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SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA
SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN SUPERIOR
UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MÉXICO
DIVISIÓN DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y TECNOLOGÍA
“Análisis Estadístico y Probabilísitico de la Deserción Escolar de los
planteles del IEMSDF mediante el Método de Regresión por Mínimos
Cuadrados.”
TRABAJO RECEPCIONAL PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
PRESENTA EL ALUMNO SUSTENTANTE:
C. PEDRO DANIEL LARA MALDONADO
DIRIGIDA POR:
MAT. BEATRIZ CARRASCO TORRES
EVALUADA POR:
DRA. MARLEN HERNÁNDEZ ORTIZ
ELABORADO EN LA:
CIUDAD DE MÉXICO-DISTRITO FEDERAL, 2015-2016.

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Semblanza del Alumno Sustentante
(Futuro profesionista que obtendrá el título de licenciatura en Matemáticas):
C. Pedro Daniel Lara Maldonado es originario del poniente de la Ciudad de México de la Delegación Miguel
Hidalgo de Lomas Virreyes,donde ahí nació en 1990 y su acta de nacimiento esta registrada en 1991 en el
Estado de México en el municipio de Texcoco, por que ahí vivió un año y actualmente radica en la Ciudad de
México en la Delegación Álvaro Obregón en la colonia Santa Fe desde 1992.
Sus últimos estudios son de Bachillerato General con capacitación para el trabajo de “Iniciación a la Práctica
Docente”, dónde obtuvo el promedio de aprovechamiento de 8.9 y los cursó en los años del 2006 al 2009 en la
dependencia de la Dirección General del Bachillerato de la Secretaría de Educación Pública en el plantel del
Centro de Estudios de Bachillerato No. 4/2 "Lic. Jesús Reyes Heroles" en la entidad federativa de la Ciudad de
México-CDMX, en la colonia Axotla, delegación Álvaro Obregón; ahí por los Viveros de Coyoacán.
Estuvo en varias escuelas de nível superior públicas presenciales desde el 2009 hasta el 2012 y estas escuelas
siguientes fueron: del 2009-2010 en la Ciudad de México, delegación Azcapotzalco en la Escuela Normal
Superior de México (ENSM) en la Lic. en Educación Secundaria con especialidad en Matemáticas, del 2010-
2011 en la Ciudad de México, delegación Gustavo A. Madero en la Escuela Superior de Física y Matemáticas
del Instituto Politécnico Nacional en la Lic. en Física y Matemáticas. (ESFM-IPN), del 2011-2012 en el Estado
de México, municipio de Naucalpan de Juaréz en la Facultad de Estudios Superiores Acatlán de la Universidad
Nacional Autónoma de México en la Lic. en Matemáticas Aplicadas y Computación (FESAc-UNAM-M@C).
Estas 3 escuelas las dejó truncas, es decir sin concluir estos estudios, porque tenía que dedicarle tiempo
completo al trabajo de la tienda de abarrotes, para el sostenimiento de su hogar.
Sin embargo, conoció en la Internet, una excelente oportunidad de seguir realizando su formación académica,
y a partir:
Del 2012-hasta la fecha sigue en la Universidad Abierta y a Distancia de México de la Secretaria de Educación
Pública en la Licenciatura en Matemáticas en calidad de Pasante con la carta probatoria registrada con el folio
C-PTE:000359, en virtud de haber cursado el 98.21% de los créditos de esta carrera y tiene el 9.147 de promedio
de aprovechamiento
Solicitó cursar una segunda carrera profesional a las autoridades administrativas de la SEP-UnADM, para
complementar su formación matemática en la metodología didáctica y esta se le concedió a partir:
Del 2016-hasta la fecha en la Licenciatura en Enseñanza de las Matemáticas, en calidad de estudiante que ha
acreditado el primer semestre y cuenta con promedio de aprovechamiento de 8.0
Sus áreas principales de interés en la matemática pura y aplicada del sustentante son las Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias y Parciales, el Álgebra Lineal, el Análisis Matemático, el Análisis Combinatorio, el
Análisis de Fourier, el Análisis Númerico, la Estadística y la Probabilidad.
Después de titularse el sustentante seguirá estudiando los estudios de Posgrado relacionado a la Matemática
Educativa y laborando en la docencia de las matemáticas en los níveles educación secundaria, media superior
y superior en México en cualquier modalidad educativa.

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Asesora Externa
(Profesionista que elige el alumno para que asesore y diriga el proyecto):
Asesora Interna
(Profesionista que asigna la coordinación de la Licenciatura en Matemáticas de la UnADM como
sinodal para que evalué el proyecto):
Expert@ Intern@
(Profesionista que asigna la coordinación de la Licenciatura en Matemáticas de la UnADM como
sinodal-experto del tema para que evalué el proyecto):
Profesionistas Contribuyentes a este proyecto de titulación.
Dra. Marlen Hernández Ortiz: Es egresada de la Universidad Autónoma de
Zacatecas de la licenciatura en Matemáticas y es maestra en ciencias de la medicina
nuclear y actualmente cuenta con el doctorado en ciencias de los materiales de la
Universidad de Sonora.
M.C. Rafael Marín Salguero: Es egresado de la Facultad de Ciencias de la UNAM en
la Maestría en Ciencias Matemáticas y de la licenciatura en Actuaría y en el área laboral
es docente, tutor e investigador en el plantel Belisario Domínguez del IEMS-DF en la
Delegación Gustavo A. Madero.
Mat. Beatriz Carrasco Torres: es originaria de la Ciudad de México y es Licenciada en
Matemáticas de la Universidad Autónoma Metropolitana de la Unidad Iztapalapa (U.A.M.I.),
actualmente es pasante de la Maestría en Ciencias Físico Matemáticas de la Escuela Superior
de Física y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional (E.S.F.M-I.P.N.) y en el área
laboral es docente, tutor e investigador en el Instituto de Educación Media Superior del
Distrito Federal (I.E.M.S.-D.F.) en el plantel Belisario Domínguez, en la delegación Gustavo
A. Madero.
Mat. Emilio Cabrera Castro: Es egresado de la Facultad de Ciencias de la UNAM de la
licenciatura en matemáticas y actualmente es subdirector de coordinación en el plantel
Belisario Domínguez del IEMS-DF en la Delegación Gustavo A. Madero y es profesor de
asignatura en la Facultad de Ciencias de la UNAM.

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Agradecimientos Hogareños:
Para empezar, a l@s familiares: José Lara y María Maldonado, porque me brindaron las herramientas
necesarias para seguir estudiando y me dieron esta oportunidad excepcional de conocer una carrera profesional,
en mi formación de vida.
Agradecimientos Escolares:
A l@s docentes en línea de la Carrera Profesional de Matemáticas de la SEP-UNADM; donde estudié, en
especial a: M.C.Olivia Alexandra Scholz Marbán, Mat.Carmen Regina Navarrete González,
Mat.María Anaid Linares Aviña, Mat. Beatriz Carrasco Torres, M.C.Elena Tzetzangary Aguirre Mejía,
Fis.Mat.Verónica Natalia Nolasco Becerril, Act.Blanca Nieves Susana Regino Velázquez,
Act.Gladys Bañuelos Rodríguez, Lic.D.T.Diana Patricia Moreno Bravo, Mat.Leticia Contreras Sandoval,
Mat.Azucena Tochimani Tiro, M.C.María del Pilar Beltrán Soria, Mtra.Luz Elvira Andrade López,
Ing.Quí.Karem Hernández Hernández, M.C.Emma Flores De La Fuente,
Mtro.Hugo Genaro Alcantar Verdín, M.C.Edgar Omar Curiel Anaya, Psic.Jhonny Walter Barrientos Pinaya,
M.C.Marco Antonio Olivera Villa y al Act.Victor Hugo Hernández Vázquez.
Porque me enseñaron que la matemática es dialécticamente innovadora a razón de que tiene un razonamiento
inductivo (de lo fácil a lo difícil) y deductivo (de lo abstracto a lo concreto) para poder aplicarlo en la solución
de problemas de la vida cotidiana.
A los que les dan el Visto Bueno ( el Vo. Bo.), a mi trabajo, es decir a las asesoras: Mat. Beatriz Carrasco
Torres y a la Dra.Marlen Hernández Ortiz porque les reconozco el compromiso de evaluar este documento y
esto me sirve para ser un buen profesionista en el ámbito laboral
Al coordinador de la Lic. en Matemáticas de la UNADM: Mat. Carlos Alberto Serrato Hernández, porque
creo e innovo esta área de oportunidad profesional en este nível educativo.
A l@s compañer@s que conocí en el aula virtual de la Licenciatura en Matemáticas, en especial a: Lizeth
Vargas, Salvador May, Laura Pontón, Sindy Alfaro, Susel Lee, María de la Luz Pérez, Luz María Galván,
Lorena Cordero, Gary Blanco, Ana María Jurado, Omar Peña, Carlos Alberto Carlos, Carlos Lara Verduzco,
Claudio Rodríguez, Perla Falcón, Azucena Sepúlveda, Marina Núñez, Modesto Herrera, Irene Ramos, Norma
Orozco, Héctor Tapía, Sandy Medrano,Alfonso Millán, Agüeda Núñez y a Tania Pérez porque son personas
que se comprometen con su labor académica. Me la pase muy bien con tod@s ustedes en esta gran oportunidad
educativa intercultural moderna.
Agradecimientos a la Instancia Paraestatal donde realizé el proyecto:
A las autoridades del plantel IEMS-DF Belisario Domínguez de la delegación Gustavo A. Madero, en
especial a: Mat. Beatriz Carrasco Torres, Mat. Emilio Cabrera Castro y al M.C. Rafael Marín Salguero por
considerarme en esta gran oportunidad de desarrollar este proyecto en esta instancia relacionado con la
Matemática Aplicada y Computacional.
A las autoridades del IEMS-DF de la sede central de Av. División del Norte, Col. Narvarte; en especial
al: C.P. Marco Antonio Apantenco García y al Lic. Luis Felipe Enriquez Valadez por gestionar la autorización
de proporcionar los datos en el INFOMEXDF de manera oportuna y objetiva para poder enriquecer este
proyecto de titulación.

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1. Resumen
El tema de este proyecto se circunscribe a los datos registrados en el Sistema de
Información Mexicana del Distrito Federal (INFOMEXDF) dentro de la dependencia
paraestatal del Instituto de Educación Media Superior del Distrito Federal por parte de la
Dirección Estudiantil; a través del conducto de la Subdirección de Administración Escolar.
El objetivo de este proyecto es hacer predicciones de la deserción estudiantil en las últimas
generaciones que comprenden del año 2013 hasta el año 2014, considerado para los planteles
con amplio histórico; se aplicaron los modelos de ajuste de funciones polinomiales mediante
el método regresión por mínimos cuadrados para encontrar una función polinomial de ajuste
a los datos. Este ajuste se centró en el cálculo del error que define su desviación estándar con
distribución 𝑡 −student para poder construir un intervalo de predicción que representa una
estimación muestral de estudiantes desertores para las generaciones venideras; cuyos límites
de cada intervalo predicho, generó incremento en el indicador del porcentaje de deserción;
interpretándolo a corto plazo, permitió plantear una aproximación probable a la magnitud del
fenómeno de abandono estudiantil, que propuso a las autoridades competentes del IEMSDF
en promover a sus estudiantes, una estimulación de pertenencia trascendental al desarrollo
profesional.
Palabras claves: Deserción estudiantil, Análisis estadístico y Ajuste matemático.
2. Introducción
La deserción escolar en esta dependencia paraestatal del IEMS-DF es un grave problema
para el desarrollo sustentable de la población, particularmente en la entidad federativa de la
Ciudad de México (Díaz, 2015). Tal situación implica una conducta de riesgo entre sus
habitantes, como la consecuencia de gastos presupuestales y pérdidas económicas a nivel
local respecto a las oportunidades de trabajo; esto afecta a nivel familiar, en los ingresos
salariales que sustenta una mejor calidad de vida individual (Gujarati, 2012).
Por lo tanto, en la actualidad el uso de las Herramientas Matemáticas Probabilísticas ha
permitido optimizar y determinar los Procesos de los Indicadores de Desempeño en cuestión
de considerar la información a través de los datos registrados en un plantel determinado por
esta dependencia paraestatal sobre la situación de la Deserción Estudiantil del Sistema
Escolarizado cuya causa de este objetivo depende de la relación de la Cuantificación de su
Ingreso y Egreso por Generación que se analiza a través del “Modelo Estadístico del Ajuste
de Funciones mediante el Método de Regresión por Mínimos Cuadrados” ;cuyo creador fue
el matemático alemán Karl Friedrich Gauss en 1795 (Pérez, 2002), el cual permite interpretar
geométricamente sus variaciones, en efectuar y determinar la predicción certera del cálculo
de la probabilidad como variable de respuesta del pronóstico porcentual de la deserción
estudiantil que ocurra en base a la tendencia que ha seguido los datos registrados de estos
eventos a lo largo del tiempo y asimismo. Cuyo fin se considere a la situación problemática

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de este análisis estadístico cuantitativo como argumento para que las autoridades
competentes puedan fundamentarlo como un primer paso para tomar medidas preventivas de
atención y reflexión de la importancia en corto y a largo plazo de cómo puede afectar a esta
dependencia paraestatal y buscarle una decisión alternativa a través de la instrumentación del
diseño de estrategias de acciones que pretendan involucrarlos en conocer esta información
de la situación de este fenómeno, para que así con base a esas predicciones realizadas
adviertan mejores decisiones que faciliten la viabilidad de reducir su incidencia desertora
para que sea orientada como una propuesta al fomento del incremento del egreso estudiantil
que conlleva a la dimensión del bienestar en su permanencia en el plantel.
3. Marco Teórico
3.1. Deserción Estudiantil
La deserción estudiantil es un indicador situacional de abandono del sistema escolar,
provocado por la combinación de factores que se generan en el entorno como en contextos
interpersonales (Lara, 2016).
El evento de desertar puede ocurrir en cualquier momento durante el período por
generación: por ejemplo, si un individuo deserta en la mitad del semestre que esté estudiando
y otro lo hace finalizando el semestre que estudió, la duración en la institución es diferente.
Sin embargo, en la base de datos que permitirá estimar los parámetros del modelo, la duración
será igual para dichos individuos (tres semestres), tomando así únicamente valores discretos
generacionales (1, 2, 3, ..., etc.). Entonces, la relación del flujo escolar de una generación
desertora, se define por medio de la siguiente fórmula:
𝐏𝐃𝐆 = (
𝐄𝐈𝐆 − 𝐄𝐄𝐆
𝐄𝐈𝐆
) ∗ 𝟏𝟎𝟎(Ponce, 2003) … (𝟏)
Donde:
𝐏𝐃𝐆 = Porcentaje de deserción generacional
𝐄𝐄𝐆 = Número de estudiantes que egresarón por generación
𝐄𝐈𝐆 = Número de estudiantes que ingresarón por generación
El propósito de la ecuación … (𝟏) es dar información útil y verídica, que explica
cuantitativamente el fenómeno de la deserción estudiantil en el instituto y esto contribuirá en
desarrollar un óptimo modelo matemático para el pronóstico cuantitativo, que determina el
comportamiento futuro de este indicador analítico, para diseñar estrategias de prevención y
atención a la población estudiantil que cursa este nivel educativo en la dependencia.
3.2 Análisis estadístico
Es importante considerar a la Estadística como una herramienta de apoyo que puede dar
respuesta a muchas de las necesidades que la actual sociedad plantea, a razón de que su tarea
fundamental es la reducción de datos, con el objetivo de representar la realidad y describirla,

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predecir su futuro o simplemente conocerla; en nuestros días se ha convertido en una rama
de la matemática efectiva para describir con exactitud los valores de datos físicos, políticos
y sociales que sirve para relacionar y analizar dichos datos. Esto implica que esta herramienta
no consiste sólo en resumir y tabular los datos, sino en enfocarse en el proceso de
interpretación de esta información (Levin, 2004).
Es importante considerar que Pronosticar o dar aproximaciones a futuros eventos ha sido
una práctica frecuente para los seres humanos. En tiempos remotos estos pronósticos se
realizaban mediante métodos un poco ortodoxos. Con el paso del tiempo y gracias a los
avances teóricos y tecnológicos de la ciencia, estas aproximaciones han ido cambiando hasta
llegar a metodologías rigurosamente científicas y bien fundamentadas teóricamente
(Cannavos, 1988).
Con esto decimos que el desarrollo de la Teoría de la Probabilidad ha aumentado el alcance
de las aplicaciones de la estadística a razón de que muchos de los conjuntos de datos se
pueden aproximar, con gran exactitud, utilizando modelos probabilísticos; por lo tanto, los
resultados de estas pueden utilizarse para analizar datos estadísticos. Así, la Probabilidad es
útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias estadísticas y para predecir el tipo y la
cantidad de datos necesarios en un determinado estudio estadístico (Figueroa, 2014).
Entonces el análisis del Método de Regresión es una técnica estadística para investigar y
modelar la relación entre variables, de tal manera que son numerosas las aplicaciones de esto
en cualquier campo; incluyendo ciencias físicas, experimentales y sociales; y de hecho se
puede decir que esta técnica estadística es la más usada. Por lo tanto, este análisis sustenta la
fundamentación de los métodos numéricos que se basan en los modelos matemáticos para
desarrollarlo y efectuarlo mediante un ajuste polinomial (Hines, 1996).
3.3. Ajuste Matemático
3.3.1 Fundamentos sobre el Ajuste de Funciones polinomiales
El ajuste de funciones polinomiales es una técnica para el modelado de datos mediante una
ecuación (Bittinger, 2002), y es importante considerar la siguiente pregunta:
¿Cómo decidir qué tipo de función polinomial si existe, podría ajustarse a los datos?
Una forma simple consiste en examinar un Diagrama de Dispersión que es una gráfica
de datos de dos variables en la variable independiente está en el eje horizontal y la variable
dependiente en el eje vertical, entonces con esto se hace el énfasis en definir qué Tipos de
Variables se van a considerar en este modelo:
● Variable Dependiente: Es la variable que se predice o se explica. Se representa por
𝑦.
● Variable Independiente: Es la variable que sirve para predecir o explicar. Se
representa por 𝑥.

