - Moment en « A » » a pour éléments de réduction au point « A » : : R τV S/R0 = Ω S/R0 : MA τV S/R0 = V A ϵ S/R0 τV S/R0 = R τV S/R0 = Ω S/R0 MA τV S/R0 = V A ϵ S/R0 54 𝐴 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses IV - Torseur Cinématique
  55. 55. Dérivons le champ de distribution des vitesses par rapport au temps, on aura : 0 Γ B ϵ S/R 0 = Γ A ϵ S/R + dΩ S/R0 dt | R0 0 ˄ AB + Ω S/R 0 ˄ Ω S/R ˄ AB Remarque :On ne peut pas représenter le champ des accélérations par un torseur. 55 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses V - Champ des Accélération / Distribution des Accélérations
  56. 56. Soit le système constitué de deux solides « OA » et « AB » de longueur « L » en mouvement dans le plan « (Oxy) ». Le solide « OA » dispose de deux articulations au niveau de ses deux extrémités, une qui le lie au centre du repère de référence « R0(O, xyz) » et l’autre qui le lie à une extrémité du solide « AB ». Donnez les écritures des vitesses et accélérations / à « R0 » des points « A » et « B » en utilisant la méthode directe et la méthode de distribution. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses Exercice d’Application 1 : - « R1 » est lié à « OA »; - « R2 » est lié à « AB ». 56
  57. 57. 57 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses VI - mouvements Particuliers IV.1. Mouvement de Translation Un solide « S » est en mouvement de translation par rapport à un repère « R0 » si et seulement si, quels que soient les points « A » et « B » liés à « S », on a : AB = C vecteur constant C’est-à-dire que la distance reste constante au cours du temps et donc, tous les points du solide ont donc la même vitesse et la même accélération par rapport à « R0 ». A tout instant, on a : Ω S/R0 = 0 V B ϵ S/R0 = V A ϵ S/R0 𝝘 Bϵ S/R0 = 𝝘 Aϵ S/R0 Remarque :dans ce cas, le torseur cinématique est un couple.
  58. 58. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses VI - mouvements Particuliers VI.2. Mouvement de Rotation autour d’un Axe 58
  59. 59. Un mouvement hélicoïdal simple est une combinaison des mouvements : - translation rectiligne; - rotation autour d’un axe parallèle à la direction de translation. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses VI - mouvements Particuliers VI.3. Mouvement Hélicoïdal VI.4. Mouvement Tangent Deux solides ont des mouvements tangents à un instant « t » si et seulement si, ils ont le même champ des vitesses à cet instant. 59
  60. 60. Soit « M » un point en mouvement par rapport à un repère « R(O, xyz) » lui-même en mouvement par rapport au repère « R0(O0, x0y0z0) ». Connaissant le mouvement de « M » par rapport à « R » et le mouvement de « R » par rapport à « R0 », on cherche le mouvement de « M » par rapport à « R0 ». Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses VII - Composition des Mouvements « M » n’est pas lié ni à « R0 » ni à « R1 ». 60
  61. 61. Pabsolue = Pentraînement + Prelative Avec : o P absolue = O0M o P entraînement = O0O o P relative = OM Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses VII - Composition des Mouvements VII.1. Position 61
  62. 62. Vabsolue = Ventraînement + Vrelative Avec : o V absolue = V M/R0 o V entraînement = V O ϵ R/R0 + Ω R/R0 ˄ OM = 𝐕 𝐌 ϵ 𝐑/𝐑𝟎 o V relative = V M/R 62 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses VII - Composition des Mouvements VII.2. Vitesse
  63. 63. Γabsolue = Γentraînement coriolis + Γ + Γrelative Avec : o absolue = Γ M/R0 o entraînement 0 = Γ O ϵ R/R 𝑑 + 𝑑Ω R/R0 | 𝑅0 0 ˄ OM + Ω R/R 0 ˄ Ω R/R ˄ OM = 𝚪 𝐌 ϵ 𝐑/𝐑𝟎 o coriolis = 2Ω R/R0 ˄ V M/R o relative = Γ M/R Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses VII - Composition des Mouvements VII.3. Accélération 51 Γ Γ Γ Γ
  64. 64. Soit trois repères « R 0 », « R1 » et « R2 ». Notons les vecteurs instantanés des rotations « Ω R1/R0 », « Ω R2/R0 » et « Ω R2/R1 ». On a : Ω R2/R0 = Ω R2/R1 + Ω R1/R0 Et : Ω Ri/Rj = − Ω Rj/Ri 64 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses VII - Composition des Mouvements VII.4. Vecteur Instantané de Rotation
  65. 65. Donnez les écritures des vitesses et des accélérations / à « R0 » des points « A » et « B » en utilisant la méthode de composition du mouvement. Avec « R1 » étant le repère d’entraiment. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses Exercice d’Application 1 : ( suite ) R1 O, er1, eθ1, ez R2 A, er2, eθ2, ez 65
