SlideShare une entreprise Scribd logo
1  sur  7
Télécharger pour lire hors ligne
Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
PROBABILIDADE E CONTAGEM
PE.7.01.A
1) Ao arremessar uma moeda honesta,
qual é a probabilidade de encontrarmos:
a) cara Probabilidade ½ ou 50%
b) coroa Probabilidade ½ ou 50%
2) Um dado não-viciado é arremessado.
Qual é a probabilidade de sair:
a) o número 5?
Casos favoráveis: o 5 (1 caso)
Casos possíveis: 6
Probabilidade: 1/6
b) um número par?
Casos favoráveis: 2, 4 e 6 (3 casos)
Casos possíveis: 6
Probabilidade: 3/6=1/2 (ou 50%)
c) um número ímpar?
Casos favoráveis: 1, 3 e 5 (3 casos)
Casos possíveis: 6
Probabilidade: 3/6=1/2 (ou 50%)
d) um número maior que 4?
Casos favoráveis: 5 e 6 (2 casos)
Casos possíveis: 6
Probabilidade: 2/6=1/3 (ou 33,33%)
e) um número menor que 4?
Casos favoráveis: 1, 2, 3 (3 casos)
Casos possíveis: 6
Probabilidade: 3/6=1/2 (ou 50%)
f) um número primo?
Casos favoráveis: 2, 3 e 5 (3 casos)
Casos possíveis: 6
Probabilidade: 3/6=1/2 (ou 50%)
NÚMERO PRIMO é aquele que divide
apenas por um e por ele mesmo, isto é, 2,
3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47, 53, etc...
Quando a probabilidade é 0%=0 o
evento é chamado de EVENTO
IMPOSSÍVEL
Quando a probabilidade é 100%=1 o
evento é chamado de EVENTO CERTO
3) Qual é o espaço amostral?
a) do arremesso de uma moeda
{K, C}
b) do arremesso de um dado.
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
c) do arremesso de duas moedas.
{(K, K), (K,C), (C, K), (C,C)}
d) do arremesso de dois dados.
{ (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
3) Arremessando dois dados não-viciados
e somando-se suas faces, qual é a
probabilidade de encontrarmos:
DIAGRAMA
1 – impossível
2 – (1,1) → 1/36
3 – (1,2), (2,3) → 2/36 = 1/18
4 – (1,3), (2,2), (3,1) → 3/36=1/12
5 – (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) → 4/36=1/9
6 – (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) → 5/36
7 -(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)→6/36
8 - (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) → 5/36
9 – (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) → 4/36=1/9
10 – (4,6), (5,5), (6,4) → 3/36=1/12
11 – (5,6), (6,5) → 2/36=1/18
12 – (6,6) → 1/36
a) 1 → 0 b) 2 → 1/36 c) 3 →1/18
d) 4 → 1/12 e) 5 → 1/9
f) 6 → 5/36 g) 7 → 1/6
h) 8 → 5/36 i) 9 → 1/9
j) 10 → 1/12 k) 11 → 1/18
l) 12 → 1/36
5) Arremessando duas moedas, qual é a
probabilidade de:
Espaço amostral: KK, KC, CK, CC
a) sair cara no primeiro lançamento.
Raciocínio comum: 2/4 = 1/2
Raciocínio alternativo: ora, no primeiro
lançamento pode sair cara ou coroa, então
1/2
b) sair duas faces iguais
KK ou CC, portanto 2/4=1/2
6) a) Em uma urna há 4 bolas, numeradas
de 1 a 4. Qual é a probabilidade de sair um
número par?
Casos favoráveis: 2 e 4 (2 casos)
Casos possíveis: 4
Probabilidade: 2/4=1/2=50%
b) Em uma urna há 100 bolas, numeradas
de 1 a 100. Qual é a probabilidade de sair
um número quadrado perfeito?
Casos favoráveis: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,
64, 81, 100 (10 casos)
Casos possíveis: 100
Probabilidade: 10/100=1/10 ou 10%
c) Em uma urna há 25 bolas, numeradas
de 1 a 25. Qual é a probabilidade de sair
um número primo?
Casos favoráveis: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23
(8 casos)
Casos possíveis: 25
Probabilidade: 8/25 ou 32%
Para achar a probabilidade pensamos
assim
8------25
x-------100
Como 100=4 x 25, basta multiplicar 8 por 4,
ou seja, temos 32.
d) Em uma urna há 50 bolas, numeradas
de 1 a 50. Qual é a probabilidade de sair
um número maior que 18?
Casos favoráveis: 19 a 50 (ou seja 50-
18=32)
Casos possíveis: 50
Probabilidade 32/50 = 16/25 ou 64%
e) Em uma urna há 30 bolas, numeradas
de 1 a 30. Qual é a probabilidade de sair
um número múltiplo de 7?
Casos favoráveis: 7, 14, 21 e 28 (4 casos)
Casos possíveis: 30
Probabilidade: 4/30=2/15
f) Em uma urna há 30 bolas, numeradas de
1 a 30. Qual é a probabilidade de sair um
número múltiplo de 7 e 5 ao mesmo
tempo?
Casos favoráveis: nenhum. Não há número
múltiplo de 7 e 5 ao mesmo tempo entre 1
e 30.
Casos possíveis: 30
Probabilidade: 0/30 = 0% evento
impossível
Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
PROBABILIDADE E CONTAGEM
PE.7.01.B
7) Em um baralho comum sem o coringa,
diga qual é a probabilidade de escolhermos
uma carta:
São 13 cartas de cada um dos 4 naipes, ou
seja, 52 cartas
a) de naipe de copas. 13/52 ou 1/4 ou 25%
b) de naipe de ouro. 13/52 ou 1/4 ou 25%
c) de naipe de espadas. 13/52 ou 1/4 ou
25%
d) de naipe de paus. 13/52 ou 1/4 ou 25%
e) de número 7. 4/52 ou 1/13
f) de número 9. 4/52 ou 1/13
g) cuja face é K. 4/52 ou 1/13
h) cuja face é Q. 4/52 ou 1/13
i) cujo naipe é preto. 26/52 ou ½ ou 50%
j) cujo naipe é vermelho. 26/52 ou ½ ou
50%
k) um Ás de copas 1/52
l) um 7 de ouros 1/52
m) um valete vermelho. 2/52=1/26
n) um 10 preto. 2/52=1/26
o) uma carta de 4 ou de J 8/52=4/26=2/13
p) uma carta que não seja J, K ou Q.
Sobram 10 cartas por naipe 40/52=10/13
8) a) Qual é a probabilidade de um número
de dois algarismos seja múltiplo de 15?
Casos favoráveis: 15, 30, 45, 60, 75 e 90
(ou seja, 6 casos).
Casos possíveis: 10 ao 99, sendo 90 casos
Probabilidade: 6/90=1/15
b) Qual é a possibilidade de um número de
três algarismos formado apenas com 3, 5 e
4 sem repetição seja par?
Casos favoráveis: 354 e 534 (2 casos)
Caso possíveis: 354, 345, 534, 543, 435,
453 (6 casos)
Probabilidade: 2/6=1/3
9) Escreva a árvore das probabilidades
(NO CADERNO):
a) do arremesso de três moedas.
d) dos números de três algarismos que
podem ser escritos com os algarismos 2, 5
e 4 com ou sem repetição.
e) dos números de três algarismos que
podem ser escritos com os algarismos 2, 5
e 4 sem repetição.
f) Dos códigos de 3 caracteres formados
com as letras A, B e C.
g) Dos códigos de 3 caracteres formados
com as letras A, B, C, D, E iniciados por
vogal.
h) Dos números de 4 algarismos pares
iniciados por 4, 6 ou 2 e sem repetição.
Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
PROBABILIDADE E CONTAGEM
PE.7.01.C
1) Qual é a probabilidade de se obter um
resultado maior que 4 ao se lançar um dado
honesto?
2/6 = 1/3
2) Ao lançar um dado duas vezes, qual é a
probabilidade de se obter soma 5?
As possibilidades são (1,4), (2,3), (3,2) ou (4,1).
Ou seja, são 4 possibilidades num universo de
36.
4/36 = 1/9
3) Em uma urna há 5 bolas vermelhas e 4 pretas,
todas de mesmo tamanho e feitas do mesmo
material. Retiramos duas bolas sucessivamente
da urna, sem repô-las. Qual é a probabilidade de
que sejam retiradas duas bolas vermelhas?
Usando o PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM
Casos Possíveis:
1ª retirada: 9 possibilidades
2ª retirada: 8 possibilidades
Pelo PFC: 9 x 8 =72
Casos Favoráveis:
1ª retirada: 5 possibilidades, pois são 5 bolas
vermelhas
2ª retirada: 4 possibilidades, pois não há
reposição
Pelo PFC: 5 x 4 = 20
20 / 72 = 10 / 36 = 5/18
4) Pedro e João combinaram de lançar uma
moeda 4 vezes. Pedro apostou que, nesses 4
lançamentos, não apareceriam 2 caras seguidas;
João aceitou a aposta. Quem tem maior chance
de ganhar a aposta?
Fazendo todas as 16 possibilidades (pode usar
um diagrama de árvore), verificamos que em 8
dessas possibilidades aparecem 2 caras
seguidas (faça o diagrama).
Ou seja, há 8/16 = ½ de probabilidade de sair
duas caras seguidas e 8/16 = ½ de probabilidade
de NÃO sair duas caras seguidas.
Os dois tem as mesmas chances!
5) Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual é a
probabilidade de que saiam 2 caras?
Observe o diagrama 9A, e verifique que há 4
possibilidades de 8 para sair 2 caras, ou seja 4/8
= ½ ou 50%.
Resposta: 50%
6) Um casal decidiu que vai ter 4 filhos. O que é
mais provável: que tenham dois casais ou três
filhos de um sexo e um de outro?
O mais provável é ter 2 filhos de cada sexo, pois,
a probabilidade de nascer homem ou mulher é de
50%.
7) Duas peças de um dominó comum são
sorteadas. Qual é a probabilidade de que tenham
um número em comum?
Um dominó é numerado de 0 a 9, ou seja, há 100
peças.
As peças comuns são (0,0), (1,1), ... (9,9), ou
seja, 10 peças com números duplos.
10/100 = 1/10 ou 10%
8) Laura e Telma retiram um bilhete cada de uma
urna em que há 100 bilhetes numerados de 1 a
100. Qual é a probabilidade de que o número
retirado por Laura seja maior do que o de Telma?
E se elas, depois de consultarem o número,
devolvem o bilhete à urna?
Esse exercício é da programação de estudos
para Olimpíadas de Matemática. Veja a resposta
oficial:
Em ambos os casos, Laura e Telma têm a
mesma probabilidade de tirar um número maior
que a outra. Se não há devolução, não pode
haver empate, e a probabilidade de que Laura
tenha o maior número é 50%. Se há devolução,
há possibilidade de empate e a probabilidade de
que isto ocorra ´e igual a 100 casos de empate
dividido por 100 × 100 casos possíveis que ´e
igual a 0, 01, Logo, neste caso a probabilidade de
que Laura tenha um núumero maior do que o de
Telma é (1 − 0,01)/2 =0, 99/2 = 0, 495.
Esse exercício é muito difícil e não será
solicitado na prova!
Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
PROBABILIDADE E CONTAGEM
PE.7.01.D
9) Ana, Joana e Carolina apostam em um jogo de
cara-e-coroa. Ana vence na primeira vez que
saírem duas caras seguidas; Joana vence na
primeira vez que saírem duas coroas seguidas;
Carolina vence quando sair uma cara seguida de
uma coroa. Qual é a probabilidade que cada uma
tem de vencer?
Veja a árvore das probabilidades:
A probabilidade de Ana ou Carolina vencer é
1/4+1/8=3/8. A de Joana é 1/4. (Considere o 3º
galho como ¼ e o 4º galho como 1/8, você
consegue entender o motivo!)
Esse exercício é muito difícil e não será
solicitado na prova!
10) O trecho a seguir foi obtido em um site de
internet que se propõe a aumentar as chances de
vitória no jogo da Sena (que consiste em sortear
6 dentre 60 dezenas). “Quando afirmamos, por
exemplo, que as dezenas atrasadas são
importantes, é porque já observamos, em nossos
estudos, que todas as dezenas são sorteadas a
cada quarenta testes, portanto, seria útil você
acompanhar e apostar em dezenas atrasadas;
você estaria assim aumentando muito suas
chances.” Você concorda que apostar em uma
dezena atrasada aumenta as chances de vitória
na Sena?
Resposta da OBM: Embora haja pessoas que
ganhem a vida com este tipo de afirmação, ela é
completamente sem sentido. As extrações são
independentes, o que faz com que uma dezena
estar atrasada seja completamente irrelevante
para o que vai acontecer no futuro. Na verdade,
se estamos em dúvidas sobre a
equiprobabilidade das diversas dezenas,
poderíamos concluir exatamente o contrário: se
uma dezena sai menos que outras, talvez seja
porque seja menos provável (por exemplo, a
bolinha correspondente pode ser maior ou mais
leve que as outras).
Esse exercício é muito difícil e não será
solicitado na prova!
11) Suponhamos que você tenha duas escolhas
para apostar na Sena. Na primeira escolha
aposta nas dezenas 1 - 3 - 5 7 - 9 - 11, e na
segunda escolha nas dezenas 8 - 17 - 31 - 45 -
49 - 55. Qual você acha que tem maiores
chances de ser vitoriosa?
Resposta da OBM: Obviamente, os dois jogos
têm a mesma probabilidade de serem vitoriosos
(mas você acha que as pessoas, em geral,
concordariam com isto? por quê?).
Esse exercício é muito difícil e não será
solicitado na prova!
12) (O Problema do Bode) Este problema foi
proposto em um programa de rádio nos Estados
Unidos e causou um enorme debate na internet.
Em um programa de prêmios, o candidato tem
diante de si três portas. Atrás de uma dessas
portas, há um grande prêmio; atrás das demais
há um bode. O candidato escolhe inicialmente
uma das portas. O apresentador (que sabe qual é
a porta que contém o prêmio) abre uma das
portas não indicadas pelo candidato, mostrando
necessariamente um bode. A seguir, ele pergunta
se o candidato mantém sua escolha ou deseja
trocar de porta. O candidato deve trocar ou não?
(Uma forma de você guiar sua intuição consiste
em simular o problema.)
Resposta da OBM: O candidato deve trocar a
porta. Se ele não o faz, sua chance de vitória está
em ter escolhido a porta certa da primeira vez, o
que ocorre com probabilidade 1/3. Trocando a
porta, ele vai ganhar o prêmio exatamente nos
casos em que a porta escolhida é a errada, o que
tem probabilidade 2/3.
Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
PROBABILIDADE E CONTAGEM
PE.7.01.E
Problemas de Contagem
1) (Olimpíada Cearense de Matemática da
Escola Pública – Numeratizar – 1ª série do
Ensino Médio – 1ª fase/2003) A formiguinha vai
caminhar de A até C passando por B. Ela só anda
pelas estradas que já construiu:
O número de caminhos diferentes que ela pode
escolher é:
a) 4 b) 5 c) 7
d) 8 e) 9
Entre A e B: 3 caminhos
Entre B e C: 3 caminhos
Total de caminhos: 3 x 3 = 9
2) (EMEF Ricardo Caramuru de Castro
Monteiro – CAIC Vale do Sol – Araraquara-SP
– 8ª série – 2003) No Brasil, as placas de carro
são compostas por 3 letras do alfabeto latino
(total:26 letras) e 4 algarismos hindo-arábicos
(total:10 algarismos). Qual é o número máximo de
placas de carro que podem ser feitas no Brasil?
a) 17576000 b) 175760000
c) 6760000 d) 115316136
Basta utilizar o princípio fundamental da
contagem, que é bem mais simples:
26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10
3) (EMEB Arthur Natalino Deriggi – São
Carlos-SP – 5ª série – 2003) Margareth tem 12
blusas e 11 saias. Quantas combinações de saia
e blusa Margareth pode usar?
a) 23 b) 12 c) 144 d) 132 e) 121
Basta fazer 12 x 11 = 132
4) (EM Isaura Vilela Brasileiro – Botelhos –
MG – 2000)
Com seis tipos de cartões magnéticos e oito
senhas diferentes, as opções de escolha de um
cartão e uma senha são:
a) 36 b) 42 c) 48 d) 52 e) 64
Só fazer 6x8=48
5) (EM Isaura Vilela Brasileiro – Botelhos –
MG – 2000)Num microcomputador, para abrir
