The proof of pointwise estimate for the wave equation in even dimensional cases (1)

1. Theorem 5 の証明（n が偶数のとき）
Case 1（t ≥ max{1, 4R} かつ |t − |x|| ≥ 2R のとき）
有限伝播性（Theorem 3）より， supp u(t, ·) ⊂ {x ∈ Rn
; |x| < t + R}．
よってこのとき |x| ≤ t − 2R on supp u(t, ·) となっている．
この領域において，
|u(t, x)| ≤ Ct− n−1
2 (t − |x|)− n−1
2
を示せばよい．解表示（Theorem 2）
u(t, x) =
2
(n − 1)!!ωn+1
"
∂t
1
t
∂t
n−2
2
tn−1
Z
|y|≤1
u0(x + ty)
p
1 − |y|2
dy
!
+
1
t
∂t
n−2
2
tn−1
Z
|y|≤1
u1(x + ty)
p
1 − |y|2
dy
!#
を思い出そう．この右辺を評価する．
奏理音ムイ（Vtuber） 1 / 6

2. |x| ≤ t − 2R のとき，z = ty と変数変換すると，
tn−1
Z
|y|≤1
u1(x + ty)
p
1 − |y|2
dy = tn−1
Z
|z|≤t
|x+z|R
u1(x + z)
p
1 − |z|2/t2
t−n
dz
=
Z
|z|≤t
|x+z|R
u1(x + z)
p
t2 − |z|2
dz.
上の積分範囲において，
|z| ≤ |x| + |x + z| t − 2R + R = t − R
が成立している．よって上の積分は
Z
|z|≤t
|x+z|R
u1(x + z)
p
t2 − |z|2
dz =
Z
|z|≤t−R
|x+z|R
u1(x + z)
p
t2 − |z|2
dz
と表せる（|z| = t の近くは除外される）
．
奏理音ムイ（Vtuber） 2 / 6

3. また，|z| ≤ t − R のとき
t2
− |z|2
= (t + |z|)(t − |z|)
≥ 1 · (t − (t − R)) (∵ t ≥ 1, |z| ≤ t − R)
= R
より，
（被積分関数の分母は 0 にならないので）積分記号下の微分ができて，
ℓ = 0, . . . , n−2
2 に対して
∂ℓ
t tn−1
Z
|y|≤1
u1(x + ty)
p
1 − |y|2
dy = ∂ℓ
t
Z
|z|≤t−R
|x+z|R
u1(x + z)
p
t2 − |z|2
dz
=
Z
|z|≤t
|x+z|R
∂ℓ
t
u1(x + z)
p
t2 − |z|2
dz.
奏理音ムイ（Vtuber） 3 / 6

4. したがって，
∂ℓ
t tn−1
Z
|y|≤1
u1(x + ty)
p
1 − |y|2
dy
=
Z
|z|≤t
|x+z|R
∂ℓ
t
u1(x + z)
p
t2 − |z|2
dz
=
Z
|z|≤t
|x+z|R
ℓ
X
m=0
ℓ
m
∂ℓ−m
t (t + |z|)− 1
2 ∂m
t (t − |z|)− 1
2 u1(x + z) dz
≤
ℓ
X
m=0
Cℓ,m
Z
|z|≤t
|x+z|R
(t + |z|)−
1+2(ℓ−m)
2 (t − |z|)− 1+2m
2 |u1(x + z)| dz.
奏理音ムイ（Vtuber） 4 / 6

5. 以上より，解表示の第 2 項は，
1
t
∂t
n−2
2
tn−1
Z
|y|≤1
u1(x + ty)
p
1 − |y|2
dy
!
≤
n−2
2
X
ℓ=0
Cℓt−n+2+ℓ
Z
|z|≤t
|x+z|R
∂ℓ
t
u1(x + z)
p
t2 − |z|2
dz
≤
n−2
2
X
ℓ=0
ℓ
X
m=0
C′
ℓ,mt−n+2+ℓ
Z
|z|≤t
|x+z|R
(t + |z|)−
1+2(ℓ−m)
2 (t − |z|)− 1+2m
2 |u1(x + z)| dz.
ここで，t − |x| ≥ 2R より，上の積分範囲において
t − |z| ≥ t − (|x| + |x + z|) ≥ t − |x| − R ≥
1
2
(t − |x|),
t + |z| ≥ t ≥ t − |x|
となっている．
奏理音ムイ（Vtuber） 5 / 6

6. したがって，
n−2
2
X
ℓ=0
ℓ
X
m=0
C′
ℓ,mt−n+2+ℓ
Z
|z|≤t
|x+z|R
(t + |z|)−
1+2(ℓ−m)
2 (t − |z|)− 1+2m
2 |u1(x + z)| dz
≤
n−2
2
X
ℓ=0
ℓ
X
m=0
C′′
ℓ,mt−n+ 3
2 +m
(t − |x|)− 1
2 −m
∥u1∥L1
≤
n−2
2
X
ℓ=0
ℓ
X
m=0
C′′
ℓ,mt− n−1
2 (t − |x|)− n−2
2 +m
(t − |x|)− 1
2 −m
∥u1∥L1
≤ Ct− n−1
2 (t − |x|)− n−1
2 ∥u1∥L1 .
同様にして，
∂t
1
t
∂t
n−2
2
tn−1
Z
|y|≤1
u0(x + ty)
p
1 − |y|2
dy
!
≤ Ct− n−1
2 (t − |x|)− n−1
2 ∥u0∥L1
も得られる．
奏理音ムイ（Vtuber） 6 / 6