  66. 66. L’axe instantané de rotation et de glissement ou tout simplement l’axe central de rotation d’un solide « S » par rapport à un repère de référence « R0 » à l’instant « t » est l’axe formé de l’ensemble des points « P » liés au solide et dont la vitesse à l’instant « t » est colinéaire à la résultante du torseur cinématique de « S » par rapport à « R0 » : 𝐕 𝐏/𝐑𝟎 = 𝐤𝛀 𝐒/𝐑𝟎 Si « Rs(Os, xsyszs) » un repère lié au solide « S » mobile par rapport à un repère de référence « R0(O0, x0y0z0) ». L’axe central de rotation de « S » est définie par l’ensemble des points « P » tel que : 𝟎 ∆ 𝐒/𝐑 = 𝐬 𝐏 𝐭𝐞𝐥 𝐪𝐮𝐞 𝐎 𝐏 = 𝟎 𝛀 𝐒/𝐑 ˄ 𝐕 𝐎𝐬/𝐑𝟎 𝟐 𝟎 + 𝜆𝛀 𝐒/𝐑 ; 𝜆ϵℝ 𝛀 𝐒/𝐑𝟎 Le mouvement général d’un solide résulte de la superposition d’une translation le long de l’axe central de rotation et d’une rotation autour de cet axe. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses VIII - Axe Instantané de Rotation - Glissement 54
  67. 67. Déterminez les axes instantanés de rotation des torseurs cinématiques relatifs aux solides « OA » et « AB » en leurs mouvements par rapport à « R0 ». Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses Exercice d’Application 1 : ( suite ) 67
  68. 68. Soit « R » un repère lié au solide « S » et « R0 » un repère de référence. Où réside la difficulté pour cerner le mouvement de « S » par rapport à « R0 » ? 𝛀 𝐒/𝐑𝟎 (donc 𝛀 𝐑/𝐑𝟎 ) Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses IX - Rotation autour d’un Point - Angles d’Euler 68 La difficulté réside en la détermination de :
  69. 69. 69 Le mouvement d'un solide par rapport à un référentiel fait intervenir 6 paramètres, qui sont, en général, les trois coordonnées décrivant la position d'un point quelconque du solide (donc une translation) et trois angles, nommés « les angles d'Euler ». Le mouvement de translation étant claire, on s'intéressera par la suite seulement à la description du mouvement de rotation quelconque du repère « R(O, xyz) » lié à « S » par rapport au repère de référence « R0 ». ça revient à l’étude du mouvement de rotation de « R(O, xyz) » autour du centre « O0 » après avoir coïncider les points « O » et « O0 » . Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses IX - Rotation autour d’un Point - Angles d’Euler
  70. 70. Les angles d'Euler sont choisis de manière à décrire plus simplement le vecteur instantané de rotation («Ω R/R0 = Ω S/R0 ») du solide, nécessaire à l'étude de la cinématique du solide. On passe du repère de référence « R0(O0, x0y0z0) » au repère lié au solide « R(O0, xyz) » par trois rotations successives : La précession « ψ », La nutation « θ » et La rotation propre « φ ». Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses IX - Rotation autour d’un Point - Angles d’Euler 70
  71. 71. La précession « ψ » : autour de l’axe « (O0z0) », fait passer de « R0(O0, x0y0z0) » à « R1(O0, x1y1z0) » Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses IX - Rotation autour d’un Point - Angles d’Euler x0 y0 x1 y1  z0   O0 O0 x0 y1 x1  y0  z0 71
  72. 72. La nutation « θ » : autour de l’axe « (O0x1) », fait passer de « R1(O0, x1y1z0) » à « R2(O0, x1y2z) » Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses IX - Rotation autour d’un Point - Angles d’Euler x0 y0 z x1 y1 y2  z0     O0 O0 y1 z0 z y2   x1  72
  73. 73. La rotation propre « φ » : autour de l’axe « (O0z) », fait passer de « R2(O0, x1y2z2) » à « R(O0, xyz) » Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses IX - Rotation autour d’un Point - Angles d’Euler x0 y0 z0 x y z x1 y1 y2         O0 O0 x1 y2 x y   73  z
  74. 74. Finalement, le vecteur instantané de rotation « Ω S/R0 » s’écrit : Ω S/R0 = Ω R/R0 = ψez0 + θex1 + φez 74 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses IX - Rotation autour d’un Point - Angles d’Euler
  75. 75. 75 On appelle mouvement plan d’un solide « S » par rapport à un repère de référence « R », un mouvement tel qu’il existe un plan « s » lié à « S » qui se déplace dans un plan parallèle à un «  » lié à « R ». Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses X - Mouvement Plan d’un Solide X.1. Définition