certo arquivo, o usuário deve digitar 4 sinais ( que
são / # | ^) numa certa ordem, sem repeti-los. Se
ele não conhece a ordem e procura acertar a
senha por tentativas, qual é o número máximo de
tentativas que fará?
a) 24 b) 30 c) 36 d) 40 e) 120
Como o usuário não pode repetir, ele tem
3 x 4 x 2 x 1 = 24 possibilidades
Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
PROBABILIDADE E CONTAGEM
PE.7.01.F
6) (XXIII Olimpíada Brasileira de Matemática –
Nível 1, 2 e 3 – 1a fase – 2001) Na figura abaixo,
temos 4 circunferências e alguns pontos
destacados no interior dessas circunferências.
Escolhendo exatamente um desses pontos dentro
de cada uma das circunferências, e unindo-os por
segmentos de reta que não se cruzam, formamos
um quadrilátero. Quantos quadriláteros diferentes
seremos capazes de desenhar nessas
condições?
A) 4 B) 14 C) 60 D) 120 E) 24
O número de quantidade de quadriláterios é o
produto dos vértices: 2 x 3 x 4 x 5 = 120.
7) Uma bandeira tem quatro listas. De quantas
maneiras eu posso pintá-las utilizando-se de 3
cores diferentes, de tal forma que não pintemos
duas faixas consecutivas da mesma cor.
1ª listra: qualquer cor = 3
2ª listra: menos a cor usada na 1ª listra = 2
3ª listra: menos a cor usada na 2ª listra = 2
4ª listra: menos a cor usada na 3ª listra = 2
3x2x2x2 = 24
8) Numa festa 5 pessoas se cumprimentam.
Quantos são os cumprimentos possíveis?
Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
ESTUDO DAS MÉDIAS
EM.7.01.A
1) As idades dos jogadores titulares de uma
equipe de basquete são 25 anos, 27 anos, 22
anos, 30 anos e 31 anos. Qual é a idade média
dos jogadores titulares dessa equipe?
𝑀𝐴 =
25 + 27 + 22 + 30 + 31
5
=
135
5
= 27
Resposta: A média das idades é de 27 anos.
2) Qual é a média aritmética dos números – 25, -
22, -13, 15 e 30?
𝑀𝐴 =
−25 − 22 − 13 + 15 + 30
5
=
−60 + 45
5
= −
15
5
= −3
3) Qual é a média aritmética dos números 12, -
10, -8, -12 e 7?
𝑀𝐴 =
12 − 10 − 8 − 12 + 7
5
= −
11
5
𝑜𝑢 − 2,2
4) A diretoria de um clube é formada por 10
membros. As idades deles estão indicadas em
anos a seguir: 27, 30, 30, 32, 30, 32, 30, 27, 30 e
32. Qual é a idade média dos membros da
diretoria.
𝑀𝐴
=
27 + 30 + 30 + 32 + 30 + 32 + 30 + 27 + 30 + 32
10
=
300
10
= 30
Resposta: A idade média é de 30 anos.
5) Uma livraria vende a seguinte quantidade de
livros de literatura durante uma certa semana:
2ª
feira
3ª
feira
4ª
feira
5ª
feira
6ª
feira
sábado
13 23 22 27 22 25
Qual é a média de livros vendidos durante a
semana (2ª até sábado).
𝑀𝐴 =
13 + 23 + 22 + 27 + 22 + 25
6
=
132
6
= 22
Resposta: A média é de 22 livros
6) QUESTÃO ANULADA POR INCORREÇÃO
Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
ESTUDO DAS MÉDIAS
EM.7.01.B
7) Ache o lucro médio mensal de uma empresa
que apresentou durante o semestre os seguintes
resultados (valores em reais):
𝑀𝐴 =
5136 + 250 + 4232 − 372 − 250 + 142
6
=
9138
6
= 1523
8) As alturas dos jogadores de uma equipe de
basquete são: 1,98 m; 2,02 m; 2,08 m; 1,92 m e
1,95 m. Qual é a média de altura dessa equipe?
𝑀𝐴 =
1,98 + 2,02 + 2,08 + 1,92 + 1,95
5
=
9,95
5
= 1,99
R: a média de altura é 1,99 m
9) Qual é a média aritmética dos números
2
3
,
1
6
e
3
4
?
𝑀𝐴 =
2
3
+
1
6
+
3
4
3
=
8
12
+
2
12
+
9
12
3
=
19
12
3
=
19
36
10) Qual é a média aritmética dos números
4
5
,
1
4
,
3
2
?
𝑀𝐴 =
4
5
+
1
4
+
3
2
3
=
16 + 5 + 30
20
3
=
51
20
3
=
51
20
.
1
3
=
17
20
Resposta: 17/20
11) Qual é a média aritmética dos números 1,
2
3
,
1
4
,
1
6
?
𝑀𝐴 =
1 +
2
3
+
1
4
+
1
6
4
=
24 + 16 + 6 + 4
24
4
=
50
24
4
=
50
24
.
1
4
=
50
96
=
25
48
Resposta 25/48
12) Qual é a média aritmética dos números 1/3,
0,5 e ¼?
𝑀𝐴 =
1
3
+ 0,5 +
1
4
3
=
1
3
+
1
2
+
1
4
3
=
4 + 6 + 3
12
3
=
13
12
3
=
13
12
.
1
3
=
13
39
Lembre-se que 0,5=1/2 (meio), você pode
calcular isso simplificando 5/10, mas, vale a pena
decorar que 0,5=1/2
Resposta 13/39
13) Qual é a média aritmética dos números 1/2,
2/5 e ¾?
𝑀𝐴 =
1
2
+
2
5
+
3
4
3
=
10 + 8 + 15
20
3
=
33
20
.
1
3
=
11
20
Resposta 11/20
Resolução alternativa:
𝑀𝐴 =
0,5 + 0,4 + 0,75
3
=
1,65
3
= 0,55 =
55
100
=
11
20
14) Qual é a média aritmética de 10 cm, 0,4 m e
0,25 m.
Transforme tudo em centímetros: 10 cm, 40 cm e
25 cm, e ache a média!
𝑀𝐴 =
10𝑐𝑚 + 40𝑐𝑚 + 25𝑐𝑚
3
=
55𝑐𝑚
3
= 18,3333 … . 𝑐𝑚
15) Qual é a média de 2 km, 2.500 m e 3,8 km?
2km = 2.000 m 3,8 km = 3.800 m
𝑀𝐴 =
2000𝑚 + 2500𝑚 + 3800𝑚
3
=
8300𝑚
3
= 27,666 … 𝑚
Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
ESTUDO DAS MÉDIAS
EM.7.01.C
Média Aritmética Ponderada
16) Uma professora atribuirá pesos para as
atividades, sendo:
1ª prova – peso 3 Trabalho – peso 2
2ª prova – peso 5
Resultados das notas de alguns alunos:
1ª
prova
Trabalho 2ª
prova
NOTA
Maria 6 5 5 5,3
Vitória 7 6 5 5,8
Letícia 5 7 6 5,9
Ângela 10 9 8 8,8
Godofredo 3 9 6 5,7
Paulo 5 8 7 6,6
Venância 7 10 5 6,6
Amir 7 9 6 6,9
Leto 6 6 6 6,0
Nota de Maria
6.3+5.2+5.5
3+2+5
=
18+10+25
10
=
53
10
= 5,3
Nota de Vitória
7.3+6.2+5.5
3+2+5
=
21+12+25
10
=
58
10
= 5,8
O cálculo da nota da Vitória estava errado.
Retifique. Faça os cálculos de todos.
17) Determine a média aritmética ponderada dos
números 8, 15 e 20, com pesos 2, 2 e 1,
respectivamente.
MA=
8.2+15.2+20.1
2+2+1
=
16+30+20
5
=
66
5
= 13,2
18) Determine a média aritmética ponderada dos
números 7, 12 e 25, com pesos 3, 2 e 5,
respectivamente.
𝑀𝐴 =
7.3 + 12.2 + 25.5
3 + 2 + 5
=
21 + 24 + 75
10
= 12
19) Karina comprou 3 canetas por 20 reais cada
uma e 2 canetas por 15 reais cada uma. Quanto
ela pagou, em média, por caneta?
Resposta: 18
𝑀𝐴 =
3.20 + 2.15
3 + 2
=
90
5
= 18
20) Uma indústria produz um certo produto.
Vendeu 3500 unidades desse produto por 30
reais cada e 8500 unidades por 24 reais cada.
Qual foi o preço médio, por unidade?
Resposta: R$ 22,75
𝑀𝐴 =
3500.30 + 8500.24
3500 + 8500
= 22,75
Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
ESTUDO DAS MÉDIAS
EM.7.01.D
21) Numa empresa com 20 funcionários, a
distribuição dos salários está representada no
quadro abaixo. Qual é o salário médio dos
empregados dessa empresa?
Número de empregados Salário (em reais)
12 800
5 1.200
3 2.000
Resposta: R$ 1.080,00
𝑀𝐴 =
12.800 + 5.1200 + 3.2000
12 + 5 + 3
=
9600 + 6000 + 6000
20
=
21600
2
= 1080
22) Foram pesquisadas as idades das pessoas
dos alunos de um grupo e obtiveram-se os
resultados organizados na tabela a seguir:
Idades (anos) Número de alunos
13 4
14 11
15 7
16 3
Encontre a média das idades dos alunos da
classe.
Resposta: 14,36 anos
𝑀𝐴 =
13.4 + 14,11 + 15.7 + 16.3
4 + 11 + 7 + 3
= 14,36
23) Num torneio de basquete, uma equipe
marcou 104 pontos, 96 pontos, 117 pontos e 103
pontos nas 4 partidas que disputou na 1ª fase.
Qual a média de pontos que essa equipe marcou
nessa fase do torneio?
Resposta: 105 pontos
𝑀𝐴 =
104 + 96 + 117 + 103
4
= 105
24) Um colégio tem 8 professores e suas idades
são 26 anos, 28 anos, 34 anos, 40 anos, 28 anos,
30 anos, 38 anos e 32 anos. Qual a idade média
dos professores desse colégio?
Resposta: 32 anos
Basta somar todos os valores e dividir por 8.
25) Preparamos um refresco com 8 copos de
água mineral e 2 copos de groselha. Se o copo
de água mineral custa 8 centavos de real e o
copo de groselha custa 13 centavos de real, qual
é o custo de cada copo de refresco?
Resposta: 9 centavos
8.8 + 2.13
8 + 2
=
64 + 26
10
= 9
26) Numa classe de 35 alunos há 22 homens e
13 mulheres. Numa prova de Matemática, a nota
média dos homens foi 4,8 e a nota média das
mulheres foi 4,0. Qual foi aproximadamente, a
nota média da classe? R: 4,5
22.4,8 + 13.4
22 + 13
= 4,502857 ….
O valor deve ser arredondado a 4,5
Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
ESTUDO DAS MÉDIAS
EM.7.01.E
27) Determine a média aritmética ponderada dos
números 9, 15, 26 e 30, com pesos 1, 2, 3 e 4,
respectivamente.
𝑀𝐴 =
9.1 + 15.2 + 26.3 + 30.4
1 + 2 + 3 + 4
= 23,7
28) Uma clínica odontológica possui 5 dentistas.
As idades deles são 27, 29, 30, 38 e 46. Qual a
idade média dessa equipe?
Basta somar os 5 valores e dividir por 5,
encontaremos a idade média de 34.
30) Ache a media da idade da seguinte classe:
𝑀𝐴 =
10.2 + 11.4 + 12.6 + 13.4 + 14.4
2 + 4 + 6 + 4 + 4
=
20 + 44 + 72 + 52 + 56
20
=
244
20
= 12,2
31) (ENEM – adaptado) Um sistema de radar é
programado para registrar automaticamente a
velocidade de todos os veículos trafegando por
uma avendida, onde passam em média 300
veículos por hora, sendo 55 km/h a velocidade
máxima permitida. Um levantamento estatístico
dos registros do radar permitiu a elaboração da
distribuição percentual de veículos de acordo com
sua velocidade aproximada. Calcule a velocidade
média aproximada.
Resposta: 44 km/h
Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
ESTUDO DAS MÉDIAS
EM.7.01.F
32) Ache a média dos seguintes números
11 14 14 12 12 11 14 14 11 14
14 13 11 12 12 11 14 14 11 13
12 13 12 11 13 11 11 11 13 11
12 12 12 14 11 13 13 13 13 15
11 – são 12, 12 – são 9, 13 – são 9, 14 – são 9,
15 – é 1
𝑀𝐴 =
11.12 + 12.9 + 13.9 + 14.9 + 15.1
12 + 9 + 9 + 9 + 1
=
132 + 108 + 117 + 126 + 15
40
=
498
40
= 12,45
Resposta: Idade média de 12,45 anos
33) Ache a média dos números
15 15 13 13 12 15 13 13 12 13
14 13 15 13 13 12 15 14 15 14
14 14 15 15 15 15 15 14 15 13
13 13 14 15 14 14 15 14 12 15
Resposta: 13,9
São 40 valores, sendo 11 – são 4, 12 – são 11,
13 – são 10, 15 – são 15.
𝑀𝐴 =
11.4 + 12.11 + 13.10 + 15.15
40
= 13,9
34) Ache a média dos seguintes números
3 3 2 1 0 2 2 2 4 2
2 3 3 1 0 2 3 3 3 3
2 1 3 1 3 3 3 0 0 2
2 2 3 1 3 1 1 1 2 3
0 2 3 3 3 2 3 3 2 3
0 1 2 3 0 2 3 0 2 2
Resposta: 2
São 60 valores, sendo 8 número 0, 9 número 1,
19 número 2, 23 número 3 e 1 número 4.
𝑀𝐴 =
9.1 + 19,2 + 23.3 + 1.4
60
= 2
Note que não faz sentido incluir 8.0=0.
35) Construa um gráfico de barras
correspondente aos números e depois calcule a
média destes.
4 3 2 1 0 2 4 2 4 2
4 4 4 1 0 4 4 4 4 1
2 1 4 1 3 3 3 4 1 1
3 2 3 1 4 4 3 4 3 3
1 2 3 3 3 1 3 3 4 3
0 1 4 4 0 2 3 0 4 2
𝑀𝐴 =
1.11 + 2.9 + 3.16 + 4.19
60
= 2,55
Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
POTENCIAÇÃO
PT.7.01.A
1)Calcule e observe a seqüência
34
=81 33
=27 32
=9 31
=3 30
=1
3-1
=1/3 3-2
=1/9 3-3
=1/27 3-4
=1/81
2) Calcule e observe a sequência
24
=16 23
=8 22
=4 21
=2 20
=1
2-1
=1/2 2-2
=1/4 2-3
=1/8 2-4
=1/16
3)Calcule:
a) 2-1
=1/2 b) 2-5
=1/32 c) (-2)-2
=1/4
OBS: Note que o fato de -2 ser par faz com que o
sinal seja positivo.
d) 10-3
=1/100 e) 3-3
=1/27 f) (-3)-3
=-1/27
Já no caso de -3, como é ímpar, se mantém o
sinal.
g) (-2)-1
=1/2 h) (-2)-5
=1/32 i) -2-4
=-1/16
No caso de -2-4
o sinal não está elevado à -4,
apenas o 2 está.
Portanto, mantém-se o sinal
j) –(-4)-3
=-(-1/64)=1/64
k) –(-10)-1
=-(-1/10)=1/10
l) –(-7)-2
=-(1/7)=-1/7
4) Calcule
a) (
1
2
)
−1
=2 b) (
1
2
)
−2
=4 c) (−
1
3
)
−2
=9
d) (−
1
4
)
−1
=-4 e) (
2
3
)
−1
=3/2 f) (−
2
5
)
−2
=25/4
g) (−
5
3
)
−3
=-27/125 h) − (−
1
6
)
−1
=-(-6)=6
i) − (
1
3
)
−2
=-9 j) − (−
3
2
)
−3
=-(-8/27)=8/27
k) (1
2
3
)
−2
=(5/3)-2
=9/25
5) Calcule:
a) 0,2-1
=(1/5)-1
=5 b) 0,5-2
=(1/2)-2
=4
c) 1,2-1
=(6/5)-1
=5/6
0,2=2/10=1/5 0,5=5/10=1/2
1,2=12/10=6/5
d) 2,5-2
=(25/10)-2
=(5/2)-2
=4/25
e) 3,5-2
=(35/10)-2
=(7/2)-2
=4/49
f) 0,25-2
=(25/100)-2
=(1/4)-2
=16
g) (-0,2)-2
=(-1/5)-2
=25
h) (-2,5)-3
=(-25/10)-3
=(-5/2)-3
=-8/125 (Sinal
negativo!)
i) (-0,25)-2
=(-1/4)-2
=16
6) Resolva as expressões (no caderno):
a) 3-1
+2-1
Resposta: 5/6
1
3
+
1
2
=
3 + 2
6
=
5
6
b) 3-1
+2-2
+(-4)-1
Resposta: 5/6
1
3
+
1
4
+ (−
1
4
) =
1
3
GABARITO ERRADO
c) (9-1
+6-2
)-1
Resposta: 36/5
(
1
9
+
1
36
)
−1
= (
4 + 1
36
)
−1
= (
5
36
)
−1
=
36
5
d) (40
+4-1
):(40
-4-1
) Resposta: 5/3
(1 +
1
4
) : (1 −
1
4
) =
(
4 + 1
4
) : (
4 − 1
4
) =
(
5
4
) : (
3
4
) =
5
4
.
4
3
=
5
3
e) (-3)-1
+(-1)-3
Resposta: -4/3
(−
1
3
) + (−1) = −
1
3
− 1 = −
4
3
f) 2-4
-22
Resposta: -63/16
1
16
−
1
4
=
1 − 64
16
= −
63
16
g) (4-1
+2-3
)-1
Resposta: 8/3
(
1
4
+
1
8
)
−1
= (
2 + 1
8
)
−1
= (
3
8
)
−1
=
8
3
h) (6-2
.32
)-1
Resposta: 4
(
1
36
. 9)
−1
= (
1
4
)
−1
= 4
i) 20
+(-2)4
.4-2
-(-2)3
Resposta: 10
1 + 16 .
1
16
− (−8) = 1 + 1 + 8 = 10
j)
−22+(
1
3
)
−2
−24+(−3)2+40
Resposta: -5/6
−22
+ (
1
3
)
−2
−24 + (−3)2 + 40 =
−4 + 9
−16 + 9 + 1
=
5
−6
= −
5
6
Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
POTENCIAÇÃO
PT.7.01.B
1)Transforme em uma só potência (considere x e
a não nulos):
a) 79
.7-6
=79+(-6)
=715
b) 10-9
.10.105
=10-9+1+5
=10-3
c) 83
.8-6
=83+(-6)
=8-3
d) x3
x-5
x4
=x3+(-5)+4
=x2
e) a8
.a-8
.a-1
=a8+(-8)+(-1)
=a8-8-1
=a-1
2) Transforme em uma só potência (considere x e
a não nulos):
a) 64
:65
=64-5
=6-1
b) 27
:2-2
=27-(-2)
=29
c) 74
:7-1
=74-(-1)
=75
d)
10−3
10−5
= 10−3−(—5)
= 102
e)
𝑥6
𝑥−2
= 𝑥6−(−2)
= 𝑥8
f)
𝑎9
𝑎11
= 𝑎9−11
= 𝑎−2
3)Transforme numa só potência (considere x não
nulos):
a) (6-1
)4
=6-4
b) (5-1
)-3
=63
c) (106
)-2
=10-12
4) Transforme em um produto de potências:
a)(5.11)-2
=5-2
.11-2
b) (3.102
)-1
=3-1
.10-2
c) (2-4
.54
)2
=2-8
.58
5) Transforme em um quociente de potências:
a) (8:3)-2
=8-2
:3-2
b) (6-2
:5)-4
=68
:5-4
c) (7-2
:2-1
)-3
=76
:23
6) Simplifique (com todos valores diferentes de
zero) – no caderno:
a) ).(:)..( 6565
aaaaa = 𝑎12
: 𝑎11
= 𝑎
Quando eu não indico expoente, ele é 1, é
importante considerar isso.
b) 2425
).().( aaa = (a6
)2
.a8
=a12
.a8
=a20
c)   32254
).(. xxx =(x9
)2
.x6
=x18
.x6
=x24
d)
xx
xxx
.
..
6
24 =
𝑥7
𝑥7
= 𝑥0
e)
 232
3254
.
)..)(.(
xx
xxxxx
=
𝑥5.𝑥10
(𝑥5)2
=
𝑥15
𝑥10
= 𝑥5
f)    
53
24524
)( aa
aaa =
𝑎8 𝑎5 𝑎8
(𝑎4)5
=
𝑎21
𝑎20
= 𝑎1
= 𝑎
12) Escreva como uma única potência (caderno):
a)
256.47
86
=
(28).(22)7
(23)6
=
28.214
218
=
222
218
= 24
Substitua 256=28
, 4=22
e 8=23
.
b)
3−6,276
2433
=
3−6.(33)6
(35)3
=
3−6,318
315
=
312
315
= 3−3
Substitua 27=33
e 243=35
13) Escreva como uma única potência (caderno):
a) 0,00001:(100-2
)3
=10-5
:((102
)-2
)3
=10-5
:10-12
=107
b)
0,00001−2.100003
(0,13.102)4
=
(10−5)
−2
.(104)3
((10−1)3102)4
=
1010.1012
(10−3102)4
=
1022
(10−1)4
=
1022
10−4
= 1026
14) Escreva como uma única potência:
54
29
81.27
9.3


