Ce diaporama a bien été signalé.
Nous utilisons votre profil LinkedIn et vos données d’activité pour vous proposer des publicités personnalisées et pertinentes. Vous pouvez changer vos préférences de publicités à tout moment.

Mot vai bai toan ve so phuc bieu dien hinh hocgtln gtnn modun

  • Identifiez-vous pour voir les commentaires

Mot vai bai toan ve so phuc bieu dien hinh hocgtln gtnn modun

  1. 1. Người Thầy Con đường duy nhất để học toán là làm toán Không có gì hủy hoại khả năng học toán bằng thói quen tiếp nhận những phương pháp giải có sẵn mà không hề tự hỏi vì sao cần giải đúng như thế và làm thế nào để có thể tự nghĩ ra điều đó. Walter Warwick Sawyer (1911-2008). Bài 1. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn hệ thức sau: 1. |2i − 2z| = |2z − 1|; 2. |2iz − 1| = 2 |z + 3|; 3. |z − 2|2 + |z + 2|2 = 26; 4. |z + z + 3| = 5; 5. |z − z + 1 − i| = 2; 6. (2 − z)(i + z) là một số thực tùy ý; 7. (2 − z)(i + z) là một số ảo tùy ý; 8. 2 |z − i| = |z − z + 2i|; 9. |z2 − (z)2 | = 4. Giải 1. |2i − 2z| = |2z − 1| Đặt z = a + bi, a, b ∈ R, ta có |2i − 2z| = |2z − 1| ⇔ |2i − 2(a − bi)| = |2(a + bi) − 1| ⇔ |−2a + 2(b + 2)i| = |(2a − 1) + 2bi| ⇔ (2a)2 + 2(b + 2)2 = (2a − 1)2 + (2b)2 ⇔ 8b + 4 = −4a + 1 ⇔ b = − a 2 − 3 8 . Vậy tập các số phức được biểu diễn bởi đường thẳng y = − x 2 − 3 8 . 2. |2iz − 1| = 2 |z + 3| mathpts@gmail.com 1 10/05/2014
  2. 2. Người Thầy Con đường duy nhất để học toán là làm toán Đặt z = a + bi, a, b ∈ R, ta có |2iz − 1| = 2 |z + 3| ⇔ |2i(a + bi) − 1| = 2 |a + bi + 3| ⇔ |(−2b − 1) + 2ai| = 2 |(a + 3) + bi| ⇔ (2a)2 + (2b + 1)2 = 4 (a + 3)2 + b2 ⇔ 4b + 1 = 24a + 36 ⇔ b = 6a + 35 4 . Vậy tập các số phức được biểu diễn bởi đường thẳng y = 6x + 35 4 . 3. |z − 2|2 + |z + 2|2 = 26 Đặt z = a + bi, a, b ∈ R, ta có |z − 2|2 + |z + 2|2 = 26 ⇔ |a + bi − 2|2 + |a + bi + 2|2 = 26 ⇔ (a − 2)2 + b2 + (a + 2)2 + b2 = 26 ⇔ a2 + b2 = 9. Vậy tập các số phức được biểu diễn bởi đường tròn tâm I(0; 0) bán kính R = 3. 4. |z + z + 3| = 5 Đặt z = a + bi, a, b ∈ R, ta có |z + z + 3| = 5 ⇔ |a + bi − (a − bi) + 3| = 5 ⇔ |2a + 3| = 5 ⇔ a = 1 a = −4 Vậy tập các số phức được biểu diễn bởi hai đường thẳng x = 1, x = −4. 5. |z − z + 1 − i| = 2 mathpts@gmail.com 2 10/05/2014