  76. 76. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses X - Mouvement Plan d’un Solide X.2. Centre Instantané de Rotation 76 ▪ Considérons un mouvement plan d’un solide « S » par rapport à un repère de référence orthonormé fixe « R » et soit le plan « s » lié à « S » qui se déplace en parallèle au plan «  » lié à « R ». ▪ Si la vitesse instantanée de rotation « S » par rapport à « R » est non nul « Ω S/R ≠ 0 », alors, l’axe instantané de rotation et de glissement « ∆ S/R » existe, il est perpendiculaire aux plans « s » et «  » et les coupe en un point « I » dont la vitesse est colinéaire à « Ω S/R » et en même temps contenu dans « s », chose qui est impossible. Donc, la vitesse du point « I » quand nome Centre Instantané de Rotation est nulle par rapport à « R » : 𝐕 𝐈 ϵ 𝚷𝐬/𝚷 = 𝐕 𝐈 ϵ 𝐒/𝐑 = 𝟎
  77. 77. ▪ Soit « R(O0, xyz) » un repère orthonormé fixe, et « S1 » et « S2 » deux solides en mouvement par rapport à ce repère. On considère que le solide « S1 » est en mouvement par rapport au solide « S2 » avec lequel, il reste constamment en contact. On suppose sauf mention du contraire, que le contact est ponctuel. On admet, qu’à chaque instant « t », les deux solides ont un point commun « I » et un plan tangent commun «  » en ce point. ▪ Soit « C1 » le lieu des positions de « I » dans « S1 » lorsque le temps « t » varie ; « C2 » est le lieu des positions de « I » dans « S2 ». Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses XI - Cinématique de Contact 77
  78. 78. 78 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses XI - Cinématique de Contact XI.1. Vecteur Vitesse de Glissement ▪ Le mouvement du point géométrique de contact « I » sur « C1 » par rapport à « R0 » V I ϵ S1/R0 peut être considéré (par composition de mouvement) comme le mouvement absolu résultant de la composition du mouvement relatif de « I » sur « C2 » V I ϵ S1/S2 et du mouvement d’entrainement du solide « S1 » par rapport au solide « S2 » V I ϵ S2/R0 . On aura donc : V I ϵ S1/R0 = V I ϵ S2/R0 + V I ϵ S1/S2 ▪ Le vecteur vitesse de glissement de « S1 » par rapport à « S2 » est donné par : 𝐕 𝐈 ϵ 𝐒𝟏/𝐒𝟐 = 𝐕 𝐈 ϵ 𝐒𝟏/𝐑𝟎 − 𝐕 𝐈 ϵ 𝐒𝟐/𝐑𝟎
  79. 79. Condition de non glissement : Si « 𝐕 𝐈 ϵ 𝐒𝟏/𝐒𝟐 = 𝟎 », on dit qu’il y a non glissement de « S1 » par rapport à « S2 ». 79 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses XI - Cinématique de Contact XI.1. Vecteur Vitesse de Glissement
  80. 80. Soit le disque « D » qui est en mouvement de roulement plan sur l’axe « Ox » du repère fixe « R ». Déterminer la vitesse de glissement de « D » par rapport à « Ox ». Quelle est la condition de roulement sans glissement ? Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses Exercice d’Application 2 : D R 80
  81. 81. 81 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses XI - Cinématique de Contact XI.2. Vecteur Rotation instantanée de Roulement et de Pivotement Le vecteur rotation instantanée de rotation « 𝛀 𝐒𝟏/𝐒𝟐 » de « S1 » par rapport à « S2 », se décompose en un vecteur rotation « 𝛀𝐓 𝐒𝟏/𝐒𝟐 » porté par le plan tangent commun «  » appelé vecteur instantané de rotation de roulement, et en un vecteur rotation « 𝛀𝐍 𝐒𝟏/𝐒𝟐 » perpendiculaire au plan «  » appelé vecteur instantané de rotation de pivotement. « 𝛀 𝐒𝟏/𝐒𝟐 » s’écrit : 𝛀 𝐒𝟏/𝐒𝟐 = 𝛀𝐓 𝐒𝟏/𝐒𝟐 + 𝛀𝐍 𝐒𝟏/𝐒𝟐
  82. 82. ▪ Condition de non roulement : Si « 𝛀𝐓 𝐒𝟏/𝐒𝟐 = 𝟎 », on dit qu’il y a non roulement de « S1 » par rapport à « S2 ». ▪ Condition de non pivotement : Si « 𝛀𝐍 𝐒𝟏/𝐒𝟐 = 𝟎 », on dit qu’il y a non pivotement de « S1 » par rapport à « S2 ». 82 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses XI - Cinématique de Contact XI.2. Vecteur Rotation instantanée de Roulement et de Pivotement
  83. 83. 83 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses XII - Liaisons ▪ Paramètres de position d’un point dans l’espace : 3 translations ▪ Paramètres de position d’un solide dans l’espace : 3 translations + 3 rotations ▪ Paramètres de position d’un système «  = { p points  s solides } : N = 3( p + s ) translations + 3s rotations ▪ Les « N » paramètres « 𝛏𝟏, … , 𝛏𝐍 » appelés paramètres primitifs de «  » qui ne sont pas en général indépendants, puisque le système «  » sera soumis à des liaisons.