39
. (32)−2
(33)4(34)−5
=
39
. 3−4
312. 3−20
=
35
3−8
= 313
15) Simplifique  
 334
523
ba
ba .
𝑎15 𝑏10
𝑎12 𝑏9
= 𝑎3
𝑏
16) Escreva como única potência:
  32311
625255

 (511
. (52)−3
. (54)−2)−3
=
(511
. 5−6
. 5−8)−3
= (5−3)−3
= 59
17) Simplifique
 
  423
252
.
.


ba
ba
.
𝑎−4 𝑏−10
𝑎12 𝑏−8
=
𝑎−4−12
𝑏−10−(−8)
= 𝑎−16
𝑏−2
Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
POTENCIAÇÃO
PT.7.01.C
1) Resolva as expressões no caderno
a) 2−1
+ 3−1
1
2
+
1
3
=
3
6
+
2
6
=
5
6
b) (−3)2
. (−2 + 2−1)−1
9. (−2 +
1
2
)
−1
= 9. (−
4
2
+
1
2
)
−1
= 9. (
3
2
)
−1
= 9.
2
3
= 6
c) (3 − 5)2(−2 − 1)3
+ (
1
2
)
−2
(−2)2(−3)3
+ 4 = 4. (−27) + 4 = −108 + 4
= −104
d)
2−1+2−2
2−3
=
1
2
+
1
4
1
8
=
2
4
+
1
4
1
8
=
3
4
1
8
=
3
4
. 8 = 6
2)Lembre que 0,25=1/4 e calcule (0,25)-3
rapidamente. (1/4)-3
=64
3) Se 0,142857142857...=1/7, calcule
(0,142857....)-2
. (1/7)-2
=49
4)Se 𝐴 = (−
1
3
)
−2
, B=
2−1
5−1
, C=2-1
.5-2
, ache A+B+C
𝐴 = 9 𝐵 =
1
2
1
5
=
5
2
C=
1
2
.
1
25
=
1
50
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 9 +
5
2
+
1
50
=
450
50
+
125
50
+
1
50
=
576
50
=
288
25
a) 220
=1048576 b) 210
=1024
c) 28
=256 d) 29
=512
e) 221
=2097152
A letra B está incorreta: deveria ser 6561 x 27
a) 36
x32
=38
=6561 b) 38
x33
=313
=177147
c) 34
x35
=39
=19683 d) 310
:38
=32
=9
e) 311
:37
=34
=81 f) (33
)3
=39
=19683
g) (34
)2
=38
=6561 h) (35
)2
=59049
Vamos fazer a tabela:
52
=25 53
=125 54
=625 55
=3125
56
=15625 (Já bastam)
a) 55
.54
=59
b) 58
:53
=55
=3125
c) (52
)5
=510
𝑎 = 1 −
1
4
=
4
4
−
1
4
=
3
4
𝑏 = (1 −
1
2
)
−1
= (
1
2
)
−1
= 2
𝑐 = 1 − 3 = −2
a) (
3
4
)
2
=
9
16
b) (2 −
3
4
)
−2
= (
8
4
−
3
4
)
−2
= (
5
4
)
−2
=
16
25
c) (
3
4
.2
−2
)
−2
= (
3
2
−2
)
−2
= (
3
−4
)
−2
=
16
9
Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
RADICIAÇÃO
RD.7.01.A
Vamos relembrar algumas potências:
23
=8 33
=27 43
=64 53
=125 63
=216
73
=343 83
=512 93
=729 103
=1000113
=1331
24
=16 34
=81 44
=256 54
=625 25
=32
35
=243 45
=1024 55
=3125
1)Calcule:
√27
3
=3 √81
4
=3 √64
3
= 4 √125
3
=5
√16
4
=2 √32
5
=2 √512
9
=2
2) Calcule:
a) 33
278  =2+3=5 b) 53
32.125 =5.2=10
c) 43
16216  =6-2=4 d) 9814
 =3:3=1
e) 3
27125 =125+3=128
3) Sei que 210
=1024, calcule 10
1024=2.
4) Calcule:
a) 81 =3 b)
4
81=3
c) 16 =2 d)
4
16 =2
e) 256 =4 f)
4
256 =4
g) 256 =2 h)
8
256 =2
Aqui podemos concluir que a raiz quarta equivale
a raiz quadrada da raiz quadrada ou seja:
√
4
= √√
A raiz oitava é a raiz quadrada da raiz quadrada
da raiz quadrada
√
8
= √√√
5) Calcule
4
625Pode ser calculado tirando-
se a raiz quadrada da raiz quadrada, que resulta
em 5.
6) Calcule:
a)
3
27 =-3 b)
3
27 =3
c)
4
16 =2 d)
4
16 =não tem raiz
e) 36 =não há f) =6
g) =2 h)
5
32 =-2
7) Ache o valor de x:
a) x2
=16 b) x2
=49
x=4 ou x=-4 Não existe x
c) x2
=-1 d) x3
=-27
Não existe x x=-3
e) x3
=8 f) x3
=-1
x=2 x=-1
g) x4
=16 h) x4
=-16
x=2 ou x=-2 Não existe x
8) Calcule 2-1
+
3
8 .
1
2
+ 2 =
1
2
+
4
2
=
5
2
9) Calcule efetuando todas operações (não usar
propriedades):
a)  3
3
8 =23
= 8 b)
3 3
8 =√512
3
= 8
c)  4
4
1 =14
= 1 d)
4 4
1 √1
4
= 1
e)  2
9 =32
=9 f)
2
9 = √81 = 9
O objetivo aqui é concluir que potências e raízes
se cancelam.
Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
RADICIAÇÃO
RD.7.01.B
10) Calcule:
a) 6
0 =0 b) 3
27
8 =-2/3
11) Resolva no caderno:
a) 121495  Resposta: 24
5.7 − 11 = 35 − 11 = 24
b)
9
1
3
25
4

Resposta:7/2
2
5
+ 3
1
3
=
2
5
+ 1 =
7
5
GABARITO ERRADO
c) 3 322
27.35  Resposta: -4
√25 − 9. √7 − 8
3
√16. √−1
3
= 4. (−1) = −4
d)
33 001,0
27
8

Resposta: 23/30
2
3
− (−0,1) =
2
3
+
1
10
=
20
30
+
3
30
=
23
30
12) Calcule:
a)
3
8000 =20 b)
4
160000=20
c)
3
8000 =-20 d)
4
160000 =N/E
e)
5
100000=10 f)
3
27000 =-30
g)
3
1000000000=100
h) 0,0000646 =0,2
13) Se a=
3
8000e b=1-22
, ache o valor de
2
10

 b
a
a=20 b=1-4=-3
20
10
− (−3)−2
= 2 −
1
9
=
18
9
−
1
9
=
17
9
Resposta: 17/9
14) Ache a metade da
3
64000000
√400 = 20 A metade é 10
15) QUESTÃO REPETIDA PT.7.1.A, o item J da
questão 6
Resposta: 6
16) (LONDRINA – Adapt.) Dados os números
.
a) Quanto é √𝑧?
b) Quanto é xy-z
?
𝑥 =
2/3
1/3
= 2
𝑦 =
2/3
3/2
= 4/9
𝑧 =
2/3
3
1/2
=
2/9
1/2
= 4/9
𝑎) √
4
9
=
2
3
b) 20
= 1
36
5
32
x 
 
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
3
2
1
3
1
3
3
1
2
, ,y = z =
GABARITOS 2 BIM

Contenu connexe

Tendances

Gincana matemática 9º ano SAEPE
Gincana matemática 9º ano SAEPEGincana matemática 9º ano SAEPE
Gincana matemática 9º ano SAEPEDanúbia Rodrigues
 
Atividades produtos notáveis
Atividades produtos notáveisAtividades produtos notáveis
Atividades produtos notáveisAlessandra Dias
 
Lista (5) de exercícios adição e subtração 2 parte (gabaritada)
Lista (5) de exercícios adição e subtração 2 parte (gabaritada)Lista (5) de exercícios adição e subtração 2 parte (gabaritada)
Lista (5) de exercícios adição e subtração 2 parte (gabaritada)Olicio Silva
 
Gincana Ângulos e Retas 8º ano (Professor Dimas)
Gincana Ângulos e Retas 8º ano (Professor Dimas) Gincana Ângulos e Retas 8º ano (Professor Dimas)
Gincana Ângulos e Retas 8º ano (Professor Dimas) Edimar Santos
 
Lista de exercícios extra campos numéricos (1)
Lista de exercícios extra campos numéricos (1)Lista de exercícios extra campos numéricos (1)
Lista de exercícios extra campos numéricos (1)Jcraujonunes
 
Ângulos Adjacentes, Complementares e Suplementares, O.P.V., Bissetriz (Exercí...
Ângulos Adjacentes, Complementares e Suplementares, O.P.V., Bissetriz (Exercí...Ângulos Adjacentes, Complementares e Suplementares, O.P.V., Bissetriz (Exercí...
Ângulos Adjacentes, Complementares e Suplementares, O.P.V., Bissetriz (Exercí...Secretaria de Estado de Educação do Pará
 
Números inteiros relativos multiplicação e divisão
Números inteiros relativos multiplicação e divisãoNúmeros inteiros relativos multiplicação e divisão
Números inteiros relativos multiplicação e divisãoPatriciaLavos
 
Brincando e Aprendendo com a Matemática Equação
Brincando e Aprendendo com a Matemática EquaçãoBrincando e Aprendendo com a Matemática Equação
Brincando e Aprendendo com a Matemática Equaçãoivanetelimaseixas
 
