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Chaitre 3 Fonctions logiques (1).pptx

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Chaitre 3 Fonctions logiques (1).pptx

  1. 1. Chapitre 3: Fonctions binaires Faculté des Sciences Ben M’sik 1/54 Electronique
  2. 2. Chapitre 3: Fonctions binaires 3.1 Rappels  Les combinaisons binaires de n bits sont les éléments de l’ensemble {0,1}n.  Si on a n bits, il y a 2n combinaisons binaires différentes. a- Définition d’une fonction binaire Une fonction binaire à n variables associe aux combinaisons binaires de n bits la valeur 0 ou 1. Les n bits s’appellent variables binaires. 2/54
  3. 3. Chapitre 3: Fonctions binaires Une fonction binaire est une application: f : {0,1}n {0,1} L'ensemble des fonctions binaires muni des opérations . et + est une algèbre de Boole. f.g (x) = f(x).g(x) ; f+g (x) = f(x) + g(x) ; On peut donc appliquer les axiomes et les théorèmes de l’algèbre de Boole. 3/54
  4. 4. Chapitre 3: Fonctions binaires 3.2 Représentation des fonctions binaires Il y a plusieurs façons de représenter une fonction binaire. 3.2.1 Table de vérité Elle possède deux colonnes, une pour les combinaisons binaires (entrées) et une pour la fonction binaire (sortie). La table de vérité d’une fonction à n variables possède 2n lignes. 4/54
  5. 5. Chapitre 3: Fonctions binaires Xj f(Xj) i = 0 … i = 1 … … … X=(xn, …,x2,x1) … … i = 2n-2 … i = 2n-1 … 5/54
  6. 6. Chapitre 3: Fonctions binaires 6/54 Exemple : y = y((x3, x2, x1) j x3 x2 x1 y 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 0 5 1 0 1 1 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0
  7. 7. Chapitre 3: Fonctions binaires 3.2.2 Ensembles de combinaisons Définitions Un point nul d’une fonction f est une combinaison Xi telle que f(Xi) = 0. Un point non nul d’une fonction f est une combinaison Xi telle que f(Xi) = 1. Z(f) est l’ensemble des points nuls de f. Z(f) = {...,Zi,...,Zk,...} ou Z f = Mi U(f) est l’ensemble des points non nuls de f. U(f) = {...,Ul,...,Um,...} ou U f = 𝑚𝑖 7/54
  8. 8. Maxtèrme : est un terme formé par la somme de tous les variables ou leurs compléments Exemple: soit 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶 : 𝑙𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒, 𝑝𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐴 + 𝐶 𝑛𝑒 𝑙′𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑠 . mintèrme : est un terme produit formé par tous les variables ou leurs compléments Exemple soit 𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶 : 𝑙𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒 𝐴 𝐵 𝐶 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒, 𝑝𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐴 𝐶 𝑛𝑒 𝑙′𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑠 Le terme 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝑀2 , le terme 𝐴 𝐵 𝐶 = 𝑚5 𝒎𝒊 = 𝑴𝒊 8
  9. 9. Rang minterme Maxterme X3 X2 X1 y = g(X) 0 𝐌𝟎 = 𝐗𝟑 + 𝐗𝟐 + 𝐗𝟏 0 0 0 0 1 𝐌𝟏 = 𝐗𝟑 + 𝐗𝟐 + 𝐗𝟏 0 0 1 0 2 𝐌𝟐 = 𝐗𝟑 + 𝐗𝟐 + 𝐗𝟏 0 1 0 0 3 𝐦𝟑 = 𝐗𝟑 𝐗𝟐 𝐗𝟏 0 1 1 1 4 𝐌𝟒 = 𝐗𝟑 + 𝐗𝟐 + 𝐗𝟏 1 0 0 0 5 𝐦𝟓 = 𝐗𝟑 𝐗𝟐 𝐗𝟏 1 0 1 1 6 𝐦𝟔 = 𝐗𝟑 𝐗𝟐 𝐗𝟏 1 1 0 1 7 𝐌𝟕: 𝐗𝟑 + 𝐗𝟐 + 𝐗𝟏 1 1 1 0 𝑦 = 𝑚3 + 𝑚5 + 𝑚6 = 𝑚 3,5,6 𝑦 = 𝑀0 𝑀1 𝑀2 𝑀4 𝑀7 = 𝑀 0,1,2,4,7 9
  10. 10. Chapitre 3: Fonctions binaires Les indices de Zi et Ui représentent le code décimal des combinaisons correspondantes. Représentation Pour représenter une fonction f, il suffit de spécifier U(f) ou Z(f). Exemple Pour y = g(X), on a : Z(g) = {0,1,2,4,7} ; U(g) = {3,5,6} 10/54