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Luego, es importante buscar un patrón que se parezca a una de las gráficas de los tipos de
funciones polinomiales que hay. A continuación, se presenta un Procedimiento que se
considera y que la mayoría de las veces funciona para determinar modelos matemáticos:
1. Representar gráficamente los datos (en la forma de Diagrama de Dispersión).
2. Observar el diagrama de dispersión para determinar si parece ajustarse a una función
conocida.
3. Determinar una función que ajuste los datos.
Ahora con esto se va a utilizar el grupo de funciones polinomiales para observar cuál
función, si existe, podría ajustarse a ciertos datos:
● Los datos podrían modelarse mediante una función polinomial lineal si la gráfica
parece una línea recta.
● Los datos podrían modelarse mediante una función polinomial cuadrática, si la
gráfica sube y luego baja, o baja y luego sube, en una forma encorvada que se parezca
a una parábola.
● Si los datos caen, luego aumentan, y vuelven a caer (de modo que no se ajustan a una
función polinomial lineal o una función polinomial cuadrática), pero podrían
ajustarse a una función polinomial cúbica.
3.3.2. Definición del Método de Regresión por Mínimos Cuadrados
Es una técnica de análisis numérico enmarcada dentro de la optimización matemática, en
la que, dados un conjunto de pares ordenados que incluyen una variable independiente y una
variable dependiente. La cual busca encontrar la función continua, que mejor se aproxime a
los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático. Más aun,
esto coincide con el principio de máxima probabilidad de la estadística (Valdés, 2014).
Entonces decimos que, desde un punto de vista estadístico, un requisito implícito para que
funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén
distribuidos de forma aleatoria para determinar el mejor ajuste de una función polinomial a
través de la consideración de utilizar como mínimo cuatro puntos (Gerald, 2000).
3.3.3. Procedimiento del Método de Regresión por Mínimos Cuadrados
Se supone que se conocen datos que consta de 𝑛 puntos que se definen como:
( 𝑥1, 𝑦1), ( 𝑥2, 𝑦2), …, ( 𝑥 𝑛, 𝑦 𝑛) y que el objetivo es hallar una función polinomial 𝑦 = 𝑓(𝑥) que
se ajuste razonablemente a los datos, por lo que el primer paso es decidir qué tipo de función
probar a través de la inspección gráfica de los 𝑛 puntos, como se muestra en la 𝐅𝐢𝐠𝐮𝐫𝐚 𝟏.

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𝐅𝐢𝐠𝐮𝐫𝐚 𝟏. Representación gráfica de los diferentes tipos de ajuste para encontrar una función polinomial
(Chapra, 2011).
Es importante evitar incertidumbres en la elección de la función de ajuste. Por lo tanto, se
considera una óptima decisión, a través del mínimo valor en su coeficiente de determinación
𝑅2
define su procedimiento a efectuar en este análisis, el cual representa el comportamiento
general de los datos como se muestra en la ecuación … (𝟐) (Carrillo, 2008).
𝑹 𝟐
= ∑ 𝒌=𝟏
𝒏
[ 𝒚 𝒌 − 𝒇( 𝒙 𝒏)]
𝟐
… (𝟐)
3.3.4. Clasificación de Modelos en las Funciones Polinomiales para el Método de
Regresión por Mínimos Cuadrados.
El caso más usado en la práctica es poder ajustar funciones polinomiales, ya que en este
caso los parámetros serán funciones de cualquier tipo que son fáciles de estimar (Marín,
2014).
El modelo a ajustar estará basado en su generalización del ajuste polinomial de grado 𝑚 que
está dado por:
𝒇(𝒙; 𝒂 𝟏, 𝒂 𝟐, … , 𝒂 𝒎) = 𝒂 𝟎 + 𝒂 𝟏 𝒙 + 𝒂 𝟐 𝒙 𝟐
+ ⋯ + 𝒂 𝒎 𝒙 𝒎
… (𝟑)
Por medio de esta consideración en la ecuación … (𝟑) se aproxima ahora a un conjunto de
datos {( 𝑥𝑖, 𝑦𝑖)}𝑖=1
𝑚
con una función polinomial algebraica de grado 𝑛 < 𝑚 − 1 mediante el
procedimiento de mínimos cuadrados (Mathews, 2000); por lo que se ha definido el
polinomio como:
𝒇 𝒏(𝒙𝒊) = 𝒂 𝟎 + 𝒂 𝟏 𝒙𝒊 + ⋯ + 𝒂 𝒏−𝟏 𝒙𝒊
𝒏−𝟏
+ 𝒂 𝒏 𝒙𝒊
𝒏
= ∑𝒋=𝟎
𝒏
𝒂𝒋 𝒙𝒊
𝒋
… (𝟒)
Para obtener el error más bajo en mínimos cuadrados, es necesario seleccionar de la
ecuación … (𝟒) las constantes 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎 𝑛 de tal manera que las derivadas parciales con
respecto a cada una de ellas sean cero y así para cada 𝑗:
𝑹 𝟐
= ∑𝒊=𝟏
𝒎
[𝒚𝒊 − 𝒇(𝒙𝒊)] 𝟐
= ∑𝒊=𝟏
𝒎
𝒚𝒊
𝟐
− 𝟐∑𝒋=𝟎
𝒏
𝒂𝒋(∑𝒊=𝟏
𝒎
𝒚𝒊 𝒙𝒊
𝒋
) + ∑𝒋=𝟎
𝒏
∑ 𝒌=𝟎
𝒏
𝒂𝒋 𝒂 𝒌(∑𝒊=𝟏
𝒎
𝒙𝒊
𝒋+𝒌
) … (𝟓)
𝝏𝑹 𝟐
𝝏𝒂𝒋
= −𝟐∑𝒊=𝟏
𝒎
𝒚𝒊 𝒙𝒊
𝒋
+ 𝟐∑ 𝒌=𝟎
𝒎
𝒂 𝒌∑𝒊=𝟏
𝒎
𝒙𝒊
𝒋+𝒌
… (𝟔)

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Esto da 𝑛 + 1 ecuaciones normales con 𝑛 + 1 incógnitas 𝑎𝑗, por lo tanto,
∑ 𝒌=𝟎
𝒏
𝒂 𝒌∑𝒊=𝟏
𝒎
𝒙𝒊
𝒋+𝒌
= ∑𝒊=𝟏
𝒎
𝒚𝒊 𝒙𝒊
𝒋
… (𝟕)
Para cada 𝑗 = 0,1, … , 𝑛 se tiene:
𝒂 𝟎(∑𝒊=𝟏
𝒎
𝒙𝒊
𝟎
) + 𝒂 𝟏(∑𝒊=𝟏
𝒎
𝒙𝒊
𝟏
) + 𝒂 𝟐(∑𝒊=𝟏
𝒎
𝒙𝒊
𝟐
) + ⋯ + 𝒂 𝒏(∑𝒊=𝟏
𝒎
𝒙𝒊
𝒏
) = ∑𝒊=𝟏
𝒎
𝒚𝒊 𝒙𝒊
𝟎
𝒂 𝟎(∑𝒊=𝟏
𝒎
𝒙𝒊) + 𝒂 𝟏(∑𝒊=𝟏
𝒎
𝒙𝒊
𝟐
) + 𝒂 𝟐(∑𝒊=𝟏
𝒎
𝒙𝒊
𝟑
) + ⋯ + 𝒂 𝒏(∑𝒊=𝟏
𝒎
𝒙𝒊
𝒏+𝟏
) = ∑𝒊=𝟏
𝒎
𝒚𝒊 𝒙𝒊
𝟏
⋮
𝒂 𝟎(∑𝒊=𝟏
𝒎
𝒙𝒊
𝒏
) + 𝒂 𝟏(∑𝒊=𝟏
𝒎
𝒙𝒊
𝒏+𝟏
) + 𝒂 𝟐(∑𝒊=𝟏
𝒎
𝒙𝒊
𝒏+𝟐
) + ⋯ + 𝒂 𝒏(∑𝒊=𝟏
𝒎
𝒙𝒊
𝟐𝒏
) = ∑𝒊=𝟏
𝒎
𝒚𝒊 𝒙𝒊
𝒏
… (𝟖)
Por lo tanto, estas ecuaciones normales … (𝟖) tienen solución única siempre y cuando las
𝑥𝑖 sean distintas y en tal caso, la función apropiada de mínimos cuadrados (probablemente
un polinomio de grado 𝑛) puede deducirse con los valores de la función que se reemplace
con los datos cuando la medida de bondad de ajuste de 𝑅2
sea suficientemente pequeña, a
esto se le denomina “suavizamiento de datos” y su aplicación de esto es encontrar los
parámetros: 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎 𝑛 a través de la resolución de sistemas de ecuaciones normales
(Spiegel, 1970).
Entonces se supone ajustar una pareja de datos a través de este modelo de la función
polinomial generalizada en cuestión de la suma de los errores al cuadrado 𝑅2
que está dada
por:
𝑹 𝟐
= ∑ 𝒌=𝟏
𝑵
[𝒚 𝒌 − (𝒂 𝟎 + 𝒂 𝟏 𝒙 + 𝒂 𝟐 𝒙 𝟐
+ ⋯ + 𝒂 𝒎 𝒙 𝒎)] 𝟐
… (𝟗)
Para encontrar el valor de los parámetros 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎 𝑚 de … (𝟗) se procede a relacionar el
cambio de variables de los subíndices 𝑛 con 𝑚 que se definen en las sumatorias de … (𝟖);
por lo tanto, se obtiene el sistema de ecuaciones normales para el grado 𝑚 que está dada por:
𝒂 𝟎 𝑵 + 𝒂 𝟏(∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊) + ⋯ + 𝒂 𝒎(∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝒎
) = ∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒚𝒊
𝒂 𝟎(∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊) + 𝒂 𝟏(∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟐
) + ⋯ + 𝒂 𝒎(∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝒎+𝟏
) = ∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊 𝒚𝒊
⋮
𝒂 𝟎(∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝒎
) + 𝒂 𝟏(∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝒎+𝟏
) + ⋯ + 𝒂 𝒎(∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟐𝒎
) = ∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝒎
𝒚𝒊
… (𝟏𝟎)
Sin embargo, para hallar la función de mejor ajuste, se determinan los valores o coeficientes
respectivamente en cada caso de los tipos de funciones para 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎 𝑚 donde 𝑚 ≥ 0.
Por lo tanto, se considera el sistema de ecuaciones normales del ajuste polinomial de
grado 𝒎 … (𝟗) en términos matriciales de la forma 𝑿𝒂̂ = 𝒀, es decir:
[
𝑵
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
⋮
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝒎
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟐
⋮
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝒎+𝟏
⋯
⋯
⋱
⋯
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝒎
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝒎+𝟏
⋮
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟐𝒎
]
[
𝒂 𝟎
𝒂 𝟏
⋮
𝒂 𝒎
] =
[
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒚𝒊
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊 𝒚𝒊
⋮
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝒎
𝒚𝒊]
… (𝟏𝟏)

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Para encontrar la solución matricial se tiene que multiplicar la ecuación matricial 𝑿𝒂̂ = 𝒀 y
después se calcula su inversa (se multiplicó por la matriz transpuesta para que quede una
matriz cuadrada)
𝑿 𝑻
𝑿𝒂̂ = 𝑿 𝑻
𝒀 →∴ 𝒂̂ = ( 𝑿 𝑻
𝑿)
−𝟏
𝑿 𝑻
𝒀 … (𝟏𝟐)
Este sistema de ecuaciones lineales simultáneas se puede resolver fácilmente usando la
famosa regla de Cramer (para polinomios lineales y cuadráticos) y el método de eliminación
Gaussiana (para polinomios al menos de tercer grado).
Los coeficientes de la matriz de … (𝟏𝟏) se encuentran acomodando los datos en la Tabla
1.
𝐓𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟏. 𝐀𝐣𝐮𝐬𝐭𝐞 𝐩𝐨𝐥𝐢𝐧𝐨𝐦𝐢𝐚𝐥 𝐝𝐞 𝐠𝐫𝐚𝐝𝐨 𝒎.
𝒊 𝒙𝒊 𝒙𝒊
𝟐
𝒙𝒊
𝟑 ⋯ 𝒙𝒊
𝟐𝒎 𝒚𝒊 𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒙𝒊
𝟐
𝒚𝒊 ⋯ 𝒙𝒊
𝒎
𝒚𝒊
1 𝑥1 𝑥1
2
𝑥1
3 ⋯ 𝑥1
2𝑚 𝑦1 𝑥1 𝑦1 𝑥1
2
𝑦1 ⋯ 𝑥1
𝑚
𝑦1
2 𝑥2 𝑥2
2
𝑥2
3 ⋯ 𝑥2
2𝑚 𝑦2 𝑥2 𝑦2 𝑥2
2
𝑦2 ⋯ 𝑥2
𝑚
𝑦2
3 𝑥3 𝑥3
2
𝑥3
3 ⋯ 𝑥3
2𝑚 𝑦3 𝑥3 𝑦3 𝑥3
2
𝑦3 ⋯ 𝑥3
𝑚
𝑦3
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑁 𝑥 𝑁 𝑥 𝑁
2
𝑥 𝑁
3 ⋯ 𝑥 𝑁
2𝑚 𝑦 𝑁 𝑥 𝑁 𝑦 𝑁 𝑥 𝑁
2
𝑦 𝑁 ⋯ 𝑥 𝑁
𝑚
𝑦 𝑁
∑𝑖=1
𝑁
𝑥𝑖 ∑𝑖=1
𝑁
𝑥𝑖
2
∑𝑖=1
𝑁
𝑥𝑖
3
⋯ ∑𝑖=1
𝑁
𝑥𝑖
2𝑚
∑𝑖=1
𝑁
𝑦𝑖 ∑𝑖=1
𝑁
𝑥𝑖 𝑦𝑖 ∑𝑖=1
𝑁
𝑥𝑖
2
𝑦𝑖 ⋯ ∑𝑖=1
𝑁
𝑥𝑖
𝑚
𝑦𝑖
3.3.4.1. Ajuste de la función polinomial lineal 𝒚 = 𝒂 𝟎 + 𝒂 𝟏 𝒙
Se recuerda que una aproximación por mínimos cuadrados consiste en ajustar a una línea
recta un conjunto de datos discretos de la forma: ( 𝑥1, 𝑦1), ( 𝑥2, 𝑦2), …, ( 𝑥 𝑁, 𝑦 𝑁)
Por lo tanto, se inicia en considerar una ecuación de una línea recta a la cual se relaciona
al comportamiento de los datos y el modelo propuesto, de esta forma se tiene: 𝑦 = 𝑎0 +
𝑎1 𝑥 dónde 𝑎0 =es la ordenada al origen y 𝑎1 =es la pendiente.
Al aplicar el criterio de que el “mejor” ajuste se cumple cuando se puede minimizar la
suma de los cuadrados de los residuos 𝑹 𝟐
, es decir, el error entre el modelo y los datos
experimentales, se tiene que:
𝑹 𝟐
= ∑𝒊=𝟏
𝒏
( 𝒚 𝟏 − 𝒂 𝟎 − 𝒂 𝟏 𝒙𝒊) 𝟐
… (𝟏𝟑)
Este criterio tiene la ventaja de proporcionar una línea única para un conjunto de datos.
Para determinar los valores de 𝑎0 y 𝑎1 que minimizan la ecuación se deriva la ecuación con
respecto a cada uno de los coeficientes