Atividade - Prova Brasil (9º ano)
Atividade  -  Prova Brasil (9º ano)Atividade  -  Prova Brasil (9º ano)
Atividade - Prova Brasil (9º ano)Ilton Bruno
 
Lista 03 1º ano logarítmos
Lista 03 1º ano   logarítmosLista 03 1º ano   logarítmos
Lista 03 1º ano logarítmosHélio Rocha
 
Microsoft word exercicio matemática com gabarito equações do 2º grau
Microsoft word   exercicio matemática com  gabarito equações do 2º grauMicrosoft word   exercicio matemática com  gabarito equações do 2º grau
Microsoft word exercicio matemática com gabarito equações do 2º grauBetão Betão
 
Lista de exercícios – relação fundamental da divisão
Lista de exercícios  – relação fundamental da divisãoLista de exercícios  – relação fundamental da divisão
Lista de exercícios – relação fundamental da divisãoEverton Moraes
 
Exercicio De ProporçãO Com Gabarito
Exercicio De ProporçãO Com GabaritoExercicio De ProporçãO Com Gabarito
Exercicio De ProporçãO Com Gabaritoguesta4929b
 
Atividade de matemática plano cartesiano
Atividade de matemática   plano cartesianoAtividade de matemática   plano cartesiano
Atividade de matemática plano cartesianoDanyGoncalves
 
Equação 1° grau
Equação 1° grauEquação 1° grau
Equação 1° grau190384221087
 
Exercícios de matemática monitoria 9ano cópia
Exercícios de matemática monitoria 9ano   cópiaExercícios de matemática monitoria 9ano   cópia
Exercícios de matemática monitoria 9ano cópiaAdriano Capilupe
 
Lista de exercícios 1 – equação do 2° grau
Lista de exercícios 1 – equação do 2° grauLista de exercícios 1 – equação do 2° grau
Lista de exercícios 1 – equação do 2° grauEverton Moraes
 

Tendances (20)

Jogos com palitos
Jogos com palitos Jogos com palitos
Jogos com palitos
 
Mat 2 matutino 8º ano
Mat 2 matutino 8º anoMat 2 matutino 8º ano
Mat 2 matutino 8º ano
 
Gincana matemática 9º ano SAEPE
Gincana matemática 9º ano SAEPEGincana matemática 9º ano SAEPE
Gincana matemática 9º ano SAEPE
 
Atividades produtos notáveis
Atividades produtos notáveisAtividades produtos notáveis
Atividades produtos notáveis
 
Lista (5) de exercícios adição e subtração 2 parte (gabaritada)
Lista (5) de exercícios adição e subtração 2 parte (gabaritada)Lista (5) de exercícios adição e subtração 2 parte (gabaritada)
Lista (5) de exercícios adição e subtração 2 parte (gabaritada)
 
Gincana Ângulos e Retas 8º ano (Professor Dimas)
Gincana Ângulos e Retas 8º ano (Professor Dimas) Gincana Ângulos e Retas 8º ano (Professor Dimas)
Gincana Ângulos e Retas 8º ano (Professor Dimas)
 
Lista de exercícios extra campos numéricos (1)
Lista de exercícios extra campos numéricos (1)Lista de exercícios extra campos numéricos (1)
Lista de exercícios extra campos numéricos (1)
 
Ângulos Adjacentes, Complementares e Suplementares, O.P.V., Bissetriz (Exercí...
Ângulos Adjacentes, Complementares e Suplementares, O.P.V., Bissetriz (Exercí...Ângulos Adjacentes, Complementares e Suplementares, O.P.V., Bissetriz (Exercí...
Ângulos Adjacentes, Complementares e Suplementares, O.P.V., Bissetriz (Exercí...
 
Números inteiros relativos multiplicação e divisão
Números inteiros relativos multiplicação e divisãoNúmeros inteiros relativos multiplicação e divisão
Números inteiros relativos multiplicação e divisão
 
Brincando e Aprendendo com a Matemática Equação
Brincando e Aprendendo com a Matemática EquaçãoBrincando e Aprendendo com a Matemática Equação
Brincando e Aprendendo com a Matemática Equação
 
Atividade - Prova Brasil (9º ano)
Atividade  -  Prova Brasil (9º ano)Atividade  -  Prova Brasil (9º ano)
Atividade - Prova Brasil (9º ano)
 
Lista 03 1º ano logarítmos
Lista 03 1º ano   logarítmosLista 03 1º ano   logarítmos
Lista 03 1º ano logarítmos
 
Microsoft word exercicio matemática com gabarito equações do 2º grau
Microsoft word   exercicio matemática com  gabarito equações do 2º grauMicrosoft word   exercicio matemática com  gabarito equações do 2º grau
Microsoft word exercicio matemática com gabarito equações do 2º grau
 
7° ano
7° ano7° ano
7° ano
 
Lista de exercícios – relação fundamental da divisão
Lista de exercícios  – relação fundamental da divisãoLista de exercícios  – relação fundamental da divisão
Lista de exercícios – relação fundamental da divisão
 
Exercicio De ProporçãO Com Gabarito
Exercicio De ProporçãO Com GabaritoExercicio De ProporçãO Com Gabarito
Exercicio De ProporçãO Com Gabarito
 
Atividade de matemática plano cartesiano
Atividade de matemática   plano cartesianoAtividade de matemática   plano cartesiano
Atividade de matemática plano cartesiano
 
Equação 1° grau
Equação 1° grauEquação 1° grau
Equação 1° grau
 
Exercícios de matemática monitoria 9ano cópia
Exercícios de matemática monitoria 9ano   cópiaExercícios de matemática monitoria 9ano   cópia
Exercícios de matemática monitoria 9ano cópia
 
Lista de exercícios 1 – equação do 2° grau
Lista de exercícios 1 – equação do 2° grauLista de exercícios 1 – equação do 2° grau
Lista de exercícios 1 – equação do 2° grau
 

En vedette

1ª lista de exercícios 9º ano(potências)ilton bruno
1ª lista de exercícios 9º ano(potências)ilton bruno1ª lista de exercícios 9º ano(potências)ilton bruno
1ª lista de exercícios 9º ano(potências)ilton brunoIlton Bruno
 
Exercicios resolv estatistica
Exercicios resolv estatisticaExercicios resolv estatistica
Exercicios resolv estatisticaJosi2010
 
Perguntas para o ensino fundamental maior
Perguntas para o ensino fundamental maiorPerguntas para o ensino fundamental maior
Perguntas para o ensino fundamental maiorFábio Brito
 
Análise combinatória 2016
Análise combinatória 2016Análise combinatória 2016
Análise combinatória 2016ProfessoraIve
 
1ª Lista de Matematica 9º ano SESC ESCOLA
1ª Lista de Matematica 9º ano SESC ESCOLA1ª Lista de Matematica 9º ano SESC ESCOLA
1ª Lista de Matematica 9º ano SESC ESCOLASENAI/FATEC - MT
 
Lista de Exercícios 2 – Semelhança
Lista de Exercícios 2 – SemelhançaLista de Exercícios 2 – Semelhança
Lista de Exercícios 2 – SemelhançaEverton Moraes
 
Potencia com base negativa
Potencia com base negativaPotencia com base negativa
Potencia com base negativabetontem
 
Probabilidade resolvidos
Probabilidade resolvidosProbabilidade resolvidos
Probabilidade resolvidosresolvidos
 
Principio Fundamental Da Contagem
Principio Fundamental Da ContagemPrincipio Fundamental Da Contagem
Principio Fundamental Da Contagemteodepaula
 
5ª lista de exercícios complementares de matemática professora michelle - 8...
5ª lista de exercícios complementares de matemática   professora michelle - 8...5ª lista de exercícios complementares de matemática   professora michelle - 8...
5ª lista de exercícios complementares de matemática professora michelle - 8...Elizandra Freitas Moraes Borges
 
Resolução comentada matemática 002
Resolução comentada matemática  002Resolução comentada matemática  002
Resolução comentada matemática 002comentada
 
340 questões de raciocínio lógico
340 questões de raciocínio lógico340 questões de raciocínio lógico
340 questões de raciocínio lógicoMARIOJR2013
 
Lista de exercício com propriedades de radicais
Lista de exercício com propriedades de radicaisLista de exercício com propriedades de radicais
Lista de exercício com propriedades de radicaisalunosderoberto
 
Mat 140 questoes resolvidas vol i
Mat 140 questoes resolvidas vol iMat 140 questoes resolvidas vol i
Mat 140 questoes resolvidas vol itrigono_metrico
 
Matematica questões resolvidas i
Matematica questões resolvidas iMatematica questões resolvidas i
Matematica questões resolvidas icon_seguir
 
Ap exercicios matematica respostas 001
Ap exercicios matematica respostas  001Ap exercicios matematica respostas  001
Ap exercicios matematica respostas 001trigono_metrico
 

En vedette (20)

Matemática – radiciação propriedades 01 – 2013
Matemática – radiciação propriedades 01 – 2013Matemática – radiciação propriedades 01 – 2013
Matemática – radiciação propriedades 01 – 2013
 
Exerc potenciaçao
Exerc potenciaçaoExerc potenciaçao
Exerc potenciaçao
 
Potenciação
PotenciaçãoPotenciação
Potenciação
 
1ª lista de exercícios 9º ano(potências)ilton bruno
1ª lista de exercícios 9º ano(potências)ilton bruno1ª lista de exercícios 9º ano(potências)ilton bruno
1ª lista de exercícios 9º ano(potências)ilton bruno
 
Exercicios resolv estatistica
Exercicios resolv estatisticaExercicios resolv estatistica
Exercicios resolv estatistica
 
Perguntas para o ensino fundamental maior
Perguntas para o ensino fundamental maiorPerguntas para o ensino fundamental maior
Perguntas para o ensino fundamental maior
 
Análise combinatória 2016
Análise combinatória 2016Análise combinatória 2016
Análise combinatória 2016
 
1ª Lista de Matematica 9º ano SESC ESCOLA
1ª Lista de Matematica 9º ano SESC ESCOLA1ª Lista de Matematica 9º ano SESC ESCOLA
1ª Lista de Matematica 9º ano SESC ESCOLA
 
Lista de Exercícios 2 – Semelhança
Lista de Exercícios 2 – SemelhançaLista de Exercícios 2 – Semelhança
Lista de Exercícios 2 – Semelhança
 
Potencia com base negativa
Potencia com base negativaPotencia com base negativa
Potencia com base negativa
 
Probabilidade resolvidos
Probabilidade resolvidosProbabilidade resolvidos
Probabilidade resolvidos
 
Principio Fundamental Da Contagem
Principio Fundamental Da ContagemPrincipio Fundamental Da Contagem
Principio Fundamental Da Contagem
 
Probabilidade
ProbabilidadeProbabilidade
Probabilidade
 
5ª lista de exercícios complementares de matemática professora michelle - 8...
5ª lista de exercícios complementares de matemática   professora michelle - 8...5ª lista de exercícios complementares de matemática   professora michelle - 8...
5ª lista de exercícios complementares de matemática professora michelle - 8...
 
Resolução comentada matemática 002
Resolução comentada matemática  002Resolução comentada matemática  002
Resolução comentada matemática 002
 
340 questões de raciocínio lógico
340 questões de raciocínio lógico340 questões de raciocínio lógico
340 questões de raciocínio lógico
 
Lista de exercício com propriedades de radicais
Lista de exercício com propriedades de radicaisLista de exercício com propriedades de radicais
Lista de exercício com propriedades de radicais
 
Mat 140 questoes resolvidas vol i
Mat 140 questoes resolvidas vol iMat 140 questoes resolvidas vol i
Mat 140 questoes resolvidas vol i
 
Matematica questões resolvidas i
Matematica questões resolvidas iMatematica questões resolvidas i
Matematica questões resolvidas i
 
Ap exercicios matematica respostas 001
Ap exercicios matematica respostas  001Ap exercicios matematica respostas  001
Ap exercicios matematica respostas 001
 

Similaire à GABARITOS 2 BIM

GABProbabilidades2014 (2).doc
GABProbabilidades2014 (2).docGABProbabilidades2014 (2).doc
GABProbabilidades2014 (2).docSamuca Love
 
Módulo 7 atividade eletiva - aula expositiva multimídia
Módulo 7   atividade eletiva - aula expositiva multimídiaMódulo 7   atividade eletiva - aula expositiva multimídia
Módulo 7 atividade eletiva - aula expositiva multimídiaricardoeval
 
Exercícios resolvidos e propostos de probabilidades
Exercícios resolvidos e propostos de probabilidadesExercícios resolvidos e propostos de probabilidades
Exercícios resolvidos e propostos de probabilidadesjosivaldopassos
 
Módulo 7 atividade eletiva - aula expositiva multimídia
Módulo 7   atividade eletiva - aula expositiva multimídiaMódulo 7   atividade eletiva - aula expositiva multimídia
Módulo 7 atividade eletiva - aula expositiva multimídiaricardoeval
 
Módulo 7 atividade eletiva - aula expositiva multimídia
Módulo 7   atividade eletiva - aula expositiva multimídiaMódulo 7   atividade eletiva - aula expositiva multimídia
Módulo 7 atividade eletiva - aula expositiva multimídiaricardoeval
 
Módulo 7 atividade eletiva - aula expositiva multimídia
Módulo 7   atividade eletiva - aula expositiva multimídiaMódulo 7   atividade eletiva - aula expositiva multimídia
Módulo 7 atividade eletiva - aula expositiva multimídiaricardoeval
 
Lista de estatística ii
Lista de estatística iiLista de estatística ii
Lista de estatística iiEdilson Silva
 
Lista de estatística ii
Lista de estatística iiLista de estatística ii
Lista de estatística iiErika Silva
 
Exercicios probabilidade
Exercicios probabilidadeExercicios probabilidade
Exercicios probabilidadecon_seguir
 
Probabilidade Exercícios
Probabilidade Exercícios Probabilidade Exercícios
Probabilidade Exercícios Willian Sérgio
 
Probabilidade 1a Aula
Probabilidade   1a AulaProbabilidade   1a Aula
Probabilidade 1a AulaJuarez Reis
 
Probabilidade 1a Aula
Probabilidade   1a AulaProbabilidade   1a Aula
Probabilidade 1a Aulajuarezreis
 

Similaire à GABARITOS 2 BIM (20)

GABProbabilidades2014 (2).doc
GABProbabilidades2014 (2).docGABProbabilidades2014 (2).doc
GABProbabilidades2014 (2).doc
 
Combinatoria
CombinatoriaCombinatoria
Combinatoria
 
Módulo 7 atividade eletiva - aula expositiva multimídia
Módulo 7   atividade eletiva - aula expositiva multimídiaMódulo 7   atividade eletiva - aula expositiva multimídia
Módulo 7 atividade eletiva - aula expositiva multimídia
 
Exercícios resolvidos e propostos de probabilidades
Exercícios resolvidos e propostos de probabilidadesExercícios resolvidos e propostos de probabilidades
Exercícios resolvidos e propostos de probabilidades
 
Módulo 7 atividade eletiva - aula expositiva multimídia
Módulo 7   atividade eletiva - aula expositiva multimídiaMódulo 7   atividade eletiva - aula expositiva multimídia
Módulo 7 atividade eletiva - aula expositiva multimídia
 
Módulo 7 atividade eletiva - aula expositiva multimídia
Módulo 7   atividade eletiva - aula expositiva multimídiaMódulo 7   atividade eletiva - aula expositiva multimídia
Módulo 7 atividade eletiva - aula expositiva multimídia
 
Módulo 7 atividade eletiva - aula expositiva multimídia
Módulo 7   atividade eletiva - aula expositiva multimídiaMódulo 7   atividade eletiva - aula expositiva multimídia
Módulo 7 atividade eletiva - aula expositiva multimídia
 
Contagem
ContagemContagem
Contagem
 
Lista de estatística ii
Lista de estatística iiLista de estatística ii
Lista de estatística ii
 
