1. CapÃtulo
1
Espacios vectoriales.
Aplicaciones lineales
INTRODUCCiÓN
La primera parte del libro comprende el estudio de lo que matemáticamente
se conoce como Ólgebra Lineal, y abarca los conceptos fundamentales de espacio vectorial, aplicación lineal, matriz, formas lineal, bilineal y
cuadráti ca, asà como la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Por tratarse de unos conceptos con un alto grado de abstracción, puede
resultar difÃcil comprender su necesidad en la formali zación y estudio
de la
EconomÃa. Sin embargo, se trata de ideas fundamental es para el poster
ior
tratamiento de muchos problemas de origen económico.
La primera idea a tener en cuenta nace del hecho de que en Economia,
en FÃsica y en muchas otras ciencias, además de las denominadas magnitudes
escalares, caracterizadas porque con un úni co valor numérico están
completamente determinadas (como puede ser el precio de un artÃculo o la
altura
de una persona), existen también otro tipo de magnitudes denominadas
magnitudes vectoriales, caracterizadas por el hecho de que, para estar det
erminadas, no es sufi ciente con dar un valor numérico, sino que
además es
preciso conocer su origen, su sentido y su dirección (ejemplos fÃsicos
tÃpicos
son la velocidad o la fuer za). Estas magnilUdes vectoriales, mat
ematizadas,
nos ll evan a los conceptos de vectores fijos, vectores libres y, con la
estructu3
4 â“¢ MATEMATICAS EMPRESARIALES
ra matemática que determinan las operaciones entre ellos, de espacio
vectorial.
Con la const rucción de la estructura fundamemal de espacio vectorial es
posible tratar satisfactoriamente el est udio de problemas económicos que dependen de varias variables, plant eados sobre el espacio real ndimensional, rR".
Aplicaciones Que nos per miti rá el estudio del Ólgebra Lineal son,
por
ejemplo, la resolución de sistemas de ecuaciones lineales generales y la
obtención de las condiciones necesari as y suficientes de optimalidad para
funciones de varias vari ables, a partir de los signos de det erminadas
formas
cuadráticas, que nos facult arán para resolver los problemas de
determinación de resultados óptimos (máximos beneficios, mÃnimos costes, etc.)
de
fu nciones que representan, mat emáti camente, problemas de origen
económi co-empresarial .
1.1
ESPACIOS VECTORIALES. APLICACIONES LINEALES . 5
CONCEPTO DE
ESPACIO VECTORIAL
Dado el conjunto de los números reales, iR, y un conjunto E cualquiera,
no

2. vacÃo (E t= 0 ), consideramos dos operaciones definidas sobre él:
ⓢ Suma o ley de composición inl erna:
E x E
+
E
'11(11, v)eEx E----_. u + veE
ⓢ Producto por escalares o le)' de composición externa :
n< xE
â“¢
E
V(A, U)E n< x
A· uEE
Diremos que (E, +, . ) tiene estructura de espacio vectorial sobre el
cuerpo t IR, o espacio vectorial real O lR·cspacio vectorial , si y s6lo si
se veri fican las siguientes propiedades:
m Asociativa: Vu, v, WE E, (11 + v) + IV = U + (v + w).
[1] Conmutat iva: VII , VE E, u + v = v + U.
f1J Existe nci a de elemento neut ro:
30
E
E E tal que Vil E E OE + U = U + OE = u.
[!] Existencia de elemento simét rico:
vueE 3( - u)eE talque u + ( - u) =(-U) + U= OE'
«Asocialividad)): v>.., fl E IR, Vu E E A·
. u) =
. U.
t Esta
generaliza de for ma inmediata cambiando el cuerpo de
los numeros reales
IR por cualquier otro cuerpo conmutativo (IK , + , ').
6 â“¢ MATEMATICAS EMPRESARIALES
ffi] Existencia de «( elemento unidad»:
31 e IR tal que
rn «Dislributi vidad)):
'rI A, ~ E IR Y 'rI U E E,
'rIAe IR y 'rI 1I,ve E,
'rIu e V 1 . u = 11 .
(A + ~ ) . u ~ A' u + ~ . u.
A . (11 + v) = A . 11 + A . v.
Los elementos del conjunto E se denominan vectores t y los del cuerpo
IR se denominan escalares. El espacio vectorial real (E, +, .), cuando no
exista
posi bilidad de confusión, se representará únicamente por el conjunto
E.
EJEM PLO 1 Uno de los ejemplos más caracterÃsticos de espacio vectorial es el
conjunto 1R
2
, o plano
real, con las operaciones habi tuales de suma de vectores y producto por
escalares. Es
decir, consideramos el conj unto ~ = ! (a, b) / a, b E IR J, y
definimos las operaciones:
:::J Suma: (a, b) + (e, d) = (a + e, b + d).
O Producto por escalares: A' (a, b) = (A' a, A' b) .
Con estas dos operaciones, y teniendo en cuenta las propiedades de la suma
del
producto de numeras reales, es fácil demostrar que se verifican las
propiedades que
definen el concepto de espacio vectorial real. Veamos como ejemplo la
propiedad
conmutativa:
(u, b) + (e, d) = (u + e, b + d) = =
[
por la propiedad conmutatiVa}
de los numeros reales
= (e + a, d + b) = (e, d) + (a, b).
Las restantes propiedades se demostrarÃan de for ma análoga. En este

