Mot vai bai toan ve so phuc bieu dien hinh hocgtln gtnn modun

Người Thầy Con đường duy nhất để học toán là làm toán
Không có gì hủy hoại khả năng học toán bằng thói quen
tiếp nhận những phương pháp giải có sẵn mà không hề tự hỏi
vì sao cần giải đúng như thế và làm thế nào để có thể tự nghĩ
ra điều đó.
Walter Warwick Sawyer (1911-2008).
Bài 1. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số
phức thỏa mãn hệ thức sau:
1. |2i − 2z| = |2z − 1|;
2. |2iz − 1| = 2 |z + 3|;
3. |z − 2|2
+ |z + 2|2
= 26;
4. |z + z + 3| = 5;
5. |z − z + 1 − i| = 2;
6. (2 − z)(i + z) là một số thực
tùy ý;
7. (2 − z)(i + z) là một số ảo tùy
ý;
8. 2 |z − i| = |z − z + 2i|;
9. |z2
− (z)2
| = 4.
Giải
1. |2i − 2z| = |2z − 1|
Đặt z = a + bi, a, b ∈ R, ta có
|2i − 2z| = |2z − 1| ⇔ |2i − 2(a − bi)| = |2(a + bi) − 1|
⇔ |−2a + 2(b + 2)i| = |(2a − 1) + 2bi|
⇔ (2a)2
+ 2(b + 2)2
= (2a − 1)2
+ (2b)2
⇔ 8b + 4 = −4a + 1
⇔ b = −
a
2
−
3
8
.
Vậy tập các số phức được biểu diễn bởi đường thẳng y = −
x
2
−
3
8
.
2. |2iz − 1| = 2 |z + 3|
mathpts@gmail.com 1 10/05/2014

|2iz − 1| = 2 |z + 3| ⇔ |2i(a + bi) − 1| = 2 |a + bi + 3|
⇔ |(−2b − 1) + 2ai| = 2 |(a + 3) + bi|
⇔ (2a)2
+ (2b + 1)2
= 4 (a + 3)2
+ b2
⇔ 4b + 1 = 24a + 36
⇔ b = 6a +
35
4
.
Vậy tập các số phức được biểu diễn bởi đường thẳng y = 6x +
35
4
.
3. |z − 2|2
+ |z + 2|2
= 26
|z − 2|2
+ |z + 2|2
= 26 ⇔ |a + bi − 2|2
+ |a + bi + 2|2
= 26
⇔ (a − 2)2
+ b2
+ (a + 2)2
+ b2
= 26
⇔ a2
+ b2
= 9.
Vậy tập các số phức được biểu diễn bởi đường tròn tâm I(0; 0) bán
kính R = 3.
4. |z + z + 3| = 5
|z + z + 3| = 5 ⇔ |a + bi − (a − bi) + 3| = 5
⇔ |2a + 3| = 5
⇔
a = 1
a = −4
Vậy tập các số phức được biểu diễn bởi hai đường thẳng x = 1, x =
−4.
5. |z − z + 1 − i| = 2

|z − z + 1 − i| = 2 ⇔ |(a + bi) − (a − bi) + 1 − i| = 2
⇔ 12
+ (2b − 1)2
= 4
⇔ |2b − 1| =
√
3
⇔ b =
1 ±
√
3
2
.
Vậy tập các số phức được biểu diễn bởi đường thẳng y =
1 ±
√
3
2
.
6. (2 − z)(i + z) là một số thực tùy ý
(2 − z)(i + z) = (2 − (a + bi))(i + (a − bi))
= ((2 − a) − bi)(a + (1 − b)i)
= a(2 − a) + b(1 − b) − (ab − (2 − a)(1 − b))i
Theo giả thiết (2 − z)(i + z) là một số thực tùy ý suy ra
(ab − (2 − a)(1 − b)) = 0
⇔ 2b + a − 2 = 0
⇔ b = −
1
2
a + 1.
Vậy tập các số phức được biểu diễn bởi đường thẳng y = −
1
2
x + 1.
7. (2 − z)(i + z) là một số ảo tùy ý suy ra
a(2 − a) + b(1 − b) = 0 ⇔ a2
− 2a + b2
− b = 0
⇔ (a − 1)2
+ (b −
1
2
)2
=
√
5
2
2
.
Vậy tập các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn I 1;
1
2
bán
kính R =
√
5
2
.