  84. 84. 84 ▪ Les solides ne sont généralement pas libres dans l’espace. Leurs mouvements sont nécessairement limités par les propriétés de la matière : impénétrabilité, obstacles extérieurs, état des surfaces de contact,…etc. ▪ On peut définir une liaison comme étant l’ensemble des conditions particulières auxquelles est soumis un système matériel «  » par rapport à un autre système « ’ », qui limite les mouvements relatifs possibles de l’un par rapport à l’autre, ce qui revient à imposer certaines conditions aux paramètres primitifs. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses XII - Liaisons XII.1. Définitions
  85. 85. ▪ Les liaisons (conditions) sont modélisées mathématiquement via des équations de type « f ξi , ξi , t = 0 » qui vont permettre par la suite de déterminer les degrés de liberté relatif des systèmes «  » et « ’ ». ▪ les efforts de liaisons, ou actions de contact, résultent d’interaction microscopique entre les particules de «  » et celles de « ’ » qui sont très rapprochées au voisinage du domaine de contact. 85 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses XII - Liaisons XII.1. Définitions
  86. 86. 86 La description d’une liaison comporte trois conditions : ▪ condition sur la position appelée : ▪ condition sur la vitesse appelée : ▪ condition sur les efforts appelée : liaison de position ou liaison géométrique ; liaison cinématique ; liaison dynamique. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses XII - Liaisons XII.2. Description d’une liaison
  87. 87. 87 Pour classer les liaisons, on distingue : ▪ Liaisons bilatérales et liaisons unilatérales : - Une liaison bilatérale se traduit par des équations ; - une liaison unilatérale introduit au moins une inéquation. ▪ Liaison dépendante du temps et liaison indépendante du temps : - Une liaison est dite indépendante du temps lorsque explicitement dans la condition ; - une liaison est dépendante du temps dans le cas contraire. celui-ci n’intervient pas Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses XII - Liaisons XII.3. Classification des liaisons
  88. 88. 88 Pour classer les liaisons, on distingue : ▪ Liaisons holonomes et liaisons non-holonomes : - Une liaison holonome est une liaison qui se traduit par des relations entre les paramètres, et éventuellement le temps, mais à l’exclusion de leurs dérivées ; - Une liaison dite non-holonome dans le cas contraire ; - Une liaison est semi-holonome si les dérivées des paramètres interviennent linéairement, ainsi, cette condition conduit à une équation ne faisant pas intervenir les dérivées après simple intégration. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses XII - Liaisons XII.3. Classification des liaisons
  89. 89. 89 ▪ Soit un système «  » à « N » paramètres primitifs. ▪ Si « k » désigne le nombre de liaisons bilatérales holonomes (et éventuellement semi- holonomes), il suffit de connaître « N - k » paramètres, les « k » autre paramètres étant calculables à l’aide des équations de liaisons. ▪ Le nombre minimale « N - k » nécessaire pour décrire le système «  », est appelé : nombre de degrés de liberté du système «  ». ▪ Dans le calcul de ce nombre, les inéquations exprimant des liaisons unilatérales ne comptent pas. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses XII - Liaisons XII.4. Degrés de liberté
  90. 90. 90 Soit « R0(O,x0y0z0) » un repère orthonormé fixe et soit « R(G,xyz) » un repère orthonormé lié à un cylindre de centre d’inertie « G » et de rayon « R ». Le cylindre est astreint à mouvoir tout en gardant un contact permanent avec le plan « (Ox0y0) ». 1 – Paramétrez le cylindre et donner l’expression de son vecteur rotation instantanée / à « R0 » ; 2– Traduisez le non pivotement du cylindre / à « R0 ». Il s’agit de quel type de liaison ? 3 – Traduisez le non roulement du cylindre / à « R0 ». Il s’agit de quel type de liaison ? 4 – Traduisez le roulement sans glissement du cylindre / à « R0 ». Il s’agit de quel type de liaison ? Quel est le nombre de degrés de liberté du cylindre / à « R0 » ? Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses Exercice d’Application 3 :
  91. 91. 91 + La cinétique du solide est l’étude de la dynamique des masses pesantes. + Afin d’exprimer les concepts cinétiques qui apparaissent dans les lois de la dynamique, la cinétique introduit certaines grandeurs d’inertie : - Masse d’inertie ; - centre d’inertie ; - moment d’inertie. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses
  92. 92. 92 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses I - Masse d’un système matériel Dans l’étude dynamique d’un système matériel, on lui associe un nombre positif réel qu’on appelle sa masse d’inertie, possédant les propriétés suivantes : - La masse est une grandeur extensive (additive) ; - En mécanique classique la masse est indépendante du temps.
  93. 93. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses I - Masse d’un système matériel I.1. Système matériel discret m Sdiscret n = ∑ m Si i=1 93 La masse d’un système fini « Sdiscret = S1 A1 , S2 A2 , . . , Sn An » composé de système de « n » points matériel « Si Ai » est la somme des masses de tous les points
  94. 94. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses I - Masse d’un système matériel I.2. Système matériel continu Pour un système continu « Scontinu », si « dm » est la masse associé à un élément du système matériel « dE » dont la densité massique vaut « ρ ». Alors, la masse est définie par : m Scontinu 94 = ∫ Scontinu dm = ∫ ρdE Scontinu