3. espacio,
el elemento neutro de la suma serÃa el vector (O, O) Y el elemento
simétrico de un
vector (a, b) scrÃa el vector ( - a, - b).
EJEMPLO 2 De forma análoga, se podrÃa generalizar el ejemplo 1 para el
conj unto IR) , o espacio
real o tridimensional, y, en general , para IR
n
, si endo n E tN el número de dimensiones
o componentes, denominado espacio real n-di mensional.
t En muchos textos, los vectores u ⓬ E se representan por ü.
Considerarnos que est a notaci ón
no es necesaria para la correcta distinción entre vectores y
escalares.
ESPACIOS VECTORIALES. APLICACIONES LINEALES . 7
EJEMPLO 3 Otro ejemplo caracterÃstico del espacio vectorial es el
formado por los polinomios
con coeficientes reales, considerando las operaciones suma de polinomios y
produc10 de polinomios por un escalar.
1.2
PROPIEDADES
Dado un espacio vectorial Esobre IR, se ve rifican las propiedades siguientes:
ITl
Vu e E,
O'U = OE'
rn
VA e IR,
A·OE = OE ·
[1]
VA' !( y Vu E E, SI
A'U = OE
@]
VA ' ~
Y
Vu E E, se verifica Que
SUBESPACIO
VECTORIAL
entonces A= O o
u = OE'
( - A)'" = - (A'U),
Diremos Que un subconjunlO S e E es un suhespacio vectorial del espacio
vectorial real E si y sólo si verifica Que:
a . S 1= 0 .
b . VU,VES=-U+VES.
C . vAe R, vileS => A· /leS.
Las condiciones b y c pueden expresarse conjuntamente de la siguiente
forma:
VA,P-E fR y Vil, VES =- A' u + p.. ve S.
Si S e E es un subespacio veclOrial, enlonces el conjunto S puede ser
considerado también como un espacio veclOrial sobre IR, con las
mismas
operaciones.
8 ⓢ MATEMÓTICAS EMPRESARIALES
PROPI EDAD
Si S e E es un subespacio vectorial, enlonces DE E S.
EJEMPLO 1 Como ejemplos inmediatos de subespacio vectorial dc cualquier
espacio vectorial
real E tenemos los conjuntos f OE I y E.
EJ EMPLO 2 El conj unto S = f (x, y. Z) E rR
1
I x - 2y + z = O I es subespacio vectorial de IR
l
.

4. En efecto, el veClor OE = (O, O, O) E S, ya que O - 2 . O + O = O.
Por tanto,
S F- 0 .
Sean u = (U
I
, U2' U
l
) y v = (U¡, V2. Ul ) dos vectores de S; por tanto, verifican
U¡ - 2u
z
+ U
l
= O y V¡ - 2U2 + v] "" O.
Si tomamos >.., p. E IR, obtenemos el vector
>... u + Ji.. u = >... (U
I
, 112' U
l
) + p.. (U¡, U2' U
l
) =
= (>.. . U¡ + p. UI> >"·"2 + p.. U2' >... u] + p. v
l
)·
Comprobemos que este vector verifica la propiedad que define el
conjunto S:
(>... U
L
+ p. VI) - 2· (>... u
2
+ p.. U2) + (>.. . 11) + Ji' Ul ) ""
= >... (u
L
- 2U2 + u
l
) + p.. (u¡ - 2 U2 + Ul ) = >... 0 + p.. O = o.
EJEM Pl O 3 El conjunto de los numeras enteros, represent ado por l , no es
un subespacio VC(:to1
rial de los reales IR, ya que si tomamos u = 3 E Z y }., = 5 E
IR , el producto
1
5 · J fl.
No se cumple, pues, la condición e de la definición de subespacio.
EJEMPLO 4 Consideremos el conjunto S = [(x, y) E fR2 I X = y2 J.
Observese que. por definición, si (XI' YL), (x
2
â“¢ h ) E S, deben verificar que XL = yL X2 = y ~ .
Const ruimos el vector suma,
1.3
ESPACIOS VECTORIALES. APLICACIONES LINEALES . 9
y, en este caso, tenemos
, '( )'
XI + X2 = YI + Y2 -¡t. y] + Y2 .
Como (XI' YI) + (X2' ll) "S, no se trata de un subespacio vectorial.
Podemos ver que el vector (0, O) E S, pero este hecho no es
suficiente para que
el conj ullt o sea suhespacio vectorial.
COMBINACiÓN LINEAL
DE VECTORES
Dado un conjunto de vectores ut> U2' ... ,un E E del espacio
vectorial real
E, se di ce Que el vector u E E es combinación lineal de los

5. vectores
u
l
, u
2
, ⓢ ⓢⓢ , un E E si y sólo si existen fI escalares).> A2' ... ,A
n
E IR tales Que
"
v =).1' 11 ] +).2' " 2 + ... + ).n· " n = ¿: A¡' "¡.
i . ]
EJEMPLO 1 El vector ( - 5,8) es combinación lineal de los vectores (2, 1)
Y (3, - 2), porque existen los escalares 2, - 3 e IR tales que
( - 5,8) = 2·(2,1) - J·(J, - 2).
Por ot ra parte, para comprobar si el vector (1, 3) es combinación
lineal de esos
vectores, debemos resolver la igualdad:
(1 , J) = A, . (2, 1) + A,' (3, - 2) = (2· A, + 3 . A" 1 . A, - 2 ·
A,),
de donde
[
1 = 2 . Al + 3 . A
2
â“¢
3 = 1 . Al - 2 · A2
El sistema ti ene solución
11
).1 =
7
10 ⓢ MATEMÓTICAS EMPRESARIALES
Por tanto, el vector (1, 3) también es combinación lineal de los
vectores (2, 1)
Y (3, - 2).
EJEMPLO 2 El vector (1, O) no es combinación lineal de los vectores
( 1, 2) Y (-2, - 4) , ya que
el sistema de ecuaciones a que da lugar la igualdad
1.4
(1, O) ~ A, . (1, 2) + A, . ( - 2, - 4)
no liene sol ución.
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA
LI NEAL DE VECTORES
Un conjunto de vcctores ,, ], 11 2 ⓢⓢⓢ.ⓢ 11" E E del espacio
vectOrial real E es linealmente independiente si y sólo si se verifica que
o. equivalent emente,
,
~ A¡ · U¡ = OE =- vi E 11, 2, ... ,n 1, A, = O.
¡ . ]
Es decir. cuando la única forma de expresar el vector OE E E como combinación lineal de los vectores Ul, uz ⓢ.. . , u" es tomando todos los
escalares A¡
iguales a o.
En caso contrari o, se dice que u], U2' ... ,11" E E forman un conjunto de
vectores linealrnenle dcpendienles. Entonces, es posi ble expresar el vector
DE
como combinación lineal de los vectores u], U2' ... ,11" si n que,
necesariamente, todos los escalares A¡ sean nulos.
EJEMPLO 1 Veamos si los vectores (2, 1) Y (3, - 2) son linealment e
dependientes o independientes. De la combinación lineal
A' (2.1) + ~ . (3, - 2) ~ (O, O),
ESPACIOS VECTORI ALES APLICACIONES LINEALES . 11