12
𝝏𝑹 𝟐
𝝏𝒂 𝟎
= −𝟐∑(𝒚𝒊 − 𝒂 𝟎 − 𝒂 𝟏 𝒙𝒊) = 𝟎
𝝏𝑹 𝟐
𝝏𝒂 𝟏
= −𝟐∑[(𝒚 𝟏 − 𝒂 𝟎 − 𝒂 𝟏 𝒙𝒊)𝒙𝒊] = 𝟎
… (𝟏𝟒)
Al igualar ambas derivadas en las ecuaciones … (𝟏𝟒) a cero, se genera un mínimo para la
suma de los cuadrados de los residuos 𝑹 𝟐
de la siguiente forma:
−𝟐∑(𝒚𝒊 − 𝒂 𝟎 − 𝒂 𝟏 𝒙𝒊) = 𝟎 = ∑𝒚𝒊 − ∑𝒂 𝟎 − ∑𝒂 𝟏 𝒙𝒊 … (𝟏𝟓)
−𝟐∑[(𝒚 𝟏 − 𝒂 𝟎 − 𝒂 𝟏 𝒙𝒊)𝒙𝒊] = 𝟎 = ∑𝒚𝒊 𝒙𝒊 − ∑𝒂 𝟎 𝒙𝒊 − ∑𝒂 𝟏 𝒙𝒊
𝟐
… (𝟏𝟔)
De la ecuación … (𝟏𝟒) se obtiene
∑𝒚𝒊 = 𝒏𝒂 𝟎 + 𝒂 𝟏∑𝒙𝒊 … (𝟏𝟕)
De la ecuación … (𝟏𝟓) se obtiene
∑𝒚𝒊 𝒙𝒊 = 𝒂 𝟎∑𝒙𝒊 + 𝒂 𝟏∑(𝒙𝒊) 𝟐
… . (𝟏𝟖)
Al resolver en forma simultánea las ecuaciones … (𝟏𝟕) y … (𝟏𝟖) se obtienen los valores
de 𝑎0 y 𝑎1 mediante las siguientes ecuaciones:
𝒂 𝟏 =
𝒏 ∑ 𝒙𝒊 𝒚𝒊 − ∑ 𝒙𝒊 𝒚 𝟏
𝒏 ∑ 𝒙𝒊
𝟐
− (∑ 𝒙𝒊) 𝟐
… (𝟏𝟗), 𝒂 𝒐 =
∑ 𝒚𝒊
𝒏
− 𝒂 𝟏 (
∑ 𝒙𝒊
𝒏
) … (𝟐𝟎)
Por lo tanto, construyendo la Tabla 2; para el caso lineal.
𝐓𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟐. 𝐀𝐣𝐮𝐬𝐭𝐞 𝐩𝐨𝐥𝐢𝐧𝐨𝐦𝐢𝐚𝐥 𝐥𝐢𝐧𝐞𝐚𝐥
𝟐 𝒚𝒊 𝒙𝒊 𝒚𝒊
1 𝑥1 𝑥1
2 𝑦1 𝑥1 𝑦1
2 𝑥2 𝑥2
2 𝑥2 𝑥2 𝑦2
3 𝑥3 𝑥3
2 𝑦3 𝑥3 𝑦3
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
2 𝑦 𝑁 𝑥 𝑁 𝑦 𝑁
Suma por
columna ∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊 ∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟐
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒚𝒊 ∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊 𝒚𝒊
Las ecuaciones normales matriciales para el caso del ajuste lineal están dadas por:
[
𝑵 ∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝑵
𝒙𝒊
𝟐] [
𝒂 𝟎
𝒂 𝟏
] = [
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒚𝒊
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊 𝒚𝒊
] … (𝟐𝟏)
Este sistema de ecuaciones … (𝟐𝟏) se puede resolver con los métodos habituales (suma y
resta, Cramer, sustitución, etc.).

13
3.3.4.2. Ajuste de la función polinomial cuadrático 𝒚 = 𝒂 𝟎 + 𝒂 𝟏 𝒙 + 𝒂 𝟐 𝒙 𝟐
De la misma
manera considerando la Tabla 3; para una ajuste cuadrático o parabólico.
𝐓𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟑. 𝐀𝐣𝐮𝐬𝐭𝐞 𝐩𝐨𝐥𝐢𝐧𝐨𝐦𝐢𝐚𝐥 𝐜𝐮𝐚𝐝𝐫á𝐭𝐢𝐜𝐨.
𝟐
𝒙𝒊
𝟑
𝒙𝒊
𝟒 𝒚𝒊 𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒙𝒊
𝟐
𝒚𝒊
1 𝑥1 𝑥1
2
𝑥1
3
𝑥1
4 𝑦1 𝑥1 𝑦1 𝑥1
2
𝑦1
2 𝑥2 𝑥2
2
𝑥2
3
𝑥2
4 𝑥2 𝑥2 𝑦2 𝑥2
2
𝑦2
3 𝑥3 𝑥3
2
𝑥3
3
𝑥3
4 𝑦3 𝑥3 𝑦3 𝑥3
2
𝑦3
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
2
𝑥 𝑁
3
𝑥 𝑁
4 𝑦 𝑁 𝑥 𝑁 𝑦 𝑁 𝑥 𝑁
2
𝑦 𝑁
Suma por
𝑵
𝑵
𝒙𝒊
𝟐
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟑
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟒
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝑵
𝒙𝒊 𝒚𝒊 ∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟐
𝒚𝒊
Las ecuaciones normales para el caso del ajuste polinomial cuadrático están dadas por:
[
𝑵 ∑𝒊=𝟏
𝑵
𝑵
𝒙𝒊
𝟐
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝑵
𝒙𝒊
𝟐
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟑
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟐
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟑
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟒
] [
𝒂 𝟎
𝒂 𝟏
𝒂 𝟐
] = [
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒚𝒊
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊 𝒚𝒊
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟐
𝒚𝒊
] … (𝟐𝟐)
Este sistema de ecuaciones … (𝟐𝟐) se puede resolver con los métodos de Cramer de 3
variables con 3 incógnitas.
3.3.4.3. Ajuste de la función polinomial cúbico: 𝒚 = 𝒂 𝟎 + 𝒂 𝟏 𝒙 +𝒂 𝟐 𝒙 𝟐
+ 𝒂 𝟑 𝒙 𝟑
Similarmente, considerando la Tabla 4; para el caso cúbico.
𝐓𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟒. 𝐀𝐣𝐮𝐬𝐭𝐞 𝐩𝐨𝐥𝐢𝐧𝐨𝐦𝐢𝐚𝐥 𝐜ú𝐛𝐢𝐜𝐨
𝟐
𝒙𝒊
𝟑
𝒙𝒊
𝟒
𝒙𝒊
𝟓
𝒙𝒊
𝟔 𝒚𝒊 𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒙𝒊
𝟐
𝒚𝒊 𝒙𝒊
𝟑
𝒚𝒊
1 𝑥1 𝑥1
2
𝑥1
3
𝑥1
4
𝑥1
5 𝑥1
6 𝑦1 𝑥1 𝑦1 𝑥1
2
𝑦1 𝑥1
3
𝑦1
2 𝑥2 𝑥2
2
𝑥2
3
𝑥2
4
𝑥2
5 𝑥2
6 𝑥2 𝑥2 𝑦2 𝑥2
2
𝑦2 𝑥2
3
𝑦2
3 𝑥3 𝑥3
2
𝑥3
3
𝑥3
4
𝑥3
5
𝑥3
6 𝑦3 𝑥3 𝑦3 𝑥3
2
𝑦3 𝑥3
3
𝑦3
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
2
𝑥 𝑁
3
𝑥 𝑁
4
𝑥 𝑁
5 𝑥 𝑁
6 𝑦 𝑁 𝑥 𝑁 𝑦 𝑁 𝑥 𝑁
2
𝑦 𝑁 𝑥 𝑁
3
𝑦 𝑁
Suma por
𝑵
𝑵
𝒙𝒊
𝟐
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟑
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟒
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟓
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟔
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝑵
𝒙𝒊 𝒚𝒊 ∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟐
𝑵
𝒙𝒊
𝟑
𝒚𝒊
Las ecuaciones normales matriciales para el caso del ajuste cúbico están dadas por el
siguiente sistema de 4 variables y 4 ecuaciones:

14
[
𝑵
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟐
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟑
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟐
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟑
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟒
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟐
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟑
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟒
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟓
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟑
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟒
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟓
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟔
]
[
𝒂 𝟎
𝒂 𝟏
𝒂 𝟐
𝒂 𝟑
] =
[
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒚𝒊
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊 𝒚𝒊
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟐
𝒚𝒊
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟑
𝒚𝒊]
… (𝟐𝟑)
Se sugiere utilizar los casos de la Tabla 2 hasta la Tabla 4 de la generalización de la Tabla
1, a razón de que estos dan un óptimo ajuste para poder encontrar el valor de los parámetros
𝑎 𝑘 con 𝑘 = 1, … , 𝑚 que minimicen esta suma; es decir:
𝐦𝐢𝐧
𝒂 𝟏,…,𝒂 𝒎
𝑹 𝟐
= 𝐦𝐢𝐧
𝒂 𝟏,…,𝒂 𝒎
∑[𝒚 𝒌 − 𝒇(𝒙 𝒌; 𝒂 𝟏, 𝒂 𝟐, … , 𝒂 𝒎)] 𝟐
… (𝟐𝟒)
Para poder encontrar estos coeficientes de la ecuación … (𝟐𝟒) se debe cumplir cada una de
las ecuaciones presentadas en los casos de la Tabla 2 hasta la Tabla 4; a través del criterio
siguiente:
𝝏(𝑹 𝟐)
𝝏𝒂𝒊
= 𝟎 𝐜𝐨𝐧 𝒊 = 𝟏, … , 𝒎. … (𝟐𝟓)
En términos generales es un sistema de ecuaciones no lineales con 𝑚 restricciones (Marín,
2014).
3.3.5. Los residuales que definen al Método de Regresión por Mínimos Cuadrados
En el caso práctico no es posible encontrar esta función polinomial 𝑦 = 𝑓(𝑥) y que
satisfaga exactamente todas las relaciones:
𝒚 𝟏 = 𝒇(𝒙 𝟏)
𝒚 𝟐 = 𝒇(𝒙 𝟐)
⋮
𝒚 𝒏 = 𝒇(𝒙 𝒏)
… (𝟐𝟔)
Por lo general, uno está dispuesto a aceptar un "residual" (que dependerá de cada
observación) y se define de la manera siguiente:
𝒇(𝒙 𝒌) = 𝒚 𝒌 + 𝒆 𝒌 … (𝟐𝟕)
Donde 𝑒 𝑘 es el residual que define la medición observada en el dato. La pregunta que uno
se hace es ¿cómo poder encontrar "la mejor aproximación" que pase por los puntos? (Smith,
1988). Para responder esta pregunta, hay que considerar los residuales (también llamado
como las desviaciones) y están dados como la diferencia del valor estimado por el modelo
𝑓( 𝑥 𝑘) menos el valor observado 𝑦 𝑘, es decir:
Residuales de Medición
𝒆 𝒌 = 𝒇(𝒙 𝒌) − 𝒚 𝒌 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝟏 ≤ 𝒌 ≤ 𝒏 … (𝟐𝟖)
𝐑𝐞𝐬𝐢𝐝𝐮𝐚𝐥 = 𝐕𝐚𝐥𝐨𝐫 𝐄𝐬𝐭𝐢𝐦𝐚𝐝𝐨 − 𝐕𝐚𝐥𝐨𝐫 𝐎𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐝𝐨 … (𝟐𝟗)

15
Esta diferencia también suele denotarse por 𝑒𝑖y con esto se podrá determinar el “residual de
estimación” que permite fijar límites dentro de los cuales estará el valor real con cierto grado
de confiabilidad entre los datos verdaderos u observados de 𝑦𝑖 y los datos estimados o
evaluados de 𝑦𝑖̂ , es decir:
𝒆𝒊 = 𝒚𝒊 − 𝒚𝒊̂ →∴ 𝒆𝒊 = 𝒚𝒊 − 𝒇̂(𝒙𝒊) … (𝟑𝟎)
Esta ecuación debe satisfacer la condición de minimizar la suma de las residuales (𝑒𝑖) del
comportamiento de cada par de datos discretos (Quintana, 2005), con respecto al modelo
propuesto, elevadas al cuadrado, es decir:
∑ 𝒆𝒊
𝟐
= ∑[𝒚𝒊 − 𝒇̂(𝒙𝒊)]
𝟐
𝒏
𝒊=𝟏
= ∑(𝒚𝒊 − 𝒚𝒊̂ ) 𝟐
→∴ ∑(𝒚𝒊,𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 − 𝒚̂𝒊,𝒎𝒐𝒅𝒆𝒍𝒐)
𝟐
… (𝟑𝟏)
En la Figura 2 se representa la ecuación … (𝟐𝟗)
𝐅𝐢𝐠𝐮𝐫𝐚 𝟐. Comparación gráfica de los valores observados y de los valores estimados en el residual de medición
(Marín, 2013)
Este análisis describe las predicciones generacionales a través del cálculo del residual;
que este sea lo más exacto posible, es decir un valor mínimo para encontrar el mejor ajuste
para los datos presentados e inferir qué acciones se debe llevar a cabo para cada situación
respectiva en la modalidad del estudio a efectuar (Anderson, 2008).
La validez de la aplicación del método de mínimos cuadrados para el ajuste de funciones
descansa sobre tres suposiciones sobre los residuales que son la:
1.-Independencia: requiere que los residuales sean independientes unos de otros.
2.-Normalidad: requiere que los residuales se distribuyen normalmente en cada valor de la
variable independiente.
3.-Homocedasticidad: requiere que la varianza de los residuales sea constante; es decir
requiere que tengan igual varianza.
Esta validez de la aplicación del método de mínimos cuadrados se define como el criterio
de determinación del mejor ajuste polinomial, dado por:

16
𝐦𝐢𝐧 𝐑 𝟐
> 𝐑 𝐚
𝟐
(Infante, 2012) … (𝟑𝟐)
𝐃𝐨𝐧𝐝𝐞:
R2
= Coeficiente de determinación
Ra
2
= Coeficiente de determinación ajustado
La ecuación … (𝟑𝟐) nos precisa que modelo de función polinomial es el óptimo, para que
este sea el detonador de poder pronosticar los rangos con certeza.
3.3.6. Intervalos de predicción
Considerando el ajuste de la función polinomial, se asume que tienen 𝑁 parejas de
números (𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2) hasta (𝑥 𝑁, 𝑦 𝑁) y se desea ajustar el mejor polinomio de grado 𝑚
dado por:
𝒚 = 𝒂 𝟎 + 𝒂 𝟏 𝒙 + 𝒂 𝟐 𝒙 𝟐
+ ⋯ + 𝒂 𝒎 𝒙 𝒎
… (𝟑𝟑)
Por lo tanto, se definen los probables intervalos de predicción al 95% de la deserción
estudiantil para esta dependencia del IEMSDF, con su respectiva generación en 𝑥 𝑝, dada por:
𝒚 𝒑 = 𝑿 𝒑 𝒂̂ ± 𝒕 𝟎.𝟗𝟕𝟓
𝑵−(𝒎+𝟏)
𝝈̂√𝟏 + 𝑿 𝒑(𝑿 𝑻 𝑿)−𝟏 𝑿 𝒑
𝑻
(Wackerly, 2010) … (𝟑𝟒)
𝐃𝐨𝐧𝐝𝐞:
La variable definida generacional del porcentaje de deserción a predecir = 𝒚 𝒑
La matriz pronóstico para 𝑝 datos generacionales = 𝑿 𝒑 = [ 𝟏 𝒙 𝒑 ⋯ 𝒙 𝒑
𝒎
]
La matriz de parámetros = 𝒂̂ = (𝑿 𝑻
𝑿)
−𝟏
𝑿 𝑻
𝒀 = [
𝒂 𝟎
𝒂 𝟏
⋮
𝒂 𝒎
]
El percentil de una 𝑡 Student = 𝒕 𝟎.𝟗𝟕𝟓
𝑵−(𝒎+𝟏)
con 𝑵 − (𝒎 + 𝟏) = 𝒗 grados de libertad.
𝐂𝐨𝐧𝐬𝐢𝐝𝐞𝐫𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐪𝐮𝐞:
𝒎 = Grado del polinomio que se obtuvo en el ajuste.
𝑿 = [
𝟏
𝟏
⋮
𝟏
𝒙 𝟏
𝒙 𝟐
⋮
𝒙 𝑵
⋯
⋯
⋱
⋯
𝒙 𝟏
𝒎
𝒙 𝟐
𝒎
⋮
𝒙 𝑵
𝒎
] = La matriz de diseño del ajuste polinomial.
𝒀 = [
𝒚 𝟏
𝒚 𝟐
⋮
𝒚 𝑵
] = La matriz de respuesta del modelo ajustado a los datos.
𝑿 𝑻
= La matriz transpuesta de diseño del ajuste polinomial.
𝑵 = Número de datos.