  11. 11. Chapitre 3: Fonctions binaires 3.2.4 Expression booléenne La fonction est décrite sous forme d’une expression logique. y = f(X) = E ; E: Expression booléenne Exemple y = f d, c, b, a = d + c a + d a b + a d 11/54
  12. 12. Chapitre 3: Fonctions binaires 3.2.5 Tables de Karnaugh On les appelle aussi tableaux de Karnaugh. a- Construction des tables 1 variable: x1  21 = 2 possibilités = 2 cases 12/54 x1 0 1
  13. 13. Chapitre 3: Fonctions binaires 2 variables: x2 x1  22 = 4 combinaisons = table à 4 cases 13/54 x1 0 1 2 3 x2 x1 0 1 𝐦𝟎 = 𝐗𝟐 𝐗𝟏 𝐦𝟏 = 𝐗𝟐 𝐗𝟏 𝐦𝟑 = 𝐗𝟐 𝐗𝟏 𝐦𝟎 = 𝐗𝟐 𝐗𝟏
  14. 14. Chapitre 3: Fonctions binaires 2 variables: x3 x2 x1  23 = 8 combinaisons  tableau à 8 cases 14/54 x2 0 1 x1 2 3 4 5 7 6 x3
  15. 15. Chapitre 3: Fonctions binaires 4 variables: x4 x3 x2 x1  24 = 16 combinaisons  tableau à 16 cases 15/54 X2 0 1 3 2 X3 4 5 7 6 12 13 15 14 X4 8 9 11 10 X1
  16. 16. 16
  17. 17. CDE AB 000 001 011 010 110 111 101 100 0 0 0 1 3 2 6 7 5 4 0 1 8 9 11 10 14 15 13 12 1 1 24 25 27 26 30 31 29 28 1 0 16 17 19 18 22 23 21 20 C D E E B A 5 variables: A B C D E  25 = 32 combinaisons  tableau à 32 cases 17
  18. 18. Minimisation de fonctions logiques par table de Karnaugh Simplifier une fonction logique = circuits plus simples Deux types de minimisation : Niveau logique : simplifier la fonction logique. Niveau électronique : réarranger le circuit pour réduire la complexité et le coût Complexité d’un circuit est directement reliée à la complexité de la fonction logique. Utilisation de théorèmes : long et difficile pour des fonctions de plusieurs variables Méthode très utilisée : diagrammes de Karnaugh 18
  19. 19.  On rempli le diagramme à partir de la table de vérité  On ajoute les 1 et 0 aux endroits appropriés, selon la fonction  On simplifie en créant des rectangles ou carrés les plus gros possibles ( à 2n cases ) Regroupement des 1 pour obtenir  forme somme de produit. Regroupement des 0 pour obtenir  forme des produit de somme. Minimisation de fonctions logiques par table de Karnaugh 19
  20. 20. 20 Règles de simplification pour les diagrammes de Karnaugh. 1) Si deux niveaux logiques “1” remplissant respectivement deux cases adjacentes, il y a simplification possible. Dans ce cas, on élimine une variable. 2) Dans le diagramme, un “1” peut servir autant de fois que cela est nécessaire car X + X = X. 3) On rassemble les cases adjacentes contenant des 1 dans des boucles regroupant un nombre pair de “1” égal à 2n (2, 4, 8, etc…). La variable qui prend les deux valeurs 0 et 1 dans le groupement disparaît. Il ne reste que le produit des variables, qui gardent la même valeur. Dans un groupement de deux termes on élimine donc la variable qui change d'état et on conserve le produit des variables qui ne changent pas. Dans un groupement de quatre on élimine les deux variables qui changent d'état. Dans un groupement de huit on élimine trois variables, etc… Pour les cases isolées on ne peut éliminer aucune variable. On conserve donc le produit caractérisant la case. 4) On cherche à avoir le minimum de groupements c-à-d le minimum de boucles. Chaque groupement doit rassembler le maximum de “1”. 5) Les variables permettant d’identifier une boucle, sont réunies pour former un “ET” logique. 6) Les différentes boucles réalisées dans un diagramme, sont reliées entre elles par un “OU” logique. L'expression logique finale est la réunion des groupements après élimination des variables qui changent d'état. 7) Si on simplifie un diagramme en utilisant les “0”, on obtient le complément de la sortie désirée.