Lista de estatística ii
Lista de estatística iiLista de estatística ii
Lista de estatística ii
 
L9 - PROBABILIDADES.pdf
L9 - PROBABILIDADES.pdfL9 - PROBABILIDADES.pdf
L9 - PROBABILIDADES.pdf
 
Fichanc2ba3
Fichanc2ba3Fichanc2ba3
Fichanc2ba3
 
Exercicios probabilidade
Exercicios probabilidadeExercicios probabilidade
Exercicios probabilidade
 
Probabilidade-2018.pptx
Probabilidade-2018.pptxProbabilidade-2018.pptx
Probabilidade-2018.pptx
 
Probabilidade Exercícios
Probabilidade Exercícios Probabilidade Exercícios
Probabilidade Exercícios
 
Como calcular probabilidades
Como calcular probabilidadesComo calcular probabilidades
Como calcular probabilidades
 
Probabilidade alfredo neves
Probabilidade alfredo nevesProbabilidade alfredo neves
Probabilidade alfredo neves
 
Exercicios problems
Exercicios problemsExercicios problems
Exercicios problems
 
Probabilidade 1a Aula
Probabilidade   1a AulaProbabilidade   1a Aula
Probabilidade 1a Aula
 
Probabilidade 1a Aula
Probabilidade   1a AulaProbabilidade   1a Aula
Probabilidade 1a Aula
 

Plus de Otávio Sales

Apostila do módulo b5 22032020
Apostila do módulo b5   22032020Apostila do módulo b5   22032020
Apostila do módulo b5 22032020Otávio Sales
 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - REVISÃO DAS AULAS 1, 2, 3
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - REVISÃO DAS AULAS 1, 2, 3ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - REVISÃO DAS AULAS 1, 2, 3
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - REVISÃO DAS AULAS 1, 2, 3Otávio Sales
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA - AULA DE REVISÃO 1, 2, 3
MATEMÁTICA FINANCEIRA - AULA DE REVISÃO 1, 2, 3MATEMÁTICA FINANCEIRA - AULA DE REVISÃO 1, 2, 3
MATEMÁTICA FINANCEIRA - AULA DE REVISÃO 1, 2, 3Otávio Sales
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA - AULA 3 - TAXAS
MATEMÁTICA FINANCEIRA - AULA 3 - TAXASMATEMÁTICA FINANCEIRA - AULA 3 - TAXAS
MATEMÁTICA FINANCEIRA - AULA 3 - TAXASOtávio Sales
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA - AULA 2 - JUROS COMPOSTOS
MATEMÁTICA FINANCEIRA - AULA 2 - JUROS COMPOSTOSMATEMÁTICA FINANCEIRA - AULA 2 - JUROS COMPOSTOS
MATEMÁTICA FINANCEIRA - AULA 2 - JUROS COMPOSTOSOtávio Sales
 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - AULA 1
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - AULA 1ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - AULA 1
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - AULA 1Otávio Sales
 
AULA 1 - MATEMÁTICA FINANCEIRA
AULA 1 - MATEMÁTICA FINANCEIRAAULA 1 - MATEMÁTICA FINANCEIRA
AULA 1 - MATEMÁTICA FINANCEIRAOtávio Sales
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA - AULA 1
ESTATÍSTICA DESCRITIVA - AULA 1ESTATÍSTICA DESCRITIVA - AULA 1
ESTATÍSTICA DESCRITIVA - AULA 1Otávio Sales
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA - AULA 2
ESTATÍSTICA DESCRITIVA - AULA 2ESTATÍSTICA DESCRITIVA - AULA 2
ESTATÍSTICA DESCRITIVA - AULA 2Otávio Sales
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA - AULA 3
ESTATÍSTICA DESCRITIVA - AULA 3ESTATÍSTICA DESCRITIVA - AULA 3
ESTATÍSTICA DESCRITIVA - AULA 3Otávio Sales
 
Puzzles Japoneses - Aula 1
Puzzles Japoneses - Aula 1Puzzles Japoneses - Aula 1
Puzzles Japoneses - Aula 1Otávio Sales
 
Puzzles Japoneses - Aula 2
Puzzles Japoneses - Aula 2Puzzles Japoneses - Aula 2
Puzzles Japoneses - Aula 2Otávio Sales
 
Apostila do módulo b5 textual - corrigido e ampliado - 22032020 (1)
Apostila do módulo b5   textual - corrigido e ampliado - 22032020 (1)Apostila do módulo b5   textual - corrigido e ampliado - 22032020 (1)
Apostila do módulo b5 textual - corrigido e ampliado - 22032020 (1)Otávio Sales
 
181 questoes omu 2009 a 2018 - ENSINO FUNDAMENTAL
181 questoes omu   2009 a 2018 - ENSINO FUNDAMENTAL181 questoes omu   2009 a 2018 - ENSINO FUNDAMENTAL
181 questoes omu 2009 a 2018 - ENSINO FUNDAMENTALOtávio Sales
 
Apostila verao 19 passos 1
Apostila verao 19 passos 1Apostila verao 19 passos 1
Apostila verao 19 passos 1Otávio Sales
 
Apostila b9 - reduzida
Apostila   b9 - reduzidaApostila   b9 - reduzida
Apostila b9 - reduzidaOtávio Sales
 
14 qa introducao aos poliedros - aula 2
14 qa   introducao aos poliedros - aula 214 qa   introducao aos poliedros - aula 2
14 qa introducao aos poliedros - aula 2Otávio Sales
 
14 qa introducao aos poliedros - aula 1
14 qa   introducao aos poliedros - aula 114 qa   introducao aos poliedros - aula 1
14 qa introducao aos poliedros - aula 1Otávio Sales
 
13 qa teoria matematica das eleicoes - aula 2 - versao 17052020
13 qa   teoria matematica das eleicoes - aula 2 - versao 1705202013 qa   teoria matematica das eleicoes - aula 2 - versao 17052020
13 qa teoria matematica das eleicoes - aula 2 - versao 17052020Otávio Sales
 
13 qa teoria matematica das eleicoes - aula 1
13 qa   teoria matematica das eleicoes - aula 113 qa   teoria matematica das eleicoes - aula 1
13 qa teoria matematica das eleicoes - aula 1Otávio Sales
 

Plus de Otávio Sales (20)

Apostila do módulo b5 22032020
Apostila do módulo b5   22032020Apostila do módulo b5   22032020
Apostila do módulo b5 22032020
 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - REVISÃO DAS AULAS 1, 2, 3
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - REVISÃO DAS AULAS 1, 2, 3ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - REVISÃO DAS AULAS 1, 2, 3
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - REVISÃO DAS AULAS 1, 2, 3
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA - AULA DE REVISÃO 1, 2, 3
MATEMÁTICA FINANCEIRA - AULA DE REVISÃO 1, 2, 3MATEMÁTICA FINANCEIRA - AULA DE REVISÃO 1, 2, 3
MATEMÁTICA FINANCEIRA - AULA DE REVISÃO 1, 2, 3
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA - AULA 3 - TAXAS
MATEMÁTICA FINANCEIRA - AULA 3 - TAXASMATEMÁTICA FINANCEIRA - AULA 3 - TAXAS
MATEMÁTICA FINANCEIRA - AULA 3 - TAXAS
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA - AULA 2 - JUROS COMPOSTOS
MATEMÁTICA FINANCEIRA - AULA 2 - JUROS COMPOSTOSMATEMÁTICA FINANCEIRA - AULA 2 - JUROS COMPOSTOS
MATEMÁTICA FINANCEIRA - AULA 2 - JUROS COMPOSTOS
 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - AULA 1
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - AULA 1ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - AULA 1
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - AULA 1
 
AULA 1 - MATEMÁTICA FINANCEIRA
AULA 1 - MATEMÁTICA FINANCEIRAAULA 1 - MATEMÁTICA FINANCEIRA
AULA 1 - MATEMÁTICA FINANCEIRA
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA - AULA 1
ESTATÍSTICA DESCRITIVA - AULA 1ESTATÍSTICA DESCRITIVA - AULA 1
ESTATÍSTICA DESCRITIVA - AULA 1
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA - AULA 2
ESTATÍSTICA DESCRITIVA - AULA 2ESTATÍSTICA DESCRITIVA - AULA 2
ESTATÍSTICA DESCRITIVA - AULA 2
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA - AULA 3
ESTATÍSTICA DESCRITIVA - AULA 3ESTATÍSTICA DESCRITIVA - AULA 3
ESTATÍSTICA DESCRITIVA - AULA 3
 
Puzzles Japoneses - Aula 1
Puzzles Japoneses - Aula 1Puzzles Japoneses - Aula 1
Puzzles Japoneses - Aula 1
 
Puzzles Japoneses - Aula 2
Puzzles Japoneses - Aula 2Puzzles Japoneses - Aula 2
Puzzles Japoneses - Aula 2
 
Apostila do módulo b5 textual - corrigido e ampliado - 22032020 (1)
Apostila do módulo b5   textual - corrigido e ampliado - 22032020 (1)Apostila do módulo b5   textual - corrigido e ampliado - 22032020 (1)
Apostila do módulo b5 textual - corrigido e ampliado - 22032020 (1)
 
181 questoes omu 2009 a 2018 - ENSINO FUNDAMENTAL
181 questoes omu   2009 a 2018 - ENSINO FUNDAMENTAL181 questoes omu   2009 a 2018 - ENSINO FUNDAMENTAL
181 questoes omu 2009 a 2018 - ENSINO FUNDAMENTAL
 
Apostila verao 19 passos 1
Apostila verao 19 passos 1Apostila verao 19 passos 1
Apostila verao 19 passos 1
 
Apostila b9 - reduzida
Apostila   b9 - reduzidaApostila   b9 - reduzida
Apostila b9 - reduzida
 
14 qa introducao aos poliedros - aula 2
14 qa   introducao aos poliedros - aula 214 qa   introducao aos poliedros - aula 2
14 qa introducao aos poliedros - aula 2
 
14 qa introducao aos poliedros - aula 1
14 qa   introducao aos poliedros - aula 114 qa   introducao aos poliedros - aula 1
14 qa introducao aos poliedros - aula 1
 
13 qa teoria matematica das eleicoes - aula 2 - versao 17052020
13 qa   teoria matematica das eleicoes - aula 2 - versao 1705202013 qa   teoria matematica das eleicoes - aula 2 - versao 17052020
13 qa teoria matematica das eleicoes - aula 2 - versao 17052020
 
13 qa teoria matematica das eleicoes - aula 1
13 qa   teoria matematica das eleicoes - aula 113 qa   teoria matematica das eleicoes - aula 1
13 qa teoria matematica das eleicoes - aula 1
 

Dernier

aula 1.pptx Ementa e Plano de ensino Filosofia
aula 1.pptx Ementa e  Plano de ensino Filosofiaaula 1.pptx Ementa e  Plano de ensino Filosofia
aula 1.pptx Ementa e Plano de ensino FilosofiaLucliaResende1
 
Ressonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptx
Ressonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptxRessonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptx
Ressonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptxPatriciaFarias81
 
Atividade de matemática para simulado de 2024
Atividade de matemática para simulado de 2024Atividade de matemática para simulado de 2024
Atividade de matemática para simulado de 2024gilmaraoliveira0612
 
Apresentação sobrea dengue educação.pptx
Apresentação sobrea dengue educação.pptxApresentação sobrea dengue educação.pptx
Apresentação sobrea dengue educação.pptxtaloAugusto8
 
Slides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptx
Slides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptxSlides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptx
Slides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
 
Poema sobre o mosquito Aedes aegipyti -
Poema sobre o mosquito Aedes aegipyti  -Poema sobre o mosquito Aedes aegipyti  -
Poema sobre o mosquito Aedes aegipyti -Mary Alvarenga
 
EBOOK LINGUAGEM GRATUITO EUDCAÇÃO INFANTIL.pdf
EBOOK LINGUAGEM GRATUITO EUDCAÇÃO INFANTIL.pdfEBOOK LINGUAGEM GRATUITO EUDCAÇÃO INFANTIL.pdf
EBOOK LINGUAGEM GRATUITO EUDCAÇÃO INFANTIL.pdfIBEE5
 
Poder do convencimento,........... .
Poder do convencimento,...........         .Poder do convencimento,...........         .
Poder do convencimento,........... .WAGNERJESUSDACUNHA
 
autismo conhecer.pptx, Conhecer para entender
autismo conhecer.pptx, Conhecer para entenderautismo conhecer.pptx, Conhecer para entender
autismo conhecer.pptx, Conhecer para entenderLucliaResende1
 
ARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdf
ARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdfARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdf
ARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdfItaloAtsoc
 
Apresente de forma sucinta as atividades realizadas ao longo do semestre, con...
Apresente de forma sucinta as atividades realizadas ao longo do semestre, con...Apresente de forma sucinta as atividades realizadas ao longo do semestre, con...
Apresente de forma sucinta as atividades realizadas ao longo do semestre, con...Colaborar Educacional
 
O-P-mais-importante.pptx de Maria Jesus Sousa
O-P-mais-importante.pptx de Maria Jesus SousaO-P-mais-importante.pptx de Maria Jesus Sousa
O-P-mais-importante.pptx de Maria Jesus SousaTeresaCosta92
 
Trabalho DAC História 25 de Abril de 1974
Trabalho DAC História 25 de Abril de 1974Trabalho DAC História 25 de Abril de 1974
Trabalho DAC História 25 de Abril de 1974AnaRitaFreitas7
 
Verbos - transitivos e intransitivos.pdf
Verbos -  transitivos e intransitivos.pdfVerbos -  transitivos e intransitivos.pdf
Verbos - transitivos e intransitivos.pdfKarinaSouzaCorreiaAl
 
Caça palavras - BULLYING
Caça palavras  -  BULLYING  Caça palavras  -  BULLYING
Caça palavras - BULLYING Mary Alvarenga
 
AS REBELIÕES NA AMERICA IBERICA (Prof. Francisco Leite)
AS REBELIÕES NA AMERICA IBERICA (Prof. Francisco Leite)AS REBELIÕES NA AMERICA IBERICA (Prof. Francisco Leite)
AS REBELIÕES NA AMERICA IBERICA (Prof. Francisco Leite)profesfrancleite
 
arte retrato de um povo - Expressão Cultural e Identidade Nacional
arte retrato de um povo - Expressão Cultural e Identidade Nacionalarte retrato de um povo - Expressão Cultural e Identidade Nacional
arte retrato de um povo - Expressão Cultural e Identidade Nacionalidicacia
 

Dernier (20)

aula 1.pptx Ementa e Plano de ensino Filosofia
aula 1.pptx Ementa e  Plano de ensino Filosofiaaula 1.pptx Ementa e  Plano de ensino Filosofia
aula 1.pptx Ementa e Plano de ensino Filosofia
 
Ressonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptx
Ressonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptxRessonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptx
Ressonancia_magnetica_basica_slide_da_net.pptx
 
(42-ESTUDO - LUCAS) DISCIPULO DE JESUS
(42-ESTUDO - LUCAS)  DISCIPULO  DE JESUS(42-ESTUDO - LUCAS)  DISCIPULO  DE JESUS
(42-ESTUDO - LUCAS) DISCIPULO DE JESUS
 
Atividade de matemática para simulado de 2024
Atividade de matemática para simulado de 2024Atividade de matemática para simulado de 2024
Atividade de matemática para simulado de 2024
 
Apresentação sobrea dengue educação.pptx
Apresentação sobrea dengue educação.pptxApresentação sobrea dengue educação.pptx
Apresentação sobrea dengue educação.pptx
 
Slides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptx
Slides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptxSlides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptx
Slides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptx
 
Poema sobre o mosquito Aedes aegipyti -
Poema sobre o mosquito Aedes aegipyti  -Poema sobre o mosquito Aedes aegipyti  -
Poema sobre o mosquito Aedes aegipyti -
 
EBOOK LINGUAGEM GRATUITO EUDCAÇÃO INFANTIL.pdf
EBOOK LINGUAGEM GRATUITO EUDCAÇÃO INFANTIL.pdfEBOOK LINGUAGEM GRATUITO EUDCAÇÃO INFANTIL.pdf
EBOOK LINGUAGEM GRATUITO EUDCAÇÃO INFANTIL.pdf
 
Poder do convencimento,........... .
Poder do convencimento,...........         .Poder do convencimento,...........         .
Poder do convencimento,........... .
 
autismo conhecer.pptx, Conhecer para entender
autismo conhecer.pptx, Conhecer para entenderautismo conhecer.pptx, Conhecer para entender
autismo conhecer.pptx, Conhecer para entender
 
Abordagens 4 (Problematização) e 5 (Síntese pessoal) do texto de Severino (20...
Abordagens 4 (Problematização) e 5 (Síntese pessoal) do texto de Severino (20...Abordagens 4 (Problematização) e 5 (Síntese pessoal) do texto de Severino (20...
Abordagens 4 (Problematização) e 5 (Síntese pessoal) do texto de Severino (20...
 
ARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdf
ARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdfARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdf
ARTE BARROCA E ROCOCO BRASILEIRO-min.pdf
 
Apresente de forma sucinta as atividades realizadas ao longo do semestre, con...
Apresente de forma sucinta as atividades realizadas ao longo do semestre, con...Apresente de forma sucinta as atividades realizadas ao longo do semestre, con...
Apresente de forma sucinta as atividades realizadas ao longo do semestre, con...
 
Abordagem 1. Análise textual (Severino, 2013).pdf
Abordagem 1. Análise textual (Severino, 2013).pdfAbordagem 1. Análise textual (Severino, 2013).pdf
Abordagem 1. Análise textual (Severino, 2013).pdf
 
O-P-mais-importante.pptx de Maria Jesus Sousa
O-P-mais-importante.pptx de Maria Jesus SousaO-P-mais-importante.pptx de Maria Jesus Sousa
O-P-mais-importante.pptx de Maria Jesus Sousa
 
Trabalho DAC História 25 de Abril de 1974
Trabalho DAC História 25 de Abril de 1974Trabalho DAC História 25 de Abril de 1974
Trabalho DAC História 25 de Abril de 1974
 
Verbos - transitivos e intransitivos.pdf
Verbos -  transitivos e intransitivos.pdfVerbos -  transitivos e intransitivos.pdf
Verbos - transitivos e intransitivos.pdf
 
Caça palavras - BULLYING
Caça palavras  -  BULLYING  Caça palavras  -  BULLYING
Caça palavras - BULLYING
 
AS REBELIÕES NA AMERICA IBERICA (Prof. Francisco Leite)
AS REBELIÕES NA AMERICA IBERICA (Prof. Francisco Leite)AS REBELIÕES NA AMERICA IBERICA (Prof. Francisco Leite)
AS REBELIÕES NA AMERICA IBERICA (Prof. Francisco Leite)
 
arte retrato de um povo - Expressão Cultural e Identidade Nacional
arte retrato de um povo - Expressão Cultural e Identidade Nacionalarte retrato de um povo - Expressão Cultural e Identidade Nacional
arte retrato de um povo - Expressão Cultural e Identidade Nacional
 

