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ENSET MOHAMMEDIA A.U 2022/23
Travaux dirigés de Mécanique de solide
MASTER-MRMI
Exercice 1
Un tube cylindrique mince OA, incliné par rapport à l’horizontale d’un angle α, tourne autour de la verticale
à une vitesse angulaire constante ω. Un point matériel P de masse m, assujetti à se déplacer dans ce tube, est
initialement au repos à la distance a de O, intersection de l’axe vertical de rotation avec le tube. Soient les repères
d’espace R(0,
−
→
i ,⃗
j,⃗
k) constitué de l’axe vertical de rotation Oz et du plan horizontal xoy, R′
u

O,
−
→
i′
,⃗
j′
,⃗
k′

lié au
tube cylindrique d’axe Oz′
portant OA, Oy′
dans le plan xOy et Ox′
complète le trièdre direct.
1- Ecrire le vecteur vitesse angulaire de rotation dans la base du repère mobile R′
. On fera par la suite tous les
calculs dans cette base.
2- Calculer la vitesse relative et d’entraı̂nement du point matériel P. En déduire sa vitesse absolue.
3- Calculer l’accélération de P par rapport au repère fixe par composition de mouvement.
4- Retrouver les résultats des questions 2 et 3 par calcul direct.
Exercice 2
Déterminer la matrice d’inertie des solides homogènes suivants :
a. Cylindre creux de rayons R1, R2 (rayons intérieur et extérieur) de hauteur H et de masse M.
b. Cylindre mince de rayon R et d’épaisseur faible.
c. Cône creux de rayon R et de hauteur H.
d. Quart de cercle de rayon R.
1
Exercice 3
Une machine de ponçage des sols est composée d’un bras OAC de masse négligeable tel que OA=L, AC=L/2
et d’un disque de rayon R et de masse M . Le bras est en mouvement de rotation par rapport au bâti fixe avec une
vitesse de rotation f = cte. Le disque tourne autour du bras AC avec une vitesse de rotation θ = cte On prendra
R1 comme repère de projection
Déterminer :
1. Vitesse de rotation instantanée du disque.
2. Vitesse et accélération absolues du point C.
3. Le torseur cinétique du disque en O et le torseur dynamique du disque en O.
5. L’énergie cinétique du système.
Exercice 4
On considère le roulement d’un disque de centre C et de rayon r sur un axe (O, ⃗
x1). Le repère R (C, ⃗
x, ⃗
y,⃗
z) est
lié au disque (Figure ci-dessous).
1. Ecrire le torseur cinématique au centre C du disque.
2. Déterminer les vecteurs vitesse et accélération du point M sur la périphérie du disque.
3. Écrire la condition de roulement sans glissement au point de contact I avec l’axe (O, ⃗
x1).
4. Déterminer le torseur cinétique au centre C et le torseur dynamique au centre C.
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  • 1. ENSET MOHAMMEDIA A.U 2022/23 Travaux dirigés de Mécanique de solide MASTER-MRMI Exercice 1 Un tube cylindrique mince OA, incliné par rapport à l’horizontale d’un angle α, tourne autour de la verticale à une vitesse angulaire constante ω. Un point matériel P de masse m, assujetti à se déplacer dans ce tube, est initialement au repos à la distance a de O, intersection de l’axe vertical de rotation avec le tube. Soient les repères d’espace R(0, − → i ,⃗ j,⃗ k) constitué de l’axe vertical de rotation Oz et du plan horizontal xoy, R′ u O, − → i′ ,⃗ j′ ,⃗ k′ lié au tube cylindrique d’axe Oz′ portant OA, Oy′ dans le plan xOy et Ox′ complète le trièdre direct. 1- Ecrire le vecteur vitesse angulaire de rotation dans la base du repère mobile R′ . On fera par la suite tous les calculs dans cette base. 2- Calculer la vitesse relative et d’entraı̂nement du point matériel P. En déduire sa vitesse absolue. 3- Calculer l’accélération de P par rapport au repère fixe par composition de mouvement. 4- Retrouver les résultats des questions 2 et 3 par calcul direct. Exercice 2 Déterminer la matrice d’inertie des solides homogènes suivants : a. Cylindre creux de rayons R1, R2 (rayons intérieur et extérieur) de hauteur H et de masse M. b. Cylindre mince de rayon R et d’épaisseur faible. c. Cône creux de rayon R et de hauteur H. d. Quart de cercle de rayon R. 1
  • 2. Exercice 3 Une machine de ponçage des sols est composée d’un bras OAC de masse négligeable tel que OA=L, AC=L/2 et d’un disque de rayon R et de masse M . Le bras est en mouvement de rotation par rapport au bâti fixe avec une vitesse de rotation f = cte. Le disque tourne autour du bras AC avec une vitesse de rotation θ = cte On prendra R1 comme repère de projection Déterminer : 1. Vitesse de rotation instantanée du disque. 2. Vitesse et accélération absolues du point C. 3. Le torseur cinétique du disque en O et le torseur dynamique du disque en O. 5. L’énergie cinétique du système. Exercice 4 On considère le roulement d’un disque de centre C et de rayon r sur un axe (O, ⃗ x1). Le repère R (C, ⃗ x, ⃗ y,⃗ z) est lié au disque (Figure ci-dessous). 1. Ecrire le torseur cinématique au centre C du disque. 2. Déterminer les vecteurs vitesse et accélération du point M sur la périphérie du disque. 3. Écrire la condition de roulement sans glissement au point de contact I avec l’axe (O, ⃗ x1). 4. Déterminer le torseur cinétique au centre C et le torseur dynamique au centre C. 2