1. 2.1 MÚLTIPLES I DIVISORS D’UN
NOMBRE NATURAL
2.2 NOMBRES PRIMERS I NOMBRES
COMPOSTOS
2.3 MÚLTIPLES COMUNS DE DOS O
MÉS NOMBRES. EL MÍNIM COMÚ
MÚLTIPLE
2.4 DIVISORS COMUNS DE DOS O
MÉS NOMBRES. EL MÀXIM COMÚ
DIVISOR
https://proyectodescartes.org/E
DAD/materiales_didacticos/EDA
D_1eso_cat_multiples_i_divisor
s-JS/index.htm
2. Tema 2
Objectius
En aquesta quinzena aprendràs a:
• Saber si un nombre és múltiple d'un altre.
• Trobar tots els divisors d'un nombre.
• Reconèixer els nombres primers.
• Descompondre un nombre en els seus factors primers.
• Trobar el mínim comú múltiple de dos o més nombres.
• Trobar el màxim comú divisor de dos o més nombres.
• Resoldre problemes senzills aplicant aquests coneixements.
• https://proyectodescartes.org/EDAD/materiales_didacticos
/EDAD_1eso_cat_multiples_i_divisors-JS/index.htm
3. https://proyectodescartes.org/EDAD/materiales_didacticos/EDAD_1eso_cat_multiples_i_divisors-JS/index.htm
Aquesta cascada de nombres es transforma després en
un ball. Els nombres que baixen, quan arriben al centre
comencen un moviment circular, cada nombre segons el
seu valor, de manera que, quan ha completat un cicle, un
nombre es troba amb un múltiple seu. Segons això
podem distingir quatre classes de nombres:
o El nombre 0, que segueix el seu camí recte, aliè a tot, i
desapareix.
o El nombre 1, que incideix sobre cada nombre dels que
baixen.
o Els nombres que en arribar al centre coincideixen
només amb el nombre 1. Fan els seus cicles per
l’esquerra. Són els nombres primers.
o Els nombres que, en arribar al centre coincideixen amb
algun altre nombre a més de l’1, fan els seus cicles per la
dreta. Són els nombres compostos.
4. • 1. MÚLTIPLES D’UN NOMBRE NATURAL
• És diu que un nombre és múltiple d’un altre si s’obté multiplicant aquest per qualsevol
nombre natural.
• Per exemple :
18 és múltiple de 2 perquè 18 = 2 · 9
18 és múltiple de 9 perquè 18 = 2 · 9
18 és múltiple de 3 perquè 18 = 3 · 6
18 no és múltiple de 5 ja que no hi ha cap nombre natural n que 18 = 5·n
• Si vols trobar els múltiples de 4, per exemple, només cal que el multipliquis pels nombres
naturals :
4·1=4 4 és múltiple de 4
4·2=8 8 és múltiple de 4
4·3=12 12 és múltiple de 4
4·4=16 16 és múltiple de 4
4·5=20 20 és múltiple de 4
4·6=24 24 és múltiple de 4
4·15=60 60 és múltiple de 4
Els múltiples de 4 són 4,8,12,16,.... El conjunt de tots els múltiples de 4 s’escriu :
5.
6. Els múltiples de 4 són 4,8,12,16,.... El conjunt de tots els múltiples de 4 s’escriu :
7.
8.
9.
10. • DIVISORS D’UN NOMBRE NATURAL
És diu que un nombre a és divisor d’un nombre b si la divisió de b
entre a és exacta
Per exemple :
• 3 és divisor de 12 ja que en fer la divisió 12:3 obtenim exactament 4.
• 2 no és divisor de 9 perquè al fer la divisió de 9:2 no dóna un valor exacte,
és a dir, no dóna un nombre natural
• Per trobar els divisors de 6, per exemple, només cal que el divideixis entre
cadascun dels nombres naturals a partir de l’1 i que vegis que la divisió és
exacta:
Nombre Divisió És divisor ?
1 6:1=6 (exacta) Sí
2 6:2=3 (exacta) Sí
3 6:3=2 (exacta) Sí
4 6:4=1’5 (no és exacta) No
5 6:5=1’2 (no és exacta) No
6 6:6=1 (exacta) Sí
>7 6:7=No és pot fer la divisió No
El conjunt de tots els divisors de 6 s’escriu D(6)= 6,3,2,1
11. Quan el nombre sigui gran, el procés per a trobar els
divisors d’un nombre serà el següent :
• Calculem els divisors de 84, per exemple :
1) Calcular l’arrel quadrada enters de 84. Com que, l’arrel entera és 9.
