ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
ANALÍTICA
• Determinantes: Definición y
propiedades.
• Cálculo del determinante de una matriz
a través del desarrollo por cofactores
(método de Laplace)
• Cálculo de la inversa de una matriz
utilizando cofactores.

Determinante
El determinante de una matriz cuadrada, es un número real
asociado a dicha matriz que brinda información interesante
sobre la matriz, por ejemplo muestra inmediatamente si la
matriz es inversible o no singular.
Para dar la definición formal de determinante, se necesitan
algunos conceptos previos que son: producto elemental,
permutación, n° de inversiones de una permutación,
clasificación de la permutación y producto elemental con
signo.

Producto elemental
Definición:
Un producto elemental de una matriz cuadrada Anxn es
el producto de 𝑛 elementos de A pertenecientes a filas y
columnas distintas.
• Dada una matriz A2x2=
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
, A tiene
únicamente dos productos elementales que son:
𝒂𝟏𝟏. 𝒂𝟐𝟐 𝑦 𝒂𝟏𝟐. 𝒂𝟐𝟏

Producto elemental
Definición:
• Dada una matriz 𝐴3𝑥3 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
, algunos de
sus productos elementales son:
𝒂𝟏𝟏. 𝒂𝟐𝟐. 𝒂𝟑𝟑
𝒂𝟏𝟑. 𝒂𝟐𝟏. 𝒂……
𝒂𝟑𝟏. 𝒂𝟏𝟑. 𝒂……..
• La cantidad de productos elementales de una matriz
Anxn, es n!

Producto elemental con signo
o Para cada producto elemental, ordenamos los factores
según el número de filas y observamos en qué orden han
quedado las columnas. A este orden lo llamamos
permutación asociada. Ejemplo: en el producto elemental
a31.a23.a12, la permutación asociada es {2, 3, 1}
o En cada permutación asociada, contamos el número de
inversiones de la siguiente manera: para cada número,
contamos cuántos números menores que él hay a su
derecha, y sumamos todos los resultados. Ej.:
¿cuántos números menores que el 2 hay a su derecha? 1 ,
¿cuántos números menores que el 3 hay a su derecha? 1.
Por tanto en la permutación asociada hay, en total,
1 + 1 = 2 inversiones

Producto elemental con signo
o Se dice que una permutación es impar si el número total
de inversiones es impar. En caso contrario, la permutación
es par.
o Si la permutación es impar, se considera que el signo del
producto elemental es negativo; y si es par, se considera
que el signo del producto elemental es positivo.

Producto elemental con signo
Ejemplo: Dada una matriz A3x3, encontrar todos sus
productos elementales y el signo de cada uno:
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
Como A3x3, tiene en total 3! = 6 productos elementales
Producto
elemental
Permutación
asociada
Núm. de
inversiones
Paridad Signo
𝑎11𝑎22𝑎33 123 0 + 0 = 0 Par +
𝑎11𝑎23𝑎32 132 0 + 1 = 1 Impar -
𝑎12𝑎21𝑎33 213 1 + 0 = 1 Impar -
𝑎12𝑎23𝑎31 231 1 + 1 = 2 Par +
𝑎13𝑎21𝑎32 312 2 + 0 = 2 Par +
𝑎13𝑎22𝑎31 321 2 +1 = 3 Impar -

Determinante de una matriz 𝑛𝑥𝑛
Definición:
El determinante de una matriz cuadrada 𝐴 es el número
real que se obtiene al sumar todos los productos
elementales con signo de dicha matriz.
Lo simbolizamos como det(𝐴) o 𝐴 .
det(A) = σ ±𝑎1𝑗1. 𝑎2𝑗2 … . . 𝑎𝑛𝑗𝑛
• Así, para la matriz A2x2=
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
,
det(A) = a11.a22 – a12.a21
Ejemplo: Calcule el determine de la matriz

Determinante de una matriz 𝑛𝑥𝑛
Definición:
• Así, para la matriz A3x3=
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
,
det(A) = a11.a22.a33 + a12.a21.a32 + a13.a21.a32 – a11.a23.a32 –
a12.a21.a33 – a13.a22.a31
Ejemplo: Calcule el determine de la matriz

Determinante de una matriz 3𝑥3
Regla de Sarrus:
Es una regla práctica para calcular SOLAMENTE
determinantes de matrices 3x3.
La misma consiste en agregar al determinante dos filas
o dos columnas y luego sumar el producto de los
elementos de la diagonal principal y los productos de
los elementos de las dos diagonales paralelas y
restando el producto de los elementos de la diagonal
secundaria y los de sus dos paralelas.

