Descripcion General de Planos en el Espacio

1. *

2. *Con n denotamos un vector perpendicular al plano
*Debe cumplirse que 𝑛 ∙ 𝑃0𝑃 = 0
* 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∙ 𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 − 𝑧0 = 0
* 𝑎 𝑥 − 𝑥0 + 𝑏 𝑦 − 𝑦0 + 𝑐 𝑧 − 𝑧0 = 0
* 𝑎𝑥 − 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦 − 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧 − 𝑐𝑧0 = 0
* 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + −𝑎𝑥0 − 𝑏𝑦0 − 𝑐𝑧0 = 0
*∴ 𝜌 ∶ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑑 = −𝑎𝑥0 − 𝑏𝑦0 − 𝑐𝑧0
*La ecuación cartesiana del plano que pasa por
𝑃0 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 𝑦 𝑐𝑜𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑛 = 𝑎, 𝑏, 𝑐

3. *
*Encontremos la ecuacion del plano que pasar por
𝑝0 5,8,3 𝑦 𝑐𝑜𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑛 = 2, −1,4
*Soluc.
*Se tiene que la ecuacion general del plano
* 𝜑: 2𝑥 − 𝑦 + 4 + 𝑑 = 0
*Como 𝑃0 5,8,3 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜
*Sustituimos
*2 5 − 8 + 4 3 + 𝑑 = 0
*10 − 8 + 12 + 𝑑 = 0
*14 + 𝑑 = 0
* 𝑑 = −14
*∴ 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝜑: 2𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 − 14 = 0

4. *
*Dados 3 puntos sobre un plano
𝑛 = 𝑢 × 𝑣
* 𝐴𝐵 ∙ 𝑛 = 0
* 𝐴𝐵 ∙ 𝑢 × 𝑣 = 0
* 𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = V
* 𝐴𝐶 = 𝐶 − 𝐴 = 𝑈

5. *
P1 || P2 ↔ 𝑛1 𝑛2
↔ 𝑛1 = 𝑘𝑛2
Para algún escalar K
↔ 𝑛1 × 𝑛2 = 0

6. *
1 2 1 2
1 2 0
p p n n
n n
  
  

7. *