GABARITOS 2 BIM

  • 1. Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães PROBABILIDADE E CONTAGEM PE.7.01.A 1) Ao arremessar uma moeda honesta, qual é a probabilidade de encontrarmos: a) cara Probabilidade ½ ou 50% b) coroa Probabilidade ½ ou 50% 2) Um dado não-viciado é arremessado. Qual é a probabilidade de sair: a) o número 5? Casos favoráveis: o 5 (1 caso) Casos possíveis: 6 Probabilidade: 1/6 b) um número par? Casos favoráveis: 2, 4 e 6 (3 casos) Casos possíveis: 6 Probabilidade: 3/6=1/2 (ou 50%) c) um número ímpar? Casos favoráveis: 1, 3 e 5 (3 casos) Casos possíveis: 6 Probabilidade: 3/6=1/2 (ou 50%) d) um número maior que 4? Casos favoráveis: 5 e 6 (2 casos) Casos possíveis: 6 Probabilidade: 2/6=1/3 (ou 33,33%) e) um número menor que 4? Casos favoráveis: 1, 2, 3 (3 casos) Casos possíveis: 6 Probabilidade: 3/6=1/2 (ou 50%) f) um número primo? Casos favoráveis: 2, 3 e 5 (3 casos) Casos possíveis: 6 Probabilidade: 3/6=1/2 (ou 50%) NÚMERO PRIMO é aquele que divide apenas por um e por ele mesmo, isto é, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, etc... Quando a probabilidade é 0%=0 o evento é chamado de EVENTO IMPOSSÍVEL Quando a probabilidade é 100%=1 o evento é chamado de EVENTO CERTO 3) Qual é o espaço amostral? a) do arremesso de uma moeda {K, C} b) do arremesso de um dado. {1, 2, 3, 4, 5, 6} c) do arremesso de duas moedas. {(K, K), (K,C), (C, K), (C,C)} d) do arremesso de dois dados. { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} 3) Arremessando dois dados não-viciados e somando-se suas faces, qual é a probabilidade de encontrarmos: DIAGRAMA 1 – impossível 2 – (1,1) → 1/36 3 – (1,2), (2,3) → 2/36 = 1/18 4 – (1,3), (2,2), (3,1) → 3/36=1/12 5 – (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) → 4/36=1/9 6 – (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) → 5/36 7 -(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)→6/36 8 - (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) → 5/36 9 – (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) → 4/36=1/9 10 – (4,6), (5,5), (6,4) → 3/36=1/12 11 – (5,6), (6,5) → 2/36=1/18 12 – (6,6) → 1/36 a) 1 → 0 b) 2 → 1/36 c) 3 →1/18 d) 4 → 1/12 e) 5 → 1/9 f) 6 → 5/36 g) 7 → 1/6 h) 8 → 5/36 i) 9 → 1/9 j) 10 → 1/12 k) 11 → 1/18 l) 12 → 1/36 5) Arremessando duas moedas, qual é a probabilidade de: Espaço amostral: KK, KC, CK, CC a) sair cara no primeiro lançamento. Raciocínio comum: 2/4 = 1/2 Raciocínio alternativo: ora, no primeiro lançamento pode sair cara ou coroa, então 1/2 b) sair duas faces iguais KK ou CC, portanto 2/4=1/2 6) a) Em uma urna há 4 bolas, numeradas de 1 a 4. Qual é a probabilidade de sair um número par? Casos favoráveis: 2 e 4 (2 casos) Casos possíveis: 4 Probabilidade: 2/4=1/2=50% b) Em uma urna há 100 bolas, numeradas de 1 a 100. Qual é a probabilidade de sair um número quadrado perfeito? Casos favoráveis: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 (10 casos) Casos possíveis: 100 Probabilidade: 10/100=1/10 ou 10% c) Em uma urna há 25 bolas, numeradas de 1 a 25. Qual é a probabilidade de sair um número primo? Casos favoráveis: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23 (8 casos) Casos possíveis: 25 Probabilidade: 8/25 ou 32% Para achar a probabilidade pensamos assim 8------25 x-------100 Como 100=4 x 25, basta multiplicar 8 por 4, ou seja, temos 32. d) Em uma urna há 50 bolas, numeradas de 1 a 50. Qual é a probabilidade de sair um número maior que 18? Casos favoráveis: 19 a 50 (ou seja 50- 18=32) Casos possíveis: 50 Probabilidade 32/50 = 16/25 ou 64% e) Em uma urna há 30 bolas, numeradas de 1 a 30. Qual é a probabilidade de sair um número múltiplo de 7? Casos favoráveis: 7, 14, 21 e 28 (4 casos) Casos possíveis: 30 Probabilidade: 4/30=2/15 f) Em uma urna há 30 bolas, numeradas de 1 a 30. Qual é a probabilidade de sair um número múltiplo de 7 e 5 ao mesmo tempo? Casos favoráveis: nenhum. Não há número múltiplo de 7 e 5 ao mesmo tempo entre 1 e 30. Casos possíveis: 30 Probabilidade: 0/30 = 0% evento impossível Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães PROBABILIDADE E CONTAGEM PE.7.01.B 7) Em um baralho comum sem o coringa, diga qual é a probabilidade de escolhermos uma carta: São 13 cartas de cada um dos 4 naipes, ou seja, 52 cartas a) de naipe de copas. 13/52 ou 1/4 ou 25% b) de naipe de ouro. 13/52 ou 1/4 ou 25% c) de naipe de espadas. 13/52 ou 1/4 ou 25% d) de naipe de paus. 13/52 ou 1/4 ou 25% e) de número 7. 4/52 ou 1/13 f) de número 9. 4/52 ou 1/13 g) cuja face é K. 4/52 ou 1/13 h) cuja face é Q. 4/52 ou 1/13 i) cujo naipe é preto. 26/52 ou ½ ou 50% j) cujo naipe é vermelho. 26/52 ou ½ ou 50% k) um Ás de copas 1/52 l) um 7 de ouros 1/52 m) um valete vermelho. 2/52=1/26 n) um 10 preto. 2/52=1/26 o) uma carta de 4 ou de J 8/52=4/26=2/13 p) uma carta que não seja J, K ou Q. Sobram 10 cartas por naipe 40/52=10/13 8) a) Qual é a probabilidade de um número de dois algarismos seja múltiplo de 15? Casos favoráveis: 15, 30, 45, 60, 75 e 90 (ou seja, 6 casos). Casos possíveis: 10 ao 99, sendo 90 casos Probabilidade: 6/90=1/15 b) Qual é a possibilidade de um número de três algarismos formado apenas com 3, 5 e 4 sem repetição seja par? Casos favoráveis: 354 e 534 (2 casos) Caso possíveis: 354, 345, 534, 543, 435, 453 (6 casos) Probabilidade: 2/6=1/3 9) Escreva a árvore das probabilidades (NO CADERNO): a) do arremesso de três moedas.
  • 2. d) dos números de três algarismos que podem ser escritos com os algarismos 2, 5 e 4 com ou sem repetição. e) dos números de três algarismos que podem ser escritos com os algarismos 2, 5 e 4 sem repetição. f) Dos códigos de 3 caracteres formados com as letras A, B e C. g) Dos códigos de 3 caracteres formados com as letras A, B, C, D, E iniciados por vogal. h) Dos números de 4 algarismos pares iniciados por 4, 6 ou 2 e sem repetição. Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães PROBABILIDADE E CONTAGEM PE.7.01.C 1) Qual é a probabilidade de se obter um resultado maior que 4 ao se lançar um dado honesto? 2/6 = 1/3 2) Ao lançar um dado duas vezes, qual é a probabilidade de se obter soma 5? As possibilidades são (1,4), (2,3), (3,2) ou (4,1). Ou seja, são 4 possibilidades num universo de 36. 4/36 = 1/9 3) Em uma urna há 5 bolas vermelhas e 4 pretas, todas de mesmo tamanho e feitas do mesmo material. Retiramos duas bolas sucessivamente da urna, sem repô-las. Qual é a probabilidade de que sejam retiradas duas bolas vermelhas? Usando o PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Casos Possíveis: 1ª retirada: 9 possibilidades 2ª retirada: 8 possibilidades Pelo PFC: 9 x 8 =72 Casos Favoráveis: 1ª retirada: 5 possibilidades, pois são 5 bolas vermelhas 2ª retirada: 4 possibilidades, pois não há reposição Pelo PFC: 5 x 4 = 20 20 / 72 = 10 / 36 = 5/18 4) Pedro e João combinaram de lançar uma moeda 4 vezes. Pedro apostou que, nesses 4 lançamentos, não apareceriam 2 caras seguidas; João aceitou a aposta. Quem tem maior chance de ganhar a aposta? Fazendo todas as 16 possibilidades (pode usar um diagrama de árvore), verificamos que em 8 dessas possibilidades aparecem 2 caras seguidas (faça o diagrama). Ou seja, há 8/16 = ½ de probabilidade de sair duas caras seguidas e 8/16 = ½ de probabilidade de NÃO sair duas caras seguidas. Os dois tem as mesmas chances! 5) Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual é a probabilidade de que saiam 2 caras? Observe o diagrama 9A, e verifique que há 4 possibilidades de 8 para sair 2 caras, ou seja 4/8 = ½ ou 50%. Resposta: 50% 6) Um casal decidiu que vai ter 4 filhos. O que é mais provável: que tenham dois casais ou três filhos de um sexo e um de outro? O mais provável é ter 2 filhos de cada sexo, pois, a probabilidade de nascer homem ou mulher é de 50%. 7) Duas peças de um dominó comum são sorteadas. Qual é a probabilidade de que tenham um número em comum? Um dominó é numerado de 0 a 9, ou seja, há 100 peças. As peças comuns são (0,0), (1,1), ... (9,9), ou seja, 10 peças com números duplos. 10/100 = 1/10 ou 10% 8) Laura e Telma retiram um bilhete cada de uma urna em que há 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Qual é a probabilidade de que o número retirado por Laura seja maior do que o de Telma? E se elas, depois de consultarem o número, devolvem o bilhete à urna? Esse exercício é da programação de estudos para Olimpíadas de Matemática. Veja a resposta oficial: Em ambos os casos, Laura e Telma têm a mesma probabilidade de tirar um número maior que a outra. Se não há devolução, não pode haver empate, e a probabilidade de que Laura tenha o maior número é 50%. Se há devolução, há possibilidade de empate e a probabilidade de que isto ocorra ´e igual a 100 casos de empate dividido por 100 × 100 casos possíveis que ´e igual a 0, 01, Logo, neste caso a probabilidade de que Laura tenha um núumero maior do que o de Telma é (1 − 0,01)/2 =0, 99/2 = 0, 495. Esse exercício é muito difícil e não será solicitado na prova! Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães PROBABILIDADE E CONTAGEM PE.7.01.D 9) Ana, Joana e Carolina apostam em um jogo de cara-e-coroa. Ana vence na primeira vez que saírem duas caras seguidas; Joana vence na primeira vez que saírem duas coroas seguidas; Carolina vence quando sair uma cara seguida de uma coroa. Qual é a probabilidade que cada uma tem de vencer? Veja a árvore das probabilidades: A probabilidade de Ana ou Carolina vencer é 1/4+1/8=3/8. A de Joana é 1/4. (Considere o 3º galho como ¼ e o 4º galho como 1/8, você consegue entender o motivo!) Esse exercício é muito difícil e não será solicitado na prova! 10) O trecho a seguir foi obtido em um site de internet que se propõe a aumentar as chances de vitória no jogo da Sena (que consiste em sortear 6 dentre 60 dezenas). “Quando afirmamos, por exemplo, que as dezenas atrasadas são importantes, é porque já observamos, em nossos estudos, que todas as dezenas são sorteadas a cada quarenta testes, portanto, seria útil você acompanhar e apostar em dezenas atrasadas; você estaria assim aumentando muito suas chances.” Você concorda que apostar em uma dezena atrasada aumenta as chances de vitória na Sena? Resposta da OBM: Embora haja pessoas que ganhem a vida com este tipo de afirmação, ela é completamente sem sentido. As extrações são independentes, o que faz com que uma dezena estar atrasada seja completamente irrelevante para o que vai acontecer no futuro. Na verdade, se estamos em dúvidas sobre a equiprobabilidade das diversas dezenas, poderíamos concluir exatamente o contrário: se uma dezena sai menos que outras, talvez seja porque seja menos provável (por exemplo, a bolinha correspondente pode ser maior ou mais leve que as outras). Esse exercício é muito difícil e não será solicitado na prova! 11) Suponhamos que você tenha duas escolhas para apostar na Sena. Na primeira escolha aposta nas dezenas 1 - 3 - 5 7 - 9 - 11, e na segunda escolha nas dezenas 8 - 17 - 31 - 45 - 49 - 55. Qual você acha que tem maiores chances de ser vitoriosa? Resposta da OBM: Obviamente, os dois jogos têm a mesma probabilidade de serem vitoriosos (mas você acha que as pessoas, em geral, concordariam com isto? por quê?). Esse exercício é muito difícil e não será solicitado na prova! 12) (O Problema do Bode) Este problema foi proposto em um programa de rádio nos Estados Unidos e causou um enorme debate na internet. Em um programa de prêmios, o candidato tem diante de si três portas. Atrás de uma dessas portas, há um grande prêmio; atrás das demais há um bode. O candidato escolhe inicialmente uma das portas. O apresentador (que sabe qual é a porta que contém o prêmio) abre uma das portas não indicadas pelo candidato, mostrando necessariamente um bode. A seguir, ele pergunta se o candidato mantém sua escolha ou deseja trocar de porta. O candidato deve trocar ou não? (Uma forma de você guiar sua intuição consiste em simular o problema.) Resposta da OBM: O candidato deve trocar a porta. Se ele não o faz, sua chance de vitória está em ter escolhido a porta certa da primeira vez, o que ocorre com probabilidade 1/3. Trocando a porta, ele vai ganhar o prêmio exatamente nos casos em que a porta escolhida é a errada, o que tem probabilidade 2/3. Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães PROBABILIDADE E CONTAGEM PE.7.01.E Problemas de Contagem 1) (Olimpíada Cearense de Matemática da Escola Pública – Numeratizar – 1ª série do Ensino Médio – 1ª fase/2003) A formiguinha vai caminhar de A até C passando por B. Ela só anda pelas estradas que já construiu: O número de caminhos diferentes que ela pode escolher é: a) 4 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9 Entre A e B: 3 caminhos Entre B e C: 3 caminhos Total de caminhos: 3 x 3 = 9 2) (EMEF Ricardo Caramuru de Castro Monteiro – CAIC Vale do Sol – Araraquara-SP – 8ª série – 2003) No Brasil, as placas de carro são compostas por 3 letras do alfabeto latino (total:26 letras) e 4 algarismos hindo-arábicos (total:10 algarismos). Qual é o número máximo de placas de carro que podem ser feitas no Brasil? a) 17576000 b) 175760000 c) 6760000 d) 115316136 Basta utilizar o princípio fundamental da contagem, que é bem mais simples: 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 3) (EMEB Arthur Natalino Deriggi – São Carlos-SP – 5ª série – 2003) Margareth tem 12 blusas e 11 saias. Quantas combinações de saia e blusa Margareth pode usar? a) 23 b) 12 c) 144 d) 132 e) 121 Basta fazer 12 x 11 = 132
  • 3. 4) (EM Isaura Vilela Brasileiro – Botelhos – MG – 2000) Com seis tipos de cartões magnéticos e oito senhas diferentes, as opções de escolha de um cartão e uma senha são: a) 36 b) 42 c) 48 d) 52 e) 64 Só fazer 6x8=48 5) (EM Isaura Vilela Brasileiro – Botelhos – MG – 2000)Num microcomputador, para abrir certo arquivo, o usuário deve digitar 4 sinais ( que são / # | ^) numa certa ordem, sem repeti-los. Se ele não conhece a ordem e procura acertar a senha por tentativas, qual é o número máximo de tentativas que fará? a) 24 b) 30 c) 36 d) 40 e) 120 Como o usuário não pode repetir, ele tem 3 x 4 x 2 x 1 = 24 possibilidades Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães PROBABILIDADE E CONTAGEM PE.7.01.F 6) (XXIII Olimpíada Brasileira de Matemática – Nível 1, 2 e 3 – 1a fase – 2001) Na figura abaixo, temos 4 circunferências e alguns pontos destacados no interior dessas circunferências. Escolhendo exatamente um desses pontos dentro de cada uma das circunferências, e unindo-os por segmentos de reta que não se cruzam, formamos um quadrilátero. Quantos quadriláteros diferentes seremos capazes de desenhar nessas condições? A) 4 B) 14 C) 60 D) 120 E) 24 O número de quantidade de quadriláterios é o produto dos vértices: 2 x 3 x 4 x 5 = 120. 7) Uma bandeira tem quatro listas. De quantas maneiras eu posso pintá-las utilizando-se de 3 cores diferentes, de tal forma que não pintemos duas faixas consecutivas da mesma cor. 1ª listra: qualquer cor = 3 2ª listra: menos a cor usada na 1ª listra = 2 3ª listra: menos a cor usada na 2ª listra = 2 4ª listra: menos a cor usada na 3ª listra = 2 3x2x2x2 = 24 8) Numa festa 5 pessoas se cumprimentam. Quantos são os cumprimentos possíveis? Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães ESTUDO DAS MÉDIAS EM.7.01.A 1) As idades dos jogadores titulares de uma equipe de basquete são 25 anos, 27 anos, 22 anos, 30 anos e 31 anos. Qual é a idade média dos jogadores titulares dessa equipe? 𝑀𝐴 = 25 + 27 + 22 + 30 + 31 5 = 135 5 = 27 Resposta: A média das idades é de 27 anos. 2) Qual é a média aritmética dos números – 25, - 22, -13, 15 e 30? 𝑀𝐴 = −25 − 22 − 13 + 15 + 30 5 = −60 + 45 5 = − 15 5 = −3 3) Qual é a média aritmética dos números 12, - 10, -8, -12 e 7? 𝑀𝐴 = 12 − 10 − 8 − 12 + 7 5 = − 11 5 𝑜𝑢 − 2,2 4) A diretoria de um clube é formada por 10 membros. As idades deles estão indicadas em anos a seguir: 27, 30, 30, 32, 30, 32, 30, 27, 30 e 32. Qual é a idade média dos membros da diretoria. 