2) Aquest nombre, el 9 serà l’últim nombre pel qual caldrà dividir 84 per trobar
els seus divisors.
3) Fem la taula anterior fins al nombre obtingut de fer l’arrel entera
Nombre Divisió És divisor ? Divisors de 84
1 84:1=84 (exacta) Sí 1 i 84
2 84:2=42(exacta) Sí 2 i 42
3 84:3=28 (exacta) Sí 3 i 28
4 84:4=21 (exacta) Sí 4 i 21
5 84:5=16’8 (no és exacta) No
6 84:6=14 (exacta) Sí 6 i 14
7 84:7=12 (exacta) Sí 7 i 12
8 84:8=10’5 (no és exacta) No
9 84:9=9’33 (no és exacta) No
12. Criteris de divisibilitat :
Podem saber fàcilment si un nombre és divisible per un altre sense
necessitat de fer la divisió, només observant aquestes
característiques:
• Els múltiples de 2 acaben en 0, 2, 4, 6, 8.
• En els múltiples de 3 si sumem el valor individual de les seves xifres
resulta també un múltiple de 3.
• Els múltiples de 5 acaben en 0 ó 5.
• En els múltiples de 9 si sumem el valor individual de les seves xifres
resulta també un múltiple de 9.
• Els múltiples de 10 acaben en 0.
• En els múltiples d’11 es compleix que si sumem el valor individual de
les xifres que estan en posició parell, a part sumem el valor individual
de les xifres en posició senar, en restar aquestes dues quantitats ens
dóna un múltiple d'11 ( el 0 també ho és).
13. Criteris de divisibilitat :
• Un nombre és divisible per 2 quan la xifra de les unitats és 0 o parell
• Un nombre és divisible per 3 quan la suma de les seves xifres és un
múltiple de 3
• Un nombre és divisible per 5 quan la xifra de les unitats és 0 o 5
• Un nombre és divisible per 10 quan la xifra de les unitats és 0
• Un nombre serà divisible per 11 si quan sumem el valor individual de
les xifres que estan en posició parell i, a part sumem el valor
individual de les xifres en posició senar, en restar aquestes dues
quantitats ens dóna un múltiple d'11 ( el 0 també ho és).
14.
15.
16.
17. 2. NOMBRES PRIMERS I NOMBRES
COMPOSTOS
En comprovar quants divisors
tenen els nombres
observem que:
• L’1 és l'únic nombre que
només té un divisor, per
això és un nombre especial
• Pels altres nombres poden
passar dos cassos que
tinguin només 2 divisors,
l’1 i el mateix nombre, o
que en tinguin més.
Els nombres primers són
els que tenen dos
divisors, que són l’1 i ell
mateix
• Els nombres compostos
són els que tenen més de
dos divisors, són els més
freqüents.
18. • Els nombres que tenen com a
únics divisors l’1 i ell mateix
s’anomenen nombres primers.
Exemple :Són primers 2, 3, 5, 7,
11, 13,17, 19 i …
• Els nombres que tenen més
d’aquests dos divisors,
s’anomenen compostos
Exemple : Són compostos 4, 6,
8, 9, 10, 12, 14, 15,
19.
20.
21. Obtenció de nombres
primers
No existeix un mètode
directe per obtenir
sistemàticament tots els
nombres primers.
Per poder afirmar que
un nombre és primer,
hem de comprovar que
aquest nombre no és
múltiple dels primers
menors que ell, de fet és
suficient amb els que
siguin menors que la
seva arrel quadrada.
22. Es col·loquen els nombres naturals a partir
del 2.
a) Començant pel nombre 2, el deixem, i a
partir d'ell comptem de 2 en 2 i eliminem
tots els nombres parells.
b) El primer nombre dels que queden és el
3, el deixem, i des d'ell eliminem els
nombres que siguin múltiples de 3 (anem
comptant de 3 en 3)
c) El següent nombre dels que queden és
el 5, el deixem, i des d'ell eliminem els
nombres que siguin múltiples de 5.
d) Així anem avançant, quan arribem a un
nombre que no ha estat eliminat el
deixem, i a partir d’ell els nombres que en
siguin múltiples els eliminem. Finalment
hauran quedat només nombres primers.
En el requadre pots veure els
nombres primers menors que 100.