6. resulta el sistema de ecuaciones
[
2 ~ + 3 ¡:¡
1 2 ¡:¡
o
O
Corno la unica solucion del sistema es A 0, p. 0, los eclOreS son
linealmente
independiellt es
EJEMPLO 2 Los , ect ores (2, 1) Y ( ~ , 2) son linealmente dependientes, ~
a que la combinación lineal
admite como posible solución A = 2, ¡:¡ = 1, además de la
solución nula .
EJEMPLO 3 También es sencillo comprobar que los vectores (2, 1, O) y
( 1,4,2) son linealmente independienlcs Basta resolver el sistema de ecuaciones a que da lugar
la combinacion lineal
, (2. l. O) ~ " ( 1. 4. 2) (O. O. O) .
PROPI EDADES
[TI Los vectores "l . // 2. ' .. ,11" E E son li neal mente de
pendientes si y sólo
si alguno de ellos puede expresarse como combi nacion lineal de los restantes.
DEMOSTRACtO:>:
I =- J Si los vectores son li nealmente dependiemes, se verifica que
3AI, Al â“¢ . .. ,A" E IR no todos nulos tales que
+ AI/ ' II" = 0l: '
Supongamos que sea A, jo O. Entonces, se puede expresar
11, =
",
A,
. 11 ,
A ,
A, ,
A,
. 1I , I
A .... 1
A,
A"
â“¢ 11" â“¢
A,
Es decir, 1I , es combinación lineal del conj unto de veClores li t .
112 . ... ,
11 , 1,11' + 1, .. . ,11" .
12 â“¢ MATEMAT1CAS EMPRESARIALES
[ <= I Sea U¡ combinación lineal del resto de vectores. Por tanto
3A], A2, . . . , A, l> A, ~ ], . . . , A" E R,
tales que
+ A¡ ]' !i; _ I+ A; "' I' U¡+ I +"'+ A" 'U,, ,
de donde
y
3A¡ = l -j:. Q.
Por tant o, Il ¡, U
z
, ... , 11" for man un conjunt o de vectores linealmente dependient es.
EJEMPLO 4 Hemos visto en el ejemplo 2 que los vectores (2, 1) Y (4, 2)
son linealment e dependient es. Obsérvese que (4, 2) = 2 · (2, 1) y, por tanto, se puede
expresar un vector
como combinación li neal del aI ro.

7. [IJ Si un vector u e E es combinación lineal de los vectores li
nealment e independientes 11 ]. 11 2 • • .• ,11" E E. entonces los escalares Al' A
2
• ... , A" E ~
que verifican que ti = L: A; ' tI ¡ son únicos.
; . ]
D EMOSTRACiÀN
Supongamos que ti puede expresarse de dos formas como combinación lineal
de los vectores 11 1.112, ••• • U,, :
u = Al . U
1
+ A2 . 11 2 + . .. + A" . u" = ¡..t 1 . 11
1
+ JJ-2 . U2 + ... + ¡..t" . U" .
Entonces, restando ambas combinaciones li neales. tenemos
1.5
ESPACIOS VECTORIALES. APLICACIONES LINEALES . 13
y, por ser los vectores linealmente independientes, se verifica:
(A, - ~ , ) : O, (A, - ~ 2 ) : O, ... ,(A" - ~ " ) : O;
es deci r.
vie f l . 2 •. .. • IIJ. A, = p. ,.
[I] El vector OE E E es combinación li neal de cualquier conjunto de
vectores. Obsérvese que, siempre,
DE = D· lIt + . . . + O· u/I '
Por tanto, cualquier conjunto de vectores que incl uya cl vector OE e E
es linealmente dependiente.
SISTEMA DE
GENERADORES
Un conj unto de vectores II It 112, .• _ ' U/I E E forma un sislema de
generadores
del espacio vectorial real E si y sólo si cualquier vector v E E es
combinación
lineal de los vectores 11 [ , u
2
, .• • , 11/1 ; es decir,
'I v E E, 3A[o A
z
, . .. , A/I E IR, tales que
"
v = A[ . u¡ + A
2
- 112 + .. - + A/I - " /1 = ¿: A/' " ,_
i . !
EJ EMPLO 1 Comprobemos que los vectores (2, 1) Y (3, - 2) del ejemplo 1
de l apartado anterior
forman un sistema de generadores de 1R2. Sea (x, y) E 1R2 un vector
cualquiera.
De (x, y ) = "J.... (2, 1) + ¡;. . (3, - 2), obtenernos el sistema de
ecuaciones
[
X= 2 ' "J... + 3.¡;. .
y = "J... - 2 · ¡;.
Resol viendo el sistema. resulta
2x + 3y
A=
7
,
14 • MATEMATICAS EMPRESARIALES
Por tanto, cualqui cra que sea el ector (x, y), se puede expresar como
combinadon lineal de los do!> ectores (2, 1)} (3, 2) Si consideramos, por
ejemplo, el ec-