𝑀𝐴 = 27 + 30 + 30 + 32 + 30 + 32 + 30 + 27 + 30 + 32 10 = 300 10 = 30 Resposta: A idade média é de 30 anos. 5) Uma livraria vende a seguinte quantidade de livros de literatura durante uma certa semana: 2ª feira 3ª feira 4ª feira 5ª feira 6ª feira sábado 13 23 22 27 22 25 Qual é a média de livros vendidos durante a semana (2ª até sábado). 𝑀𝐴 = 13 + 23 + 22 + 27 + 22 + 25 6 = 132 6 = 22 Resposta: A média é de 22 livros 6) QUESTÃO ANULADA POR INCORREÇÃO Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães ESTUDO DAS MÉDIAS EM.7.01.B 7) Ache o lucro médio mensal de uma empresa que apresentou durante o semestre os seguintes resultados (valores em reais): 𝑀𝐴 = 5136 + 250 + 4232 − 372 − 250 + 142 6 = 9138 6 = 1523 8) As alturas dos jogadores de uma equipe de basquete são: 1,98 m; 2,02 m; 2,08 m; 1,92 m e 1,95 m. Qual é a média de altura dessa equipe? 𝑀𝐴 = 1,98 + 2,02 + 2,08 + 1,92 + 1,95 5 = 9,95 5 = 1,99 R: a média de altura é 1,99 m 9) Qual é a média aritmética dos números 2 3 , 1 6 e 3 4 ? 𝑀𝐴 = 2 3 + 1 6 + 3 4 3 = 8 12 + 2 12 + 9 12 3 = 19 12 3 = 19 36 10) Qual é a média aritmética dos números 4 5 , 1 4 , 3 2 ? 𝑀𝐴 = 4 5 + 1 4 + 3 2 3 = 16 + 5 + 30 20 3 = 51 20 3 = 51 20 . 1 3 = 17 20 Resposta: 17/20 11) Qual é a média aritmética dos números 1, 2 3 , 1 4 , 1 6 ? 𝑀𝐴 = 1 + 2 3 + 1 4 + 1 6 4 = 24 + 16 + 6 + 4 24 4 = 50 24 4 = 50 24 . 1 4 = 50 96 = 25 48 Resposta 25/48 12) Qual é a média aritmética dos números 1/3, 0,5 e ¼? 𝑀𝐴 = 1 3 + 0,5 + 1 4 3 = 1 3 + 1 2 + 1 4 3 = 4 + 6 + 3 12 3 = 13 12 3 = 13 12 . 1 3 = 13 39 Lembre-se que 0,5=1/2 (meio), você pode calcular isso simplificando 5/10, mas, vale a pena decorar que 0,5=1/2 Resposta 13/39 13) Qual é a média aritmética dos números 1/2, 2/5 e ¾? 𝑀𝐴 = 1 2 + 2 5 + 3 4 3 = 10 + 8 + 15 20 3 = 33 20 . 1 3 = 11 20 Resposta 11/20 Resolução alternativa: 𝑀𝐴 = 0,5 + 0,4 + 0,75 3 = 1,65 3 = 0,55 = 55 100 = 11 20 14) Qual é a média aritmética de 10 cm, 0,4 m e 0,25 m. Transforme tudo em centímetros: 10 cm, 40 cm e 25 cm, e ache a média! 𝑀𝐴 = 10𝑐𝑚 + 40𝑐𝑚 + 25𝑐𝑚 3 = 55𝑐𝑚 3 = 18,3333 … . 𝑐𝑚 15) Qual é a média de 2 km, 2.500 m e 3,8 km? 2km = 2.000 m 3,8 km = 3.800 m 𝑀𝐴 = 2000𝑚 + 2500𝑚 + 3800𝑚 3 = 8300𝑚 3 = 27,666 … 𝑚 Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães ESTUDO DAS MÉDIAS EM.7.01.C Média Aritmética Ponderada 16) Uma professora atribuirá pesos para as atividades, sendo: 1ª prova – peso 3 Trabalho – peso 2 2ª prova – peso 5 Resultados das notas de alguns alunos: 1ª prova Trabalho 2ª prova NOTA Maria 6 5 5 5,3 Vitória 7 6 5 5,8 Letícia 5 7 6 5,9 Ângela 10 9 8 8,8 Godofredo 3 9 6 5,7 Paulo 5 8 7 6,6 Venância 7 10 5 6,6 Amir 7 9 6 6,9 Leto 6 6 6 6,0 Nota de Maria 6.3+5.2+5.5 3+2+5 = 18+10+25 10 = 53 10 = 5,3 Nota de Vitória 7.3+6.2+5.5 3+2+5 = 21+12+25 10 = 58 10 = 5,8
  • 4. O cálculo da nota da Vitória estava errado. Retifique. Faça os cálculos de todos. 17) Determine a média aritmética ponderada dos números 8, 15 e 20, com pesos 2, 2 e 1, respectivamente. MA= 8.2+15.2+20.1 2+2+1 = 16+30+20 5 = 66 5 = 13,2 18) Determine a média aritmética ponderada dos números 7, 12 e 25, com pesos 3, 2 e 5, respectivamente. 𝑀𝐴 = 7.3 + 12.2 + 25.5 3 + 2 + 5 = 21 + 24 + 75 10 = 12 19) Karina comprou 3 canetas por 20 reais cada uma e 2 canetas por 15 reais cada uma. Quanto ela pagou, em média, por caneta? Resposta: 18 𝑀𝐴 = 3.20 + 2.15 3 + 2 = 90 5 = 18 20) Uma indústria produz um certo produto. Vendeu 3500 unidades desse produto por 30 reais cada e 8500 unidades por 24 reais cada. Qual foi o preço médio, por unidade? Resposta: R$ 22,75 𝑀𝐴 = 3500.30 + 8500.24 3500 + 8500 = 22,75 Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães ESTUDO DAS MÉDIAS EM.7.01.D 21) Numa empresa com 20 funcionários, a distribuição dos salários está representada no quadro abaixo. Qual é o salário médio dos empregados dessa empresa? Número de empregados Salário (em reais) 12 800 5 1.200 3 2.000 Resposta: R$ 1.080,00 𝑀𝐴 = 12.800 + 5.1200 + 3.2000 12 + 5 + 3 = 9600 + 6000 + 6000 20 = 21600 2 = 1080 22) Foram pesquisadas as idades das pessoas dos alunos de um grupo e obtiveram-se os resultados organizados na tabela a seguir: Idades (anos) Número de alunos 13 4 14 11 15 7 16 3 Encontre a média das idades dos alunos da classe. Resposta: 14,36 anos 𝑀𝐴 = 13.4 + 14,11 + 15.7 + 16.3 4 + 11 + 7 + 3 = 14,36 23) Num torneio de basquete, uma equipe marcou 104 pontos, 96 pontos, 117 pontos e 103 pontos nas 4 partidas que disputou na 1ª fase. Qual a média de pontos que essa equipe marcou nessa fase do torneio? Resposta: 105 pontos 𝑀𝐴 = 104 + 96 + 117 + 103 4 = 105 24) Um colégio tem 8 professores e suas idades são 26 anos, 28 anos, 34 anos, 40 anos, 28 anos, 30 anos, 38 anos e 32 anos. Qual a idade média dos professores desse colégio? Resposta: 32 anos Basta somar todos os valores e dividir por 8. 25) Preparamos um refresco com 8 copos de água mineral e 2 copos de groselha. Se o copo de água mineral custa 8 centavos de real e o copo de groselha custa 13 centavos de real, qual é o custo de cada copo de refresco? Resposta: 9 centavos 8.8 + 2.13 8 + 2 = 64 + 26 10 = 9 26) Numa classe de 35 alunos há 22 homens e 13 mulheres. Numa prova de Matemática, a nota média dos homens foi 4,8 e a nota média das mulheres foi 4,0. Qual foi aproximadamente, a nota média da classe? R: 4,5 22.4,8 + 13.4 22 + 13 = 4,502857 …. O valor deve ser arredondado a 4,5 Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães ESTUDO DAS MÉDIAS EM.7.01.E 27) Determine a média aritmética ponderada dos números 9, 15, 26 e 30, com pesos 1, 2, 3 e 4, respectivamente. 𝑀𝐴 = 9.1 + 15.2 + 26.3 + 30.4 1 + 2 + 3 + 4 = 23,7 28) Uma clínica odontológica possui 5 dentistas. As idades deles são 27, 29, 30, 38 e 46. Qual a idade média dessa equipe? Basta somar os 5 valores e dividir por 5, encontaremos a idade média de 34. 30) Ache a media da idade da seguinte classe: 𝑀𝐴 = 10.2 + 11.4 + 12.6 + 13.4 + 14.4 2 + 4 + 6 + 4 + 4 = 20 + 44 + 72 + 52 + 56 20 = 244 20 = 12,2 31) (ENEM – adaptado) Um sistema de radar é programado para registrar automaticamente a velocidade de todos os veículos trafegando por uma avendida, onde passam em média 300 veículos por hora, sendo 55 km/h a velocidade máxima permitida. Um levantamento estatístico dos registros do radar permitiu a elaboração da distribuição percentual de veículos de acordo com sua velocidade aproximada. Calcule a velocidade média aproximada. Resposta: 44 km/h Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães ESTUDO DAS MÉDIAS EM.7.01.F 32) Ache a média dos seguintes números 11 14 14 12 12 11 14 14 11 14 14 13 11 12 12 11 14 14 11 13 12 13 12 11 13 11 11 11 13 11 12 12 12 14 11 13 13 13 13 15 11 – são 12, 12 – são 9, 13 – são 9, 14 – são 9, 15 – é 1 𝑀𝐴 = 11.12 + 12.9 + 13.9 + 14.9 + 15.1 12 + 9 + 9 + 9 + 1 = 132 + 108 + 117 + 126 + 15 40 = 498 40 = 12,45 Resposta: Idade média de 12,45 anos 33) Ache a média dos números 15 15 13 13 12 15 13 13 12 13 14 13 15 13 13 12 15 14 15 14 14 14 15 15 15 15 15 14 15 13 13 13 14 15 14 14 15 14 12 15 Resposta: 13,9 São 40 valores, sendo 11 – são 4, 12 – são 11, 13 – são 10, 15 – são 15. 𝑀𝐴 = 11.4 + 12.11 + 13.10 + 15.15 40 = 13,9 34) Ache a média dos seguintes números 3 3 2 1 0 2 2 2 4 2 2 3 3 1 0 2 3 3 3 3 2 1 3 1 3 3 3 0 0 2 2 2 3 1 3 1 1 1 2 3 0 2 3 3 3 2 3 3 2 3 0 1 2 3 0 2 3 0 2 2 Resposta: 2 São 60 valores, sendo 8 número 0, 9 número 1, 19 número 2, 23 número 3 e 1 número 4. 𝑀𝐴 = 9.1 + 19,2 + 23.3 + 1.4 60 = 2 Note que não faz sentido incluir 8.0=0. 35) Construa um gráfico de barras correspondente aos números e depois calcule a média destes. 4 3 2 1 0 2 4 2 4 2 4 4 4 1 0 4 4 4 4 1 2 1 4 1 3 3 3 4 1 1 3 2 3 1 4 4 3 4 3 3 1 2 3 3 3 1 3 3 4 3 0 1 4 4 0 2 3 0 4 2 𝑀𝐴 = 1.11 + 2.9 + 3.16 + 4.19 60 = 2,55
  • 5. Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães POTENCIAÇÃO PT.7.01.A 1)Calcule e observe a seqüência 34 =81 33 =27 32 =9 31 =3 30 =1 3-1 =1/3 3-2 =1/9 3-3 =1/27 3-4 =1/81 2) Calcule e observe a sequência 24 =16 23 =8 22 =4 21 =2 20 =1 2-1 =1/2 2-2 =1/4 2-3 =1/8 2-4 =1/16 3)Calcule: a) 2-1 =1/2 b) 2-5 =1/32 c) (-2)-2 =1/4 OBS: Note que o fato de -2 ser par faz com que o sinal seja positivo. d) 10-3 =1/100 e) 3-3 =1/27 f) (-3)-3 =-1/27 Já no caso de -3, como é ímpar, se mantém o sinal. g) (-2)-1 =1/2 h) (-2)-5 =1/32 i) -2-4 =-1/16 No caso de -2-4 o sinal não está elevado à -4, apenas o 2 está. Portanto, mantém-se o sinal j) –(-4)-3 =-(-1/64)=1/64 k) –(-10)-1 =-(-1/10)=1/10 l) –(-7)-2 =-(1/7)=-1/7 4) Calcule a) ( 1 2 ) −1 =2 b) ( 1 2 ) −2 =4 c) (− 1 3 ) −2 =9 d) (− 1 4 ) −1 =-4 e) ( 2 3 ) −1 =3/2 f) (− 2 5 ) −2 =25/4 g) (− 5 3 ) −3 =-27/125 h) − (− 1 6 ) −1 =-(-6)=6 i) − ( 1 3 ) −2 =-9 j) − (− 3 2 ) −3 =-(-8/27)=8/27 k) (1 2 3 ) −2 =(5/3)-2 =9/25 5) Calcule: a) 0,2-1 =(1/5)-1 =5 b) 0,5-2 =(1/2)-2 =4 c) 1,2-1 =(6/5)-1 =5/6 0,2=2/10=1/5 0,5=5/10=1/2 1,2=12/10=6/5 d) 2,5-2 =(25/10)-2 =(5/2)-2 =4/25 e) 3,5-2 =(35/10)-2 =(7/2)-2 =4/49 f) 0,25-2 =(25/100)-2 =(1/4)-2 =16 g) (-0,2)-2 =(-1/5)-2 =25 h) (-2,5)-3 =(-25/10)-3 =(-5/2)-3 =-8/125 (Sinal negativo!) i) (-0,25)-2 =(-1/4)-2 =16 6) Resolva as expressões (no caderno): a) 3-1 +2-1 Resposta: 5/6 1 3 + 1 2 = 3 + 2 6 = 5 6 b) 3-1 +2-2 +(-4)-1 Resposta: 5/6 1 3 + 1 4 + (− 1 4 ) = 1 3 GABARITO ERRADO c) (9-1 +6-2 )-1 Resposta: 36/5 ( 1 9 + 1 36 ) −1 = ( 4 + 1 36 ) −1 = ( 5 36 ) −1 = 36 5 d) (40 +4-1 ):(40 -4-1 ) Resposta: 5/3 (1 + 1 4 ) : (1 − 1 4 ) = ( 4 + 1 4 ) : ( 4 − 1 4 ) = ( 5 4 ) : ( 3 4 ) = 5 4 . 4 3 = 5 3 e) (-3)-1 +(-1)-3 Resposta: -4/3 (− 1 3 ) + (−1) = − 1 3 − 1 = − 4 3 f) 2-4 -22 Resposta: -63/16 1 16 − 1 4 = 1 − 64 16 = − 63 16 g) (4-1 +2-3 )-1 Resposta: 8/3 ( 1 4 + 1 8 ) −1 = ( 2 + 1 8 ) −1 = ( 3 8 ) −1 = 8 3 h) (6-2 .32 )-1 Resposta: 4 ( 1 36 . 9) −1 = ( 1 4 ) −1 = 4 i) 20 +(-2)4 .4-2 -(-2)3 Resposta: 10 1 + 16 . 1 16 − (−8) = 1 + 1 + 8 = 10 j) −22+( 1 3 ) −2 −24+(−3)2+40 Resposta: -5/6 −22 + ( 1 3 ) −2 −24 + (−3)2 + 40 = −4 + 9 −16 + 9 + 1 = 5 −6 = − 5 6 Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães POTENCIAÇÃO PT.7.01.B 1)Transforme em uma só potência (considere x e a não nulos): a) 79 .7-6 =79+(-6) =715 b) 10-9 .10.105 =10-9+1+5 =10-3 c) 83 .8-6 =83+(-6) =8-3 d) x3 x-5 x4 =x3+(-5)+4 =x2 e) a8 .a-8 .a-1 =a8+(-8)+(-1) =a8-8-1 =a-1 2) Transforme em uma só potência (considere x e a não nulos): a) 64 :65 =64-5 =6-1 b) 27 :2-2 =27-(-2) =29 c) 74 :7-1 =74-(-1) =75 d) 10−3 10−5 = 10−3−(—5) = 102 e) 𝑥6 𝑥−2 = 𝑥6−(−2) = 𝑥8 f) 𝑎9 𝑎11 = 𝑎9−11 = 𝑎−2 3)Transforme numa só potência (considere x não nulos): a) (6-1 )4 =6-4 b) (5-1 )-3 =63 c) (106 )-2 =10-12 4) Transforme em um produto de potências: a)(5.11)-2 =5-2 .11-2 b) (3.102 )-1 =3-1 .10-2 c) (2-4 .54 )2 =2-8 .58 5) Transforme em um quociente de potências: a) (8:3)-2 =8-2 :3-2 b) (6-2 :5)-4 =68 :5-4 c) (7-2 :2-1 )-3 =76 :23 6) Simplifique (com todos valores diferentes de zero) – no caderno: a) ).(:)..( 6565 aaaaa = 𝑎12 : 𝑎11 = 𝑎 Quando eu não indico expoente, ele é 1, é importante considerar isso. b) 2425 ).().( aaa = (a6 )2 .a8 =a12 .a8 =a20 c)   32254 ).(. xxx =(x9 )2 .x6 =x18 .x6 =x24 d) xx xxx . .. 6 24 = 𝑥7 𝑥7 = 𝑥0 e)  232 3254 . )..)(.( xx xxxxx = 𝑥5.𝑥10 (𝑥5)2 = 𝑥15 𝑥10 = 𝑥5 f)     53 24524 )( aa aaa = 𝑎8 𝑎5 𝑎8 (𝑎4)5 = 𝑎21 𝑎20 = 𝑎1 = 𝑎 12) Escreva como uma única potência (caderno): a) 256.47 86 = (28).(22)7 (23)6 = 28.214 218 = 222 218 = 24 Substitua 256=28 , 4=22 e 8=23 . b) 3−6,276 2433 = 3−6.(33)6 (35)3 = 3−6,318 315 = 312 315 = 3−3 Substitua 27=33 e 243=35 13) Escreva como uma única potência (caderno): a) 0,00001:(100-2 )3 =10-5 :((102 )-2 )3 =10-5 :10-12 =107 b) 0,00001−2.100003 (0,13.102)4 = (10−5) −2 .(104)3 ((10−1)3102)4 = 1010.1012 (10−3102)4 = 1022 (10−1)4 = 1022 10−4 = 1026 14) Escreva como uma única potência: 54 29 81.27 9.3   39 . (32)−2 (33)4(34)−5 = 39 . 3−4 312. 3−20 = 35 3−8 = 313 15) Simplifique    334 523 ba ba . 𝑎15 𝑏10 𝑎12 𝑏9 = 𝑎3 𝑏 16) Escreva como única potência:   32311 625255   (511 . (52)−3 . (54)−2)−3 = (511 . 5−6 . 5−8)−3 = (5−3)−3 = 59 17) Simplifique     423 252 . .   ba ba . 𝑎−4 𝑏−10 𝑎12 𝑏−8 = 𝑎−4−12 𝑏−10−(−8) = 𝑎−16 𝑏−2 Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães POTENCIAÇÃO PT.7.01.C 1) Resolva as expressões no caderno a) 2−1 + 3−1 1 2 + 1 3 = 3 6 + 2 6 = 5 6 b) (−3)2 . (−2 + 2−1)−1 9. (−2 + 1 2 ) −1 = 9. (− 4 2 + 1 2 ) −1 = 9. ( 3 2 ) −1 = 9. 2 3 = 6 c) (3 − 5)2(−2 − 1)3 + ( 1 2 ) −2 (−2)2(−3)3 + 4 = 4. (−27) + 4 = −108 + 4 = −104 d) 2−1+2−2 2−3 = 1 2 + 1 4 1 8 = 2 4 + 1 4 1 8 = 3 4 1 8 = 3 4 . 8 = 6 2)Lembre que 0,25=1/4 e calcule (0,25)-3 rapidamente. (1/4)-3 =64 3) Se 0,142857142857...=1/7, calcule (0,142857....)-2 . (1/7)-2 =49 4)Se 𝐴 = (− 1 3 ) −2 , B= 2−1 5−1 , C=2-1 .5-2 , ache A+B+C
  • 6. 𝐴 = 9 𝐵 = 1 2 1 5 = 5 2 C= 1 2 . 1 25 = 1 50 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 9 + 5 2 + 1 50 = 450 50 + 125 50 + 1 50 = 576 50 = 288 25 a) 220 =1048576 b) 210 =1024 c) 28 =256 d) 29 =512 e) 221 =2097152 A letra B está incorreta: deveria ser 6561 x 27 a) 36 x32 =38 =6561 b) 38 x33 =313 =177147 c) 34 x35 =39 =19683 d) 310 :38 =32 =9 e) 311 :37 =34 =81 f) (33 )3 =39 =19683 g) (34 )2 =38 =6561 h) (35 )2 =59049 Vamos fazer a tabela: 52 =25 53 =125 54 =625 55 =3125 56 =15625 (Já bastam) a) 55 .54 =59 b) 58 :53 =55 =3125 c) (52 )5 =510 𝑎 = 1 − 1 4 = 4 4 − 1 4 = 3 4 𝑏 = (1 − 1 2 ) −1 = ( 1 2 ) −1 = 2 𝑐 = 1 − 3 = −2 a) ( 3 4 ) 2 = 9 16 b) (2 − 3 4 ) −2 = ( 8 4 − 3 4 ) −2 = ( 5 4 ) −2 = 16 25 c) ( 3 4 .2 −2 ) −2 = ( 3 2 −2 ) −2 = ( 3 −4 ) −2 = 16 9 Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães RADICIAÇÃO RD.7.01.A Vamos relembrar algumas potências: 23 =8 33 =27 43 =64 53 =125 63 =216 73 =343 83 =512 93 =729 103 =1000113 =1331 24 =16 34 =81 44 =256 54 =625 25 =32 35 =243 45 =1024 55 =3125 1)Calcule: √27 3 =3 √81 4 =3 √64 3 = 4 √125 3 =5 √16 4 =2 √32 5 =2 √512 9 =2 2) Calcule: a) 33 278  =2+3=5 b) 53 32.125 =5.2=10 c) 43 16216  =6-2=4 d) 9814  =3:3=1 e) 3 27125 =125+3=128 3) Sei que 210 =1024, calcule 10 1024=2. 4) Calcule: a) 81 =3 b) 4 81=3 c) 16 =2 d) 4 16 =2 e) 256 =4 f) 4 256 =4 g) 256 =2 h) 8 256 =2 Aqui podemos concluir que a raiz quarta equivale a raiz quadrada da raiz quadrada ou seja: √ 4 = √√ A raiz oitava é a raiz quadrada da raiz quadrada da raiz quadrada √ 8 = √√√ 5) Calcule 4 625Pode ser calculado tirando- se a raiz quadrada da raiz quadrada, que resulta em 5. 6) Calcule: a) 3 27 =-3 b) 3 27 =3 c) 4 16 =2 d) 4 16 =não tem raiz e) 36 =não há f) =6 g) =2 h) 5 32 =-2 7) Ache o valor de x: a) x2 =16 b) x2 =49 x=4 ou x=-4 Não existe x c) x2 =-1 d) x3 =-27 Não existe x x=-3 e) x3 =8 f) x3 =-1 x=2 x=-1 g) x4 =16 h) x4 =-16 x=2 ou x=-2 Não existe x 8) Calcule 2-1 + 3 8 . 1 2 + 2 = 1 2 + 4 2 = 5 2 9) Calcule efetuando todas operações (não usar propriedades): a)  3 3 8 =23 = 8 b) 3 3 8 =√512 3 = 8 c)  4 4 1 =14 = 1 d) 4 4 1 √1 4 = 1 e)  2 9 =32 =9 f) 2 9 = √81 = 9 O objetivo aqui é concluir que potências e raízes se cancelam. Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães RADICIAÇÃO RD.7.01.B 10) Calcule: a) 6 0 =0 b) 3 27 8 =-2/3 11) Resolva no caderno: a) 121495  Resposta: 24 5.7 − 11 = 35 − 11 = 24 b) 9 1 3 25 4  Resposta:7/2 2 5 + 3 1 3 = 2 5 + 1 = 7 5 GABARITO ERRADO c) 3 322 27.35  Resposta: -4 √25 − 9. √7 − 8 3 √16. √−1 3 = 4. (−1) = −4 d) 33 001,0 27 8  Resposta: 23/30 2 3 − (−0,1) = 2 3 + 1 10 = 20 30 + 3 30 = 23 30 12) Calcule: a) 3 8000 =20 b) 4 160000=20 c) 3 8000 =-20 d) 4 160000 =N/E e) 5 100000=10 f) 3 27000 =-30 g) 3 1000000000=100 h) 0,0000646 =0,2 13) Se a= 3 8000e b=1-22 , ache o valor de 2 10   b a a=20 b=1-4=-3 20 10 − (−3)−2 = 2 − 1 9 = 18 9 − 1 9 = 17 9 Resposta: 17/9 14) Ache a metade da 3 64000000 √400 = 20 A metade é 10 15) QUESTÃO REPETIDA PT.7.1.A, o item J da questão 6 Resposta: 6 16) (LONDRINA – Adapt.) Dados os números . a) Quanto é √𝑧? b) Quanto é xy-z ? 𝑥 = 2/3 1/3 = 2 𝑦 = 2/3 3/2 = 4/9 𝑧 = 2/3 3 1/2 = 2/9 1/2 = 4/9 𝑎) √ 4 9 = 2 3 b) 20 = 1 36 5 32 x    1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 3 2 1 3 1 3 3 1 2 , ,y = z =