17
(𝑿 𝑻
𝑿)
−𝟏
= La matriz inversa.
El error estándar de estimación = 𝝈̂ = √
𝑺𝑪𝑬
𝑵 − (𝒎 + 𝟏)
= √
𝒀 𝑻 𝒀 − 𝒂̂ 𝑻 𝑿 𝑻 𝒀
𝑵 − (𝒎 + 𝟏)
𝐃𝐞𝐟𝐢𝐧𝐢𝐞𝐧𝐝𝐨:
𝑺𝑪𝑬 = Suma de cuadrados del error.
𝒀 𝑻
= La matriz transpuesta de respuesta del modelo ajustado a los datos.
𝒂̂ 𝑻
= La matriz transpuesta de los parámetros.
Respecto al orden de la bivalencia ± el intervalo de predicción es expresado como:
𝑿 𝒑 𝒂̂ − 𝒕 𝟎.𝟗𝟕𝟓
𝑵−(𝒎+𝟏)
𝝈̂√𝟏 + 𝑿 𝒑(𝑿 𝑻 𝑿)−𝟏 𝑿 𝒑
𝑻 ≤ 𝒚 𝒑 ≤ 𝑿 𝒑 𝒂̂ + 𝒕 𝟎.𝟗𝟕𝟓
𝑵−(𝒎+𝟏)
𝝈̂√𝟏 + 𝑿 𝒑(𝑿 𝑻 𝑿)−𝟏 𝑿 𝒑
𝑻 … (𝟑𝟓)
La hipótesis indica que el valor esperado de los residuales sea cero y también que la
varianza de los errores sea constante, es decir:
𝑬[𝒆 𝒌] = 𝟎 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝒌 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏
𝑽𝒂𝒓[𝒆 𝒌] = 𝝈̂ 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝒌 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏
(Infante, 2012) … (𝟑𝟔)
4. Metodología para los planteles con amplio histórico generacional.
En este proyecto fue necesario recurrir al ordenador, para poder resolver el objetivo
planteado; por lo que se utilizaron las siguientes herramientas computacionales:
● La hoja de cálculo de Microsoft Excel 2016 del sistema operativo Windows 10.
● Wólfram Alpha desde: http://www.wolframalpha.com/
● Matrixcalc versión slu. desde: https://matrixcalc.org/es/slu.html
● Octave-MATLAB desde: http://octave-online.net/
Es de especial importancia considerarlo a razón de que se plantea el modelo óptimo para
dar respuesta a las siguientes cuestiones fundamentales:
1). ¿Cuáles son las relaciones en las que estará basado el modelo? El fenómeno de la
deserción estudiantil en la dependencia del IEMS-DF se considera por medio de las
generaciones escolares, en este caso se tomará la relación del ingreso-egreso de cada
generación de los 16 planteles con amplio histórico de la modalidad escolarizada.
2). ¿Cuál es la formulación del Modelo? A través de los datos registrados del Sistema de
Información Mexicana del Distrito Federal (INFOMEXDF), para poder inferir los valores
estimados a pronosticar a través del ajuste de funciones polinomiales, se considera la relación
numérica de orden cronológico de la generación en los valores discretos, es decir: Si la
primera generación del IEMS-DF fue en 2001-2002, se considera por conveniencia al
modelo, como generación 1

18
4.1. Para el plantel de la delegación Álvaro Obregón
3). ¿Qué atributos caracterizan el modelo? Por medio de la fórmula del porcentaje de
deserción generacional-PDG, ecuación … (𝟏), para aplicarlo en Excel:
𝐓𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟓. 𝟏. 𝐃𝐚𝐭𝐨𝐬 𝐝𝐞𝐥 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐭𝐞𝐥 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐂𝐨𝐥𝐨𝐧𝐢𝐚 𝐉𝐚𝐥𝐚𝐥𝐩𝐚 𝐄𝐥 𝐆𝐫𝐚𝐧𝐝𝐞: "𝐆𝐫𝐚𝐥. 𝐋á𝐳𝐚𝐫𝐨 𝐂á𝐫𝐝𝐞𝐧𝐚𝐬 𝐝𝐞𝐥 𝐑í𝐨"
(𝐒𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 𝐈𝐍𝐅𝐎𝐌𝐄𝐗𝐃𝐅, 𝟐𝟎𝟏𝟔)
4.) ¿Cuáles son las restricciones a emplear para simplificar el modelo? Cabe aclarar que
en el presente trabajo se tomará en cuenta las siguientes variables:
● Variable cuantitativa independiente ( 𝑥): Define la generación del año escolar
donde se analiza la deserción de estudiantes en este plantel del IEMS-DF.
● Variable cuantitativa dependiente ( 𝑦): Define el porcentaje de la deserción
generacional estudiantil de este plantel del IEMS-DF.
Esto implica relacionar y definir las siguientes parejas ordenadas:
(𝐱 𝟏, 𝐲 𝟏 ) = (𝐠𝐞𝐧𝐞𝐫𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝟏, 𝐏𝐃𝐆 𝟏)
⋮
(𝐱 𝐧, 𝐲 𝐧) = (𝐠𝐞𝐧𝐞𝐫𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐧, 𝐏𝐃𝐆 𝐧)
… (𝟑𝟕)
Dónde la ecuación … (𝟑𝟕) se delimita, como los valores discretos por conveniencia a la
respectiva generación 𝑛 = 1,2, … ,12; que estos se relacionan, como:
(𝐱 𝟏, 𝐲 𝟏 ) = (𝟏, 𝐏𝐃𝐆 𝟏)
⋮
(𝐱 𝟏𝟐, 𝐲 𝟏𝟐) = (𝟏𝟐, 𝐏𝐃𝐆 𝟏𝟐)
… (𝟑𝟖)
Luego, se toma la consideración de la ecuación … (𝟑𝟖), para poder realizar el siguiente
arreglo, que va a definir el ajuste:
𝐆𝐞𝐧𝐞𝐫𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐄𝐈𝐆 𝐄𝐄𝐆 𝐏𝐃𝐆
2001 − 𝟏 152 10 𝟗𝟑. 𝟒𝟐
2002 − 𝟐 350 38 𝟖𝟗. 𝟏𝟒
2003 − 𝟑 199 38 𝟖𝟎. 𝟗𝟎
2004 − 𝟒 377 70 𝟖𝟏. 𝟒𝟑
2005 − 𝟓 346 92 𝟕𝟑. 𝟒𝟏
2006 − 𝟔 340 86 𝟕𝟒. 𝟕𝟏
2007 − 𝟕 353 68 𝟖𝟎. 𝟕𝟒
2008 − 𝟖 350 56 𝟖𝟒. 𝟎𝟎
2009 − 𝟗 359 58 𝟖𝟑. 𝟖𝟒
2010 − 𝟏𝟎 354 57 𝟖𝟑. 𝟗𝟎
2011 − 𝟏𝟏 361 91 𝟕𝟒. 𝟕𝟗
2012 − 𝟏𝟐 351 85 𝟕𝟓. 𝟕𝟖
2013 − 𝟏𝟑 373 ¿ ? ¿ ?
2014 − 𝟏𝟒 405 ¿ ? ¿ ?

19
𝐓𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟔. 𝟏 𝐑𝐞𝐥𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐯𝐚𝐫𝐢𝐚𝐛𝐥𝐞𝐬 𝐟𝐮𝐧𝐝𝐚𝐦𝐞𝐧𝐭𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐞𝐥 𝐚𝐣𝐮𝐬𝐭𝐞 𝐩𝐨𝐥𝐢𝐧𝐨𝐦𝐢𝐚𝐥 𝐜ú𝐛𝐢𝐜𝐨.
𝐒𝐢𝐞𝐧𝐝𝐨:
𝒙𝒊 = 𝐑𝐞𝐩𝐫𝐞𝐬𝐞𝐧𝐭𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐠𝐞𝐧𝐞𝐫𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐞𝐬𝐜𝐨𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐧 𝐥𝐨𝐬 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐝𝐢𝐬𝐜𝐫𝐞𝐭𝐨𝐬
𝒚𝒊 = 𝐏𝐨𝐫𝐜𝐞𝐧𝐭𝐚𝐣𝐞 𝐝𝐞 𝐝𝐞𝐬𝐞𝐫𝐜𝐢ó𝐧 𝐠𝐞𝐧𝐞𝐫𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥 (𝐏𝐃𝐆) = (
𝐄𝐈𝐆 − 𝐄𝐄𝐆
𝐄𝐈𝐆
) ∗ 𝟏𝟎𝟎
5.) ¿Cuál es el criterio del mejor ajuste a los datos en el modelo? Para poder realizar el
óptimo ajuste polinomial a los datos de la Tabla 6.1, se corrobora mediante el software
wólfram alpha: http://www.wolframalpha.com/ de la siguiente manera:
fit {{1,93.42}, {2,89.14}, {3,80.90}, {4,81.43}, {5,73.41}, {6,74.71}, {7,80.74}, {8,84.00},
{9,83.84}, {10,83.90}, {11,74.79}, {12,75.78}}
Esta sintaxis a ejecutar, dará las mejores opciones de ajuste polinomiales a los datos que en
este caso, su diagnóstico, es:
𝐅𝐢𝐠𝐮𝐫𝐚 𝟑. 𝟏 El diagnóstico de los ajustes viables a los datos en 𝑤ó𝑙𝑓𝑟𝑎𝑚 𝑎𝑙𝑝ℎ𝑎.
Para encontrar el óptimo ajuste polinomial a los datos, del diagnóstico de la Figura 3.1, se
emplea el criterio de determinación del mejor ajuste de la ecuación … (𝟑𝟐), para poder
encontrar la función que definirá los intervalos de predicción de la ecuación … (𝟑𝟓); por lo
tanto, en este caso, resulta:
> 𝐑 𝐚
𝟐
→ 0.779628 > 0.696989 →∴ 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐂ú𝐛𝐢𝐜𝐚 … (𝟑𝟗)
𝒙𝒊 𝒚𝒊
𝟏 93.42
𝟐 89.14
𝟑 80.90
𝟒 81.43
𝟓 73.41
𝟔 74.71
𝟕 80.74
𝟖 84.00
𝟗 83.84
𝟏𝟎 83.90
𝟏𝟏 74.79
𝟏𝟐 75.78

20
Con la determinación de la ecuación … (𝟑𝟗) se va a proceder a realizar manualmente la
Tabla 4 del ajuste polinomial cúbico correspondiente para poder aplicar la relación de
variables en el método de los mínimos cuadrados de la siguiente manera:
𝐓𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟕. 𝟏 𝐀𝐣𝐮𝐬𝐭𝐞 𝐩𝐨𝐥𝐢𝐧𝐨𝐦𝐢𝐚𝐥 𝐝𝐞 𝐞𝐬𝐭𝐞 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐭𝐞𝐥 𝐝𝐞𝐥 𝐈𝐄𝐌𝐒𝐃𝐅
Entonces, las ecuaciones normales para el caso del ajuste polinomial cúbico están dadas por
la ecuación … (𝟐𝟐):
[
𝟏𝟐
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊
𝟐
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊
𝟑
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊
𝟐
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊
𝟑
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊
𝟒
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊
𝟐
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊
𝟑
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊
𝟒
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊
𝟓
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊
𝟑
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊
𝟒
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊
𝟓
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊
𝟔
]
[
𝒂 𝟎
𝒂 𝟏
𝒂 𝟐
𝒂 𝟑
] =
[
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒚𝒊
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊 𝒚𝒊
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊
𝟐
𝒚𝒊
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊
𝟑
𝒚𝒊]
… (𝟒𝟎)
Para resolver el sistema de ecuaciones … (𝟒𝟎) de este ajuste polinomial cúbico, se emplea
el software Matrixcalc: https://matrixcalc.org/es/slu.html cuya indicación a ejecutar es el
Método de la matriz inversa en relación a la forma de la ecuación … (𝟐𝟐), por lo que en este
caso se define, como:
𝑨 ∙ 𝒂̂ = 𝑩 →∴ 𝒂̂ = 𝑨−𝟏
∙ 𝑩 →
[
𝒂 𝟎
𝒂 𝟏
𝒂 𝟐
𝒂 𝟑
] =
[
𝑵
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟐
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟑
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟐
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟑
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟒
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟐
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟑
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟒
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟓
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟑
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟒
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟓
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟔
]
−𝟏
[
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒚𝒊
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊 𝒚𝒊
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟐
𝒚𝒊
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
𝟑
𝒚𝒊]
… (𝟒𝟏)
𝟐
𝒙𝒊
𝟑
𝒙𝒊
𝟒
𝒙𝒊
𝟓
𝒙𝒊
𝟔 𝒚𝒊 𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒙𝒊
𝟐
𝒚𝒊 𝒙𝒊
𝟑
𝒚𝒊
1 1 1 1 1 1 1 93.42 93.42 93.42 93.42
2 2 4 8 16 32 64 89.14 178.28 356.56 713.12
3 3 9 27 81 243 729 80.90 242.7 728.1 2184.3
4 4 16 64 256 1024 4096 81.43 325.72 1302.88 5211.52
5 5 25 125 625 3125 15625 73.41 367.05 1835.25 9176.25
6 6 36 216 1296 7776 46656 74.71 448.26 2689.56 16137.36
7 7 49 343 2401 16807 117649 80.74 565.18 3956.26 27693.82
8 8 64 512 4096 32768 262144 84.00 672 5376 43008
9 9 81 729 6561 59049 531441 83.84 754.56 6791.04 61119.36
10 10 100 1000 10000 100000 1000000 83.90 839 8390 83900
11 11 121 1331 14641 161051 1771561 74.79 822.69 9049.59 99545.49
12 12 144 1728 20736 248832 2985984 75.78 909.36 10912.32 130947.84
Suma
por
columna
𝟕𝟖
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊
𝟔𝟓𝟎
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊
𝟐
𝟔𝟎𝟖𝟒
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊
𝟑
𝟔𝟎𝟕𝟏𝟎
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊
𝟒
𝟔𝟑𝟎𝟕𝟎𝟖
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊
𝟓
𝟔𝟕𝟑𝟓𝟗𝟓𝟎
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊
𝟔
𝟗𝟕𝟔. 𝟎𝟔
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒚𝒊
𝟔𝟐𝟏𝟖. 𝟐𝟐
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊 𝒚𝒊
𝟓𝟏𝟒𝟖𝟎. 𝟗𝟖
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊
𝟐
𝒚𝒊
𝟒𝟕𝟗𝟕𝟑𝟎. 𝟒𝟖
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊
𝟑
𝒚𝒊

21
5.1 Resultados para el plantel de la delegación Álvaro Obregón
En este caso la forma matricial de la ecuación … (𝟒𝟎) se define como los valores de las
sumatorias encontradas en la Tabla 7.1 y esto se sustituye respectivamente de la siguiente
manera:
[
𝟏𝟐
𝟕𝟖
𝟔𝟓𝟎
𝟔𝟎𝟖𝟒
𝟕𝟖
𝟔𝟓𝟎
𝟔𝟎𝟖𝟒
𝟔𝟎𝟕𝟏𝟎
𝟔𝟓𝟎
𝟔𝟎𝟖𝟒
𝟔𝟎𝟕𝟏𝟎
𝟔𝟑𝟎𝟕𝟎𝟖
𝟔𝟎𝟖𝟒
𝟔𝟎𝟕𝟏𝟎
𝟔𝟑𝟎𝟕𝟎𝟖
𝟔𝟕𝟑𝟓𝟗𝟓𝟎
] [
𝒂 𝟎
𝒂 𝟏
𝒂 𝟐
𝒂 𝟑
] = [
𝟗𝟕𝟔. 𝟎𝟔
𝟔𝟐𝟏𝟖. 𝟐𝟐
𝟓𝟏𝟒𝟖𝟎. 𝟗𝟖
𝟒𝟕𝟗𝟕𝟑𝟎. 𝟒𝟖
] … (𝟒𝟐)
Realizando la multiplicación matricial en el lado izquierdo de la ecuación … (𝟒𝟐) nos
conduce a resolver un sistema de ecuaciones, para encontrar los coeficientes respectivos de
este ajuste polinomial cúbico:
𝟏𝟐𝒂 𝟎 +
𝟕𝟖𝒂 𝟎 +
𝟔𝟓𝟎𝒂 𝟎 +
𝟔𝟎𝟖𝟒𝒂 𝟎 +
𝟕𝟖𝒂 𝟏 +
𝟔𝟓𝟎𝒂 𝟏 +
𝟔𝟎𝟖𝟒𝒂 𝟏 +
𝟔𝟎𝟕𝟏𝟎𝒂 𝟏 +
𝟔𝟓𝟎𝒂 𝟐 +
𝟔𝟎𝟖𝟒𝒂 𝟐 +
𝟔𝟎𝟕𝟏𝟎𝒂 𝟐 +
𝟔𝟑𝟎𝟕𝟎𝟖𝒂 𝟐 +
𝟔𝟎𝟖𝟒𝒂 𝟑
𝟔𝟎𝟕𝟏𝟎𝒂 𝟑
𝟔𝟑𝟎𝟕𝟎𝟖𝒂 𝟑
𝟔𝟕𝟑𝟓𝟗𝟓𝟎𝒂 𝟑
= 𝟗𝟕𝟔. 𝟎𝟔
= 𝟔𝟐𝟏𝟖. 𝟐𝟐
= 𝟓𝟏𝟒𝟖𝟎. 𝟗𝟖
= 𝟒𝟕𝟗𝟕𝟑𝟎. 𝟒𝟖
… (𝟒𝟑)
Entonces, considerando los valores matriciales de la ecuación … (𝟒𝟐), como:
𝑨 = [
𝟏𝟐
𝟕𝟖
𝟔𝟓𝟎
𝟔𝟎𝟖𝟒
𝟕𝟖
𝟔𝟓𝟎
𝟔𝟎𝟖𝟒
𝟔𝟎𝟕𝟏𝟎
𝟔𝟓𝟎
𝟔𝟎𝟖𝟒
𝟔𝟎𝟕𝟏𝟎
𝟔𝟑𝟎𝟕𝟎𝟖
𝟔𝟎𝟖𝟒
𝟔𝟎𝟕𝟏𝟎
𝟔𝟑𝟎𝟕𝟎𝟖
𝟔𝟕𝟑𝟓𝟗𝟓𝟎
] ; 𝑩 = [
𝟗𝟕𝟔. 𝟎𝟔
𝟔𝟐𝟏𝟖. 𝟐𝟐
𝟓𝟏𝟒𝟖𝟎. 𝟗𝟖
𝟒𝟕𝟗𝟕𝟑𝟎. 𝟒𝟖
] … (𝟒𝟒)
Luego se calcula la inversa de 𝐴 en el software Matrixcalc:
𝑨−𝟏
=
[
𝟐𝟔𝟓
𝟗𝟗
−
𝟗𝟒𝟏
𝟓𝟗𝟒
𝟐𝟓
𝟗𝟗
−
𝟕
𝟓𝟗𝟒
−
𝟗𝟒𝟏
𝟓𝟗𝟒
𝟏𝟕𝟕𝟒𝟗𝟏
𝟏𝟔𝟐𝟏𝟔𝟐
−
𝟕𝟕𝟗
𝟒𝟏𝟓𝟖
𝟐𝟏𝟏
𝟐𝟑𝟏𝟔𝟔
𝟐𝟓
𝟗𝟗
−
𝟕𝟕𝟗
𝟒𝟏𝟓𝟖
𝟓𝟓
𝟏𝟔𝟑𝟖
−
𝟏
𝟓𝟗𝟒
−
𝟕
𝟓𝟗𝟒
𝟐𝟏𝟏
𝟐𝟑𝟏𝟔𝟔
−
𝟏
𝟓𝟗𝟒
𝟏
𝟏𝟏𝟓𝟖𝟑]
… (𝟒𝟓)
Por lo tanto, se procede a encontrar los coeficientes del ajuste cúbico en el software
Matrixcalc:
𝒂̂ = 𝑨−𝟏
∙ 𝑩 →