8. 2 |z − i| = |z − z + 2i|
2 |z − i| = |z − z + 2i| ⇔ 2 |(a + bi) − i| = |(a + bi) − (a − bi) + 2i|
⇔ 4(a2
+ (b − 1)2
) = (2b + 2)2
⇔ 4a2
+ 4b2
− 8b + 1 = 4b2
+ 8b + 4
⇔ 4a2
= 16b
⇔ b =
1
4
a2
.
Vậy tập các số phức được biểu diễn bởi Parabol y =
1
4
x2
.
9. |z2
− (z)2
| = 4
z2
− (z)2
= 4 ⇔ (a + bi)2
− (a − bi)2
= 4
⇔ |4abi| = 4
⇔ 16a2
b2
= 16
⇔ b2
= a2
⇔ b = ±
1
a
.
Vậy tập các số phức được biểu diễn bởi hai đường Hypebol y = ±
1
x
.
Bài 2. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số
phức thỏa mãn hệ thức sau:
1.
z
z − i
= 3 ;
2. |z2
+ z2
| = 1;
3. (z − 2) (z + i) là số thực;
4. |z| = |z − 3 + 4i|;
5.
z + i
z + i
là số thực.
Giải

1.
z
z − i
= 3
z
z − i
= 3 ⇔ |z| = 3 |z − i|
⇔ |a + bi| = 3 |a + bi − i|
⇔ a2
+ b2
= 9(a2
+ (b − 1)2
)
⇔ 8a2
+ 8b2
− 18b + 9 = 0
⇔ a2
+ b2
−
9
4
b +
9
8
= 0
⇔ a2
+ (b −
9
8
)2
=
9
64
.
Suy ra tập các điểm biểu diễn các số phức z, là đường tròn tâm
I 0;
9
8
bán kính R =
3
8
.
2. |z2
+ z2
| = 1
z2
+ z2
= 1 ⇔ (a + bi)2
+ (a − bi)2
= 1
⇔ (a2
− b2
+ 2abi) + (a2
− b2
− 2abi) = 1
⇔ 2a2
− 2b2
= 1
⇔
2a2
− 2b2
= 1
2a2
− 2b2
= −1
⇔




b = ±
2a2
− 1
2
b = ±
2a2
+ 1
2
Suy ra tập các điểm biểu diễn các số phức z là các đường cong
y = ±
2x2
− 1
2
, y = ±
2x2
+ 1
2

3. (z − 2) (z + i) là số thực
(z − 2) (z + i) = ((a + bi) − 2) ((a − bi) + i)
= ((a − 2) + bi) (a + (−b + 1)i)
= a(a − 2) + b(b − 1) + (ab + (a − 2)(−b + 1)i)
Theo giả thiết (z − 2) (z + i) là số thực nên ta có
(ab + (a − 2)(−b + 1) = 0 ⇔ a + 2b − 2 = 0
⇔ b = 1 −
a
2
.
Vậy tập các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng y = 1 −
x
2
.
4. |z| = |z − 3 + 4i|
|z| = |z − 3 + 4i| ⇔ |a + bi| = |(a − bi) − 3 + 4i|
⇔ a2
+ b2
= (a − 3)2
+ (4 − b)2
⇔ −6a + 9 − 8b + 16 = 0
⇔ b = −
3
4
a +
25
8
Vậy tập các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng y = −
3
4
x+
25
8
.
5.
z + i
z + i
là số thực
z + i
z + i
=
a + bi + i
a − bi + i
=
a + (b + 1)i
a − (b − 1)i
=
(a + (b + 1)i)(a + (b − 1)i)
a2 + (b − 1)2
=
a2
− b1
+ 1 + [a(b + 1) + a(b − 1)] i
a2 + (b − 1)2
=
a2
− b1
+ 1
a2 + (b − 1)2
+
2abi
a2 + (b − 1)2

