Defenisi dan sifat kekongruenan Teori bilangan

1. Defenisi dan Sifat Kekongruenan
8
A. DEFENISI DAN SIFAT KEKONGRUENAN
Konsep Kekongruenan suatu cara untuk menelaah keterbagian dalam himpunan bilangan
bulat. konsep dan sifat-sifat keterbagian dapat kita pelajari lebih mendalam dengan konsep
kekongruenan.
Defenisi : 5.1.
Jika m suatu bilangan bulat positif, maka a kongruen b modulo m (ditulis )(modmba  )
bila m membagi (a-b). Jika tidak membagi (a-b) maka dikatakan bahwa a tidak kongruen
dengan b modulo m (ditulis )(modmba  ).
Contoh : )5(mod429  karena (29 – 4) = 25 terbagi oleh 5
)6(mod847  karena (47 – 8) = 39 tidak terbagi oleh 6
Terema 5.1.
)(modmba  bila dan hanya bila ada bilangan bulat k sehingga bkma  .
Bukti :
Jika m > 0 bilangan bulat positif, menurut Defenisi 5.1. m │(a-b) bila dan hanya bila
)(modmba  .
Jika m │(a-b) menurut defenisi 2.1 ada k bilangan bulat positif sedemikian hingga (a-b)
= km
(a-b) = km sama artinya a = km + b
Contoh:
)7(mod972  sama artinya dengan 72 = 7.9 + 9
)5(mod449  sama artinya dengan 49 = 5.9 + 4
Teorema 5.2.
Setiap bilangan bulat kongruen modulo m dengan tepat satu diantara 0,1.2.3, …. (m-1).
Bukti :
Bila a dan m bilangan bilangan bulat dan m > 0 , menurut algoritma pembagian dapat
dinyatakan dengan :
a = qm + r dengan 0 ≤ r < m sehingga menurut teorema 2.7
a – r = qm , maka dengan demikian )(modmra 
karena 0 ≤ r < m, maka ada m buah pilihan bilangan untuk r yaitu : 0,1.2.3, …. (m-1).
Jadi setiap bilangan bulat akan kongruen modulo m dengan tepat satu diantara 0,1.2.3, ….
(m-1).

2. Defenisi dan Sifat Kekongruenan
9
Contoh :
)8(mod638  sama juga dengan 38 = 4.8 + 6
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Defenisi 5.2.
Jika )(modmba  dengan 0 ≤ r < m, maka r disebut residu (sisa) terkecil dari a modulo m
ini {0,1.2.3, …. (m-1)} disebut himpunan residu terkecil modulo m
Contoh
Residu terkecil dari 71 modulo 2 adalah 1, karena sisa 71 : 2 adalah 1
Residu terkecil dari 71 modulo 3 adalah 2, karena sisa 71 : 3 adalah 2
Residu terkecil dari -53 modulo 10 adalah 7, karena sisa -53 : 10 adalah 7 (residu terkecil
dari suatu bilangan diambil bilangan bulat positif).
Residu terkecil dari dari 34 modulo 5 adalah 4, sebab sisa 34 : 5 adalah 4
Walaupun )5(mod934  tetapi 9 bukan residu terkecil dari )5(mod34 sebab 9 bukan sisa
dari 34 : 5 adalah 4.
Contoh :
Modulo 5 mempunyai himpunan residu terkecil adalah {0,1,2,3,4,}
Modulo 9 mempunyai himpunana residu terkecil adalah {0,1,2,3,4,5,6,7,8}
Modulo 20 mempunyai himpunan residu terkecil adalah {0,1,2,3, ….…,19}
Teorema 5.3.
)(modmba  bila dan hanya bila a dan b memiliki sisa yang sama jika dibagi m
Bukti
Jika )(modmba  maka a dan b memiliki sisa yang sama jika dibagi m
)(modmba  dan )(modmra  maka r adalah residu terkecil modulo m atau 0 ≤ r < m
)(modmra  maka a = mq + r ; r adalah sisa dari a bila dibagi m
)(modmrb  maka b = mt + r ; r adalah sisa dari b bila dibagi m
(a-b) = m (q – t ) maka m │(a – b) menurut Defenisi 5.1 atau )(modmba 
Berdasaran teorema-teorema terdahulu, ungkapan berikut mempunyai arti yang sama yaitu:
“ )8(mod7n ” “ n = 7 + 8k untuk setip bilangan bulat k, dan
“ n dibagi 8 bersisa 7 ”