  95. 95. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses I - Masse d’un système matériel I.2. Système matériel continu Si « 𝑺𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖 » est un volume (distribution volumique) : « 𝛒 » est la densité volumique du système et « dEdV » est l’élément de volume. Ainsi : m 𝑺𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖 = ∫ 𝛒dV Scontinu Si « 𝑺𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖 » est une surface (distribution surfacique) : « 𝜎 » est la densité surfacique du système « dEdS » est l’élément de surface. Ainsi : m 𝑺𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖 = ∫ 𝜎dS Scontinu Si « 𝑺𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖 » est une courbe (distribution linéaire) : « 𝜆 » est la densité linéaire du système et « dEdL » est l’élément de longueur. Ainsi : m 𝑺𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖 83 = ∫ 𝜆dL Scontinu
  96. 96. Soit un solide « T » occupant une surface de densité surfacique « σ ». Donnez l’écriture de la masse de « T ». Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses Exercice d’Application 4 : 96
  97. 97. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses II - Centre d’Inertie II.1. Définition On appelle centre d’inertie ou centre de masse d’un système matériel « S », le barycentre des différents points de « S » affectés de leurs masses respectives. Système matériel discret : Pour un système discret « Sdiscret = S1 A1 , S2 A2 , . . , Sn An », la position du centre de masse « G » par rapport à un repère de centre « O » est définie par : OG = m Si OAi ∑n i=1 m Si ∑n i=1 97
  98. 98. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses II - Centre d’Inertie II.1. Définition Système matériel continue : Pour un système continu « Scontinu », la position du centre de masse « G » par rapport à un repère de centre « O » est définie par : m Scontinu ∫Scontinu OP𝐝𝐦 OG = , avec P ϵ Scontinu Sachant qu’il y a trois type de distribution de masse : - Distribution volumique :𝐝𝐦 = 𝛒𝐝𝐕 - Distribution surfacique :𝐝𝐦 = 𝜎𝐝𝐒 - Distribution linéaire :𝐝𝐦 = 𝜆𝐝𝐋 Soit « R » un référentiel fixe supposé galiléen et soit « RG » le référentiel d’origine « G » (centre d’inertie), en translation à la vitesse V G/R . Le repère « RG » barycentrique ou référentiel du centre de masse. est appelé référentiel 86
  99. 99. Donnez l’écriture du centre d’inertie de « T ». Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses Exercice d’Application 4 : ( suite ) 99
  100. 100. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses II - Centre d’Inertie II.2. Propriétés Associativité : Soit un système « S » composé de « n » systèmes disjoints « Si » de masse « mi » et de centre de d’inertie « Gi ». si « G » et le centre d’inertie de « S » alors, on a : OG = miOGi ∑n i=1 mi ∑n i=1 Si un système matériel est une somme de systèmes matériels simples, cette propriété permet de concentrer la masse de ces parties en leurs propres centres de masse puis de déterminer le centre de masse de l’ensemble. 100
  101. 101. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses II - Centre d’Inertie II.2. Propriétés Symétrie matérielle : On dit qu’un système « S » possède un élément de symétrie matérielle (point, droite ou plan) si la distribution de masse en tout point « P » est égale à celle en « P’ » point symétrique de « P » par rapport à cet élément de symétrie : - Si Un système admet un point comme point de symétrie matérielle, alors le centre d’inertie coïncide avec ce point. Exemple : boule. - Si un système admet un axe de symétrie matérielle, alors le centre d’inertie appartient à cet axe. Exemple : ½ boule, cône. - Si un système admet un plan de symétrie matérielle, alors le centre d’inertie appartient à ce plan. En résumé, si un système possède un élément de symétrie matérielle ce dernier contient le centre d’inertie. 101
  102. 102. Donnez l’écriture du centre d’inertie du domaine « D » ci-dessous : Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses Exercice d’Application 5 : 102
  103. 103. Donnez l’écriture du centre d’inertie du domaine « D » ci-dessous : Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses Exercice d’Application 5 : 103
  104. 104. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses III - Moment d’Inertie - Le moment d'inertie est un scalaire (grandeur physique) qui caractérise la géométrie des masses d'un solide. - Il quantifie la résistance de ce solide à une accélération angulaire, et a pour dimension le produit d'une masse et du carré d'une longueur, qui s'exprime en « kg·m² ». - C'est l'analogue pour un solide de la masse inertielle qui, elle, traduit la résistance d'un solide à une accélération linéaire. 104
  105. 105. Soit « S » un système matériel (solide) repéré par rapport au référentiel « R(O, xyz) et « P » un point quelconque appartenant à « S ». III.1. Moment d’Inertie d’un Solide Moment d’inertie par rapport à un plan : Soit « Π » un plan contenant le point « O » et dont la normale est « n ». Le moment d’inertie de « S » par rapport à « Π » est définie par : 2 IΠ S = ∫S OP. n dm Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses III - Moment d’Inertie 105
  106. 106. Moment d’inertie par rapport à une droite : Soit « D » une droite passant par « O » et dont la directrice est « u ». Le moment d’inertie de « S » par rapport à « D » est définie par : 2 ID S = ∫ OP ˄ u dm S Moment d’inertie par rapport à un point : Soit « O » un point. Le moment d’inertie de « S » par rapport à « O » est définie par : 2 IO S = ∫ OP dm S Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses III - Moment d’Inertie III.1. Moment d’Inertie d’un Solide 106
  107. 107. Donnez l’écriture du moment d’inertie de « T » par rapport à la droite « D O, u ». », avec « u = ez Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses Exercice d’Application 4 : ( suite ) 107