22
[
𝒂 𝟎
𝒂 𝟏
𝒂 𝟐
𝒂 𝟑
] =
[
𝟐𝟔𝟓
𝟗𝟗
−
𝟗𝟒𝟏
𝟓𝟗𝟒
𝟐𝟓
𝟗𝟗
−
𝟕
𝟓𝟗𝟒
−
𝟗𝟒𝟏
𝟓𝟗𝟒
𝟏𝟕𝟕𝟒𝟗𝟏
𝟏𝟔𝟐𝟏𝟔𝟐
−
𝟕𝟕𝟗
𝟒𝟏𝟓𝟖
𝟐𝟏𝟏
𝟐𝟑𝟏𝟔𝟔
𝟐𝟓
𝟗𝟗
−
𝟕𝟕𝟗
𝟒𝟏𝟓𝟖
𝟓𝟓
𝟏𝟔𝟑𝟖
−
𝟏
𝟓𝟗𝟒
−
𝟕
𝟓𝟗𝟒
𝟐𝟏𝟏
𝟐𝟑𝟏𝟔𝟔
−
𝟏
𝟓𝟗𝟒
𝟏
𝟏𝟏𝟓𝟖𝟑]
∙ [
𝟗𝟕𝟔. 𝟎𝟔
𝟔𝟐𝟏𝟖. 𝟐𝟐
𝟓𝟏𝟒𝟖𝟎. 𝟗𝟖
𝟒𝟕𝟗𝟕𝟑𝟎. 𝟒𝟖
] =
[
𝟏𝟎𝟕𝟕𝟎𝟔𝟕
𝟗𝟗𝟎𝟎
−
𝟒𝟐𝟒𝟒𝟑𝟖𝟑𝟑
𝟐𝟕𝟎𝟐𝟕𝟎𝟎
𝟓𝟓𝟕𝟓𝟒𝟐
𝟐𝟐𝟓𝟐𝟐𝟓
−
𝟒𝟏𝟏𝟕
𝟑𝟓𝟏𝟎𝟎 ]
… (𝟒𝟔)
En la ecuación … (𝟒𝟔) se encuentra la solución, para los coeficientes del ajuste polinomial
cúbico, que está dado por:
𝒂 𝟎 = 𝟏𝟎𝟖. 𝟕𝟗𝟒, 𝒂 𝟏 = −𝟏𝟓. 𝟕𝟎𝟒𝟐, 𝒂 𝟐 = 𝟐. 𝟒𝟕𝟓𝟒𝟖𝟖 𝒂 𝟑 = −𝟎. 𝟏𝟏𝟕𝟐𝟗𝟑 … (𝟒𝟕)
Por lo tanto, se relaciona los coeficientes encontrados en … (𝟒𝟕) para sustituirlos en el mejor
modelo de ajuste polinomial cúbico:
𝒚̂ = 𝒂 𝟎 + 𝒂 𝟏 𝒙 + 𝒂 𝟐 𝒙 𝟐
+ 𝒂 𝟑 𝒙 𝟑
→∴
𝒚̂ = 𝟏𝟎𝟖. 𝟕𝟗𝟒 − 𝟏𝟓. 𝟕𝟎𝟒𝟐𝒙 + 𝟐. 𝟒𝟕𝟓𝟒𝟖𝟖𝒙 𝟐
− 𝟎. 𝟏𝟏𝟕𝟐𝟗𝟑𝒙 𝟑
… (𝟒𝟖)
Esta ecuación … (𝟒𝟖) implica encontrar los probables intervalos de predicción al 95% de
confianza sobre el porcentaje de la deserción estudiantil para este plantel, que está dado por
la ecuación … (𝟑𝟒):
𝒚 𝒑 = 𝑿 𝒑 𝒂̂ ± 𝒕 𝟎.𝟗𝟕𝟓
𝟏𝟐−( 𝟑+𝟏)
𝝈̂√ 𝟏 + 𝑿 𝒑( 𝑿 𝑻
𝑿)
−𝟏
𝑿 𝒑
𝑻
… (𝟒𝟗)
Después en la ecuación … (𝟒𝟗) se realiza operaciones correspondientes en el lado derecho
de la bivalencia ± :
𝒚 𝒑 = 𝑿 𝒑 𝒂̂ ± 𝒕 𝟎.𝟗𝟕𝟓
𝟖
(√
𝒀 𝑻
𝒀 − 𝒂̂ 𝑻
𝑿 𝑻
𝒀
𝟏𝟐 − ( 𝟑 + 𝟏)
) √ 𝟏 + 𝑿 𝒑( 𝑿 𝑻
𝑿)
−𝟏
𝑿 𝒑
𝑻
… (𝟓𝟎)
Esto implica, encontrar el percentil de la distribución 𝑡 Student, que en este caso se define
como: 𝒕 𝟎.𝟗𝟕𝟓
𝟖
, por lo que este valor, se corrobora mediante el software wólfram alpha:
http://www.wolframalpha.com/ de la siguiente manera:
97.5 Percentile Student´s t distribution degrees of freedom 8
Esta sintaxis a ejecutar, da el valor correspondiente de 𝒕 𝟎.𝟗𝟕𝟓
𝟖
= 𝟐. 𝟑𝟎𝟔 … (𝟓𝟏)
Luego, se procede a calcular el error de la estimación:

23
𝝈̂ = √
𝒀 𝑻
𝒀 − 𝒂̂ 𝑻
𝑿 𝑻
𝒀
𝟖
… (𝟓𝟐)
Para obtener la suma de cuadrados del error (𝑺𝑪𝑬), se define, para este caso de ajuste
polinomial cúbico, los elementos matriciales del numerador de la ecuación … (𝟓𝟐), por lo
tanto se emplea el software Matrixcalc: https://matrixcalc.org/es/slu.html de la siguiente
forma:
𝑿 =
[
𝟏
𝟏
⋮
𝟏
𝒙 𝟏
𝒙 𝟐
⋮
𝒙 𝟏𝟐
𝒙 𝟏
𝟐
𝒙 𝟐
𝟐
⋮
𝒙 𝟏𝟐
𝟐
𝒙 𝟏
𝟑
𝒙 𝟐
𝟑
⋮
𝒙 𝟏𝟐
𝟑
]
=
[
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝟓
𝟔
𝟕
𝟖
𝟗
𝟏𝟎
𝟏𝟏
𝟏𝟐
𝟏
𝟒
𝟗
𝟏𝟔
𝟐𝟓
𝟑𝟔
𝟒𝟗
𝟔𝟒
𝟖𝟏
𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟐𝟏
𝟏𝟒𝟒
𝟏
𝟖
𝟐𝟕
𝟔𝟒
𝟏𝟐𝟓
𝟐𝟏𝟔
𝟑𝟒𝟑
𝟓𝟏𝟐
𝟕𝟐𝟗
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟑𝟑𝟏
𝟏𝟕𝟐𝟖 ]
→∴ 𝑿 𝑻
= [
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
𝟒
𝟖
𝟏
𝟑
𝟗
𝟐𝟕
𝟏
𝟒
𝟏𝟔
𝟔𝟒
𝟏
𝟓
𝟐𝟓
𝟏𝟐𝟓
𝟏
𝟔
𝟑𝟔
𝟐𝟏𝟔
𝟏
𝟕
𝟒𝟗
𝟑𝟒𝟑
𝟏
𝟖
𝟔𝟒
𝟓𝟏𝟐
𝟏
𝟗
𝟖𝟏
𝟕𝟐𝟗
𝟏
𝟏𝟎
𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝟏
𝟏𝟏
𝟏𝟐𝟏
𝟏𝟑𝟑𝟏
𝟏
𝟏𝟐
𝟏𝟒𝟒
𝟏𝟕𝟐𝟖
]
𝒀 = [
𝒚 𝟏
𝒚 𝟐
⋮
𝒚 𝟏𝟐
] =
[
𝟗𝟑. 𝟒𝟐
𝟖𝟗. 𝟏𝟒
𝟖𝟎. 𝟗𝟎
𝟖𝟏. 𝟒𝟑
𝟕𝟑. 𝟒𝟏
𝟕𝟒. 𝟕𝟏
𝟖𝟎. 𝟕𝟒
𝟖𝟒. 𝟎𝟎
𝟖𝟑. 𝟖𝟒
𝟖𝟑. 𝟗𝟎
𝟕𝟒. 𝟕𝟗
𝟕𝟓. 𝟕𝟖]
→∴ 𝒀 𝑻
= [ 𝟗𝟑. 𝟒𝟐 𝟖𝟗. 𝟏𝟒 𝟖𝟎. 𝟗𝟎 𝟖𝟏. 𝟒𝟑 𝟕𝟑. 𝟒𝟏 𝟕𝟒. 𝟕𝟏 𝟖𝟎. 𝟕𝟒 𝟖𝟒. 𝟎𝟎 𝟖𝟑. 𝟖𝟒 𝟖𝟑. 𝟗𝟎 𝟕𝟒. 𝟕𝟗 𝟕𝟓. 𝟕𝟖]
𝒂̂ = [
𝒂 𝟎
𝒂 𝟏
𝒂 𝟐
𝒂 𝟑
] = [
𝟏𝟎𝟖. 𝟕𝟗𝟒
−𝟏𝟓. 𝟕𝟎𝟒𝟐
𝟐. 𝟒𝟕𝟓𝟒𝟖𝟖
−𝟎. 𝟏𝟏𝟕𝟐𝟗𝟑
] →∴ 𝒂̂ 𝑻
= [ 𝟏𝟎𝟖. 𝟕𝟗𝟒 −𝟏𝟓. 𝟕𝟎𝟒𝟐 𝟐. 𝟒𝟕𝟓𝟒𝟖𝟖 −𝟎. 𝟏𝟏𝟕𝟐𝟗𝟑]
… (𝟓𝟑)
Esto implica, sustituir los elementos matriciales de la ecuación … (𝟓𝟑), para poder efectuar la
operación matricial del numerador de la ecuación … (𝟓𝟐) con el software Matrixcalc:
https://matrixcalc.org/es/slu.html de la siguiente manera:
𝒀 𝑻
𝒀 = 𝟕𝟗𝟕𝟗𝟗
𝒂̂ 𝑻
𝑿 𝑻
𝒀 = 𝟕𝟗𝟕𝟎𝟗. 𝟏
→
𝝈̂ = √
𝟕𝟗𝟕𝟗𝟗 − 𝟕𝟗𝟕𝟎𝟗. 𝟏
𝟖
𝜎̂ = √
89.9
8
→∴ 𝜎̂ = √11.2375
𝝈̂ = 𝟑. 𝟑𝟓𝟐𝟐
… (𝟓𝟒)
Por lo tanto, se sustituye los valores de las ecuaciones … (𝟓𝟏) y … (𝟓𝟒) en el intervalo de
predicción de la ecuación … (𝟓𝟎):

24
𝒚 𝒑 = 𝑿 𝒑 𝒂̂ ± ( 𝟐. 𝟑𝟎𝟔)( 𝟑. 𝟑𝟓𝟐𝟐)√ 𝟏 + 𝑿 𝒑( 𝑿 𝑻
𝑿)
−𝟏
𝑿 𝒑
𝑻
… (𝟓𝟓)
El intervalo de predicción de la ecuación … (𝟓𝟓) define el pronóstico para las generaciones
del 2013 al 2014:
Para la generación 2013.
En este caso, se define el pronóstico como un valor discreto, por lo tanto, 𝑝 = 13 y este se
sustituye en la ecuación … (𝟓𝟓):
𝒚 𝟏𝟑 = 𝑿 𝟏𝟑 𝒂̂ ± ( 𝟐. 𝟑𝟎𝟔)( 𝟑. 𝟑𝟓𝟐𝟐)√ 𝟏 + 𝑿 𝟏𝟑( 𝑿 𝑻
𝑿)
−𝟏
𝑿 𝟏𝟑
𝑻
… (𝟓𝟔)
Entonces, para esta generación, su matriz pronóstico, que se define en la ecuación … (𝟑𝟒) es:
𝑿 𝟏𝟑 = [ 𝟏 𝒙 𝟏𝟑 ⋯ 𝒙 𝟏𝟑
𝟐 ] → 𝑿 𝟏𝟑 = [ 𝟏 𝟏𝟑 𝟏𝟔𝟗] →∴ 𝑿 𝟏𝟑
𝑻
= [
𝟏
𝟏𝟑
𝟏𝟔𝟗
] … (𝟓𝟕)
Esto implica, encontrar la operación matricial 𝑿 𝟏𝟑 𝒂̂ , considerando el elemento matricial 𝑿 𝟏𝟑
de la ecuación … (𝟓𝟕) y el elemento matricial 𝒂̂ definido en la ecuación … (𝟓𝟑) y estos
elementos matriciales se sustituyen en la ecuación … (𝟓𝟔):
𝒚 𝟏𝟑 = [ 𝟏 𝟏𝟑 𝟏𝟔𝟗 𝟐𝟏𝟗𝟕] [
𝟏𝟎𝟖. 𝟕𝟗𝟒
−𝟏𝟓. 𝟕𝟎𝟒𝟐
𝟐. 𝟒𝟕𝟓𝟒𝟖𝟖
−𝟎. 𝟏𝟏𝟕𝟐𝟗𝟑
] ± ( 𝟐. 𝟑𝟎𝟔)( 𝟑. 𝟑𝟓𝟐𝟐)√ 𝟏 + 𝑿 𝟏𝟑( 𝑿 𝑻
𝑿)
−𝟏
𝑿 𝟏𝟑
𝑻
… (𝟓𝟖)
En la ecuación … (𝟓𝟖) se realiza su operación matricial del lado izquierdo de la bivalencia ±
con el software wólfram alpha: http://www.wolframalpha.com/ donde se ejecuta la siguiente
instrucción:
{{1,13,169,2197}}*{{108.794},{-15.7042},{2.475488},{-0.117293}}
Esta sintaxis, da el resultado de esta operación matricial y por lo tanto este valor resultante
se sustituye en la ecuación … (𝟓𝟖):
𝒚 𝟏𝟑 = 𝟔𝟓. 𝟑𝟎𝟒 ± ( 𝟐. 𝟑𝟎𝟔)( 𝟑. 𝟑𝟓𝟐𝟐)√ 𝟏 + 𝑿 𝟏𝟑( 𝑿 𝑻
𝑿)
−𝟏
𝑿 𝟏𝟑
𝑻
… (𝟓𝟗)
Luego, se efectúa la operación matricial √𝟏 + 𝑿 𝟏𝟑(𝑿 𝑻 𝑿)−𝟏 𝑿 𝟏𝟑
𝑻
, considerando el elemento
matricial 𝑿 𝟏𝟑 de la ecuación … (𝟓𝟕) y los elementos matriciales 𝑿, 𝑿 𝑻
que están definidos
en la ecuación … (𝟓𝟑) y estos elementos matriciales se sustituyen en la ecuación … (𝟓𝟗):