  3. 3. Người Thầy Con đường duy nhất để học toán là làm toán Đặt z = a + bi, a, b ∈ R, ta có |z − z + 1 − i| = 2 ⇔ |(a + bi) − (a − bi) + 1 − i| = 2 ⇔ 12 + (2b − 1)2 = 4 ⇔ |2b − 1| = √ 3 ⇔ b = 1 ± √ 3 2 . Vậy tập các số phức được biểu diễn bởi đường thẳng y = 1 ± √ 3 2 . 6. (2 − z)(i + z) là một số thực tùy ý Đặt z = a + bi, a, b ∈ R, ta có (2 − z)(i + z) = (2 − (a + bi))(i + (a − bi)) = ((2 − a) − bi)(a + (1 − b)i) = a(2 − a) + b(1 − b) − (ab − (2 − a)(1 − b))i Theo giả thiết (2 − z)(i + z) là một số thực tùy ý suy ra (ab − (2 − a)(1 − b)) = 0 ⇔ 2b + a − 2 = 0 ⇔ b = − 1 2 a + 1. Vậy tập các số phức được biểu diễn bởi đường thẳng y = − 1 2 x + 1. 7. (2 − z)(i + z) là một số ảo tùy ý suy ra a(2 − a) + b(1 − b) = 0 ⇔ a2 − 2a + b2 − b = 0 ⇔ (a − 1)2 + (b − 1 2 )2 = √ 5 2 2 . Vậy tập các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn I 1; 1 2 bán kính R = √ 5 2 . mathpts@gmail.com 3 10/05/2014
  4. 4. Người Thầy Con đường duy nhất để học toán là làm toán 8. 2 |z − i| = |z − z + 2i| Đặt z = a + bi, a, b ∈ R, ta có 2 |z − i| = |z − z + 2i| ⇔ 2 |(a + bi) − i| = |(a + bi) − (a − bi) + 2i| ⇔ 4(a2 + (b − 1)2 ) = (2b + 2)2 ⇔ 4a2 + 4b2 − 8b + 1 = 4b2 + 8b + 4 ⇔ 4a2 = 16b ⇔ b = 1 4 a2 . Vậy tập các số phức được biểu diễn bởi Parabol y = 1 4 x2 . 9. |z2 − (z)2 | = 4 Đặt z = a + bi, a, b ∈ R, ta có z2 − (z)2 = 4 ⇔ (a + bi)2 − (a − bi)2 = 4 ⇔ |4abi| = 4 ⇔ 16a2 b2 = 16 ⇔ b2 = a2 ⇔ b = ± 1 a . Vậy tập các số phức được biểu diễn bởi hai đường Hypebol y = ± 1 x . Bài 2. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn hệ thức sau: 1. z z − i = 3 ; 2. |z2 + z2 | = 1; 3. (z − 2) (z + i) là số thực; 4. |z| = |z − 3 + 4i|; 5. z + i z + i là số thực. Giải mathpts@gmail.com 4 10/05/2014
  5. 5. Người Thầy Con đường duy nhất để học toán là làm toán 1. z z − i = 3 Đặt z = a + bi, a, b ∈ R, ta có z z − i = 3 ⇔ |z| = 3 |z − i| ⇔ |a + bi| = 3 |a + bi − i| ⇔ a2 + b2 = 9(a2 + (b − 1)2 ) ⇔ 8a2 + 8b2 − 18b + 9 = 0 ⇔ a2 + b2 − 9 4 b + 9 8 = 0 ⇔ a2 + (b − 9 8 )2 = 9 64 . Suy ra tập các điểm biểu diễn các số phức z, là đường tròn tâm I 0; 9 8 bán kính R = 3 8 . 2. |z2 + z2 | = 1 Đặt z = a + bi, a, b ∈ R, ta có z2 + z2 = 1 ⇔ (a + bi)2 + (a − bi)2 = 1 ⇔ (a2 − b2 + 2abi) + (a2 − b2 − 2abi) = 1 ⇔ 2a2 − 2b2 = 1 ⇔ 2a2 − 2b2 = 1 2a2 − 2b2 = −1 ⇔     b = ± 2a2 − 1 2 b = ± 2a2 + 1 2 Suy ra tập các điểm biểu diễn các số phức z là các đường cong y = ± 2x2 − 1 2 , y = ± 2x2 + 1 2 mathpts@gmail.com 5 10/05/2014