  108. 108. J O, S . u = ∫S OP ˄ u ˄ OP dm , avec P ϵ S L’opérateur d’inertie est linéaire et symétrique. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses III - Moment d’Inertie III.2. Opérateur d’Inertie Soit l’application qui à tout vecteur unitaire « u », elle fait correspondre le vecteur « J O, S . u ». « J O, S » est l’opérateur d’inertie associé au solide « S » en un point « O », il est définit par : 108
  109. 109. Iij O, S = ei. J O, S . ej Ce qui donne : −E −D −F B A −F = I O, S C −D −E Avec : A = IXX = IOX S S = ∫ y2 + z2 dm ; D = −Iyz = ∫ yz dm ; S B = Iyy = I Oy S S = ∫ x2 + z2 dm ; E = −IXz = ∫ xz dm ; S C = Izz = I Oz S S = ∫ x2 + y2 dm ; F = −IXy = ∫ xy dm. S Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses III - Moment d’Inertie III.3. Matrice d’Inertie L’opérateur d’inertie « J O, S » peut être représenté dans la base orthonormée et cartésienne du repère « R(O, xyz) par une matrice « I O, S » symétrique d’ordre « 3 », les éléments de cette matrice s’écrivent : 109
  110. 110. » passant par un point Le moment d’inertie d’un solide « S » par rapport à une droite « D u « O » peut être déterminé à partir de la matrice d’inertie « I O, S » : ID S = u. I O, S . u Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses III - Moment d’Inertie III.4. Moment d’inertie / à une droite à partir de la matrice d’inertie 110
  111. 111. Donnez l’écriture de la matrice d’inertie de « T » par rapport au point « O ». », avec Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses Exercice d’Application 4 : ( suite ) Retrouvez l’écriture du moment d’inertie de « T » par rapport à la droite « D O, u « u = ez». 111
  112. 112. ▪ Il existe au moins un système de vecteurs orthogonaux deux à deux (une base) pour lequel, la matrice d’inertie d’un solide S au point O est diagonale et ses éléments 𝜆𝟏, 𝜆𝟐 𝐞𝐭 𝜆𝟑sont nommés « moments principaux d’inertie », tandis que, les vecteurs de la base 𝐮𝟏, 𝐮𝟐 𝐞𝐭 𝐮𝟑sont nommés « axes principaux d’inertie ». ▪ Le repère 𝐎, 𝐮𝟏, 𝐮𝟐, 𝐮𝟑 est appelé repère principal d’inertie de S en O. ▪ Les axes et moments d’inertie sont trouvés : - Analytiquement : via résolution d’un système aux valeurs/vecteurs propres : 𝐈𝐎 𝐒 − 𝜆𝐈 𝐮 = 𝟎; - Géométriquement : via des rotations convenables. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses III - Moment d’Inertie III.5. Axes et moments principaux d’inertie 112
  113. 113. 113 Remarque Importante : Pour qu’un repère lié à un solide S soit principal d’inertie, il suffit qu’il contienne au moins : ▪ un axe de symétrie de révolution de S ; ▪ OU deux axes de symétrie de S. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses III - Moment d’Inertie III.5. Axes et moments principaux d’inertie
  114. 114. Donnez l’écriture de la matrice d’inertie du cylindre « C » par rapport au point « O ». Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses Exercice d’Application 6 : 114
  115. 115. I O, S = I G, S + I O, G M Avec : G : G(M) : le centre d’inertie de « S » ; système constitué de la masse du solide « M » supposée concentrée en « G » DG : Droite parallèle à « D » et passant par « G » ; d : distance entre « DG » et « D » Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses III - Moment d’Inertie III.6. Théorème de Koenig pour la matrice d’inertie 115 III.7. Théorème de Huyghens pour le moment d’inertie / à une droite ID S = ID S + Md2 G Avec :
  116. 116. La quantité de mouvement d’un solide « S » en mouvement par rapport à un repère « R » est le vecteur associé au champ des vitesses et la répartition des masses du système. Elle est définie par : p S/R = ∫S V P/R dm = MV G/R , avec P ϵ S Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses IV - Torseur Cinétique IV.1. Quantité de Mouvement IV.2. Moment Cinétique Le moment cinétique en un point « A » d’un solide « S » en mouvement par rapport à un repère « R » est le vecteur défini par : σA S/R = ∫S AP ˄ V P/R dm , avec P ϵ S 116
  117. 117. Le torseur cinétique en un point « A » d’un solide en mouvement par rapport à un repère « R » a pour éléments de réduction : : 𝐑 c 𝐒/𝐑 = p S/R ▪ Résultante cinétique : ▪ Moment cinétique en « A » :𝐌𝐀 la quantité de mouvement c 𝐒/𝐑 = σA S/R 𝐌𝐀 c 𝐒/𝐑 = 𝜎𝐀 𝐒/𝐑 = p 𝑆/𝑅 = MV G/R = ∫ AP ˄ V P/R dm , S 117 avec P ϵ S A Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses IV - Torseur Cinétique IV.3. Torseur Cinétique 𝐑 c 𝐒/𝐑 τc S/R =
  118. 118. Pour un solide « S » en mouvement par rapport à un repère « R », le moment cinétique en un point « A » est la somme du moment cinétique en « A » de « S » par rapport au repère barycentrique (parallèle à « R » et dont le centre est le centre d’inertie de « S ») et le moment cinétique en « A » du centre d’inertie affecté de la masse « M » du solide : σA S/R = σA S/RG + AG ˄ MV G/R 118 Avec « RG » est le repère barycentrique parallèle à « R ». Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses IV - Torseur Cinétique IV.4. Théorème de Koenig pour le Moment Cinétique :
  119. 119. Supposons que « T » est en mouvement par rapport au repère absolu « R0 ». Il effectue une rotation dans le plan « (0x0y0) », et ce par rapport à l’axe « (Oz0) ». Donnez l’écriture au point « O » du Torseur Cinétique de « T » en son mouvement par rapport à « R0 ». Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses Exercice d’Application 4 : ( suite ) 119
  120. 120. La quantité d’accélération d’un solide « S » en mouvement par rapport à un repère « R » est le vecteur associé au champ des accélérations et la répartition des masses du système. Elle est définie par : D S/R = ∫S P/R dm = MΓ G/R , avec P ϵ S Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses V - Torseur Dynamique V.1. Quantité d’Accélération V.2. Moment Dynamique Le moment dynamique en un point « A » d’un solide « S » en mouvement par rapport à un repère « R » est le vecteur défini par : δA S/R = ∫S AP ˄ Γ P/R dm , avec P ϵ S 120 Γ