3. Defenisi dan Sifat Kekongruenan
10
Defenisi 5.3
Himpunan bilangan-bilangan bulat { mrrrr .,.........,, 321 } disebut sistem residu lengkap
modulo m, bila setiap elemennya kongruen modulo m dengan satu dan hanya satu dari 0, 1,
2, 3,…………,(m-1)
Contoh.
(i) Himpunan {45, -9, 12, -22, 24} adalah suatu sistem residu lengkap modulo 5 .
dapat diperiksa bahwa :
)5(mod045 
)5(mod19 
)5(mod212 
)5(mod322 
)5(mod424 
(ii) Himpunan {0,1,2,3,4} juga merupakan suatu system residu lengkap modulo 5,
sekaligus himpunan residu terkecil modulo 5.
(iii) Himpunan {0,1,2,3,4} adalah merupakan suatu sistem residu lengkap modulo 5.
(iv) Himpunan {5, 11, 6, 1, 8, 15} bukan merupakan system residu lengkap modulo
6, sebab )6(mod115  yang dua-duanya berada dalam himpunan tersebut .
Kekongruenan modulo suatu bilangan bulat positif adalah suatu relasi antara bilangan-
bilangan bulat . Dapat ditunjukan bahwa relasi kongruen itu merupakan relasi ekivalensi.
Sutu relasidi sebut relasi ekivalensi jika relasi itu memiliki memiliki sifat reflektif.
Jika m, a, b, dan c adalah bilangan-bilangan bulat dengan m positif, maka:
(i) )(modmaa  , sifat reflektif.
Bukti :
Karena a – a = 0 ditulis juga a = 0 + a atau a = m0 + a, dapat ditulis juga )(modmaa 
(ii) Jika )(modmba  maka )(modmab  , sifat simetris
Bukti :
Karena )(modmba  maka a – b = km untuk setiap bilangan bulat k sehingga b – a = -
km atau b = - km + a dapat ditulis juga )(modmab 

4. Defenisi dan Sifat Kekongruenan
11
(iii) Jika )(modmba  dan )(modmcb  , dan )(modmca  sifat transitif.
Bukti
)(modmba  ini berarti a – b = km untuk setiap bilangan bulat k
)(modmcb  ini berarti b – c = hm untuk setiap bilangan bulat h
a – b = km
b – c = hm +
a – c = (k + h)m
dari a – c = (k + h)m ini menunjukan bahwa )(modmca 
………………………… terbukti
Relasi ekivalen dari relasi kekongruenan pada himpunan bilangn bulat harus memenuhi
ketiga sifat diatas. Hal ini berakibat himpunan bilangan-bilangan bulat terpartisi dalam
himpunan-himpunan bagian yang setiap himpunan bagian kelas.
Perrhatikan himpunan bilangan bulat dengan relasi kongruen modulo 5, maka relasi ini
himpunan bilangan bulat terpartisi ( terbagi menjadi himpunan bagian-himpunan bagian
yang saling asing dan gabungannya sama dengan himpunan bilangan bulat) menjadi 5
kelas, yaitu :
,...}10,5,0,5,10{...]0[0 
,...}11,6,1,4,9{...]1[1 
,...}12,7,2,3,8{...]2[2 
,...}13,8,3,2,7{...]3[3 
,...}14,9,4,1,6{...]4[4 
pemberian nama untuka suatu kelas menggunakan nama salah satu kelas tersebut yang
dibubuhi nama tanda garis diatasnya atau dikurung persegi. Misalnya:
823]8[]2[]3[  atau
Relasi kongruenan mepunyai kemiripan sifat dengan sifat persamaan, sebab relasi
kekongruenan dapat dinyatakan sebagai persamaan, yaitu : )(modmba  sama artinya
dengan a= km + b , untuk suatu bilangan bulat k.
Misalnya :
1. Jika )(modmba  maka a + c = b + c (mod m) untuk setiap bilangan bulat c.
2. Jika )(modmba  maka Jika )(modmbcac  untuk setiap bilangan bulat c.