8. 3 5
tor (.,
7
y)
(J,
1) .
tendnamos}.,
(2 , 1) Y (3, 2) forman.
un sistema de
de
IR
z
EJEMPLO 2 Los ectorcs (2, l. O) y ( 1,4,2) no forman un sistema de
generadores de
ya
que se puede comprobar que el sistema a que da lugar la expresion
1.6
(x. Y. ,)
A . (2. 1. O) +" ( 1. 4. 2).
no siempre tiene solución.
BASE DE UN
ESPACIO VECTORIAL
1. 6. 1. DEFI NICIÀN DE BASE
El conjunto de vectores 11
1
, 11
2
" . . ,11" E E rorma una bllse del es paci o vectorial real E si y sólo si ve rifica que:
a . tl
l
, tl 2."" ti" son vectOres linealmente independicnt cs.
b . 1I
1
, lI l' .. , lI'j forman un sistema de generadores del es pacio E.
EJEM PlO 1
vectores (2, 1) y (3, 2) forman una base de
ya que,
como hemos comprobado en ejemplos anteriores, son vectores linealmente independientes y
forman un
sistema de generadores de dicho espacio.
EJEMPLO 2 Los ectores (2,1, O) } ( L 4, 2) no forman una base de
r,(l, ya que. aun siendo
linealmente independientes, no for ma n un sistema generador de :l?'
ESPACIOS VECTORIALES APLICACIONES LINEALES . 15
Un ejemplo muy caractenstico de base. ya que es la habit ual mente utilizada , es la denomi nada bast' canónita de un es pacio eetorial E.
que esta
formada por todos los vectores de la fo rma (l. O . ... . O). (O. l
. . . O) .
. . . , (O. O, .... 1) .
I' IIOI' IEDADES
[IJ Si 11 , . U2' . , u" E E es una base del es pacio vectorial E.
entonces cualquier vector de E se expresa de forma llllica como combinacion lineal
de los
de la base; es decir .
"
. A" E R únicos tales que t· .L: A, 11,
, ,
Al vector (Al, A2' " . , A,, ) se le denomina "ector de componentes del
vector uEEen la base 11
1
.11
2
•... , 11".
Esta propiedad se deduce directamente a panir de la definicioll de
base
y de la propiedad 2 del apartado 1.4.
EJ EM Pl O 3 Hemos iforo anteriormente que el cctor ( S. 8) es
combinadon lineal de
ectores (2, 1»' (3, 2) , porque 2 · (2. 1) 3 (3. 2) ( 5,8) Por tanto,
el erlOr

9. ( 5.8) tiene componentes (2. 3) en la base for mada por
CelOreS
(2. 1) }
(3. 2)
Obscnese que 5· (1. O) + S· (O. 1) :0 ( 5. S) Por tanlO. las
componentes del
eetor ( 5. S) son precisamente sus component es en la base canonita
de IR:
[!] Dos bases de un espacio vectorial E ti enen siempre el mi smo
numero
de vectores
Por ejempl o, todas las bases que se puedan formar en el es pacio 'R
2
estaran compuestas por dos vectores. En general. cualquier base del espacio
[1("
estara formada por 11 veClores .
16 • MATEMATICAS EMPRESARIALES
1.7
1.6.2. DIMENSIÀN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Se denomina dimensión del espacio vectorial E, y se representa por dim
E,
al número de vectores de una cualqui era de sus bases. t
En los espacios vectoriales de dimensión finita 11 , para que un
conjunto
de fI vectores forme una base, es suficiente con que se verifique una cualquiera de las dos condiciones de la definición; es decir, que los n
vectores sean
linealmente independientes o formen un sistema de generadores ya asegura
que forman base.
Además, si dim E = n, se verifica que:
• Si U
t
, • •• , U
m
son linealmente independientes == m ~ n .
• Si U
t
, •• • , u'" son un sistema dc generadores == m ~ n.
SUBESPACIO GENERADO POR
UN CONJUNTO DE VECTORES
Dado un conjunto de vectores Ulo U2.' ..• u" del espacio vectorial real
E, se
denomina subespacio generado por ell os, y se representa por (1I
1
• 11 2 • ••• , U,,),
al conjunto dc vectores formado por todas las posi bles combinaciones lineaJes de U
I
• 11
2
."" U,,; es decir:
[VEE / 3At,A2'" .,AIIE R
y
EJEMPLO El subespacio generado por los veClores (1,2,3) y ( 2, 1, O)
será el conjunto formado por lodos los veClores que son combinación lineal de ellos. Es decir,
los vecto·
t Tralaremos unicamenle el caso en que la base está formada por un
numero finito-de ectores (espacios ectoriales de dirnension finita). Los conceplOS ameriores
se podnan generali·
zar para espacios vectoriales de dimensión infinita. como. por ejemplo, el
espacio ectoria!
de los polinomios, con una base infini ta del tipo: ¡,x,x

10. l
, . x ~ .
1.8
ESPACIOS VECTORI ALES APLICACIONES LINEALES . 17
res (o. b. e) tales que
(a. b. e) ~ A (1. 2. J) +" ( 2, 1, O)
Por tanto.
APLICACi ÀN
LI NEAL
1.8. 1. CONCEPTO DE APLICACIÀN LINEAL
Sean E Y F dos espacios vectoriales reales. Diremos que una aplicación
f: E
F
./I EE -- - -J(u)EF
es una aplicaci ón lineal u homomorfismo, ent re E y F si y sólo si se
verifica que
a • • u, u E E, J(u + u) ~ J(u) + J (v).
b • • A E H< Y ./1 E E, J ( A' u) ~ A . J(u) .
Las condiciones a y b pueden expresarse conjuntamente de la siguiente
forma:
v'A.¡.t.e i'R y vu,ve E,
J(A'u +". u) ~ A ·J(u) +" ·J(u).
El conju nto formado por todas las aplicaciones lineales entre los espacios
E y F, representado por J.:(E, F), con las operaciones suma de
aplicaciones
y producto de un escalar por una aplicación constituye otro ejemplo de e s p
a ~
cio vectorial.
EJ EM Pl O 1 Veamos que la aplicación
f: 1R2 --- - - IR}
(x, y) --- -Ix + y. x Jy, y)
18 • MATEMATICAS EMPRESARI ALES
una aplicacion !i ncal clHrc estos
cspacios cctoriales:
(a) Sean 11 (''1' )' 1)' v = ( X2' JIl ) e 1R2 dos
cualesquiera:
f(u .... v) f[(x l' )' 1) +
f(x ) + X
2
')'1 .,. h )
= ((XI + xz) .... (YI +
(Xl .... Xl ) 3()' ) +
+
[
por
propiedades asociatha y]
eonmutati a de la suma en IR
[(XI - )' 1) + (x! ... JIl ). (XI 3YI) + (X2 3J1l )')' I"" JIlJ
- (XI'" )' 1' XI 3YI' )' 1) + (X2 + )'2· x
2
3)'2' )'2)
J(u) + J(,)
(b) Sean /1 (X, y) e
y A e
J (A u) J IA (x, y)J " J(A x, A y)
= I( A x ) + (, y ), (A x ) 3(, , )" y l
[
por la propiedad diSITiblll i' a ]
de la suma en IR
1, . (x
y), , . (x ly).' ' )'1
= A (x + y, x 3)'. y )
, J (u)
EJ EMPLO 2 En r:ambio, la aplir:adon
x
no es una aplicacion lineal. ya que
1. 8,2. TlI' OS DE AI' lICACIONES LI NEALES
Dada una aplicaci on lineal f: E - . F, diremos que:
a . f es un monomor fi smo si f es una aplicación inyectiva.
b . J es un CI)i lllOrfi smo si f es una aplicacion exhausti va.
ESPACIOS VECTORIALES APLICACIONES LINEALES . 19