  21. 21. Minimisation de fonctions logiques par table de Karnaugh Exemple fonction à 2 variables: x2 x1  Simplifier les fonctions suivantes données par leurs table de Karnaugh X1 1 1 X2 0 0 X1 0 1 X2 0 1 X1 0 1 X2 1 1 X1 1 1 X2 1 0 X1 1 1 X2 1 1 X1 0 1 X2 1 0 X1 1 0 X2 0 1 21
  22. 22. Minimisation de fonctions logiques par table de Karnaugh B 1 1 0 1 A 0 0 0 1 C Exemple fonction à 3 variables: A,B,C Simplifier les fonctions suivantes données par leurs table de Karnaugh B 1 1 0 1 A 1 0 0 1 C B 1 0 0 1 A 0 0 0 1 C B 1 1 0 1 A 1 1 0 1 C 22
  23. 23. Minimisation de fonctions logiques par table de Karnaugh B 1 1 A 1 C B 1 1 1 A 1 C B 1 1 1 A 1 1 C B 1 1 1 A 1 1 1 C 23
  24. 24. Minimisation de fonctions logiques par table de Karnaugh B 1 1 1 A 1 1 C B 1 1 A 1 1 C B 1 1 A 1 1 1 1 C B 1 1 A 1 1 C 24 B 1 1 A 1 1 1 C
  25. 25. Minimisation de fonctions logiques par table de Karnaugh C 1 1 1 B 1 1 1 A 1 D C 1 1 1 1 B 1 1 1 A 1 1 1 1 D Exemple fonction à 4 variables: A,B,C,D  Simplifier les fonctions suivantes données par leurs table de Karnaugh 25
  26. 26. Minimisation de fonctions logiques par table de Karnaugh C 1 1 1 B 1 1 A 1 1 1 1 D C 1 1 B 1 1 1 1 A 1 1 D 26 C 1 1 1 B 1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 1 D
  27. 27. Minimisation de fonctions logiques par table de Karnaugh C 1 1 B 1 1 1 A 1 1 D C B 1 1 1 1 1 A 1 1 1 D 27
  28. 28. Minimisation de fonctions logiques par table de Karnaugh C 1 1 1 1 B 1 1 1 1 1 A 1 1 D C B A D 28
  29. 29. Minimisation de fonctions logiques par table de Karnaugh C 1 B 1 1 1 1 1 1 A 1 D C 1 1 B 1 1 1 A 1 1 1 1 D 29
  30. 30. CDE AB 000 001 011 010 110 111 101 100 0 0 0 1 3 2 6 7 5 4 0 1 8 9 11 10 14 15 13 12 1 1 24 25 27 26 30 31 29 28 1 0 16 17 19 18 22 23 21 20 C D E E B A 30 Minimisation de fonctions logiques par table de Karnaugh
  31. 31. 0 1 3 2 6 7 5 4 8 9 11 10 14 15 13 12 24 25 27 26 30 31 29 28 16 17 19 18 22 23 21 20 C D E E B A 31 Minimisation de fonctions logiques par table de Karnaugh
  32. 32. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C D E E B A 32 Minimisation de fonctions logiques par table de Karnaugh
  33. 33. 33 • En créant la table de vérité d'une fonction, on écrit 1 si la fonction est vrai, puis on rempli de 0 • Qu'arrive-t-il si certaines combinaisons ne sont pas possibles ? Ex : en DCB, 6 combinaisons ne sont pas utilisées (de 10 a 15) • S'il n'y a pas d'impact sur la sortie, on est indifférent a cette combinaison • On utilise alors un X (au lieu d'un 0 ou 1) dans la table de vérité • C'est une condition indifférente • Les mintermes ou maxtermes qui ont des conditions indifférenes sont exprimées avec un d (ou X). • Les conditions indifférentes permettent de faire des groupements plus gros dans les diagrammes de Karnaugh • Mais, pas nécessaire d'utiliser tous les X • On utilise seulement ceux qui permettent des plus gros regroupements fonction logique incomplètement définie
  34. 34. 34 Simplfier la fonction suivante : 𝐹 𝑊, 𝑋, 𝑌, 𝑍 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑍: 𝐿𝑆𝐵 = 𝑚 1,2,3,7,11,15 + 𝑋 0,5 Minimisation par la table de Karnaugh de fonctions logiques incomplètement définie F Y X 1 1 1 X X 1 1 W 1 Z Simplfier la fonction suivante : G 𝑊, 𝑋, 𝑌, 𝑍 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑍: 𝐿𝑆𝐵 = 𝑚 0,4, 10,14 + 𝑋 1,2,3,5,6,11,15 G Y X X X X 1 X X X 1 W X 1 Z
  35. 35. 35 Simplfier la fonction suivante : 𝐹 𝑊, 𝑋, 𝑌, 𝑍 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑍: 𝐿𝑆𝐵 = 𝑚 1,2,3,7,11,15 + 𝑋 0,5 Minimisation par la table de Karnaugh de fonctions logiques incomplètement définie F Y X 1 1 1 X 0 X 1 0 0 0 1 0 W 0 0 1 0 Z Simplfier la fonction suivante : G 𝑊, 𝑋, 𝑌, 𝑍 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑍: 𝐿𝑆𝐵 = 𝑚 0,4, 10,14 + 𝑋 1,2,3,5,6,11,15 G Y 0 X X X X 1 X 0 X 0 0 X 1 W 0 0 X 1 Z

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