  6. 6. Người Thầy Con đường duy nhất để học toán là làm toán 3. (z − 2) (z + i) là số thực Đặt z = a + bi, a, b ∈ R, ta có (z − 2) (z + i) = ((a + bi) − 2) ((a − bi) + i) = ((a − 2) + bi) (a + (−b + 1)i) = a(a − 2) + b(b − 1) + (ab + (a − 2)(−b + 1)i) Theo giả thiết (z − 2) (z + i) là số thực nên ta có (ab + (a − 2)(−b + 1) = 0 ⇔ a + 2b − 2 = 0 ⇔ b = 1 − a 2 . Vậy tập các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng y = 1 − x 2 . 4. |z| = |z − 3 + 4i| Đặt z = a + bi, a, b ∈ R, ta có |z| = |z − 3 + 4i| ⇔ |a + bi| = |(a − bi) − 3 + 4i| ⇔ a2 + b2 = (a − 3)2 + (4 − b)2 ⇔ −6a + 9 − 8b + 16 = 0 ⇔ b = − 3 4 a + 25 8 Vậy tập các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng y = − 3 4 x+ 25 8 . 5. z + i z + i là số thực Đặt z = a + bi, a, b ∈ R, ta có z + i z + i = a + bi + i a − bi + i = a + (b + 1)i a − (b − 1)i = (a + (b + 1)i)(a + (b − 1)i) a2 + (b − 1)2 = a2 − b1 + 1 + [a(b + 1) + a(b − 1)] i a2 + (b − 1)2 = a2 − b1 + 1 a2 + (b − 1)2 + 2abi a2 + (b − 1)2 mathpts@gmail.com 6 10/05/2014
  7. 7. Người Thầy Con đường duy nhất để học toán là làm toán Theo giả thiết z + i z + i là số thực, tức là ta có: 2abi a2 + (b − 1)2 = 0 ⇔ a = 0hoặc b = 0. Vậy tập các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x = 0, y = 0. Bài 3 (Trần Diệu Minh). Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z, z thỏa mãn hệ thức sau: 1. |z + 1 + 2i| ≤ 0; 2. z = (1 + i √ 3)z + 2 với |z − 1| ≤ 2. Giải 1. |z + 1 + 2i| ≤ 0 Do mô-đun của số phức luôn không âm nên |z + 1 + 2i| ≤ 0 ⇔ z + 1 + 2i = 0 ⇔ z = −1 − 2i. 2. z = (1 + i √ 3)z + 2 với |z − 1| ≤ 2 Ta có z = (1 + i √ 3)z + 2 ⇔ z = z − 2 1 + i √ 3 Suy ra |z − 1| ≤ 2 ⇔ z − 2 1 + i √ 3 − 1 ≤ 2 ⇔ z − 3 − i √ 3 1 + i √ 3 ≤ 2 ⇔ z − 3 − i √ 3 ≤ 2 1 + i √ 3 ⇔ z − (3 + i √ 3) ≤ 4. Vậy tập các điểm cần tìm là hình tròn tâm I biểu diễn số phức 3 + i √ 3 bán kính R = 4. mathpts@gmail.com 7 10/05/2014
  8. 8. Người Thầy Con đường duy nhất để học toán là làm toán Bài 4 (Lưu Huy Tưởng). Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn hệ thức sau: 1. z = 1 + i √ 3 z + 2 biết z thỏa mãn |z − 1| = 2; 2. z = (1 + i) z + 1 biết rằng |z + 2| ≤ 1. Giải 1. z = 1 + i √ 3 z + 2 biết z thỏa mãn |z − 1| = 2. Ta có z = 1 + i √ 3 z + 2 ⇔ z = z − 2 1 + i √ 3 . Theo giả thiết ta có: |z − 1| = 2 ⇒ z − 2 1 + i √ 3 − 1 = 2 ⇔ z − 2 − (1 + i √ 3) 1 + i √ 3 = 2 ⇔ z − (3 + i √ 3) = 2 1 + i √ 3 ⇔ z − (3 + i √ 3) = 4. Vậy tập các điểm cần tìm là đường tròn tâm I biểu diễn số phức z = 3 + i √ 3 bán kính R = 4. 2. z = (1 + i) z + 1 biết rằng |z + 2| ≤ 1. Ta có z = (1 + i) z + 1 ⇔ z = z − 1 1 + i . mathpts@gmail.com 8 10/05/2014