Theo giả thiết
z + i
z + i
là số thực, tức là ta có:
2abi
a2 + (b − 1)2
= 0 ⇔ a = 0hoặc b = 0.
Vậy tập các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x = 0, y = 0.
Bài 3 (Trần Diệu Minh). Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức
biểu diễn các số phức z, z thỏa mãn hệ thức sau:
1. |z + 1 + 2i| ≤ 0;
2. z = (1 + i
√
3)z + 2 với |z − 1| ≤ 2.
Giải
1. |z + 1 + 2i| ≤ 0
Do mô-đun của số phức luôn không âm nên
|z + 1 + 2i| ≤ 0 ⇔ z + 1 + 2i = 0
⇔ z = −1 − 2i.
2. z = (1 + i
√
3)z + 2 với |z − 1| ≤ 2
Ta có
z = (1 + i
√
3)z + 2 ⇔ z =
z − 2
1 + i
√
3
Suy ra
|z − 1| ≤ 2 ⇔
z − 2
1 + i
√
3
− 1 ≤ 2
⇔
z − 3 − i
√
3
1 + i
√
3
≤ 2
⇔ z − 3 − i
√
3 ≤ 2 1 + i
√
3
⇔ z − (3 + i
√
3) ≤ 4.
Vậy tập các điểm cần tìm là hình tròn tâm I biểu diễn số phức
3 + i
√
3 bán kính R = 4.

Bài 4 (Lưu Huy Tưởng). Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức
biểu diễn các số phức z thỏa mãn hệ thức sau:
1. z = 1 + i
√
3 z + 2 biết z thỏa mãn |z − 1| = 2;
2. z = (1 + i) z + 1 biết rằng |z + 2| ≤ 1.
Giải
1. z = 1 + i
√
3 z + 2 biết z thỏa mãn |z − 1| = 2.
Ta có
z = 1 + i
√
3 z + 2 ⇔ z =
z − 2
1 + i
√
3
.
Theo giả thiết ta có:
|z − 1| = 2 ⇒
z − 2
1 + i
√
3
− 1 = 2
⇔
z − 2 − (1 + i
√
3)
1 + i
√
3
= 2
⇔ z − (3 + i
√
3) = 2 1 + i
√
3
⇔ z − (3 + i
√
3) = 4.
Vậy tập các điểm cần tìm là đường tròn tâm I biểu diễn số phức
z = 3 + i
√
3 bán kính R = 4.
2. z = (1 + i) z + 1 biết rằng |z + 2| ≤ 1.
Ta có
z = (1 + i) z + 1 ⇔ z =
z − 1
1 + i
.

Theo giả thiết ta có
|z + 2| ≤ 1 ⇔
z − 1
1 + i
+ 2 ≤ 1
⇔
z + 1 + 2i
1 + i
≤ 1
⇔ |z + 1 + 2i| ≤ 1 |1 + i|
⇔ |z + 1 + 2i| ≤
√
2.
Vậy tập các điểm cần tìm là hình tròn tâm I là điểm biểu diễn số
phức −(1 + 2i) bán kính R =
√
2.
Bài 5. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn các số
phức z sao cho
z − 2
z + 2
có một acgumen bằng
π
3
.
Giải
Giả sử z = a + bi, a, b ∈ R. Sử dụng công thức
z1
z2
=
a1a2 + b1b2
a2
2 + b2
2
+
a2b1 − a1b2
a2
2 + b2
2
i
Suy ra
z − 2
z + 2
=
(a − 2) + bi
(a + 2) + bi
=
a2
+ b2
− 4
(a2 + b2)
+
(a + 2)b − (a − 2)b
(a2 + b2)
i
=
a2
+ b2
− 4
(a2 + b2)
+
4b
(a2 + b2)
i.
Theo giả thiết số phức trên có một acgumen bằng
π
3
, tức là ta có thể