11. c . j es un isomorfi smo si j es una aplicacion bi yecti va .
d • I es un cndomorfi smo si E = F.
e . f es un aul omorfismo si I es una apl icación bi yccli va y E =
F
1. 8.3. NÀCLEO E IMAGEN DE UNA APLI CACiÀN LI NEAL
Dada una aplicación li neal f: E - F, se denomina nticlco de la
aplicación
lineal, y se representa por Ker lo por Nucj, al conj unt o de vectores
de E
lales que su imagen es el vector nulo de F. Es decir.
{IIE E / J (II)
O, E PI .
Por otra pane, se denomina imagen de la aplicación lineal, y se representa por 1m! o I(E ), al conj unt o de vectores de F que son imagen de
alglm
vector de E. Es decir.
vi
EJ EMPLO 3
el nudeo ) la imagen de la apl icacioll
lineal
f
(x. y ) - • (x + y. x 3)" . y)
Para determinar el nuc1co. buscamos
eClOreS de 11(2 que tienen como
imagen
el ector nulo de IR '. es decir. Kerf !(x . y) E IR
I
/ f (x . y) (O. O. 0>1:
¡(x. y) (x - y. x 3y. yl (O. o. O)
Resulta el sistema de e<:uaciones:
La lloludon
. O. y O Por tanto.
O
O
O
K,,¡ 1(0.0)1
20 • MATEMATI CAS EMPRESARIALES
Para determinar la imagen, debemos encontrar todos los "ectores de [1( 1
que son
imagen de algun ector de <.?.'!; es decir ,
1m!
{a.b,e) 1
Dc
! (x, y) (x 1'" y , x 3y. y ) (o, b, e)
resulta el sistema de ecuaciones:
{
X + y = a
x 3y - b
J - e
Al sustituir la tercera ecuación en las dos alll eriores, tenemos Que
x .... e a, x 3c b,
de donde
x (f,' b + 3e
Por tanto,
a b
Es deci r.
Im! = l(o. b. c) eIR1 j a b 4(' - 01,
y la antiimagen de un vector (o , b. e) cualquiera de este conjunt o
es de la for ma
(x , y) = (o e, e) "" (b + 3e, e).
"ROI' IEDADES
Dada una apl icación lineal f: E - F, se cumplen las sigui entes
propiedades:
[TI f(O/J = O,. . Por tanto, el vector OE E E siempre pert enece a
Kerf.
VUE E, f ( u) = f (u) .
El nucleo de la aplicación lineal f es un subcspacio vectorial de E. Por
tanto, dim (Ker f)
dim E.
ESPACIOS VECTORIALES. APLICACIONES LINEALES . 21

12. BJ La imagen de la aplicación lineal fes un subespacio vectorial de F. Por
tanto, dim (1m!) ~ dim F.
[i] Si los vectores 11" u
2
, •.• 'Un forman una base de E, entonces los vectores!(U¡).!(U2), ... .!(u
n
) son un sistema de generadores del subespacio Imf.
~ Se veririea que dirn(Kerf) + dirn( lrnf) = dimE.
EJEMPLO 4 En el ejemplo anterior se comprueba que Kerf = 1(0, O»),
luego
dim (Ker f) = O < dim 11(2 .
Como
dim (Kerf) + di m (Imf) :: dim 1R2 = 2,
resulta que
dim(l mf) :::: 2 < d i m ~ .
Obsérvese que, como
tenemos que
Imf = {(a, b, c)e lR
l
/ a - b - 4c = O],
Imf = {(a, b, e) E IR] / a :: b + 4c 1 =
= {(b + 4e, b, e)e Rl'1 =
= IIb, b, O) + (4e, O, e) e RI' l.
Por tanto, una base de Imfcstá formada por los vectores (1,1 , O) Y
(4, 0,1),
ya que, además de generar el subespacio Imf, son linealmente
independientes.
1.8.4, MATRI Z ASOCIADA A UNA APLI CACIÀN LI NEAL
Dados dos espacios vectoriales reales E y F, cualquier aplicación
lineal
!: E - F queda completamente determinada si se conocen las imágenes,
por la aplicación!, de todos los vectores de una base del espacio E.
Obsérvese que si 8
1
= tu" U2, ... , un J e E es una base de E, y conocemos sus res22 • MATEMÀTICAS EMPRESARIALES
pectivas imágenes, f (II
I
).!(U
z
), . .. .!(u,, ) e F, enlences se veri ri ca:
VII e E
Por tanto,
f (u) = f e'A ] . u ] + Az' Uz + . .. + A,,' u,, ) =
= A, . f (u , ) + l., -/(u, ) + ... + A, . f (u, ).
Asà pues, si
B]=l u ], uz, . . .• u"JC E es unabase deE
B
2
= {VI> v
z
, . . . , v
m
J C F es una base de F
y conocemos las imágenes -de los vectores de 8
1
por la aplicación 1:
f(u] ) = o]! v! + a
2
! V2 + . . . + amI VIII
f (uz) = O!ZV] + 0nVz + . . . + OIllZV