  9. 9. Người Thầy Con đường duy nhất để học toán là làm toán Theo giả thiết ta có |z + 2| ≤ 1 ⇔ z − 1 1 + i + 2 ≤ 1 ⇔ z + 1 + 2i 1 + i ≤ 1 ⇔ |z + 1 + 2i| ≤ 1 |1 + i| ⇔ |z + 1 + 2i| ≤ √ 2. Vậy tập các điểm cần tìm là hình tròn tâm I là điểm biểu diễn số phức −(1 + 2i) bán kính R = √ 2. Bài 5. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn các số phức z sao cho z − 2 z + 2 có một acgumen bằng π 3 . Giải Giả sử z = a + bi, a, b ∈ R. Sử dụng công thức z1 z2 = a1a2 + b1b2 a2 2 + b2 2 + a2b1 − a1b2 a2 2 + b2 2 i Suy ra z − 2 z + 2 = (a − 2) + bi (a + 2) + bi = a2 + b2 − 4 (a2 + b2) + (a + 2)b − (a − 2)b (a2 + b2) i = a2 + b2 − 4 (a2 + b2) + 4b (a2 + b2) i. Theo giả thiết số phức trên có một acgumen bằng π 3 , tức là ta có thể mathpts@gmail.com 9 10/05/2014
  10. 10. Người Thầy Con đường duy nhất để học toán là làm toán viết a2 + b2 − 4 (a2 + b2) + 4b (a2 + b2) i = r(cos π 3 + i sin π 3 ) (r > 0) ⇔    a2 + b2 − 4 (a2 + b2) = r cos π 3 4b (a2 + b2) = r sin π 3 ⇔    a2 + b2 − 4 (a2 + b2) = r 2 4b (a2 + b2) = r √ 3 2 ⇔    b > 0 (vì r > 0) 4b a2 + b2 − 4 = √ 3 ⇔    b > 0 a2 + b2 − 4 = 4b √ 3 ⇔    b > 0 a2 + b − 2 √ 3 2 = 4 √ 3 2 Vậy tập hợp các điểm cần tìm là phần đường tròn tâm I(0; 2 √ 3 ) bán kính R = 4 √ 3 nằm phía trên trục thực. Bài 6. Trong các số phức z thỏa mãn các điều kiện sau, tìm số phức z có mô-đun nhỏ nhất. 1. (z − 1) (z + 2i) là số thực. 2. |z − i| = |z − 2 − 3i| 3. |iz − 3| = |z − 2 − i| Giải mathpts@gmail.com 10 10/05/2014
  11. 11. Người Thầy Con đường duy nhất để học toán là làm toán 1. (z − 1) (z + 2i) là số thực. Đặt z = a + bi, a, b ∈ R, ta có: (z − 1) (z + 2i) = ((a + bi) − 1) ((a − bi) + 2i) = ((a − 1) + bi) (a + (2 − b)i) = a(a − 1) − b(b − 2) + (ab + (a − 1)(2 − b))i Theo giả thiết z là số thực nên ta có (ab + (a − 1)(2 − b)) = 0 ⇔ 2a + b − 2 = 0 ⇔ b = 2 − 2a Ta có mô-đun của z là |z| = √ a2 + b2 = a2 + (2 − 2a)2 = √ 5a2 − 8a + 4 = 5 a − 4 5 2 + 4 5 ≥ 2 √ 5 . Vậy mô-đun của z đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 √ 5 khi z = 4 5 + 2 5 i 2. |z − i| = |z − 2 − 3i| Đặt z = a + bi, a, b ∈ R, ta có: |z − i| = |z − 2 − 3i| ⇔ |a + bi − i| = |a − bi − 2 − 3i| ⇔ |a + (b − 1)i| = |(a − 2) + (−b − 3)i| ⇔ a2 + (b − 1)2 = (a − 2)2 + (b + 3)2 ⇔ −2b + 1 = −4a + 4 + 6b + 9 ⇔ a = 2b + 3 mathpts@gmail.com 11 10/05/2014