  121. 121. Le torseur dynamique en un point « A » d’un solide en mouvement par rapport à un repère « R » a pour éléments de réduction : ▪ Résultante dynamique : la quantité d’accélération : 𝐑 𝐷 𝐒/𝐑 = D S/R ▪ Moment cinétique en « A » : 𝐌𝐀 𝐷 𝐒/𝐑 = δA S/R 𝐑 𝐷 𝐒/𝐑 = 𝐃 𝐒/𝐑 = MΓ G/R 𝐌𝐀 𝐷 𝐒/𝐑 = δ𝐀 𝐒/𝐑 = ∫ AP ˄ P/R dm , S 121 avec P ϵ S A Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses V - Torseur Dynamique V.3. Torseur Dynamique Γ τ𝐷 S/R =
  122. 122. Pour un solide « S » en mouvement par rapport à un repère « R », le moment dynamique en un point « A » est la somme du moment dynamique en « A » de « S » par rapport au repère barycentrique (parallèle à « R » et dont le centre est le centre d’inertie de « S ») et le moment dynamique en « A » du centre d’inertie affecté de la masse « M » du solide : δA S/R = δA S/RG + AG ˄ MΓ G/R 122 Avec « RG » est le repère barycentrique parallèle à « R ». Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses V - Torseur Dynamique V.4. Théorème de Koenig pour le Moment Dynamique :
  123. 123. Soit un solide « S » de masse « M » en mouvement par rapport à un repère « R ». La résultante dynamique est égale à la dérivée par rapport au temps de la résultante cinétique : D S/R = dp S/R dt | R VI.1. Relation entre les Résultantes Cinétique et Dynamique : 123 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses VI - Relation entre Torseur Dynamique et Cinétique
  124. 124. Nous avons pour tout point « A » : A dt | + V A/R ˄ MV G/R R Cas particuliers : « A ∈ R » : A δ S/R dt R « A ≡ G » : G δ S/R dt R Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses VI - Relation entre Torseur Dynamique et Cinétique VI.2. Relation entre les Moments Cinétique et Dynamique : 124 d σA S/R δ S/R = dσA S/R = | dσG S/R = |
  125. 125. Donnez l’écriture au point « O » du Torseur Dynamique de « T » en son mouvement par rapport à « R0 ». Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses Exercice d’Application 4 : ( suite ) 125
  126. 126. L’énergie cinétique d’un solide « S » en mouvement par rapport à un repère « R » est le scalaire défini par : 2 1 T S/R = ∫ V2 P/R dm , avec P ϵ S T S/R = T S/RG 1 2 + 2 MV G/R Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses VII - Energie Cinétique VII.2. Energie Cinétique : S VII.2. Théorème de Koenig pour l’Energie Cinétique : Pour un solide « S » en mouvement par rapport à un repère « R », l’énergie cinétique est la somme de l’énergie cinétique par rapport au repère barycentrique « RG » et de l’énergie cinétique du centre d’inertie « G » affecté de la masse du solide « M » : 126
  127. 127. Soit un système déformable « Σ » constitué de « n » sous-systèmes indéformables « Si ; i = 1 .. n » tel que : n Σ = ∪ Si i=1 Connaissant L’énergie cinétique « T Si/R » de chaque sous-système « Si » dans son mouvement par rapport à un repère « R ». L’énergie cinétique de « Σ » par rapport à « R » est définie par : n T Σ/R = ∑ T Si/R i=1 127 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses VII - Energie Cinétique VII.3. Energie Cinétique d’un Système Déformable Décomposable en Systèmes Indéformables:
  128. 128. VIII.1.1. En un point « 𝐴 ∈ 𝑆 » : En développant « V P/R » par distribution des vitesses, nous aurons : σA S/R = ∫ AP ˄ V P/R dm = I A, S . Ω S/R + M S AG ˄ V A/R S Cas particuliers : « A ≡ G » : σG S/R = I G, S . Ω S/R « A ∈ R » : σA S/R = I A, S . Ω S/R 128 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses VIII - Eléments Cinétiques VIII.1. Calcul du moment cinétique d’un solide « S » :
  129. 129. VIII.1.2. En un point « 𝐴 ∉ 𝑆 » : A partir du théorème de Koenig pour le moment cinétique, on aura : σA S/R = σG S/R + AG ˄ MV G/R = I G, S . Ω S/R + AG ˄ MV G/R 129 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses VIII - Eléments Cinétiques VIII.1. Calcul de moment cinétique d’un solide « S » :
  130. 130. En développant « V P/R » par distribution des vitesses, nous aurons : 2 1 T S/R = ∫ V2 2 1 P/R dm = ∫ V A/R + Ω S/R 2 ˄ AP dm , S avec P ϵ S et P ϵ S S 1 2 = M S V A/R 2 + M S V A/R . Ω S/R 1 2 ˄ AG + Ω S/R . I A, S . Ω S/R 130 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses VIII - Eléments Cinétiques VIII.2. Calcul de l’Energie Cinétique d’un Solide « S » :
  131. 131. Cas particuliers : « A ≡ G » : T S/R = 1 2 M S V G/R 2 1 2 + Ω S/R . I G, S . Ω S/R 1 = 2 M S V G/R 2 1 + 2 Ω S/R . σG S/R « A ∈ R » : T S/R 1 2 = Ω S/R . I A, S . Ω S/R 1 = 2 Ω S/R . σA S/R 131 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses VIII - Eléments Cinétiques VIII.2. Calcul de l’Energie Cinétique d’un Solide « S » :
  132. 132. Soit « OA » une barre rigide et « R » un repère lié à cette barre comme illustré sur la figure ci- dessous. 1) Donnez l’écriture de la matrice D’inertie de « OA » ; 2) Donnez les écritures des moments d’inertie de « OA » / aux droites « D1 O, u=ez0 » et « D2 O, v=ex0 + e𝑦0 + ez0 » ; 3) Supposons que « α = α t », Donnez les écritures des torseurs cinétique et dynamique ainsi que l’écriture de l’énergie cinétique « OA » dans son mouvement / à « R0 » . Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses Exercice d’Application 7 : 132
  133. 133. 133 ▪ La Dynamique des Solides Indéformables s’appuie sur le Principe Fondamental de la Dynamique. ▪ Principe Fondamental de la Dynamique : Modèle Mathématique Définissant la relation entre : - le mouvement ; - la source du mouvement (Forces et Couples). ▪ Les théorèmes Généraux sont des Variantes du principe Fondamental de la Dynamique. Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses
  134. 134. 134 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses I - Torseur des Efforts Extérieurs I.1. Forces Appliquées à un Système : 1. Définition : On appelle force, tout effort exercé sur un point matériel « M » appartenant à un système matériel. Elle est représentée par un vecteur lié « F M ». 2. Classification des Forces : - Forces extérieures ; - Forces Intérieures ; - Forces de Contact.