13. III
podemos representar todas estas imágenes en rorma de cuadro de m rilas
y
11 columnas. que se denomina matri z asociada a la aplicación li neal
f en las
bases B L Y 8
z
:
f(u, ) f(II , ) f (u,)
1 1 1
a" a" a"
a" a" a"
A =
°"' 1
OmZ
°m"
Entonces, dado cualquier vector 11 e E, con component es (Al. Az, ...• A
tI
)
en la base 8
1
, podemos calcul ar su imagen por la aplicación J a partir de la
matri z asociada:
a" a" a"
l.,
f(lI) =
a" a" o"
l.,
a
m
,
°nrZ
a
m
, l.,
ESPACIOS VECTORIALES. APLICACIONES LINEALES . 23
EJEMPLO 5 La matriz asociada a la aplicación lineal
I
R'
(x, y) ---_, (x + y, x - 3y, y)
en las bases canónicas de los dos espacios vectoriales se determinarÃa
a partir dc
y
y seria, por tanto,
J (I , O) J(O, 1)
1 1
A
l
-i ]
La imagen del vector u "" (5, - 8), que es
J(5 , -8)
(5 - 8, 5 + 24, - 8)
( - 3, 29, - 8),
se puede calcular a part ir de la mat riz asociada, haciendo:
J(u)
-i J
[
1.5 + 1.( - 8)J [ - 3J
[-:J
1·5 - ).( - 8)
29.
0·5+1·( - 8) - 8
1.8.5. RANGO DE UNA APLICACIÀN LINEAL
Dada la aplicación li nealf: E ......,. F, defin imos rango de fcomo la
dimensión
de la imagen de f. Es decir.
Rango (f) = dim (l mJ).
EJEMPLO 6 En el caso de la aplicación
J: HI'
(x, y ) ---- , (x + y, x - 3y, y)
24 • MATEMATtCAS EMPRESARIALES

14. 1.9
hemos visto que
y que una base de la imagen está formada por los vectores (J, 1, O)
Y (4, 0,1), ya
que además de generar la 1m! son independienles. Luego,
Rango (f) = d;m (Im/) = 2.
CAMBIO DE BASE
EN UN ESPACIO VECTORIAL
Dado un espacio vectorial real E de dimensión n, supongamos que
B I = I u
I
• u
I
•· .. ,u,,1 y 8
1
= {VI' °
1
•. . . v,,1 son dos bases del mismo.
Un vector V E E se puede expresar de forma única como combinación li neal de los veclOres de cada una de las dos bases. con lo que tiene componentes distintas en cada una de ellas. Si (al' a2" .. ,Q,,) Y «(JI>
(J2.' .. ,(3,,) son
las componentes respectivas del vector V E E en cada una de las
bases anteriores, entonces la relación entre dichas componentes viene dada por
la denominada matriz del cambio de base de la base B
1
a la base B
z
, definida por:
a ll a
1
2 al"
0 Zl 022 O
2
,,
donde los coeficientes o ij representan las componentes de cada uno de
los
vectores de la base Bl> expresados en la base 8
2
, escritas en columnas; es decir:
U¡ = 0
11
. VI + ... + 0"1 . V"
Uz = 0
12
• VI + ... + a
n
2 • V
n
u" = al'" VI + ... + 0"" . V" .
ESPACIOS VECTORIALES. APLICACIONES LINEALES . 25
Matricialmeme, la relación entre las componentes del vector se puede escribir como:
~ ,
a" a"
a,"
a,
~ ,
a" a"
a,"
a,

15. ~ "
a", a",
a""
a"
EJEMPLO Consideremos el espacio vectorial 1R
2
, y sean
B, = [( 1, O), (0, 1)[ Y B, = [(1 . 3), (0, - 1)[
dos bases del mismo. Podemos expresar los vectores de la primera base
como combinación lineal de los vectores de la segunda:
(1,0) = A,·(1,3)+A,· (0, - 1)_A,= I, A, = 3
(0,1) = ",' (1,3) + ", · (0, - 1)_", = 0, ", =- 1.
•
Si ahora queremos expresar el vector (1 , - 2) en la segunda base,
tendremos:
(1, - 2) = 1-(1,0) - 2-(0, 1) =
= 1 . [1 . (1, 3) + 3 . (0, - 1)[ - 2 . [O· (1, 3) - 1 . (O, - 1)[ =
= (1 - 0)-(1,3)+(3+2)-(0, - 1) =
= 1 . (1,3) + 5 - (O, - 1).
Por tanto. las componentes del vector ( 1, - 2) en la segunda base
son (1 , 5).
Obsérvese que obtendrÃamos el mismo resultado si tomamos la matri z del
cambio de base (expresando en columnas las componentes de los vectores de la
primera
base en la segunda) y la muliiplicamos por las componentes del vector
(l. - 2) en
la primera de las bases; es decir,
EJERCICIOS RESUELTOS DEL CAPà TULO 1 • 27
Ej ercici os resueltos
Ejercicio 1.1 Compruébese si los siguientes conjuntos son
subespacios 'ectoriales. En caso afi rmali'0, determÃnese una basf " la dimensión de cada uno de ell os.
(a) A = 1 (x, y, <: ) e IR) j x - 2y = z, x - Z = O l.
(b)
(e) c = I (x, y)e [Rl ¡ x+ 3y= 1, h + 6y = 41.
( d ) D = I (x, y, <:, t) e :¡t ¡ x - 3<: + I = O, X - I = O, 2;:
+ 4t = O ¡.
(e) E=I(x'Y'4)e IR
J
j x+y<:= - 21 .
SOLUCIÀN (a) Comprobemos en este primer caso que efectivamente es un
subespacio vectorial
de R
J
. El vector (O, O, O) e A . ya que cumple las condiciones; por tan
to, A l' :: .
Sean (x ]. )'1. 41). (x
z
• ll. <:z) E A Y )... p. e IR. Veamos que
Por ser (XI. )' 1' <:1)' (x!. yz. zz ) elementos de A , verifican
las condiciones
Veamos que el vector
también las verifi ca:
XI - 2YI = ;::],
x
1
- 2Y2 = ;::z,
XI - ZI = O.
Xl - Zl = O.
(Ax
l
+ p.Xz) - 2 ()..)' ] + p.yz) = )..(x

