Ce diaporama a bien été signalé.
Nous utilisons votre profil LinkedIn et vos données d’activité pour vous proposer des publicités personnalisées et pertinentes. Vous pouvez changer vos préférences de publicités à tout moment.
‫לוגיקה‬ ‫הגדרה: פסוק בסיסי (אטום) הוא ביטוי שיכול לקבל או אמת או שקר ולא יכול להתפרק למשהו בסיסי יותר.‬                  ...
‫קשר "וגם" (קשר בינרי, סימון: ‪) ‬‬    ‫הקשר "וגם" גורם לקשר בין שני ביטויים להיות "אמת", רק אם ערך שני הפסוקים המחוברים ...
‫2) )‪( P  (Q  R‬כאן יש 3 פסוקים בסיסיים, לכן בטבלה יש 8 שורות)‬                                                        ...
‫טענה:‬                                          ‫‪ P, Q‬שקולים לוגית אם ורק אם הביטוי ‪ P  Q‬הוא טאוטולוגיה.‬           ...
Prochain SlideShare
Chargement dans…5
×

מתמטיקה דיסקרטית - לוגיקה

9 255 vues

Publié le

סיכום בנושא לוגיקה למדעי המחשב.
קשרים, טבלאות אמת, שקילויות וזהויות לוגיות.