  135. 135. I.1.3. Vecteur Efforts Extérieurs :(Système Discret) Pour un système discret « 𝐒𝐝𝐢𝐬𝐜𝐫𝐞𝐭 = S1 P1 , S2 P2 , . . , Sn Pn » dont chaque sous-système « 𝐒𝐢 𝐏𝐢 » subit l’effort « F𝐢 𝐏𝐢 » au point « 𝐏𝐢 ». L’effort total « F » exercée sur « Sdiscret » est la somme des forces élémentaires : 𝐅 𝐒𝐝𝐢𝐬𝐜𝐫𝐞𝐭/R 135 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses I - Torseur des Efforts Extérieurs I.1. Forces Appliquées à un Système : 𝑛 = ∑ F𝐢 𝐏𝐢 𝑖=1
  136. 136. I.1.3. Vecteur Efforts Extérieurs :(Système Continu) 𝐅 𝐒𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮/R = ∫ 𝐟 𝐏 𝐝𝐦 , 𝐒𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮 136 avec 𝐏 ϵ 𝐒𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses I - Torseur des Efforts Extérieurs I.1. Forces Appliquées à un Système : pour un système continu « 𝐒𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮 », on introduit le vecteur lié « 𝐟 𝐏 » représentant la densité massique de force qui s’exerce sur le point courant « 𝐏 ∈ 𝐒𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮 ». Si on associe l’élément de masse « dm » au point « P », l’effort total est la résultante définie par :
  137. 137. Soit le solide « S » repérer par rapport au repère « R ». Le torseur des efforts extérieur à « S » au point « A » a pour élément de réduction : - Résultante : 𝐑 𝓕 𝐒/𝐑 - Moment en « A » : 𝐌𝐀 𝓕 𝐒/𝐑 Si « S » est discret : τℱ S/R = 𝐑 𝓕 𝐌𝐀 𝓕 𝐒/𝐑 n 𝐒/𝐑 = ∑ Fi Pi i=1 n = ∑ APi ˄ Fi Pi i=1 137 A Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses I - Torseur des Efforts Extérieurs I.2. Torseurs des Efforts Extérieures :
  138. 138. Si « S » est continu : τℱ S/R = 𝐑 𝓕 𝐒/𝐑 = ∫ f S P dm , avec P ϵ S 𝐌𝐀 𝓕 𝐒/𝐑 = ∫ AP ˄ f S P dm , 138 avec P ϵ S A Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses I - Torseur des Efforts Extérieurs I.2. Torseurs des Efforts Extérieures :
  139. 139. « τℱ S/R » : τD S/R = τℱ S/R 139 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses II - Principe Fondamental de la Dynamique Il existe au moins un repère galiléen « R » et un temps absolu « t », tel que dans tout mouvement de tout système matériel « S » rapporté au repère « R » et au temps « t », le torseur dynamique « τ S/R » soit à chaque instant égal au torseur des efforts extérieurs
  140. 140. III.1.1. Forme Générale : La résultante dynamique de « S » est égale à la résultante générale du torseur des forces extérieures subies par « S » : R τD S/R = R τℱ S/R III.1.2. Théorème de la Résultante Cinétique La dérivée par rapport au temps de la résultante cinétique de « S » est égale à la résultante générale du torseur des forces extérieures subies par « S » : dR τc S/R 𝑑 𝑅 ℱ | = R τ S/R 140 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses III - Théorème Généraux III.1. Théorème de la Résultante Dynamique :
  141. 141. III.1.2. Théorème du mouvement du centre de masse La quantité d’accélération du centre de masse de « S » affectée de la masse de ce système est égale à la résultante générale du torseur des forces extérieures subies par « S » : M Γ G/R = R τℱ S/R 141 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses III - Théorème Généraux III.1. Théorème de la Résultante Dynamique :
  142. 142. III.2.1. Forme Générale : Le moment dynamique d’un système matériel « S » évalué en un point « A » quelconque est égal au moment en « A » du torseur des forces extérieures subies par « S » : MA τD S/R = MA τℱ S/R 142 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses III - Théorème Généraux III.2. Théorème du Moment Dynamique :
  143. 143. III.2.2. Théorème du Moment Cinétique : dMA τc C S/R dt | + V A/R ˄ M S R V G/R A ℱ = M τ S/R Cas particuliers : - « A ≡ G » : dMG τ C S/R dt G ℱ | = M τ S/R R - « A ∈ R » : dMA τ C S/R dt A ℱ | = M τ S/R R 143 Chap II : Cinématique Chap I : calcul vectoriel / Torseurs Introduction Chap V : Energie Chap IV : Théorèmes Généraux Chap III : Cinétique / Masses III - Théorème Généraux III.2. Théorème du Moment Dynamique :

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