5. Defenisi dan Sifat Kekongruenan
12
Teorema 5.4.
Jika )(modmba  dan )(modmdc  maka a + c = b + d (mod m)
Bukti :
Jika )(modmba  ini berarti a = km + b, untuk suatu bilangan bulat k
Jika )(modmdc  ini berarti c = tm + d, untuk suatu bilangan bulat t.
a = km + b
c = tm + d +
a + c = km + tm + b + d
a + c = m (k + t) + (b + d)
(a + c) – (b + d) = m h
(a + c) – (b + d) = mod m dapat ditulis )(modmdbca  ……… terbukti
Teorema 5.5
Jika )(modmba  dan )(modmdc  maka a x+ c y= bx + d y(mod m) untuk setiap
blangan bulat x dan y.
Bukti :
Jika )(modmba  ini berarti a = km + b, untuk suatu bilangan bulat k
Jika )(modmdc  ini berarti c = tm + d, untuk suatu bilangan bulat t.
a = km + b jika dikalikan dengan x maka ax = kmx + bx
c = tm + d jika dikalikan dengan y maka cy = tmy + dy
ax = kmx + bx
cy = tmy + dy +
ax + cy = (kmx + tmy) + (bx + dy)
ax + c y= m (k x+ ty) + (bx + dy)
(ax + cy) – (bx+ dy) = m (kx + ty) dari persamaan ini berarti bahwa:
m│[(ax + cy) – (bx+ dy)]
dapat ditulis a x+ c y bx + d y(mod m) ……………..terbukti
pada persamaan/kesamaan bilangan-bilangan bulat berlaku sifat kanselasi (penghapusan)
sebagai berikut:

6. Defenisi dan Sifat Kekongruenan
13
Jika ab = ac dengan a ≠ 0 maka b = c . apakah dalam kongruenan berlaku sifat yang mirip
dengan sifat kanselasi tersebut.
Misalkan , jika )(modmacab  dengan a Ξ 0 (mod m), apakah )(modmcb  ?.
Contoh : )4(mod1224  adalah sutu pernyataan yang benar
)4(mod6.212.2  ini berarti )4(mod02 
apakah )4(mod612  4 tidak habis membagi 12 – 6
Teorema 5.6
Jika )(modmbcac  dengan (c,m) = 1, maka )(modmba 
Bukti :
)(modmbcac  ini berarti m │(ac – bc) atau m│c(a – b)
m│c(a - b) dengan (c,m) = 1, maka m │(a – b), ini berarti )(modmba 
contoh: Tentukanlah bilangan-bilangan bulat y yang memenuhi perkongruenan
)7(mod13 y
Jawab:
Jika )7(mod13 y maka kita menggantika 1pada pengruenan tersebut dengan 15,
sehingga diperoleh )7(mod153 y dengan
Karena )7(mod5.33 y dengan (3,7) = 1 dan )7(mod5y
Sehingga diperoleh y = 7 k + 5 untuk setiap bilangan bulat k
Himpunana peyelesaan dari pengruenan tersebut adalah { y = 7 k + 5 │ k bilangan bulat }
Teorema 5.7
Jika )(modmbcac  dengan (c,m) = d, maka )(mod
d
m
ba 
Bukti : Jika )(modmbcac  berarti m │(ac – bc) atau m│c(a – b)
Maka
d
m
│
d
c
(a – b)
Karena d adalah FPB dari c dan m, maka
d
m
dan
d
c
adlah bilangan-bilangan bulat .
Karena (c,m) = d maka 1, 





d
m
d
c
Karena 1, 





d
m
d
c
dan
d
m
│
d
c
(a – b) maka
d
m
│
d
c
dan(
d
m
│(a – b)

7. Defenisi dan Sifat Kekongruenan
14
Dapat ditulis maka )(mod
d
m
ba  .