16. l
- 2YI ) + p.(x
2
- 212) = hz] + P.Zz
(Ax
l
+ ¡.LXz) - (Az
I
+ p.zz) = ).. (x ] - ZI) + p.(x! - zz) = )..·0 + /l' O = O.
Por tanto. es un subespacio vectorial de IR) .
Para determinar una base, resolvemos el sistema:
[
X - 2Y = Z .
x - z = O
De la segunda ecuación, tenemos x = z; sustituyendo en la primera ,
obtenemos
<: - 2y = Z, de donde 2)' = O y, por tanto, y = O.
Asà pues, x = 4, Y = O.
28 • MATEMATICAS EMPRESARIALES
Los vectores del conjunt o A son de la forma (x, 0, x). Por tanto,
el vector
(1,0, 1) genera todo el conjunt o y, por ser distint o de (0,0, O) , es
linealment e independiente, luego constituye una base del subcspacio. La dimensión es,
pues, l.
(b) SÃ es subespacio vectorial de fRl . Para determinar una base, despejando
la ecuación
2x - 3y + z = °
obtenemos z = - 2x + 3y. Los vectores del conjunt o 8 son de la forma
(x, y, - h '+ 3y) = (x,0, - 2x)+(0,y,3y) = x · (1,0, - 2)+ y '(0, 1,3).
Por tanto, los vectores (1. 0, - 2»)' (0, 1,3) generan todo el conjunt o
y, por ser
li nealmente independient es, constituyen una base del mismo. La di mensión
es, pues, 2.
(e) No es subespacio de
ya que el sistema de ecuaciones
[
X + 3y = I
2' + 6y= 4
no tiene soluci ón y, por tanto, el conj unlO e es vacÃo, e = e.
Otra for ma de verlo consiste en tomar (x, y) E e y x E R, Y comprobar
que
A·(X,y)' C:
En efecto, si (x, y ) E e, cumple las condiciones x + 3y = 1, 2x +
6y = 4. En
ca mbio, X(x, y) = (Xx, Xy) no cumple las condiciones, ya que, por
ejemplo:
( AX) + 3(AY) = A (x + 3y) = X . I = X F I en general.
(d) Si es subespaci o vectorial
Para determinar una base,
resolvemos el sistema:
X - I = O.
2
4
+4t = 0
De la segunda ecuación, tenemos x "" t. Sustituyendo en las otras dos
ecuaciones, resulta
[
21 - 3<: = O
4/ + 2<:= 0'
Sistema que tiene solución;: = O, I = O. También, pues, x = O.
Los veclOres del subespacio O son, pues, de la forma (0, y, O, O) .
Por tanto, el

17. vector (0, 1, O, O) genera todo el conj unt o y, por ser li
nealmente independiente,
constituye una base del subespacio. La dimensión de O es, pues, l .
EJERCICIOS RESUELTOS DEL CAPITULO 1 • 29
(e) No es un subespacio veClOrial de ~ ) . Basta con ver Que el vector
(O, 0, O) no pertenece al conjunto, ya Que ° + O· O:::: ° 1'- - 2.
Ejercicio 1.2 Determà nese una base y la dimensión de los siguientes
subespacios vectori ales:
(o) Subespacio de IR) generado por los 'eetores
[(1,2,0), (3,1, - l), (2, - 6, - 1O),( - 1,3,l)[.
(b) Subespacio de lit generado por los "et' lOres
[(2,1. 2, 1), (O, 3, - 1,2), (2, 4, 1,0)[.
SOLUCION (o) Por tratarse de un subcspacio de IR), su dimensión
será menor o igual Que 3.
Comprobemos que los vectores (1, 2, O) y (3, 1, - S) son linealmente
independientes:
de (1,2, O) :::: A(3, 1, - S), tenemos I = 3A, 2 = A, ° "" - SA.
Como no existe solución, no podemos expresar un vector como combinación
lineal
del otro y, por tanto, los vectores son lineal mente independientes.
Además, se puede comprobar Que los dos sistemas de ecuaciones resultantes
de
A¡·( 1,2.0)+A
2
·(J, 1, -5) +A)· (2, - 6, - 10) = (0,0,0)
>, ,(1, 2, 0)+ >"(3, 1, - l) + >,·(-1,3, l) ~ (O, O, O)
no sólo tienen la solución Al = A2 = Al = O. Veámoslo, por ejemplo, en
el primer caso:
El sistema de ecuaciones es
[
Al + 3A! + 2A) = °
2AI +A2 - 6A) = O.
- 5A
2
- lOA) = O
De la tercera ecuación, obtenemos A2 = - 2A)_ Sustituyendo en las
otras dos
ecuaciones, queda
Como las dos ecuaciones son proporcionales, tenemos Al =- 4A). Por tanto, el
sistema tiene infinitas soluciones:
AJ e IR.
30 • MATEMÀTICAS EMPRESARIALES
En el segundo caso, se procederÃa de for ma análoga . Asà pues, los
conjuntos de
vectores
1(1, 2,0),(3,1. - 5),(2, - 6, - 10)1 y 1(1,2,0),(3,1, - 5),(- 1,3,5)1
son linealmente dependientes, y no pueden ser base. Por tanto, una base
del subespacio es ! (1 , 2, 0.), (3 , 1, - 5) J ' ya que son linealmente
independientes y generan el
subespacio, y su dimensión es 2.
(b) En eSle caso, se puede comprobar que el sistema de ecuaciones
Al . (2, 1, 2, 1) + A2 . (O, 3, - 1, 2) + Aj . (2, 4, 1, 0.) =
(O, O, O, O)
sólo tiene la solución trivial Al = A2 = Al = O y, por tant o,
los vectores son linealmente independientes. En consccuencia, los vcelores (2, 1, 2, 1) , (O,
3, - 1, 2) y
(2,4, 1, O) forman una base del subespacio vectoria l, y su
dimensión es 3.
Ejercicio ' .3
que la intersección de dos