  12. 12. Người Thầy Con đường duy nhất để học toán là làm toán Ta có mô-đun của z là |z| = √ a2 + b2 = (2b + 3)2 + b2 = √ 5b2 + 12b + 9 = 5 b + 6 5 2 + 9 5 ≥ 3 √ 5 Vậy mô-đun của z đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 √ 5 khi z = 27 5 − 6 5 i 3. |iz − 3| = |z − 2 − i| Đặt z = a + bi, a, b ∈ R, ta có: |iz − 3| = |z − 2 − i| ⇔ |i(a + bi) − 3| = |(a + bi) − 2 − i| ⇔ |(−b − 3) + ai| = |(a − 2) + (b − 1)i| ⇔ a2 + (−b − 3)2 = (a − 2)2 + (b − 1)2 ⇔ 6b + 9 = −4a + 4 − 2b + 1 ⇔ a = −2b − 1 Ta có mô-đun của z là |z| = √ a2 + b2 = (−2b − 1)2 + b2 = √ 5b2 − 4b + 1 = 5 b − 2 5 2 + 1 5 ≥ 1 √ 5 . Vậy mô-đum của z đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 √ 5 khi z = − 9 5 + 2 5 i. Bài 7. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện sau, tìm số phức z có mô-đun nhỏ nhất, lớn nhất. 1. |z − 2 + 3i| = 3 2 mathpts@gmail.com 12 10/05/2014
  13. 13. Người Thầy Con đường duy nhất để học toán là làm toán 2. |z − 2 + 2i| = 2 √ 2 3. (1 + i) z 1 − i + 2 = 1 4. |z + 1 − 2i| = 1 5. |z − 2 − 4i| = √ 5 Giải 1. |z − 2 + 3i| = 3 2 Đặt z = a + bi, a, b ∈ R, ta có |z − 2 + 3i| = 3 2 ⇒ |(a + bi) − 2 + 3i| = 3 2 ⇔ |(a − 2) + (b + 3)i| = 3 2 ⇔ (a − 2)2 + (b + 3)2 = 3 2 2 . Vậy tập các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(2; −3) bán kính R = 3 2 . Yêu cầu bài toán trở thành tìm tập các điểm trên đường tròn sao cho khoảng cách từ điểm đó tới gốc tọa độ là nhỏ nhất, lớn nhất. Để hoàn thành yêu cầu này ta chuyển bài toán về một bài toán hình học phẳng như sau. Ta có đường thẳng đi qua OI nhận véc-tơ −→ OI = (2; −3) làm véc-tơ chỉ phương có phương trình x = 2t y = −3t Thay x, y từ phương trình trên vào phương trình đường tròn ta mathpts@gmail.com 13 10/05/2014
  14. 14. Người Thầy Con đường duy nhất để học toán là làm toán được. (x − 2)2 + (y + 3)2 = 3 2 2 ⇒ (2t − 2)2 + (−3t + 3)2 = 3 2 2 ⇔ 13t2 − 26t + 43 4 = 0 ⇔ t1,2 = 26 ± √ 117 13 ⇔ (x, y) = ( −2(−26 ± √ 117) 13 , 3(−26 ± √ 117) 13 ). 2. |z − 2 + 2i| = 2 √ 2 Đặt z = a + bi, a, b ∈ R, ta có |z − 2 + 2i| = 2 √ 2 ⇒ |(a + bi) − 2 + 2i| = 2 √ 2 ⇔ |(a − 2) + (b + 2)i| = 2 √ 2 ⇔ (a − 2)2 + (b + 2)2 = 8 Vậy tập các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(2; −3) bán kính R = 2 √ 2. Yêu cầu bài toán trở thành tìm tập các điểm trên đường tròn sao cho khoảng cách từ điểm đó tới gốc tọa độ là nhỏ nhất, lớn nhất. Để hoàn thành yêu cầu này ta chuyển bài toán về một bài toán hình học phẳng như sau. Ta có đường thẳng đi qua OI nhận véc-tơ −→ OI = (2; −2) làm véc-tơ chỉ phương có phương trình x = 2t y = −2t Thay x, y từ phương trình trên vào phương trình đường tròn ta được. ⇔ (x − 2)2 + (y + 2)2 = 8 ⇒ (2t − 2)2 + (−2t + 2)2 = 8 ⇔ 8t2 − 16t = 0 ⇔ t1 = 0, t2 = 2. ⇔ (x, y) = (0; 0) hoặc (4; −4). mathpts@gmail.com 14 10/05/2014