viết
a2
+ b2
− 4
(a2 + b2)
+
4b
(a2 + b2)
i = r(cos
π
3
+ i sin
π
3
) (r > 0)
⇔



a2
+ b2
− 4
(a2 + b2)
= r cos
π
3
4b
(a2 + b2)
= r sin
π
3
⇔



a2
+ b2
− 4
(a2 + b2)
=
r
2
4b
(a2 + b2)
=
r
√
3
2
⇔



b > 0 (vì r > 0)
4b
a2 + b2 − 4
=
√
3
⇔



b > 0
a2
+ b2
− 4 =
4b
√
3
⇔



b > 0
a2
+ b −
2
√
3
2
=
4
√
3
2
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là phần đường tròn tâm I(0;
2
√
3
) bán
kính R =
4
√
3
nằm phía trên trục thực.
Bài 6. Trong các số phức z thỏa mãn các điều kiện sau, tìm số phức z
có mô-đun nhỏ nhất.
1. (z − 1) (z + 2i) là số thực.
2. |z − i| = |z − 2 − 3i|
3. |iz − 3| = |z − 2 − i|
Giải

1. (z − 1) (z + 2i) là số thực.
Đặt z = a + bi, a, b ∈ R, ta có:
(z − 1) (z + 2i) = ((a + bi) − 1) ((a − bi) + 2i)
= ((a − 1) + bi) (a + (2 − b)i)
= a(a − 1) − b(b − 2) + (ab + (a − 1)(2 − b))i
Theo giả thiết z là số thực nên ta có
(ab + (a − 1)(2 − b)) = 0 ⇔ 2a + b − 2 = 0
⇔ b = 2 − 2a
Ta có mô-đun của z là
|z| =
√
a2 + b2
= a2 + (2 − 2a)2
=
√
5a2 − 8a + 4
= 5 a −
4
5
2
+
4
5
≥
2
√
5
.
Vậy mô-đun của z đạt giá trị nhỏ nhất bằng
2
√
5
khi z =
4
5
+
2
5
i
2. |z − i| = |z − 2 − 3i|
|z − i| = |z − 2 − 3i| ⇔ |a + bi − i| = |a − bi − 2 − 3i|
⇔ |a + (b − 1)i| = |(a − 2) + (−b − 3)i|
⇔ a2
+ (b − 1)2
= (a − 2)2
+ (b + 3)2
⇔ −2b + 1 = −4a + 4 + 6b + 9
⇔ a = 2b + 3

|z| =
√
a2 + b2
= (2b + 3)2 + b2
=
√
5b2 + 12b + 9
= 5 b +
6
5
2
+
9
5
≥
3
√
5
Vậy mô-đun của z đạt giá trị nhỏ nhất bằng
3
√
5
khi z =
27
5
−
6
5
i
3. |iz − 3| = |z − 2 − i|
|iz − 3| = |z − 2 − i| ⇔ |i(a + bi) − 3| = |(a + bi) − 2 − i|
⇔ |(−b − 3) + ai| = |(a − 2) + (b − 1)i|
⇔ a2
+ (−b − 3)2
= (a − 2)2
+ (b − 1)2
⇔ 6b + 9 = −4a + 4 − 2b + 1
⇔ a = −2b − 1
|z| =
√
a2 + b2
= (−2b − 1)2 + b2
=
√
5b2 − 4b + 1
= 5 b −
2
5
2
+
1
5
≥
1
√
5
.
Vậy mô-đum của z đạt giá trị nhỏ nhất bằng
1
√
5
khi z = −
9
5
+
2
5
i.
Bài 7. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện sau, tìm số phức z có
mô-đun nhỏ nhất, lớn nhất.
1. |z − 2 + 3i| =
3
2

2. |z − 2 + 2i| = 2
√
2
3.
(1 + i) z
1 − i
+ 2 = 1
4. |z + 1 − 2i| = 1
5. |z − 2 − 4i| =
√
5
Giải
1. |z − 2 + 3i| =
3
2
|z − 2 + 3i| =
3
2
⇒ |(a + bi) − 2 + 3i| =
3
2
⇔ |(a − 2) + (b + 3)i| =
3
2
⇔ (a − 2)2
+ (b + 3)2
=
3
2
2
.
Vậy tập các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(2; −3)
bán kính R =
3
2
.
Yêu cầu bài toán trở thành tìm tập các điểm trên đường tròn sao
cho khoảng cách từ điểm đó tới gốc tọa độ là nhỏ nhất, lớn nhất.
Để hoàn thành yêu cầu này ta chuyển bài toán về một bài toán
hình học phẳng như sau.
Ta có đường thẳng đi qua OI nhận véc-tơ
−→
OI = (2; −3) làm véc-tơ
chỉ phương có phương trình
x = 2t
y = −3t
Thay x, y từ phương trình trên vào phương trình đường tròn ta