18. subespacios 'cctoriales del espaci o E es otro subespacio ' ·cetoria!.
SOL VelON Supongamos que S, T e E son subespacios vectori ales
(a) Por ser S y T subespacios vcctoriales, result a que
0.1: eS,
O"e T.
Por tanto,
O"esnT
y este subconjmlto no puede ser vacÃo,
de
E.
(b) Si tomamos A, p. e IR, u, ve s n T. lenemos que, por ser Sy
Tsubespacios. cumplen:
Por tanto,
A, p.e lR. lI.veS_A·u +p.·veS
A,p.e lR, /I. ve T= A·u+p.·veT.
A·U + }1·vesnT.
Asà pues, sn T es tambi én un subespacio vcctorial de E.
EJERCICIOS RESUELTOS DEL CAPITULO 1 • 31
Ejercicio 1.4 Demuéstrese que el conjunto de pOli nomios de grado menor o
igual que 2 )' eodicientes
real es es un espaci o "cetorial real. l>Ctermà nese una base y la
dimensión.
SOLUCIÀN El conjunto considerado es P = [a + bx + ex
l
/ a. b. e e [R 1, con las operaciones entre
polinomios:
c::: Suma:
o ProduclO por escalares:
).. (a + bx + ex
l
) = ().a) + (M)· x + ().e). X l .
Se puede comprobar que se veri fican todas las propiedades que definen
un espacio
vectorial. En concreto, el elemento neutro de la suma de poli nomi os
es el polinomio
O = O + O . x + O . Xl, Y el opuesto de un polinomio 0 + bx + ex
2
es - o - bx - ex
l
.
Una base de este espacio vectorial estará formada por los polinomios 1, X,
X2. En efecto, obsérvese que cualquier polinomio se puede escribir como combinación
li neal suya:
a + bx+ ex
l
=a· I + b·x+ e ·x
l
, con a , b , c e ~ .
Además, estos tres polinomios son li nealment e independieme5, ya que:
).1 + ).2 • X + AJ . X Z = O = O + O 'x + ° . Xl - ).1 = 0, ).2 = O,
).l = O.
Por tanto, el espacio tiene dimensión 3.
Ej ercicio 1.5 Compruébese si los siguientes conjuntos de "ectores son
li neal mente de pendientes o independientes:
(a) I(J,2, 1,4), (O, - J, 1,6»).
(b) 1(1,2, J), (4, 2, 6), (l, 4, 9»),
(e) 1(0,1, 0,1), (8, J, 1, 2) , (l, J, 1, J), (O, 0,1, O»).
(ti) )(2,I,O),( - I,O, I) ,(O,O, J»).
SOLUCIÀN (a) Linealmellle independient es.
(b) Li nealmente dependientes.
(c) Linealmente independientes.
(d) Lineal mente independientes.

19. 32 • MATEMATICAS EMPRESARIALES
Ejercicio 1.6 DetermÃnese entre los "ectores
U¡ = ( - 1, O, 2),
= (2, l. 3), tl
J
= (1,1,5), tl
4
= (5, - 2, O) .
cuá nt as bases de R
J
se pueden for mar y hállense las componentes del "ector (1 , 1, 3) en
cada una de las
SOL VelaN El espacio IR
J
tiene dimensión 3, luego cada una de sus bases estará formada
por !reS
vectores, Las diferentes bases dc fl2J que se pueden formar con estos
veclores son:
puesto que en la otra posibilidad. I u
1
• u
2
• uJI. los vectores son linealmente dependientes, ya que 1/ ) = 1/
1
+ 11 2'
Las diferentes componentes son:
Ejerci ci o 1.7 C OI
de'
apli
1 5 1 ( 1 5 1 )
(1, 1,3) =.- ( - 1, O, 2) + 6 (2, 1, 3) - 12 (5, - 2, O) = 4' 6 ' 12 .
7
(1 , 1.3) = 12(2,1,3) +
la base B
1
:
1 ( 7 1 1 )
4 (1,1,5) - 12 (5, - 2, O) = 12' 4 ' - 12 .
7 5 1 ( 7 5 1 )
, 3) = - 12 ( - 1, 0,2)+ 6 (1, 1,5) - 12(5, - 2, 0) = - 12 ' 6 ' 12 .
si las siguient es aplicaciones son aplicaciones lineales. En easo
afirmativo.
'te el núcl eo, la imagen, sus di mensiones y una base respectiva, el
rango de la
y su matri z asociada en las bases canónicas:
L ¡.
(a) f: IR!
dd ini da por ¡(x, y, z) = (l." + Y. y - 3z).
(b) f: IR
J
- IR
l
definida por ¡(x, y, z) = (xy. y. z).
(e) f: IR
l
II(J definida por ¡(x, y, z) = (x + y , O, Y + z).
EJERCICIOS RESUELTOS DEL CAPÃTULO 1 • 33
SOLUCIÀN (a) La aplicación defi nida por ¡(x, y, z) = (2x + y. y 3z) es una aplicación lineal, ya
que:
¡[(XI' Y¡, z¡) + (x
2
, Yl, Z2)] = ¡ (XI + x

20. 2
' YI + Y2, ZI + Zz) =
= [2 (XI + X2) + (YI + h), (YI + Y2) - 3 (ZI + Z2)] =
= [(al + YI) + (2x
l
+ h ), (YI - 3z
l
) + (Y2 - 3z
2
)] =
= (2x
1
+ YI' YI - 3z
l
) + (2x
2
+ Yl, Yl - 3z
2
) =
= ¡(XI' YI' ZI ) + ¡ (x
2
, h, Z2)'
Análogamente. tenemos que
JlA' (x, y, z)) ~ f(Ax, AY, AZ) ~ [2· (Ax) + (AY), (AY) ~ 3 . (Az)[
~
~ [A' (2x + y), A' (y ~ 3z)1 ~ A' (2x + y, y ~ 3z) ~
~ A ·f(x , y, z) .
Para determinar el núcleo de la apl icación, buscamos los vectores
(x, y, Z) E IR
l
cuya imagen sea el vector (O, O) E f,(2;
f(x, y, z) ~ (2x + y, Y ~ 3z) ~ (0, O).
Resulta el sistema de ecuaciones
f2
X
+Y =O
ty -3z = O •
Despejando en la segunda ecuación, obtenemos y = 3z, y sustituyendo en
la primera, 2x + 3z = O y, por tanto,
3
x = - 2 z.
Asà pues. el núcleo está for mado por todos los vectores de la
forma
( - ~ z, 3z , z), con ZE IR.
Una base del núcleo está formada por el vector
( ~ ~ , J. 1),
ya que, además de generar el Ker J, es linealmente independiente. Su
dimensión es 1.
A partir de la propiedad 6 de las apli caciones lineales, sabemos que
dim IR' = dim KerJ + dim 1m/.
34 • MATEMÀTICAS EMPRESARIALES
Por tanto,
dim Imf = dim IR) - dim Ker 1= 3 - 1 = 2.
Como la dimensión de la imagen coincide con el espacio final, IR
l
, tenemos que
Im/ = IRl ; por tanto, una base podrