Vérification formelle de modèle - Méthode de Chow et Méthode de Tour de Transition

Validation temporelle d’un modèle de
pipeline vis à vis de la cible réelle
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BENBOUIDDA Ossama
Ecole Centrale de Nantes – Master ARIA TRCS
2014 - 2015

2
Introduction (1) :
 Contexte :
 Contexte général :
• Vérification des modèles d’automates à états finis
• Validation des modèles
 Contexte particulier/Domaine d’application :
• Modélisation des pipelines (Processeur)
• Vérification des modèles pipeline (Processeur)
• Simulation de pipeline
• Génération de simulateurs de pipelines

3
Introduction (2) :
 Données du problème :
• 1. Spécification du pipeline : Spécification matérielle d’un
pipeline

4
Introduction (3) :
 Données du problème :
• 2. Un modèle d’un pipeline : Un modèle de pipeline sous
forme de Machine de Mealy/Automate.

5
Introduction (4) :
 Le problème :
• Comment valider nos modèles : • Quelle méthode choisir :

6
Introduction (5) :
 Objectif :
• Génération de test ⇒ Sortir avec un verdict

7
Introduction (6) :
 Dans le cadre de ce séminaire :
 Introduction aux notions relatives au sujet :
• Architecture des processeurs
• Modélisation, types d’erreur et vérification
 Généralités et notions sur la théorie des graphes
 Application de la méthode des séquences caractéristiques[CHO78]
 Application de la méthode de Tour de Transition[NT81]

Introcution à
l’architecture des processeurs
Vérification et modélisation
8

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Introduction aux notions relatives au sujet :
Architectures des processeurs (1) :
 Tout système utilisant un microprocesseurs est organisé selon les
niveaux suivants1 :
1 : Andrew Tanenbaum,Structured Computer Organization (5th Edition)
Niveau 5 : Langage
compilé
Niveau 4 : Langage
assembleur
Niveau 3 : Traitement
Système d’exploitation
Niveau 2 : Architecture
jeu d’instruction (ISA)
Niveau 1 : Micro-
architecture
Niveau 0 : Réalisation
logique numérique

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 Niveau 2 - Architecture jeu d’instruction :
Instructions logiques câblés en microprocesseur (LOAD, Or, XOR..)
 Niveau 1 - Microarchitecture :
Vue logique du processeur, elle présente :
 Nombre de pipeline, longueurs.
 Les mémoires caches
 Etc
 Niveau 0 – Réalisation logique numérique:
Le niveau où l’information transite de l’état physique à l’état numérique, via
des techniques comme l’échantillonage et la quantification

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 Concept pipeline :
Elément en microarchitecture dans lequel l’éxécution des instructions
est découpé en étages
 Exemple pipeline et modélisation (Avec automate fini) [HML07] :

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Modélisation – Type d’erreurs à éviter:
 Erreurs d’operation:
Il y’a une erreur d’opération entre automate « A » (modèle) et « A’ »
spécification, si en changeant les sorties de l’automate « A », les
automates « A » et « A’ » deviennent équivalents.

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 Erreurs de transfert :
Il y’a une erreur d’opération entre automate « A » (modèle) et « A’ »
spécification, si en changeant un des prochains états de « A », les
automates « A » et « A’ » deviennent équivalents.

14
 Autres types d’erreurs:
Les erreurs mixtes (de transfert ET d’opération), ou des erreurs
d’existence d’état de plus ou de moins.

15
Méthodes de detection d’erreurs:
 La méthode de Tour de Transition :
La méthode la plus simple pour générer une séquence de test. Les
séquences d’entrées sont appliquées au hasard au modèle, jusqu’à ce que
les transitions soient traversées au moins une seule fois.
 La méthode de Chow :
Elle génère un ensemble de séquences qui distingue deux paires d’état.
 Autres méthodes [GEN92]:
• Méthode des sequences probabilistes
• Méthode UIO (Unique Input Output)
• Méthode des séquence distinguée

Introduction à la théorie des
graphes
16

17
Introduction à la théorie des graphes :
Graphe orienté et degré d’un sommet:
 Graphe orienté:
Un graphe orienté est défini par
un ensemble d’états, et d’arcs
reliant ces états. Ces arcs ont
un sens, ceci dit : u->v ≠ v-u
 Degré d’un sommet :
Le degré d’un sommet est égal
à la somme des arcs entrants et
des arcs sortants. On le note
« d » .
Exemple :
Le graphe orienté à gauche se
compose de 5 arcs.
On a :
d(‘1’)=3, d(‘2’)=2, d(‘0’)=4

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Graphe simple et multigraphe:
 Graphe simple:
Un graphe orienté est dit
simple, quand il ne comporte
pas de boucle (Extrémité initiale
= extrémité finale), et deux
arcs, entre deux sommets, de
même sens.
 Multigraphe :
Un multigraphe est un graphe
orienté, qui n’est pas simple.
Donc qui peut comporter des
boucles, et deux arcs de même
sens entre les même sommets.
Graphe pas simple Graphe « pas simple»
(Présence boucle)
Multigraphe

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Chemin et circuit :
 Chemin:
Un chemin, est une suite de
sommets reliés par des arcs
La longueur d’un chemin est
le nombre de ses arcs.
 Circuit :
Un circuit est un chemin dont
l’extrémité initiale et finale est
confondue
La séquence (0,1,2) constitue un chemin
de longueur 2
La séquence (0,1,2,3,0) consitute un
circuit (Et un chemin aussi)
La séquence/état (2) consitute un chemin
de longueur 0

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Circuit eulérien et graphe eulérien :
 Circuit eulérien :
Un circuit est dit eulérien s’il
passe par tous les sommets du
graphe, en ne passant qu’une
seule fois par chaque arc.
 Graphe eulérien:
Un graphe est dit eulérien s’il
admet un circuit eulérien (Pas
forcément un seul !)
Circuit eulérien constitué de la séquence (2,0,1,0,1,2)

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Graphe connexe et graphe fortement connexe :
 Graphe connexe :
Un graphe est dit connexe, s’il
existe un chemin pour tout
couple de sommet (u,v).
 Graphe fortement connexe :
Un graphe est fortement
connexe, s’il existe un chemin,
dans « les deux sens », pour
tout couple (u,v)
Graphe convexeGraphe non convexe Graphe fortement convexe

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Machine de Mealy:
Définition Machine de Mealy :
On peut définir une machine de Mealy par le quantuplé 𝑆, 𝐼, 𝑂, 𝛿, 𝜆 tel que :
• S est un ensemble d’états finis
• I est un ensemble fini des symboles d’entrée.
• O est un ensemble fini des symboles de sorties
• 𝛿: 𝑆 × 𝐼 ⟶ 𝑆 est la fonction de transfert
• 𝜆: 𝑆 × 𝐼 ⟶ 𝑂 est la fonction de sortie

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Définitions relatives à la machine de Mealy:
 Etats équivalents :
On dira que deux états q1 et q2 sont
équivalents si toutes les entrées qui
leur sont appliqué donnent lês
mêmes sorties
 Machine de Mealy minimale :
On dira qu’une machine de Mealy est
réduite ou minimale s’elle ne contient
pas des états équivalents.
Machine de Mealy “pas minimale”

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La méthode de Chow [CHO78]:
Ou la méthode des sequences caractéristiques
 Objectif :
Générer une sequence de tests, qui nous permettra de verifier un
modèle par rapport à sa spécification
 Principe :
On distingue chaque paire d’état d’une Machine de Mealy avec
une sequence s caractéristique, de distinction de ces deux états.
 Hypothèses de l’algorithme :
 Machine de Mealy minimale
 Machine de Mealy complete (On a toutes les transitions
possibles depuis chaque état)

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Les étapes de realisation de la méthode :
 Etape 1 : Estimer le nombre maximum d’états k dans la spécification de la
machine M.
 Etape 2 : Construire l’ensemble de caractérisation W de la machine M.
 Etape 3 : Construire l’arbre de test de la machine M.
 Etape 4 : Générer, à partir de l’arbre de test, l’ensemble P : L’ensemble de
couverture des transitions.
 Etape 5 : Construire l’ensemble Z à partir de la donnée de P, et de k.
 Etape 6 : Faire les tests P.Z (Ou “.” denote la concatenation), en partant à
chaque fois de l’état initial.

27
Etape 1 : Estimation du nombre k dans la specification
 L’estimation de k est basée sur la connaissance de l’implémentation. En cas
d’absence de cette donnée, on prendra k = Card(S) (Avec S = l’ensemble
de sommets de notre modélisation)

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Etape 2 : Construire l’ensemble de caracétérisation W
 C’est quoi W ?
Soit M 𝑆, 𝐼, 𝑂, 𝛿, 𝜆 une machine de Mealy complète et minimale.
On appellera W, l’ensemble des séquences qui nous permettra de distinguer
chaque paire de deux états distincts via leurs sorties.
Si, on a deux états qi et qj ∈ 𝑆, alors ∃ 𝑠 ∈ 𝐼∗ tel que 𝜆(qi,s) ≠ 𝜆(qj,s)

29
 Exemple de l’ensemble W
W={baaa,aa,aaa}
𝜆(q1,baaa) = 1101
𝜆(q2,baaa) = 1100
Du coup, la sequence “baaa”
distingue l’état q1 de l’état q2.

30
 Etapes de construction de l’ensemble W :
• Etape 1 : Construire un ensemble de partitions k-équivalentes de
S, dénotés P1, P2..Pk avec k>0
• Etape 2 : Traverser les k-équivalences dans l’inverse pour obtenir
des sequences de distinctions de chaque paire d’état et ainsi
construire l’ensemble W.

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Etape 2 : Construire l’ensemble de caracétérisation
Etape 1 : Construction de partitions k-équivalentes
 Etape 1 : construction des partitions k-équivalentes :
Définition : Une partition k-équivalente de S, est un ensemble
d’ensembles Si Tel que ∪ 𝑆𝑖 = S et les états dans chaque Si sont k-
équivalents
Prenons cet exemple :
⟹
Format tabulaire

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 On construit la 1-partition:
On regroupe les états ayant les mêmes sorties et on construit de sous
ensembles

33
On rechange les indices des “états suivants” pour ajouter l’indice de
l’ensemble auquel appartient l’état, on supprime aussi la colonne des
sortie. Ceci nous donne la table suivante, la table P1 :

34
On regroupe tous les “états suivants” ayant le même indice pour une
transition donnée, “a” ou “b” dans le même sous ensemble. Ceci nous
donne alors la table P2. On change le deuxième indice au niveau de la
2ème colonne.

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 On réitère le processus :
A chaque fois, on va regrouper à chaque fois les deuxième indices dans la
colonne “état suivant”, jusqu’à ce que l’on trouve chaque état à lui seul
dans un ensemble. Ceci nous donne alors
Si Etat
Coutant
Etat suivant

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Etape 2 : Traverser les k-equivalence dans l’inverse.
 Trouver une sequence caractéristique pour q1 et q2 par exemple :
 Etape 1 : On essaie de trouver les tables Pi and Pi+1 de tel sorte
à ce que (q1, q2) sont dans le même ensemble dans la table Pi
et dans différents ensembles dans a table Pi+1. Nous trouvons
alors P3 et P4.
 Etape 2 : Nous initialisons z=. Nous essayons de trouver la
lettre/Transition qui distingue “a” et “b” dans P3, nous trouvons
que c’est b . Nous faisons alors z=b.z
Etape 3 : On réitère l’étape 2, en allant à chaque vers une table
inférieure (P2, puis P1, puis P0), jusqu’à ce que l’on s’arrête
avec la representation tabulaire de notre machine de M. Et nous
trouvons alors z=baaa
𝑂𝑛 𝑎 𝑏𝑖𝑒𝑛 ∶ 𝜆(q1,baaa) = 1101 , 𝜆(q2,baaa) = 1100 et 𝜆(q1,baaa) ≠ 𝜆(q2,baaa)

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Etape 2 : Traverser les k-equivalence dans l’inverse
 On répète le processus pour chaque paire d’état:
On trouve alors pour notre exemple :
W={a, aa, aaa, baaa}

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Les étapes de realisation de la méthode :
 Etape 1 : Estimer le nombre maximum d’états k dans la spécification de la
machine M.
 Etape 2 : Construire l’ensemble de caractérisation W de la machine M.
 Etape 3 : Construire l’arbre de test de la machine M.
 Etape 4 : Générer, à partir de l’arbre de test, l’ensemble P : L’ensemble de
couverture des transitions.
 Etape 5 : Construire l’ensemble Z à partir de la donnée de P, et de k.
 Etape 6 : Faire les tests P.Z (Ou “.” denote la concatenation), en partant à
chaque fois de l’état initial.
On est arrivé ici
Rappel

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Etape 3 : Construction arbre de test
 Construction arbre de test : On commence par l’état initial,et on
franchit toutes les transitions, à chaque fois qu’on trouve un
nouveau état, on continue, et on répète. Sinon, on termine.
=>
Arbre de test

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Etape 4 : Génération de l’ensemble P à partir de l’arbre de test
 La generation de l’ensemble P: La generation se fait avec un
parcours de l’arbre en profondeur de l’arbre de test. 𝜀 appartient
à l’arbre de test aussi
=>
P={, a, b, bb, ba, bab, baa, baab, baaa,
baaab, baaaa}

41
Etape 5 : Construire de Z à partir de W et k
On a : Z = I0.W  I1.W  ….. Ik-1-n.W  Ik-n.W
avec k=card(Sommetspecification), et n=card(Sommetmodel)
Pour le cas particulier ou k=n, on a:
Z = I0.W = W
Pour notre cas, I={a,b}, W={a, aa, aaa, baaa} et k=6, on a :
Z = W  X1.W ={a, aa, aaa, baaa}  {a, b}.{a, aa, aaa, baaa}
={a, aa, aaa, baaa, aa, aaa, aaaa, baaaa, ba, baa, baaa,
bbaaa}

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Etape 6 : Générer la suite de test T = P.Z
 La séquence de test, à tester sur notre modèle est alors : T = P.Z
 Ainsi, on essaie d’abord de connaître la réponse par la spécification.
 On fait le même test dans modélisation
 Et on sort avec un verdict. Prenons t2=baaba
Spécification
M(t2)=11011

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Ou la méthode des sequences caractéristiques
 Objectif :
Générer une sequence de tests, qui nous permettra de verifier un
modèle par rapport à sa spécification
 Principe :
On fait le parcours du graphe en intégralité pour générér la
sequence de test
 Hypothèses de l’algorithme :
 Machine de Mealy minimale
 Machine de Mealy complete (On a toutes les transitions
possibles depuis chaque état)
 Machine de Mealy fortement convexe

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La méthode de Tour de Transition [NT81]:
 Etape 1 : Vérifier si le graphe est fortement connexe
 Etape 2 : Vérifier si tous les sommets sont équilibrés. S’ils le sont
on passe directement à l’étape 5 (Puisque notre graphe serait
éulérien1)
 Etape 3 : Equilibrer les sommets en utilisant l’algorithme de
transport.
 Etape 4 : Construire le nouveau graphe, en ajoutant les arcs dans
l’étape 3.
1 : Théorème : Tout graphe fortement connexe et équilibré est eulérien
 Etape 5 : Faire le parcours du graphe eulérien et générer une suite
de test.

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Application de la méthode sur un exemple :
 Etape 1 : Le graphe est bel et bien
fortement complexe.
 Etape 2 : On a :
𝛿 0 = 𝑑+
0 − 𝑑−
0 = 2 − 2 = 0 ⟹ Sommet équilibré.
𝛿 1 = 𝑑+
1 − 𝑑−
1 = 2 − 3 = −1 ⟹ Sommet
déséquilibré.
𝛿 2 = 𝑑+
2 − 𝑑−
2 = 3 − 2 = +1 ⟹ Sommet
déséquilibré.
𝛿 3 = 𝑑+
3 − 𝑑−
3 = 1 − 2 = −1 ⟹ Sommet
déséquilibré.
𝛿 4 = 𝑑+
4 − 𝑑−
4 = 2 − 1 = +1 ⟹ Sommet
déséquilibré.

47
 Etape 3 : Il y’a des sommets déséquilibrés, il faut les équilibrer en
ajoutant des arcs de plus.
1. On a en général des sommets qui ont un surplus d’arcs entrant par
rapport aux sortants. Leur ensemble, on le note D+
2. On a des sommets qui ont un surplus d’arcs sortant par rapport
aux arcs entrants. Leur ensemble, on le note D-
On essaie alors d’ajouter des arcs de plus allant de sommets ∈ D- au
sommets ∈ D+
Problème linéaire, on utilisera l’algorithme de transport pour le résoudre

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 Etape 3 : Tout calcul fait avec l’algorithme de Transport, on voit qu’il
faudrait ajouter un arc (1,4) et un arc (3,2), et rend notre circuit eulérien

49
 Etape 4 : Détérmination circuit eulérien.
 Etape 1 : Construction arbre de couverture (Arbre reliant tous
les sommets de notre graphe).
 Etape 2 : Construction d’un tableau avec les sommets de
notre arbre de couverture, des sommets prédécésseurs et
arcs prédécesseurs. On part de l’état premier de notre
tableau, et on ajoute le premier arc prédécesseur
correspondant à la fin d’une liste, et on repart au sommet
prédécesseur, et on refait la même procedure, jusqu’à ce que
l’on ait plus d’arcs prédécesseurs.

50
 Etape 4 : Détérmination circuit eulérien.
Le circuit trouvé consitituera notre séquence de test, et on
va faire les tests avec :
a/1, b/4, c/1, b/4, e/3, f/2, g/3, f/2, h/0, i/2, j/1, d/0

51
Séquences de tests avec Tour de Transition
On part de l’état initial qu’on avait pris dans notre arbre de
couverture et on fait alors la séquence de tests suivants :

53
Références :
 [CHO78] : T.S. Chow. Testing software design modeled by finite-state
machines. Software Engineering, IEEE Transactions on, (3) :178–187,
1978
 [NT81] : Sachio Naito and Masahiro Tsunoyama. Fault detection for
sequential machines by transition tours. In Proc. FTCS, volume 81,
pages 238–243, 1981
 [HML07] : Rola Kassem, Mikäel Briday, Jean-Luc Béchennec, Guillaume
Savaton, Yvon Trinquet. Harmless, a Hardware Architecture Description
Language Dedicated to Real-Time Embedded System Simulation.
Journal of Systems Architecture, Elsevier, 2012, 58 (8), pp.318-337.
 [GEN92] Towards a New World in Computer Communication: Eleventh
International Conference on Computer Communication, Genova, Italy,
1992

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