Determinante de una matriz 3𝑥3
Regla de Sarrus:
Analicemos el mismo ejemplo anterior, calculando el
det(B) aplicando la Regla de Sarrus:
1 2 3
−2 0 4
1 1 0
1 2
−2 0
1 1
= 1.0.0 + 2.4.1 + 3. −2 . 1 − 3.0.1 − 1.4.1 − 2. −2 . 0
= 0 + 8 - 6 + 0 - 4 + 0
= - 2

Propiedades del determinante
o El determinante de una matriz triangular es igual al
producto de los elementos de su diagonal principal.
Ej.:
1 3
0 −2
= 1. −2 = −2
o El determinante de una matriz con una fila o una
columna de ceros es cero. (hacer demostración)
Ej.:
1 1/3 −6
0 0 0
−3 4 1
= 0
Propiedades:

Propiedades del determinante
o Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos
columnas proporcionales entonces su determinante
es cero.
Ej.:
1 2 3
0 5 0
−2 4 −6
= 0, pues C3 = 3.C1
o El determinante de una matriz es igual al
determinante de su transpuesta.
Ej.: Sea 𝐴 =
1 3
4 0
, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 det 𝐴 = −12. 𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜:
det 𝐴𝑇
=
1 4
3 0
=
1 3
4 0
= det 𝐴 = −12
Propiedades:

Propiedades del determinante
o Si en una matriz se permutan dos líneas paralelas,
el determinante cambia de signo.
Propiedades (relación con las operaciones elementales):
Ejemplo: Dada 𝐴 =
1 2
3 4
, tenemos que det 𝐴 = −2.
𝐴 =
1 2
3 4
~
3 4
1 2
= 𝐵
𝐹1 ↔ 𝐹2
Vemos que B surge de permutar las filas de A, entonces det 𝐵 =
− det 𝐴 , es decir det B = − −2 = 2

Propiedades del determinante
Sean 𝑨 y 𝑩 matrices cuadradas del mismo orden:
o Si 𝑩 es la matriz que se obtiene de 𝑨 multiplicando
una fila (o columna) de 𝑨 por un escalar 𝒌, entonces
𝒅𝒆𝒕 𝑩 = 𝒌. 𝒅𝒆𝒕(𝑨). (hacer demostración)
Propiedades (relación con las operaciones elementales):
Ejemplo: Dada 𝐴 =
1 2
3 4
, tenemos que det 𝐴 = −2.
𝐴 =
1 2
3 4
~
3 6
3 4
= 𝐵
3𝐹1 → 𝐹′1
Vemos que B surge de multiplicar la primera fila de A por el
escalar 3, entonces det 𝐵 = 3. det 𝐴 = 3. −2 = −6.

Propiedades del determinante
Sean 𝑨 y 𝑩 matrices cuadradas del mismo orden:
o Si 𝑩 es la matriz que se obtiene de 𝑨 cuando a una
fila (o columna) de 𝑨 se le suma a un múltiplo de
otra fila (o columna), entonces 𝐝𝐞𝐭 𝑨 = 𝐝𝐞𝐭(𝑩).
Propiedades (relación con las operaciones elementales):
Ejemplo: Dada 𝐴 =
1 2
3 4
, tenemos que det 𝐴 = −2.
𝐴 =
1 2
3 4
~
7 10
3 4
= 𝐵
𝐹1 + 2𝐹2 → 𝐹1′
Vemos que B surge de sumarle a la fila 1 de A el doble de la
segunda fila, entonces el determinante de B no varía, esto es:
det 𝐵 = det(𝐴)= - 2.

Propiedades del determinante
o Si 𝑨 es una matriz 𝒏𝒙𝒏 y 𝒌 ∈ 𝑹, 𝐝𝐞𝐭 𝒌𝑨 =
𝒌𝒏𝐝𝐞𝐭(𝑨).
Ej.: Sea A =
1 2
3 4
, det(A) = -2.
Sea B =
3 6
9 12
=
3.1 3.2
3.3 3.4
, entonces:
det 𝐵 = 32. det 𝐴 = 9. −2 = −18
o Si 𝑨 y 𝑩 son matrices cuadradas del mismo orden,
entonces 𝐝𝐞𝐭 𝑨𝑩 = 𝐝𝐞𝐭 𝑨 𝐝𝐞𝐭(𝑩).
Propiedades:

Teorema
𝐴𝑛𝑥𝑛 es inversible
si y sólo si
det(𝐴) ≠ 0
Teorema: Relación entre determinante e inversibilidad
(hacer demostración)
Corolario (de la demostración anterior):
Si 𝐴𝑛𝑥𝑛 es inversible entonces 𝑑𝑒𝑡 𝐴−1 =
1
det(𝐴)
. (hacer
demostración)

Teorema
Sea 𝐴 una matriz cuadrada 𝑛𝑥𝑛 . Los siguientes
enunciados son equivalentes:
1. 𝐴 es inversible
2. 𝐴 es equivalente por filas a la matriz identidad 𝐼𝑛.
3. 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐴 = 𝑛
4. 𝑑𝑒𝑡(𝐴) ≠ 0
Teorema de versión creciente: (2° versión)

Cálculo de determinantes de matrices nxn
Menor complementario y cofactor
Dada 𝐴𝑛𝑥𝑛:
o El menor o menor complementario de un elemento
𝑎𝑖𝑗 se define como el determinante de la submatriz
que se obtiene después de eliminar la fila 𝑖 y la
columna 𝑗 de A. Se simboliza 𝑀𝑖𝑗.
o El número (−1)𝑖+𝑗
𝑀𝑖𝑗 se simboliza como 𝐶𝑖𝑗 y se
denomina el cofactor del elemento 𝑎𝑖𝑗.
Definición:

Menor complementario y cofactor
Ej.: Determina los menores complementarios y
cofactores de la matriz 𝐴 =
1 2 3
−1 0 1
1 2 −1
.
M11= ? M12= ? M13= ?
C11= ? C12= ? C13= ?
M21= - 8 M22= -4 M23= 0
C21= 8 C22= -4 C23 = 0
M31= 2 M32= 4 M33= 2
C31= 2 C32= -4 C33= 2
Definición:

Matriz de Cofactores
o Dada 𝐴𝑛𝑥𝑛, la matriz 𝑛𝑥𝑛 cuyos elementos son los
cofactores correspondientes de la matriz 𝐴, se llama
matriz de cofactores de 𝑨. En símbolos:
𝐶𝑜𝑓𝑎𝑐𝑡 𝐴 =
𝐶11 𝐶12 …
𝐶21 𝐶22 …
⋮ ⋮ ⋮
𝐶1𝑛
𝐶2𝑛
⋮
𝐶𝑛1 𝐶𝑛2 … 𝐶𝑛𝑛
En el ejemplo anterior:
𝐶𝑜𝑓𝑎𝑐𝑡 𝐴 =
−2 0 −2
8 −4 0
2 −4 2
Definición:

Matriz Adjunta
o La transpuesta de la matriz de cofactores, se llama
matriz adjunta de 𝑨. La simbolizamos como 𝐴𝑑𝑗 𝐴 .
Adj(A) = [Cofact(A)]T
En el ejemplo anterior:
Adj 𝐴 =
−2 0 −2
8 −4 0
2 −4 2
𝑇
=
−2 8 2
0 −4 −4
−2 0 2
Definición:

Desarrollo por cofactores: Método de Laplace
El determinante de una matriz 𝐴𝑛𝑥𝑛 se puede calcular
haciendo la suma de los productos elementales de una
fila (o columna) por sus respectivos cofactores.
o Determinante de 𝑨 desarrollado por la fila 𝒊:
det 𝐴 = 𝑎𝑖1𝐶𝑖1 + 𝑎𝑖2𝐶𝑖2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛𝐶𝑖𝑛
o Determinante de 𝑨 desarrollado por la columna 𝒋:
det 𝐴 = 𝑎1𝑗𝐶1𝑗 + 𝑎2𝑗𝐶2𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑗𝐶𝑛𝑗
Teorema:

Desarrollo por cofactores: Método de Laplace
Ejemplo: Calcula el determinante de la siguiente matriz
utilizando el Método de Laplace.
𝐴 =
1 2 3
−1 0 1
1 2 −1
𝐵 =
2 0 0
0 0 1
1 1 −1
−1
0
1
1 2 −1 0

Cálculo de la inversa utilizando
cofactores
Si 𝐴𝑛𝑥𝑛 es inversible, entonces:
𝐴−1 =
1
det 𝐴
𝐴𝑑𝑗(𝐴)
(hacer demostración)
Propiedad:
Si 𝐴 es una matriz cuadrada de orden 𝑛𝑥𝑛, entonces:
𝐴. 𝐴𝑑𝑗 𝐴 = det 𝐴 . 𝐼
Teorema:

Cálculo de la inversa utilizando
cofactores
Ejemplo: Obtenga, si es posible, la inversa de la matriz
𝐴 =
1 2 3
−1 0 1
1 2 −1