23. En el requadre pots veure els nombres primers menors que 200
32. •Descompondre cadascun dels nombres en factors primers
•Multiplicar els factors primers comuns i no comuns, elevats als
exponents més grans que apareixen a la descomposició factorial
d’aquest nombres
Exemple : Calcula m.c.m. (20, 36 )
m.c.m. (20, 36 )= 1805·3·2 22
33.
34.
35.
36. Els divisors de dos o més nombres naturals presenten nombres que es
repeteixen, que són divisors comuns a tots ells :
• Divisors de 12 : 1,2,3,4,6, 12
• Divisors de 8 : 1,2,4,8
• Divisors comuns de 12 i 8 : 1,2,4.
Dels divisors comuns de dos o més nombres ens interessa determinar
quin és el més gran, aquest nombre l’anomenarem el màxim comú
divisor, i l’escriure de manera abreujada com M.C.D
El màxim comú divisor de dos o més nombres és el
divisor més gran d’aquest nombres
En l’exemple anterior, el M.C.D.(12,8)=4
37. 3·224 3
5
232
22
3·236
422
•Descompondre cadascun dels nombres en factors primers
•Multiplicar els factors primers comuns elevats als
exponents més petits que apareixen a la descomposició
factorial d’aquest nombres
Exemple : Calcula M.C.D (24, 32, 36)
M.C.D (24, 32, 36)=
44. Amb els coneixements que tens, ja pots resoldre
problemes.
A continuació trobaràs un problemes d'exemple
on s'utilitzen coneixements relacionats amb
els divisors, els múltiples, el m,c.m o el M.C.D
per a la seva resolució
45. • Un noi compra una revista d’informàtica cada
15 dies, una de passatemps cada 40 dies i un
manga cada 30 dies. Si avui ha comprat totes
les tres revistes, quants dies trigarà a tornar-
les a comprar alhora?
46. És molt útil fer servir un esquema :
• I = Revista d’informàtica
• P= Revista de passatemps
• M = Revista de Manga
•
:
47. Has de buscar el nombre que sigui múltiple de 15, 40 i 30:
Fem la descomposició factorial de cadascun d’ells i
calculem el m.c.m ja que serà el múltiple més petit a
tots ells i per tant, serà el pròxim dia que coincidirà la
venda de les tres revistes
• 15=3·5
• 40=
• 30 = 2·3·5
m.c.m(15,40,30)=
Resposta :
Al cap de 120 dies coincidiran les tres revistes al quiosc
5·23
1205·3·23
48.
49.
50. • La Mònica s’ha fet posar un tauler de 50 x 60 cm a
la paret de la seva habitació, per enganxar-hi
fotografies.
• Si vol omplir-lo amb les fotografies quadrades més
grans possibles, quina mida hauran de tenir ?
51. • Per a que les fotografies omplin de manera exacta el
tauler, cal que la mida del costat sigui un divisor comú
de 50 i 60.
• A més, com que volem que siguin el més gran
possibles, haurà de ser la màxima mida i per tant, haurà
de correspondre al màxim divisor comú de 50 i 60, és a
dir, M.C.D (50, 60)
• Descomponem en factors primers 50 i 60 :
• Calculem el M.C.D(50,60)= 2·5=10
• Resposta : Les fotografies hauran de tenir una
mida de 10 cm x 10 cm
2
5·250 5·3·260 22
61. Ara formeu tot part d’un equip d’investigadors, tots formen
un mateix equip. Teniu el repte de desxifrar què s’hi troba en
aquest full.
62.
63.
64.
65.
66. • Metodología:
• Los pasatiempos se pueden plantear como una competición en el
grupo de clase, a realizar en parejas.
• Se les debe plantear a los alumnos que descompongan los
números centrales de sus triángulos en tres factores de todas las
formas posibles, pero utilizando los números propuestos. Por
ejemplo, en el caso del triángulo 1, se deben fijar en los números
centrales 36 y 72 . Dos de sus factores comunes deben ocupar las
dos casillas del lado que comparten los dos triángulos.
• Solución: Triángulo 1 Se descompone los números centrales en 3
factores utilizando las cifras permitidas y colocando los divisores
comunes en los lados comunes a los triángulos.
• 36=1x6x6 72=6x6x2 12=6x2x1 24=6x2x2
• 20=2x2x5 10=1x2x5 15=1x3x5 50=5x2x5
• 80=5x2x8