được.
(x − 2)2
+ (y + 3)2
=
3
2
2
⇒ (2t − 2)2
+ (−3t + 3)2
=
3
2
2
⇔ 13t2
− 26t +
43
4
= 0
⇔ t1,2 =
26 ±
√
117
13
⇔ (x, y) = (
−2(−26 ±
√
117)
13
,
3(−26 ±
√
117)
13
).
2. |z − 2 + 2i| = 2
√
2
|z − 2 + 2i| = 2
√
2 ⇒ |(a + bi) − 2 + 2i| = 2
√
2
⇔ |(a − 2) + (b + 2)i| = 2
√
2
⇔ (a − 2)2
+ (b + 2)2
= 8
Vậy tập các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(2; −3)
bán kính R = 2
√
2.
−→
OI = (2; −2) làm véc-tơ
x = 2t
y = −2t
được.
⇔ (x − 2)2
+ (y + 2)2
= 8 ⇒ (2t − 2)2
+ (−2t + 2)2
= 8
⇔ 8t2
− 16t = 0
⇔ t1 = 0, t2 = 2.
⇔ (x, y) = (0; 0) hoặc (4; −4).

3.
(1 + i) z
1 − i
+ 2 = 1 ⇔ |iz + 2| = 1
|iz + 2| = 1 ⇒ |i(a + bi) + 2| = 1
⇔ |(2 − b) + ai| = 1
⇔ a2
+ (b − 2)2
= 1
Vậy tập các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(0; 2)
bán kính R = 1.
Từ tính chất của đường tròn ta dễ dàng suy ra hai số phức cần tìm
là z = i, z = 3i.
4. |z + 1 − 2i| = 1
|z + 1 − 2i| = 1 ⇒ |(a + bi) + 1 − 2i| = 1
⇔ |(a + 1) + (b − 2)i| = 1
⇔ (a + 1)2
+ (b − 2)2
= 1
Vậy tập các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(−1; 2)
bán kính R = 1.
−→
OI = (−1; 2) làm véc-tơ
x = −t
y = 2t

được.
⇔ (x + 1)2
+ (y − 2)2
= 1 ⇒ (−t + 1)2
+ (2t − 2)2
= 1
⇔ 5t2
− 10t + 4 = 0
⇔ t1,2 =
5 ±
√
5
5
.
⇒ (x, y) = (−
5 ±
√
5
5
;
2(5 ±
√
5)
5
).
5. |z − 2 − 4i| =
√
5
|z − 2 − 4i| =
√
5 ⇒ |(a + bi) − 2 − 4i| =
√
5
⇔ |(a − 2) + (b − 4)i| =
√
5
⇔ (a − 2)2
+ (b − 4)2
= 5
Vậy tập các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(2; 4)
bán kính R =
√
5.
−→
OI = (2; 4) làm véc-tơ
x = 2t
y = 4t
được.
(a − 2)2
+ (b − 4)2
= 5 ⇒ (2t − 2)2
+ (4t − 4)2
= 5
⇔ 4t2
− 8t + 4 + 16t2
− 32t + 16 = 5
⇔ 20t2
− 40t + 15 = 0
⇔ t1 =
3
2
, t2 =
1
2
.
⇒ (x, y) = (3; 6), hoặc (1; 2).

Mot vai bai toan ve so phuc bieu dien hinh hocgtln gtnn modun

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

En vedette

En vedette (20)

Similaire à Mot vai bai toan ve so phuc bieu dien hinh hocgtln gtnn modun

Similaire à Mot vai bai toan ve so phuc bieu dien hinh hocgtln gtnn modun (20)

Mot vai bai toan ve so phuc bieu dien hinh hocgtln gtnn modun