Publié dans : Formation
  • Soyez le premier à commenter

מתמטיקה דיסקרטית - לוגיקה

  1. 1. ‫לוגיקה‬ ‫הגדרה: פסוק בסיסי (אטום) הוא ביטוי שיכול לקבל או אמת או שקר ולא יכול להתפרק למשהו בסיסי יותר.‬ ‫דוגמא:‬ ‫פסוק בסיסי – "היום חם", "השולחן ירוק".‬ ‫לא פסוק בסיסי – "למה אנחנו בחדר הזה?", "היום חם והשולחן ירוק".‬ ‫הגדרה: פסוק מורכב הוא פסוקים בסיסיים המחוברים ביניהם ע"י קשרים.‬ ‫קשרים בסיסיים:‬ ‫- שלילה‬ ‫- או‬ ‫- וגם‬ ‫- גורר‬ ‫- אם ורק אם‬ ‫מושגים:‬ ‫‪ ‬טבלת אמת: טבלה שבה מוצגות כל האפשרויות לערכים של הביטויים בהתאם לפסוקים הבסיסיים‬ ‫שמופיעים בו.‬‫‪ ‬בטבלת אמת של ביטוי שבו משתתפים ‪ K‬פסוקים בסיסיים שונים, יהיו 2 שורות (כל ביטוי תורם חזקה‬ ‫‪k‬‬ ‫אחת של 2).‬ ‫‪ ‬קשר אונרי – קשר שפועל על פסוק אחד (שלילה).‬ ‫‪ ‬קשר בינרי – קשר שמחבר בין שני פסוקים (או, וגם, גורר, אם ורק אם).‬ ‫‪ ‬אמת=‪ ,T‬שקר=‪F‬‬ ‫קשר "שלילה" (קשר אונרי, סימון: ~ ,‪) ‬‬ ‫הקשר "שלילה" הופך את הערך של הפסוק עליו הוא פועל.‬ ‫טבלת האמת של הקשר "שלילה"‬ ‫‪P P‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫קשר "או" (קשר בינרי, סימון: ‪) ‬‬ ‫הקשר "או" גורם לקשר בין שני ביטויים להיות "אמת", אם אחד משניהם לפחות הוא "אמת".‬ ‫טבלת האמת של הקשר "או"‬ ‫‪P Q Q P‬‬ ‫‪T T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F F‬‬ ‫‪F‬‬
  2. 2. ‫קשר "וגם" (קשר בינרי, סימון: ‪) ‬‬ ‫הקשר "וגם" גורם לקשר בין שני ביטויים להיות "אמת", רק אם ערך שני הפסוקים המחוברים הוא "אמת".‬ ‫טבלת האמת של הקשר "וגם"‬ ‫‪P Q QP‬‬ ‫‪T T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫קשר "גורר" (קשר בינרי, סימון:‪) ‬‬ ‫הקשר "גורר" גורם לקשר בין שני ביטויים להיות "שקר", אך ורק כאשר ‪" P‬אמת" ו‪" Q‬שקר".‬ ‫"אם היום ירד גשם, לא נצא לטיול.." – נוכל לסתור את המשפט אם ירד גשם ובכל זאת יצאנו לטיול. בכל מצב‬ ‫אחר המשפט מתקיים. מה שחשוב ‪ F ‬רק כאשר סותרים "ברגל גסה" את המשפט, כאשר "לא אכפת לי"‬ ‫הערך הוא ‪.T‬‬ ‫טבלת האמת של הקשר "גורר"‬ ‫‪P Q QP‬‬ ‫‪T T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫קשר "אם ורק אם" (קשר בינרי, סימון: ‪) ‬‬‫הקשר "אם ורק אם" גורם לקשר בין שני ביטויים להיות "אמת", אם ורק אם, ערך שני הפסוקים המחוברים הוא‬ ‫זהה.‬ ‫טבלת האמת של הקשר "אם ורק אם"‬ ‫‪P Q Q P‬‬ ‫‪T T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫דוגמאות לחישוב טבלאות אמת של פסוקים מורכבים:‬ ‫1) ‪(P  Q)  P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P  Q‬‬ ‫‪(P  Q)  P‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬
  3. 3. ‫2) )‪( P  (Q  R‬כאן יש 3 פסוקים בסיסיים, לכן בטבלה יש 8 שורות)‬ ‫‪P‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪Q R‬‬ ‫)‪P  (Q  R‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬‫הגדרה: נאמר שפסוק מורכב הוא "טאוטולוגיה", אם בכל שורות טבלת האמת שלו מתקבל הערך "אמת",‬ ‫כלומר, לכל הצבת ערכים על הפסוקים הבסיסיים, התוצאה המתקבלת היא "אמת".‬ ‫מצד שני, נאמר שפסוק מורכב הוא "סתירה", אם בכל שורות טבלת האמת שלו מתקבל הערך "שקר",‬ ‫כלומר, בכל הצבת ערכים על הפסוקים הבסיסיים, התוצאה הסופית היא "שקר".‬ ‫דוגמא:‬ ‫שייקספיר: "להיות או לא להיות" ‪P  P‬‬ ‫‪P P‬‬ ‫‪P  P‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫טאוטולוגיה‬ ‫"להיות ולא להיות" ‪P  P‬‬ ‫‪P P‬‬ ‫‪P  P‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫סתירה‬ ‫שקילות לוגית (סימון ‪) P  Q‬‬ ‫הגדרה: נאמר ששני פסוקים, ‪ P‬ו‪ Q‬הם שקולים לוגית, אם טבלאות האמת שלהם זהות.‬ ‫ז"א, לכל הצבה של ערכים בפסוקים הבסיסיים של הביטויים, התוצאה המתקבלת ב‪ P‬ו‪ Q‬היא זהה.‬ ‫דוגמא: ‪P  Q  P  Q‬‬ ‫נבדוק זאת ע"י הצגת טבלת האמת:‬ ‫‪P Q P  Q P P  Q‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪‬‬ ‫שקולים לוגית‬
  4. 4. ‫טענה:‬ ‫‪ P, Q‬שקולים לוגית אם ורק אם הביטוי ‪ P  Q‬הוא טאוטולוגיה.‬ ‫ז"א, טאוטולוגיות "מיוחדות" נותנות לנו זהויות/שקילויות לוגיות.‬ ‫הוכחה:‬ ‫סימון: לשם ציון כיוון ההוכחה, אם נרצה להוכיח טענה א ‪ ‬טענה ב, נוכיח קודם ‪ ‬ולאחר מכן ‪. ‬‬ ‫)‪ (‬נתון ש ‪ P, Q‬שקולים לוגית. צריך להוכיח ש‪ P  Q‬טאוטולוגיה.‬‫המשמעות של שקילות לוגית של ‪ , P, Q‬היא שבכל שורה של טבלת האמת, הערכים של הביטוי ‪ P‬והביטוי ‪ Q‬הם‬ ‫זהים. לכן, כיוון שהגדרת הקשר ‪ ‬היא שהוא מחזיר ערך אמת, כאשר הביטויים זהים נקבל שתוצאת הביטוי‬ ‫‪ P  Q‬היא אמת לכל אחת משורות הטבלה, שכן ידוע שערכי ‪ P, Q‬הם זהים ולכן ‪ P  Q‬הוא טאוטולוגיה.‬‫)‪ (‬נתון שהביטוי ‪ P  Q‬טאוטולוגיה – פירושו שהביטוי מקבל ערך ‪ T‬בכל שורה של טבלת האמת. לכן, עפ"י‬ ‫הגדרת הקשר ‪ ‬נובע מכך שהערך של הביטוי ‪ P‬והביטוי ‪ Q‬זהים בכל אחת משורות טבלת האמת, אבל זוהי‬ ‫בדיוק ההגדרה לכך ש ‪ P, Q‬שקולים לוגית.‬ ‫רשימה של זהויות לוגיות:‬ ‫1) ‪(P)  P‬‬ ‫2) ‪( P  Q  Q  P‬חילוף)‬ ‫3) )‪( ( P  Q)  R  P  (Q  R‬קיבוץ)‬ ‫4) ‪) T  T  T ; F  F  F ( P  P  P‬‬ ‫5) ‪P  F  P‬‬ ‫‪P T  T‬‬ ‫6) ‪P  P  P‬‬ ‫7) ‪( P  Q  Q  P‬חילוף)‬ ‫8) )‪( ( P  Q)  R  P  (Q  R‬קיבוץ, בגלל תכונות קיבוץ, אין צורך בסוגריים בהפעלת קשרים זהים ‪.) ,‬‬ ‫9) ‪P  F  F‬‬ ‫‪P T  P‬‬ ‫01) )‪( P  (Q  R)  ( P  Q)  ( P  R‬פילוג)‬ ‫)‪( P  (Q  R)  ( P  Q)  ( P  R‬פילוג)‬ ‫11) ‪( P  ( P  Q)  P‬בליעה)‬ ‫‪( P  ( P  Q)  P‬בליעה)‬ ‫21) ‪( ( P  Q)  P  Q‬כללי דה מורגן)‬ ‫‪( ( P  Q)  P  Q‬כללי דה מורגן)‬ ‫31) ‪P  Q  P  Q‬‬ ‫41) ‪( P  Q  Q  P‬מעין דרך השלילה, במקום להוכיח שא‪ ‬ב, אנו מוכיחים ששלילת ב‪ ‬שלילת א‬ ‫51) )‪P  Q  ( P  Q)  (Q  P)  (P  Q)  (Q  P)  ( P  Q)  (P  Q‬‬ ‫61) ‪P  P  T‬‬ ‫‪P  P  F‬‬ ‫כל הזהויות דורשות הוכחה ע"י טבלאות אמת.‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

×