  15. 15. Người Thầy Con đường duy nhất để học toán là làm toán 3. (1 + i) z 1 − i + 2 = 1 ⇔ |iz + 2| = 1 Đặt z = a + bi, a, b ∈ R, ta có |iz + 2| = 1 ⇒ |i(a + bi) + 2| = 1 ⇔ |(2 − b) + ai| = 1 ⇔ a2 + (b − 2)2 = 1 Vậy tập các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0; 2) bán kính R = 1. Yêu cầu bài toán trở thành tìm tập các điểm trên đường tròn sao cho khoảng cách từ điểm đó tới gốc tọa độ là nhỏ nhất, lớn nhất. Từ tính chất của đường tròn ta dễ dàng suy ra hai số phức cần tìm là z = i, z = 3i. 4. |z + 1 − 2i| = 1 Đặt z = a + bi, a, b ∈ R, ta có |z + 1 − 2i| = 1 ⇒ |(a + bi) + 1 − 2i| = 1 ⇔ |(a + 1) + (b − 2)i| = 1 ⇔ (a + 1)2 + (b − 2)2 = 1 Vậy tập các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(−1; 2) bán kính R = 1. Yêu cầu bài toán trở thành tìm tập các điểm trên đường tròn sao cho khoảng cách từ điểm đó tới gốc tọa độ là nhỏ nhất, lớn nhất. Để hoàn thành yêu cầu này ta chuyển bài toán về một bài toán hình học phẳng như sau. Ta có đường thẳng đi qua OI nhận véc-tơ −→ OI = (−1; 2) làm véc-tơ chỉ phương có phương trình x = −t y = 2t Thay x, y từ phương trình trên vào phương trình đường tròn ta mathpts@gmail.com 15 10/05/2014
  16. 16. Người Thầy Con đường duy nhất để học toán là làm toán được. ⇔ (x + 1)2 + (y − 2)2 = 1 ⇒ (−t + 1)2 + (2t − 2)2 = 1 ⇔ 5t2 − 10t + 4 = 0 ⇔ t1,2 = 5 ± √ 5 5 . ⇒ (x, y) = (− 5 ± √ 5 5 ; 2(5 ± √ 5) 5 ). 5. |z − 2 − 4i| = √ 5 Đặt z = a + bi, a, b ∈ R, ta có |z − 2 − 4i| = √ 5 ⇒ |(a + bi) − 2 − 4i| = √ 5 ⇔ |(a − 2) + (b − 4)i| = √ 5 ⇔ (a − 2)2 + (b − 4)2 = 5 Vậy tập các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(2; 4) bán kính R = √ 5. Yêu cầu bài toán trở thành tìm tập các điểm trên đường tròn sao cho khoảng cách từ điểm đó tới gốc tọa độ là nhỏ nhất, lớn nhất. Để hoàn thành yêu cầu này ta chuyển bài toán về một bài toán hình học phẳng như sau. Ta có đường thẳng đi qua OI nhận véc-tơ −→ OI = (2; 4) làm véc-tơ chỉ phương có phương trình x = 2t y = 4t Thay x, y từ phương trình trên vào phương trình đường tròn ta được. (a − 2)2 + (b − 4)2 = 5 ⇒ (2t − 2)2 + (4t − 4)2 = 5 ⇔ 4t2 − 8t + 4 + 16t2 − 32t + 16 = 5 ⇔ 20t2 − 40t + 15 = 0 ⇔ t1 = 3 2 , t2 = 1 2 . ⇒ (x, y) = (3; 6), hoặc (1; 2). mathpts@gmail.com 16 10/05/2014

×