25
𝒚 𝟏𝟑 = 𝟔𝟓. 𝟑𝟎𝟒 ± (𝟐. 𝟑𝟎𝟔)(𝟑. 𝟑𝟓𝟐𝟐)
√
𝟏 + [ 𝟏 𝟏𝟑 𝟏𝟔𝟗 𝟐𝟏𝟗𝟕]
(
[
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
𝟒
𝟖
𝟏
𝟑
𝟗
𝟐𝟕
𝟏
𝟒
𝟏𝟔
𝟔𝟒
𝟏
𝟓
𝟐𝟓
𝟏𝟐𝟓
𝟏
𝟔
𝟑𝟔
𝟐𝟏𝟔
𝟏
𝟕
𝟒𝟗
𝟑𝟒𝟑
𝟏
𝟖
𝟔𝟒
𝟓𝟏𝟐
𝟏
𝟗
𝟖𝟏
𝟕𝟐𝟗
𝟏
𝟏𝟎
𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝟏
𝟏𝟏
𝟏𝟐𝟏
𝟏𝟑𝟑𝟏
𝟏
𝟏𝟐
𝟏𝟒𝟒
𝟏𝟕𝟐𝟖
]
[
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝟓
𝟔
𝟕
𝟖
𝟗
𝟏𝟎
𝟏𝟏
𝟏𝟐
𝟏
𝟒
𝟗
𝟏𝟔
𝟐𝟓
𝟑𝟔
𝟒𝟗
𝟔𝟒
𝟖𝟏
𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟐𝟏
𝟏𝟒𝟒
𝟏
𝟖
𝟐𝟕
𝟔𝟒
𝟏𝟐𝟓
𝟐𝟏𝟔
𝟑𝟒𝟑
𝟓𝟏𝟐
𝟕𝟐𝟗
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟑𝟑𝟏
𝟏𝟕𝟐𝟖 ])
−𝟏
[
𝟏
𝟏𝟑
𝟏𝟔𝟗
𝟐𝟏𝟗𝟕
] …(𝟔𝟎)
Después, se realiza la multiplicación de matrices del paréntesis de la ecuación … (𝟔𝟎) con
el software Matrixcalc: https://matrixcalc.org/es/slu.html y por lo tanto esta multiplicación
matricial resulta:
𝒚 𝟏𝟑 = 𝟔𝟓. 𝟑𝟎𝟒 ± (𝟐. 𝟑𝟎𝟔)(𝟑. 𝟑𝟓𝟐𝟐)√ 𝟏 + [ 𝟏 𝟏𝟑 𝟏𝟔𝟗 𝟐𝟏𝟗𝟕] ([
𝟏𝟐
𝟕𝟖
𝟔𝟓𝟎
𝟔𝟎𝟖𝟒
𝟕𝟖
𝟔𝟓𝟎
𝟔𝟎𝟖𝟒
𝟔𝟎𝟕𝟏𝟎
𝟔𝟓𝟎
𝟔𝟎𝟖𝟒
𝟔𝟎𝟕𝟏𝟎
𝟔𝟑𝟎𝟕𝟎𝟖
𝟔𝟎𝟖𝟒
𝟔𝟎𝟕𝟏𝟎
𝟔𝟑𝟎𝟕𝟎𝟖
𝟔𝟕𝟑𝟓𝟗𝟓𝟎
])
−𝟏
[
𝟏
𝟏𝟑
𝟏𝟔𝟗
𝟐𝟏𝟗𝟕
] …(𝟔𝟏)
Esto implica, efectuar las operaciones matriciales del radicando de la ecuación … (𝟔𝟏)
mediante el software wólfram alpha: http://www.wolframalpha.com/ donde se ejecuta la
siguiente instrucción:
{{1,13,169,2197}}*inverse({{12,78,650,6084},{78,650,6084,60710},{650,6084,60710,630
708},{6084,60710,630708,6735950}})*{{1},{13},{169},{2197}}
se sustituye en la ecuación … (𝟔𝟏):
𝒚 𝟏𝟑 = 𝟔𝟓. 𝟑𝟎𝟒 ± (𝟐. 𝟑𝟎𝟔)(𝟑. 𝟑𝟓𝟐𝟐)√𝟏 + 𝟐. 𝟔𝟕𝟔𝟕𝟔𝟕𝟔𝟕𝟕 … (𝟔𝟐)
Realizando operaciones elementales en el radicando de la ecuación … (𝟔𝟐):
𝒚 𝟏𝟑 = 𝟔𝟓. 𝟑𝟎𝟒 ± (𝟐. 𝟑𝟎𝟔)(𝟑. 𝟑𝟓𝟐𝟐)√𝟑. 𝟔𝟕𝟔𝟕𝟔𝟕𝟔𝟕𝟕 … (𝟔𝟑)
Se encuentra la raíz cuadrada de la ecuación … (𝟔𝟑):
𝒚 𝟏𝟑 = 𝟔𝟓. 𝟑𝟎𝟒 ± (𝟐. 𝟑𝟎𝟔)(𝟑. 𝟑𝟓𝟐𝟐)(𝟏. 𝟗𝟏𝟕𝟒) … (𝟔𝟒)
Luego, se efectúa la multiplicación del lado derecho de la bivalencia ± de la ecuación
… (𝟔𝟒):
𝒚 𝟏𝟑 = 𝟔𝟓. 𝟑𝟎𝟒 ± 𝟏𝟒. 𝟖𝟐𝟏 … (𝟔𝟓)
Finalmente, el resultado del intervalo de predicción de la ecuación … (𝟔𝟓) se interpreta de
acuerdo a la definición del orden bivalente ± de la ecuación … (𝟑𝟓):
65.304 − 14.821 ≤ 𝑦13 ≤ 65.304 + 14.821 →∴ 𝟓𝟎. 𝟒𝟖% ≤ 𝒚 𝟏𝟑 ≤ 𝟖𝟎. 𝟏𝟐% … (𝟔𝟔)

26
𝒚 𝟏𝟒 = 𝑿 𝟏𝟒 𝒂̂ ± ( 𝟐. 𝟑𝟎𝟔)( 𝟑. 𝟑𝟓𝟐)√ 𝟏 + 𝑿 𝟏𝟒( 𝑿 𝑻
𝑿)
−𝟏
𝑿 𝟏𝟒
𝑻
… (𝟔𝟕)
𝑿 𝟏𝟒 = [ 𝟏 𝒙 𝟏𝟒 ⋯ 𝒙 𝟏𝟒
𝟐 ] → 𝑿 𝟏𝟒 = [ 𝟏 𝟏𝟒 𝟏𝟗𝟔] →∴ 𝑿 𝟏𝟒
𝑻
= [
𝟏
𝟏𝟒
𝟏𝟗𝟔
] … (𝟔𝟖)
Esto implica, encontrar la operación matricial 𝑿 𝟏𝟒 𝒂̂ , considerando el elemento matricial 𝑿 𝟏𝟒
de la ecuación … (𝟔𝟖) y el elemento matricial 𝒂̂ definido en la ecuación … (𝟓𝟑) y estos
elementos matriciales se sustituyen en la ecuación … (𝟔𝟕):
𝒚 𝟏𝟒 = [ 𝟏 𝟏𝟒 𝟏𝟗𝟔 𝟐𝟕𝟒𝟒] [
𝟏𝟎𝟖. 𝟕𝟗𝟒
−𝟏𝟓. 𝟕𝟎𝟒𝟐
𝟐. 𝟒𝟕𝟓𝟒𝟖𝟖
−𝟎. 𝟏𝟏𝟕𝟐𝟗𝟑
] ± (𝟐. 𝟑𝟎𝟔)(𝟑. 𝟑𝟓𝟐)√ 𝟏 + 𝑿 𝟏𝟒( 𝑿 𝑻
𝑿)
−𝟏
𝑿 𝟏𝟒
𝑻
… (𝟔𝟗)
En la ecuación … (𝟔𝟗) se realiza su operación matricial del lado izquierdo de la bivalencia ±
instrucción:
{{1,14,196,2744}}*{{108.794},{-15.7042},{2.475488},{-0.117293}}
se sustituye en la ecuación … (𝟔𝟗):
𝒚 𝟏𝟒 = 𝟓𝟐. 𝟐𝟕𝟖 ± (𝟐. 𝟑𝟎𝟔)(𝟑. 𝟑𝟓𝟐)√𝟏 + 𝑿 𝟏𝟒(𝑿 𝑻 𝑿)−𝟏 𝑿 𝟏𝟒
𝑻
… (𝟕𝟎)
Luego, se efectúa la operación matricial √𝟏 + 𝑿 𝟏𝟒(𝑿 𝑻 𝑿)−𝟏 𝑿 𝟏𝟒
𝑻
matricial 𝑿 𝟏𝟒 de la ecuación … (𝟔𝟖) y los elementos matriciales 𝑿, 𝑿 𝑻
en la ecuación … (𝟓𝟑) y estos elementos matriciales se sustituyen en la ecuación … (𝟕𝟎):
𝒚 𝟏𝟒 = 𝟓𝟐. 𝟐𝟕𝟖 ± (𝟐. 𝟑𝟎𝟔)(𝟑. 𝟑𝟓𝟐)
√
𝟏 + [ 𝟏 𝟏𝟒 𝟏𝟗𝟔 𝟐𝟕𝟒𝟒]
(
[
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
𝟒
𝟖
𝟏
𝟑
𝟗
𝟐𝟕
𝟏
𝟒
𝟏𝟔
𝟔𝟒
𝟏
𝟓
𝟐𝟓
𝟏𝟐𝟓
𝟏
𝟔
𝟑𝟔
𝟐𝟏𝟔
𝟏
𝟕
𝟒𝟗
𝟑𝟒𝟑
𝟏
𝟖
𝟔𝟒
𝟓𝟏𝟐
𝟏
𝟗
𝟖𝟏
𝟕𝟐𝟗
𝟏
𝟏𝟎
𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝟏
𝟏𝟏
𝟏𝟐𝟏
𝟏𝟑𝟑𝟏
𝟏
𝟏𝟐
𝟏𝟒𝟒
𝟏𝟕𝟐𝟖
]
[
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝟓
𝟔
𝟕
𝟖
𝟗
𝟏𝟎
𝟏𝟏
𝟏𝟐
𝟏
𝟒
𝟗
𝟏𝟔
𝟐𝟓
𝟑𝟔
𝟒𝟗
𝟔𝟒
𝟖𝟏
𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟐𝟏
𝟏𝟒𝟒
𝟏
𝟖
𝟐𝟕
𝟔𝟒
𝟏𝟐𝟓
𝟐𝟏𝟔
𝟑𝟒𝟑
𝟓𝟏𝟐
𝟕𝟐𝟗
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟑𝟑𝟏
𝟏𝟕𝟐𝟖 ])
−𝟏
[
𝟏
𝟏𝟒
𝟏𝟗𝟔
𝟐𝟕𝟒𝟒
] … (𝟕𝟏)
Después, se realiza la multiplicación de matrices del paréntesis de la ecuación … (𝟕𝟏) y por
lo tanto esta multiplicación matricial resulta:

27
𝒚 𝟏𝟒 = 𝟓𝟐. 𝟐𝟕𝟖 ± (𝟐. 𝟑𝟎𝟔)(𝟑. 𝟑𝟓𝟐)√ 𝟏 + [ 𝟏 𝟏𝟒 𝟏𝟗𝟔 𝟐𝟕𝟒𝟒] ([
𝟏𝟐
𝟕𝟖
𝟔𝟓𝟎
𝟔𝟎𝟖𝟒
𝟕𝟖
𝟔𝟓𝟎
𝟔𝟎𝟖𝟒
𝟔𝟎𝟕𝟏𝟎
𝟔𝟓𝟎
𝟔𝟎𝟖𝟒
𝟔𝟎𝟕𝟏𝟎
𝟔𝟑𝟎𝟕𝟎𝟖
𝟔𝟎𝟖𝟒
𝟔𝟎𝟕𝟏𝟎
𝟔𝟑𝟎𝟕𝟎𝟖
𝟔𝟕𝟑𝟓𝟗𝟓𝟎
])
−𝟏
[
𝟏
𝟏𝟒
𝟏𝟗𝟔
𝟐𝟕𝟒𝟒
] … (𝟕𝟐)
Esto implica, efectuar las operaciones matriciales del radicando de la ecuación … (𝟕𝟐)
{{1,14,196,2744}}*inverse({{12,78,650,6084},{78,650,6084,60710},{650,6084,60710,630
708},{6084,60710,630708,6735950}})*{{1},{14},{196},{2744}}
se sustituye en la ecuación … (𝟕𝟐):
𝒚 𝟏𝟒 = 𝟓𝟐. 𝟐𝟕𝟖 ± (𝟐. 𝟑𝟎𝟔)(𝟑. 𝟑𝟓𝟐)√𝟏 + 𝟕. 𝟖𝟗𝟖𝟐𝟏𝟐𝟖𝟗𝟖 … (𝟕𝟑)
Realizando operaciones elementales en el radicando de la ecuación … (𝟕𝟑):
𝒚 𝟏𝟒 = 𝟓𝟐. 𝟐𝟕𝟖 ± (𝟐. 𝟑𝟎𝟔)(𝟑. 𝟑𝟓𝟐)√𝟖. 𝟖𝟗𝟖𝟐𝟏𝟐𝟖𝟗𝟖 … (𝟕𝟒)
Se encuentra la raíz cuadrada de la ecuación … (𝟕𝟒):
𝒚 𝟏𝟒 = 𝟓𝟐. 𝟐𝟕𝟖 ± (𝟐. 𝟑𝟎𝟔)(𝟑. 𝟑𝟓𝟐)(𝟐. 𝟗𝟖𝟐𝟗𝟖𝟕) … (𝟕𝟓)
… (𝟕𝟓):
𝒚 𝟏𝟒 = 𝟓𝟐. 𝟐𝟕𝟖 ± 𝟐𝟑. 𝟎𝟓𝟕 … (𝟕𝟔)
Finalmente, el resultado del intervalo de predicción de la ecuación … (𝟕𝟔) se interpreta de
52.278−23.057 ≤ 𝑦14 ≤ 52.278 + 23.057 →∴ 𝟐𝟗. 𝟐𝟐% ≤ 𝒚 𝟏𝟒 ≤ 𝟕𝟓. 𝟑𝟑% … (𝟕𝟕)
Estos intervalos de predicción de las ecuaciones … (𝟔𝟔) y … (𝟕𝟕) se corrobora mediante el
software de Octave-MATLAB desde: http://octave-online.net/ donde se consideran las
siguientes instrucciones definidas a ejecutar:
 [p,S] = polyfit(x,y,n): Da los coeficientes del polinomio p de grado n que se
encontró manualmente en la ecuación … (𝟒𝟖) que ajusta los puntos (x,y) por
mínimos cuadrados, con errores estimados S
 [Y,D] = polyconf(p,X,S,alpha): Predicción polinómica con intervalos de
confianza Y±D de la salida S dada por polyfit con nivel de confianza alpha
(considerando la ecuación … (𝟑𝟒), se menciona que es del 95%, es decir 0.05)

28
Estas instrucciones definidas, implica introducir las variables de los puntos del ajuste
considerado, es decir (x,y)=(Generacion,Desercion) con el siguiente orden
fundamental:
octave:1> Desercion=[93.42,89.14,80.90,81.43,73.41,74.71,80.74,84.00,
83.84,83.90,74.79,75.78];
octave:2> Generacion=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12];
Luego, se agrega la instrucción de polyfit, definida en este caso como:
octave:3> [p,S] = polyfit(Generacion,Desercion,3)
p =
-0.11729 2.4754 -15.7042 108.794
S =
scalar structure containing the fields:
yf =
Columns 1 through 8:
95.449 86.350 80.794 78.079 77.499 78.351 79.932
81.538
82.464 82.008 79.465 74.131
X =
1 1 1 1
8 4 2 1
27 9 3 1
64 16 4 1
125 25 5 1
216 36 6 1
343 49 7 1
512 64 8 1
729 81 9 1
1000 100 10 1
1331 121 11 1

29
1728 144 12 1
En efecto, estos resultados concuerdan con los obtenidos en las ecuaciones … (𝟒𝟖) y … (𝟓𝟑).
Por lo tanto, se corroboran los predichos intervalos estudiantiles en la generación 2013 y
2014 de desertores, esto implica considerar lo que se obtuvo de la implementación polyfit,
para que se encuentre la última instrucción definida:
octave:4> [Y,D] = polyconf(p,13,S,0.05)
Y = 65.304
D = 14.821
Y = 52.278
D = 23.057
Esta sintaxis ejecutada en el software de Octave-MATLAB, da certeza de nuestros resultados
obtenidos manualmente en las ecuaciones … (𝟔𝟔) y … (𝟕𝟕), a razón de que estos valores son
idénticos.
4.2. Para el plantel de la delegación Azcapotzalco
𝐓𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟓. 𝟐. 𝐃𝐚𝐭𝐨𝐬 𝐝𝐞𝐥 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐭𝐞𝐥 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐂𝐨𝐥𝐨𝐧𝐢𝐚 𝐒𝐚𝐧𝐭𝐚 𝐂𝐚𝐭𝐚𝐫𝐢𝐧𝐚: "𝐌𝐞𝐥𝐜𝐡𝐨𝐫 𝐎𝐜𝐚𝐦𝐩𝐨"
2001 − 𝟏 135 16 𝟖𝟖. 𝟏𝟓
2002 − 𝟐 85 17 𝟖𝟎. 𝟎𝟎
2003 − 𝟑 180 41 𝟕𝟕. 𝟐𝟐
2004 − 𝟒 369 72 𝟖𝟎. 𝟒𝟗
2005 − 𝟓 341 75 𝟕𝟖. 𝟎𝟏
2006 − 𝟔 359 78 𝟕𝟖. 𝟐𝟕
2007 − 𝟕 363 89 𝟕𝟓. 𝟒𝟖
2008 − 𝟖 346 80 𝟕𝟔. 𝟖𝟖
2009 − 𝟗 346 73 𝟕𝟖. 𝟗𝟎
2010 − 𝟏𝟎 352 103 𝟕𝟎. 𝟕𝟒
2011 − 𝟏𝟏 331 108 𝟔𝟕. 𝟑𝟕
2012 − 𝟏𝟐 352 86 𝟕𝟓. 𝟓𝟕
2013 − 𝟏𝟑 341 ¿ ? ¿ ?
2014 − 𝟏𝟒 390 ¿ ? ¿ ?

30
⋮
… (𝟑𝟕)
(𝐱 𝟏, 𝐲 𝟏 ) = (𝟏, 𝐏𝐃𝐆 𝟏)
⋮
(𝐱 𝟏𝟐, 𝐲 𝟏𝟐) = (𝟏𝟐, 𝐏𝐃𝐆 𝟏𝟐)
… (𝟑𝟖)
𝐓𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟔. 𝟐 𝐑𝐞𝐥𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐯𝐚𝐫𝐢𝐚𝐛𝐥𝐞𝐬 𝐟𝐮𝐧𝐝𝐚𝐦𝐞𝐧𝐭𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐞𝐥 𝐚𝐣𝐮𝐬𝐭𝐞 𝐩𝐨𝐥𝐢𝐧𝐨𝐦𝐢𝐚𝐥 𝐥𝐢𝐧𝐞𝐚𝐥.
𝐒𝐢𝐞𝐧𝐝𝐨:
𝒙𝒊 = 𝐑𝐞𝐩𝐫𝐞𝐬𝐞𝐧𝐭𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐠𝐞𝐧𝐞𝐫𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐞𝐬𝐜𝐨𝐥𝐚𝐫 𝐞𝐧 𝐥𝐨𝐬 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐝𝐢𝐬𝐜𝐫𝐞𝐭𝐨𝐬
𝒚𝒊 = 𝐏𝐨𝐫𝐜𝐞𝐧𝐭𝐚𝐣𝐞 𝐝𝐞 𝐝𝐞𝐬𝐞𝐫𝐜𝐢ó𝐧 𝐠𝐞𝐧𝐞𝐫𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥 (𝐏𝐃𝐆) = (
𝐄𝐈𝐆−𝐄𝐄𝐆
𝐄𝐈𝐆
) ∗ 𝟏𝟎𝟎
5.) ¿Cuál es el criterio del mejor ajuste a los datos en el modelo? Para poder realizar el
óptimo ajuste polinomial a los datos de la Tabla 6.2, se corrobora mediante el software
wólfram alpha: http://www.wolframalpha.com/ de la siguiente manera:
fit {{1,88.15}, {2,80.00}, {3,77.22}, {4,80.49}, {5,78.01}, {6,78.27}, {7,75.48}, {8,76.88},
{9,78.90}, {10,70.74}, {11,67.37}, {12,75.57}}
𝒙𝒊 𝒚𝒊
𝟏 88.15
𝟐 80.00
𝟑 77.22
𝟒 80.49
𝟓 78.01
𝟔 78.27
𝟕 75.48
𝟖 76.88
𝟗 78.90
𝟏𝟎 70.74
𝟏𝟏 67.37
𝟏𝟐 75.57

31
Esta sintaxis a ejecutar, dará las mejores opciones de ajuste polinomiales a los datos que en
este caso, su diagnóstico, es:
𝐅𝐢𝐠𝐮𝐫𝐚 𝟑. 𝟐 El diagnóstico de los ajustes viables a los datos en 𝑤ó𝑙𝑓𝑟𝑎𝑚 𝑎𝑙𝑝ℎ𝑎.
Para encontrar el óptimo ajuste polinomial a los datos, del diagnóstico de la Figura 3.2, se
emplea el criterio de determinación del mejor ajuste de la ecuación … (𝟑𝟐), para poder
encontrar la función que definirá los intervalos de predicción de la ecuación … (𝟑𝟓); por lo
tanto, en este caso, resulta:
> 𝐑 𝐚
𝟐
→ 0.590608 > 0.549669 →∴ 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐋𝐢𝐧𝐞𝐚𝐥 … (𝟑𝟗)
Con la determinación de la ecuación … (𝟑𝟗) se va a proceder a realizar manualmente la
Tabla 2 del ajuste polinomial lineal correspondiente para poder aplicar la relación de
variables en el método de los mínimos cuadrados de la siguiente manera:
𝐓𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟕. 𝟐 𝐀𝐣𝐮𝐬𝐭𝐞 𝐩𝐨𝐥𝐢𝐧𝐨𝐦𝐢𝐚𝐥 𝐝𝐞 𝐞𝐬𝐭𝐞 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐭𝐞𝐥 𝐝𝐞𝐥 𝐈𝐄𝐌𝐒𝐃𝐅
𝟐 𝒚𝒊 𝒙𝒊 𝒚𝒊
1 1 1 88.15 88.15
2 2 4 80.00 160.00
3 3 9 77.22 231.66
4 4 16 80.49 321.96
5 5 25 78.01 390.05
6 6 36 78.27 469.62
7 7 49 75.48 528.36
8 8 64 76.88 615.04
9 9 81 78.90 710.10
10 10 100 70.74 707.40
11 11 121 67.37 741.07
12 12 144 75.57 906.84
Suma por
columna
𝟕𝟖
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊
𝟔𝟓𝟎
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊
𝟐
𝟗𝟐𝟕. 𝟎𝟖
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒚𝒊
𝟓𝟖𝟕𝟎. 𝟐𝟓
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊 𝒚𝒊

32
Entonces, las ecuaciones normales para el caso del ajuste polinomial lineal están dadas por
la ecuación … (𝟐𝟐):
[
𝟏𝟐 ∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝟏𝟐
𝒙𝒊
𝟐
] [
𝒂 𝟎
𝒂 𝟏
] = [
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒚𝒊
∑𝒊=𝟏
𝟏𝟐
𝒙𝒊 𝒚𝒊
] … (𝟒𝟎)
Para resolver el sistema de ecuaciones … (𝟒𝟎) de este ajuste polinomial lineal, se emplea
el software Matrixcalc: https://matrixcalc.org/es/slu.html cuya indicación a ejecutar es el
Método de la matriz inversa en relación a la forma de la ecuación … (𝟐𝟐), por lo que en este
caso se define, como:
𝑨 ∙ 𝒂̂ = 𝑩 →∴ 𝒂̂ = 𝑨−𝟏
∙ 𝑩 → [
𝒂 𝟎
𝒂 𝟏
] = [
𝑵 ∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝑵
𝒙𝒊
𝟐]
−𝟏
[
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒚𝒊
∑𝒊=𝟏
𝑵
𝒙𝒊 𝒚𝒊
] … (𝟒𝟏)
5.1 Resultados para el plantel de la delegación Azcapotzalco
En este caso la forma matricial de la ecuación … (𝟒𝟎) se define como los valores de las
sumatorias encontradas en la Tabla 7.2 y esto se sustituye respectivamente de la siguiente
manera:
[
𝟏𝟐 𝟕𝟖
𝟕𝟖 𝟔𝟓𝟎
] [
𝒂 𝟎
𝒂 𝟏
] = [
𝟗𝟐𝟕. 𝟎𝟖
𝟓𝟖𝟕𝟎. 𝟐𝟓
] … (𝟒𝟐)
Realizando la multiplicación matricial en el lado izquierdo de la ecuación … (𝟒𝟐) nos
conduce a resolver un sistema de ecuaciones, para encontrar los coeficientes respectivos de
este ajuste polinomial lineal:
𝟏𝟐𝒂 𝟎 +
𝟕𝟖𝒂 𝟎 +
𝟕𝟖 𝒂 𝟏
𝟔𝟓𝟎𝒂 𝟏
=
=
𝟗𝟐𝟕. 𝟎𝟖
𝟓𝟖𝟕𝟎. 𝟐𝟓
… (𝟒𝟑)
Entonces, considerando los valores matriciales de la ecuación … (𝟒𝟐), como:
𝑨 = [
𝟏𝟐 𝟕𝟖
𝟕𝟖 𝟔𝟓𝟎
] ; 𝑩 = [
𝟗𝟐𝟕. 𝟎𝟖
𝟓𝟖𝟕𝟎. 𝟐𝟓
] … (𝟒𝟒)
Luego se calcula la inversa de 𝐴 en el software Matrixcalc:
𝑨−𝟏
= [
𝟐𝟓
𝟔𝟔
−
𝟏
𝟐𝟐
−
𝟏
𝟐𝟐
𝟏
𝟏𝟒𝟑
] … (𝟒𝟓)
Por lo tanto, se procede a encontrar los coeficientes del ajuste lineal en el software
Matrixcalc:

33
𝒂̂ = 𝑨−𝟏
∙ 𝑩 → [
𝒂 𝟎
𝒂 𝟏
] = [
𝟐𝟓
𝟔𝟔
−
𝟏
𝟐𝟐
−
𝟏
𝟐𝟐
𝟏
𝟏𝟒𝟑
] ∙ [
𝟗𝟐𝟕. 𝟎𝟖
𝟓𝟖𝟕𝟎. 𝟐𝟓
] = [
𝟐𝟐𝟐𝟔𝟓
𝟐𝟔𝟒
−
𝟏𝟓𝟓𝟕𝟕
𝟏𝟒𝟑𝟎𝟎
] … (𝟒𝟔)
En la ecuación … (𝟒𝟔) se encuentra la solución, para los coeficientes del ajuste polinomial
lineal, que está dado por:
𝒂 𝟎 = 𝟖𝟒. 𝟑𝟑𝟕𝟏, 𝒂 𝟏 = −𝟏. 𝟎𝟖𝟗𝟑 … (𝟒𝟕)
Por lo tanto, se relaciona los coeficientes encontrados en … (𝟒𝟕) para sustituirlos en el mejor
modelo de ajuste polinomial lineal:
𝒚̂ = 𝒂 𝟎 + 𝒂 𝟏 𝒙 →∴ 𝒚̂ = 𝟖𝟒. 𝟑𝟑𝟕𝟏 − 𝟏. 𝟎𝟖𝟗𝟑𝒙 … (𝟒𝟖)
Esta ecuación … (𝟒𝟖) implica encontrar los probables intervalos de predicción al 95% de
confianza sobre el porcentaje de la deserción estudiantil para este plantel, que está dado por
la ecuación … (𝟑𝟒):
𝒚 𝒑 = 𝑿 𝒑 𝒂̂ ± 𝒕 𝟎.𝟗𝟕𝟓
𝟏𝟐−( 𝟏+𝟏)
𝝈̂√ 𝟏 + 𝑿 𝒑( 𝑿 𝑻
𝑿)
−𝟏
𝑿 𝒑
𝑻
… (𝟒𝟗)
Después en la ecuación … (𝟒𝟗) se realiza operaciones correspondientes en el lado derecho
de la bivalencia ± :
𝒚 𝒑 = 𝑿 𝒑 𝒂̂ ± 𝒕 𝟎.𝟗𝟕𝟓
𝟏𝟎
(√
𝒀 𝑻
𝒀 − 𝒂̂ 𝑻
𝑿 𝑻
𝒀
𝟏𝟐 − ( 𝟏 + 𝟏)
) √ 𝟏 + 𝑿 𝒑( 𝑿 𝑻
𝑿)
−𝟏
𝑿 𝒑
𝑻
… (𝟓𝟎)
Esto implica, encontrar el percentil de la distribución 𝑡 Student, que en este caso se define
como: 𝒕 𝟎.𝟗𝟕𝟓
𝟏𝟎
, por lo que este valor, se corrobora mediante el software wólfram alpha:
http://www.wolframalpha.com/ de la siguiente manera:
97.5 Percentile Student´s t distribution degrees of freedom 10
Esta sintaxis a ejecutar, da el valor correspondiente de 𝒕 𝟎.𝟗𝟕𝟓
𝟏𝟎
= 𝟐. 𝟐𝟐𝟖𝟏𝟒 … (𝟓𝟏)
Luego, se procede a calcular el error de la estimación:
𝝈̂ = √
𝒀 𝑻
𝒀 − 𝒂̂ 𝑻
𝑿 𝑻
𝒀
𝟏𝟎
… (𝟓𝟐)
Para obtener la suma de cuadrados del error (𝑺𝑪𝑬), se define, para este caso de ajuste
polinomial lineal, los elementos matriciales del numerador de la ecuación … (𝟓𝟐), por lo tanto
se emplea el software Matrixcalc: https://matrixcalc.org/es/slu.html de la siguiente forma:

34
𝑿 = [
𝟏
𝟏
⋮
𝟏
𝒙 𝟏
𝒙 𝟐
⋮
𝒙 𝟏𝟐
] =
[
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝟓
𝟔
𝟕
𝟖
𝟗
𝟏𝟎
𝟏𝟏
𝟏𝟐]
→∴ 𝑿 𝑻 = [
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
𝟏
𝟑
𝟏
𝟒
𝟏
𝟓
𝟏
𝟔
𝟏
𝟕
𝟏
𝟖
𝟏
𝟗
𝟏
𝟏𝟎
𝟏
𝟏𝟏
𝟏
𝟏𝟐
]
𝒀 = [
𝒚 𝟏
𝒚 𝟐
⋮
𝒚 𝟏𝟐
] =
[
𝟖𝟖. 𝟏𝟓
𝟖𝟎. 𝟎𝟎
𝟕𝟕. 𝟐𝟐
𝟖𝟎. 𝟒𝟗
𝟕𝟖. 𝟎𝟏
𝟕𝟖. 𝟐𝟕
𝟕𝟓. 𝟒𝟖
𝟕𝟔. 𝟖𝟖
𝟕𝟖. 𝟗𝟎
𝟕𝟎. 𝟕𝟒
𝟔𝟕. 𝟑𝟕
𝟕𝟓. 𝟓𝟕]
→∴ 𝒀 𝑻 = [ 𝟖𝟖. 𝟏𝟓 𝟖𝟎. 𝟎𝟎 𝟕𝟕. 𝟐𝟐 𝟖𝟎. 𝟒𝟗 𝟕𝟖. 𝟎𝟏 𝟕𝟖. 𝟐𝟕 𝟕𝟓. 𝟒𝟖 𝟕𝟔. 𝟖𝟖 𝟕𝟖. 𝟗𝟎 𝟕𝟎. 𝟕𝟒 𝟔𝟕. 𝟑𝟕 𝟕𝟓. 𝟓𝟕]
𝒂̂ = [
𝒂 𝟎
𝒂 𝟏
] = [
𝟖𝟒. 𝟑𝟑𝟕𝟏
−𝟏. 𝟎𝟖𝟗𝟑
] →∴ 𝒂̂ 𝑻
= [ 𝟖𝟒. 𝟑𝟑𝟕𝟏 −𝟏. 𝟎𝟖𝟗𝟑 ]
… (𝟓𝟑)
Esto implica, sustituir los elementos matriciales de la ecuación … (𝟓𝟑), para poder efectuar la
operación matricial del numerador de la ecuación … (𝟓𝟐) con el software Matrixcalc:
https://matrixcalc.org/es/slu.html de la siguiente manera:
𝒀 𝑻
𝒀 = 𝟕𝟏𝟗𝟏𝟎. 𝟒
𝒂̂ 𝑻
𝑿 𝑻
𝒀 = 𝟕𝟏𝟕𝟗𝟐. 𝟖
→
𝝈̂ = √
𝟕𝟏𝟗𝟏𝟎. 𝟒 − 𝟕𝟏𝟕𝟗𝟐. 𝟖
𝟏𝟎
𝜎̂ = √
117.6
10
→∴ 𝜎̂ = √11.76
𝝈̂ = 𝟑. 𝟒𝟐𝟗𝟐𝟖
… (𝟓𝟑)
Por lo tanto, se sustituye los valores de las ecuaciones … (𝟓𝟏) y … (𝟓𝟒) en el intervalo de
predicción de la ecuación … (𝟓𝟎):
𝒚 𝒑 = 𝑿 𝒑 𝒂̂ ± ( 𝟐. 𝟐𝟐𝟖𝟏𝟒)( 𝟑. 𝟒𝟐𝟗𝟐𝟖)√ 𝟏 + 𝑿 𝒑( 𝑿 𝑻
𝑿)
−𝟏
𝑿 𝒑
𝑻
… (𝟓𝟓)
El intervalo de predicción de la ecuación … (𝟓𝟓) define el pronóstico para las generaciones
del 2013 al 2014:
𝒚 𝟏𝟑 = 𝑿 𝟏𝟑 𝒂̂ ± ( 𝟐. 𝟐𝟐𝟖𝟏𝟒)( 𝟑. 𝟒𝟐𝟗𝟐𝟖)√ 𝟏 + 𝑿 𝟏𝟑( 𝑿 𝑻
𝑿)
−𝟏
𝑿 𝟏𝟑
𝑻
… (𝟓𝟔)

35
𝑿 𝟏𝟑 = [ 𝟏 𝒙 𝟏𝟑] → 𝑿 𝟏𝟑 = [ 𝟏 𝟏𝟑] →∴ 𝑿 𝟏𝟑
𝑻
= [
𝟏
𝟏𝟑
] … (𝟓𝟕)
Esto implica, encontrar la operación matricial 𝑿 𝟏𝟑 𝒂̂ , considerando el elemento matricial 𝑿 𝟏𝟑
de la ecuación … (𝟓𝟕) y el elemento matricial 𝒂̂ definido en la ecuación … (𝟓𝟑) y estos
elementos matriciales se sustituyen en la ecuación … (𝟓𝟔):
𝒚 𝟏𝟑 = [ 𝟏 𝟏𝟑] [
𝟖𝟒. 𝟑𝟑𝟕𝟏
−𝟏. 𝟎𝟖𝟗𝟑
] ± ( 𝟐. 𝟐𝟐𝟖𝟏𝟒)( 𝟑. 𝟒𝟐𝟗𝟐𝟖)√ 𝟏 + 𝑿 𝟏𝟑( 𝑿 𝑻
𝑿)
−𝟏
𝑿 𝟏𝟑
𝑻
… (𝟓𝟖)
En la ecuación … (𝟓𝟖) se realiza su operación matricial del lado izquierdo de la bivalencia ±
instrucción:
{{1,13}}*{{84.3371},{-1.0893}}
se sustituye en la ecuación … (𝟓𝟖):
𝒚 𝟏𝟑 = 𝟕𝟎. 𝟏𝟕𝟔 ± ( 𝟐. 𝟐𝟐𝟖𝟏𝟒)( 𝟑. 𝟒𝟐𝟗𝟐𝟖)√ 𝟏 + 𝑿 𝟏𝟑( 𝑿 𝑻
𝑿)
−𝟏
𝑿 𝟏𝟑
𝑻
… (𝟓𝟗)
Luego, se efectúa la operación matricial √𝟏 + 𝑿 𝟏𝟑(𝑿 𝑻 𝑿)−𝟏 𝑿 𝟏𝟑
𝑻
matricial 𝑿 𝟏𝟑 de la ecuación … (𝟓𝟕) y los elementos matriciales 𝑿, 𝑿 𝑻
en la ecuación … (𝟓𝟑) y estos elementos matriciales se sustituyen en la ecuación … (𝟓𝟗):
𝒚 𝟏𝟑 = 𝟕𝟎. 𝟏𝟕𝟔 ± (𝟐. 𝟐𝟐𝟖𝟏𝟒)(𝟑. 𝟒𝟐𝟗𝟐𝟖)
√
𝟏 + [ 𝟏 𝟏𝟑 ]
(
[
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
𝟏
𝟑
𝟏
𝟒
𝟏
𝟓
𝟏
𝟔
𝟏
𝟕
𝟏
𝟖
𝟏
𝟗
𝟏
𝟏𝟎
𝟏
𝟏𝟏
𝟏
𝟏𝟐
]
[
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝟓
𝟔
𝟕
𝟖
𝟗
𝟏𝟎
𝟏𝟏
𝟏𝟐])
−𝟏
[
𝟏
𝟏𝟑
] … (𝟔𝟎)
Después, se realiza la multiplicación de matrices del paréntesis de la ecuación … (𝟔𝟎) con
el software Matrixcalc: https://matrixcalc.org/es/slu.html y por lo tanto esta multiplicación
matricial resulta:
𝒚 𝟏𝟑 = 𝟕𝟎. 𝟏𝟕𝟔 ± (𝟐. 𝟐𝟐𝟖𝟏𝟒)(𝟑. 𝟒𝟐𝟗𝟐𝟖)√ 𝟏 + [ 𝟏 𝟏𝟑 ] ([
𝟏𝟐
𝟕𝟖
𝟕𝟖
𝟔𝟓𝟎
])
−𝟏
[
𝟏
𝟏𝟑
] … (𝟔𝟏)

36
Esto implica, efectuar las operaciones matriciales del radicando de la ecuación … (𝟔𝟏)
{{1,13}}*inverse({{12,78},{78,650}})*{{1},{13}}
se sustituye en la ecuación … (𝟔𝟏):
𝒚 𝟏𝟑 = 𝟕𝟎. 𝟏𝟕𝟔 ± (𝟐. 𝟐𝟐𝟖𝟏𝟒)(𝟑. 𝟒𝟐𝟗𝟐𝟖)√𝟏 + 𝟎. 𝟑𝟕𝟖𝟕𝟖𝟕𝟖𝟕𝟖 … (𝟔𝟐)
Realizando operaciones elementales en el radicando de la ecuación … (𝟔𝟐):
𝒚 𝟏𝟑 = 𝟕𝟎. 𝟏𝟕𝟔 ± (𝟐. 𝟐𝟐𝟖𝟏𝟒)(𝟑. 𝟒𝟐𝟗𝟐𝟖)√𝟏. 𝟑𝟕𝟖𝟕𝟖𝟕𝟖𝟕𝟖 … (𝟔𝟑)
Se encuentra la raíz cuadrada de la ecuación … (𝟔𝟑):
𝒚 𝟏𝟑 = 𝟕𝟎. 𝟏𝟕𝟔 ± (𝟐. 𝟐𝟐𝟖𝟏𝟒)(𝟑. 𝟒𝟐𝟗𝟐𝟖)(𝟏. 𝟏𝟕𝟒𝟐𝟏𝟕𝟗𝟖𝟔) … (𝟔𝟒)
… (𝟔𝟒):
𝒚 𝟏𝟑 = 𝟕𝟎. 𝟏𝟕𝟔 ± 𝟖. 𝟗𝟕𝟐 … (𝟔𝟓)
Finalmente, el resultado del intervalo de predicción de la ecuación … (𝟔𝟓) se interpreta de
70.176 − 8.972 ≤ 𝑦13 ≤ 70.176 + 8.972 →∴ 𝟔𝟏. 𝟐𝟎% ≤ 𝒚 𝟏𝟑 ≤ 𝟕𝟗. 𝟏𝟒% … (𝟔𝟔)
𝒚 𝟏𝟒 = 𝑿 𝟏𝟒 𝒂̂ ± (𝟐. 𝟐𝟐𝟖𝟏𝟒)(𝟑. 𝟒𝟐𝟗𝟐𝟖)√ 𝟏 + 𝑿 𝟏𝟒( 𝑿 𝑻
𝑿)
−𝟏
𝑿 𝟏𝟒
𝑻
… (𝟔𝟕)
𝑿 𝟏𝟒 = [𝟏 𝒙 𝟏𝟒] → 𝑿 𝟏𝟒 = [ 𝟏 𝟏𝟒 ] →∴ 𝑿 𝟏𝟒
𝑻
= [
𝟏
𝟏𝟒
] … (𝟔𝟖)
Esto implica, encontrar la operación matricial 𝑿 𝟏𝟒 𝒂̂ , considerando el elemento matricial 𝑿 𝟏𝟒
de la ecuación … (𝟔𝟖) y el elemento matricial 𝒂̂ definido en la ecuación … (𝟓𝟑) y estos
elementos matriciales se sustituyen en la ecuación … (𝟔𝟕):
𝒚 𝟏𝟒 = [ 𝟏 𝟏𝟒 ] [
𝟖𝟒. 𝟑𝟑𝟕𝟏
−𝟏. 𝟎𝟖𝟗𝟑
] ± (𝟐. 𝟐𝟐𝟖𝟏𝟒)(𝟑. 𝟒𝟐𝟗𝟐𝟖)√ 𝟏 + 𝑿 𝟏𝟒( 𝑿 𝑻
𝑿)
−𝟏
𝑿 𝟏𝟒
𝑻
… (𝟔𝟗)

37
En la ecuación … (𝟔𝟗) se realiza su operación matricial del lado izquierdo de la bivalencia ±
instrucción:
{{1,14}}*{{84.3371},{-1.0893}}
se sustituye en la ecuación … (𝟔𝟗):
𝒚 𝟏𝟒 = 𝟔𝟗. 𝟎𝟖𝟕 ± (𝟐. 𝟐𝟐𝟖𝟏𝟒)(𝟑. 𝟒𝟐𝟗𝟐𝟖)√ 𝟏 + 𝑿 𝟏𝟒( 𝑿 𝑻
𝑿)
−𝟏
𝑿 𝟏𝟒
𝑻
… (𝟕𝟎)
Luego, se efectúa la operación matricial √𝟏 + 𝑿 𝟏𝟒(𝑿 𝑻 𝑿)−𝟏 𝑿 𝟏𝟒
𝑻
matricial 𝑿 𝟏𝟒 de la ecuación … (𝟔𝟖) y los elementos matriciales 𝑿, 𝑿 𝑻
en la ecuación … (𝟓𝟑) y estos elementos matriciales se sustituyen en la ecuación … (𝟕𝟎):
𝒚 𝟏𝟒 = 𝟔𝟗. 𝟎𝟖𝟕 ± ( 𝟐. 𝟐𝟐𝟖𝟏𝟒)( 𝟑. 𝟒𝟐𝟗𝟐𝟖)
√
𝟏+ [ 𝟏 𝟏𝟒 ]
(
[ 𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
𝟏
𝟑
𝟏
𝟒
𝟏
𝟓
𝟏
𝟔
𝟏
𝟕
𝟏
𝟖
𝟏
𝟗
𝟏
𝟏𝟎
𝟏
𝟏𝟏
𝟏
𝟏𝟐
]
[
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝟓
𝟔
𝟕
𝟖
𝟗
𝟏𝟎
𝟏𝟏
𝟏𝟐])
−𝟏
[ 𝟏
𝟏𝟒
] … (𝟕𝟏)
Después, se realiza la multiplicación de matrices del paréntesis de la ecuación … (𝟕𝟏) y por
lo tanto esta multiplicación matricial resulta:
𝒚 𝟏𝟒 = 𝟔𝟗. 𝟎𝟖𝟕 ± ( 𝟐. 𝟐𝟐𝟖𝟏𝟒)( 𝟑. 𝟒𝟐𝟗𝟐𝟖)√ 𝟏 + [ 𝟏 𝟏𝟒 ] ([ 𝟏𝟐
𝟕𝟖
𝟕𝟖
𝟔𝟓𝟎
])
−𝟏
[ 𝟏
𝟏𝟒
] … (𝟕𝟐)
Esto implica, efectuar las operaciones matriciales del radicando de la ecuación … (𝟕𝟐)
{{1,14}}*inverse({{12,78},{78,650}})*{{1},{14}}
se sustituye en la ecuación … (𝟕𝟐):
𝒚 𝟏𝟒 = 𝟔𝟗. 𝟎𝟖𝟕 ± (𝟐. 𝟐𝟐𝟖𝟏𝟒)(𝟑. 𝟒𝟐𝟗𝟐𝟖)√𝟏 + 𝟎. 𝟒𝟕𝟔𝟔𝟖𝟗𝟗𝟕𝟔 … (𝟕𝟑)
Realizando operaciones elementales en el radicando de la ecuación … (𝟕𝟑):
𝒚 𝟏𝟒 = 𝟔𝟗. 𝟎𝟖𝟕 ± (𝟐. 𝟐𝟐𝟖𝟏𝟒)(𝟑. 𝟒𝟐𝟗𝟐𝟖)√𝟏. 𝟒𝟕𝟔𝟔𝟖𝟗𝟗𝟕𝟔 … (𝟕𝟒)
Se encuentra la raíz cuadrada de la ecuación … (𝟕𝟒):
𝒚 𝟏𝟒 = 𝟔𝟗. 𝟎𝟖𝟕 ± (𝟐. 𝟐𝟐𝟖𝟏𝟒)(𝟑. 𝟒𝟐𝟗𝟐𝟖)(𝟏. 𝟐𝟏𝟓𝟏𝟗𝟏𝟑𝟑𝟑) … (𝟕𝟓)

38
… (𝟕𝟓):
𝒚 𝟏𝟒 = 𝟔𝟗. 𝟎𝟖𝟕 ± 𝟗. 𝟐𝟖𝟓 … (𝟕𝟔)
Finalmente, el resultado del intervalo de predicción de la ecuación … (𝟕𝟔) se interpreta de
69.087 − 9.285 ≤ 𝑦14 ≤ 69.087 + 9.285 →∴ 𝟓𝟗. 𝟖𝟎% ≤ 𝒚 𝟏𝟒 ≤ 𝟕𝟖. 𝟑𝟕% … (𝟕𝟕)
Estos intervalos de predicción de las ecuaciones … (𝟔𝟔) y … (𝟕𝟕) se corrobora mediante el
software de Octave-MATLAB desde: http://octave-online.net/ donde se consideran las
siguientes instrucciones definidas a ejecutar:
 [p,S] = polyfit(x,y,n): Da los coeficientes del polinomio p de grado n que se
encontró manualmente en la ecuación … (𝟒𝟖) que ajusta los puntos (x,y) por
mínimos cuadrados, con errores estimados S
 [Y,D] = polyconf(p,X,S,alpha): Predicción polinómica con intervalos de
confianza Y±D de la salida S dada por polyfit con nivel de confianza alpha
(considerando la ecuación … (𝟑𝟒), se menciona que es del 95%, es decir 0.05)
Estas instrucciones definidas, implica introducir las variables de los puntos del ajuste
considerado, es decir (x,y)=(Generacion,Desercion) con el siguiente orden
fundamental:
octave:1> Desercion=[88.15,80.00,77.22,80.49,78.01,78.27,75.48,76.88,
78.90,70.74,67.37,75.57];
octave:2> Generacion=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12];
Luego, se agrega la instrucción de polyfit, definida en este caso como:
octave:3> [p,S] = polyfit(Generacion,Desercion,1)
p =
-1.0893 84.3371
S =
scalar structure containing the fields:
yf =

39
83.248 82.159 81.069 79.980 78.891 77.801 76.712
75.623
74.533 73.444 72.355 71.266
X =
1 1
2 1
3 1
4 1
5 1
6 1
7 1
8 1
9 1
10 1
11 1
12 1
En efecto, estos resultados concuerdan con los obtenidos en las ecuaciones … (𝟒𝟖) y … (𝟓𝟑).
Por lo tanto, se corroboran los predichos intervalos estudiantiles en la generación 2013 y
2014 de desertores, esto implica considerar lo que se obtuvo de la implementación polyfit,
para que se encuentre la última instrucción definida:
Y = 70.176
D = 8.972
Y = 69.087
D = 9.285
Esta sintaxis ejecutada en el software de Octave-MATLAB, da certeza de nuestros resultados
obtenidos manualmente en las ecuaciones … (𝟔𝟔) y … (𝟕𝟕), a razón de que estos valores son
idénticos.

40
4.3. Para el plantel de la delegación Coyoacán
𝐓𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟓. 𝟑. 𝐃𝐚𝐭𝐨𝐬 𝐝𝐞𝐥 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐭𝐞𝐥 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐂𝐨𝐥𝐨𝐧𝐢𝐚 𝐕𝐢𝐞𝐣𝐨 𝐄𝐣𝐢𝐝𝐨 𝐝𝐞 𝐒𝐚𝐧𝐭𝐚 Ú𝐫𝐬𝐮𝐥𝐚: " 𝐑𝐢𝐜𝐚𝐫𝐝𝐨 𝐅𝐥𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐌𝐚𝐠ó𝐧"
⋮
… (𝟑𝟕)
(𝐱 𝟏, 𝐲 𝟏 ) = (𝟏, 𝐏𝐃𝐆 𝟏)
⋮
(𝐱 𝟏𝟐, 𝐲 𝟏𝟐) = (𝟏𝟐, 𝐏𝐃𝐆 𝟏𝟐)
… (𝟑𝟖)
2001 − 𝟏 141 10 𝟗𝟐. 𝟗𝟏
2002 − 𝟐 309 25 𝟗𝟏. 𝟗𝟏
2003 − 𝟑 250 62 𝟕𝟓. 𝟐𝟎
2004 − 𝟒 341 69 𝟕𝟗. 𝟕𝟕
2005 − 𝟓 332 78 𝟕𝟔. 𝟓𝟏
2006 − 𝟔 337 101 𝟕𝟎. 𝟎𝟑
2007 − 𝟕 344 107 𝟔𝟖. 𝟗𝟎
2008 − 𝟖 357 77 𝟕𝟖. 𝟒𝟑
2009 − 𝟗 356 60 𝟖𝟑. 𝟏𝟓
2010 − 𝟏𝟎 383 94 𝟕𝟓. 𝟒𝟔
2011 − 𝟏𝟏 365 83 𝟕𝟕. 𝟐𝟔
2012 − 𝟏𝟐 363 101 𝟕𝟐. 𝟏𝟖
2013 − 𝟏𝟑 376 ¿ ? ¿ ?
2014 − 𝟏𝟒 367 ¿ ? ¿ ?

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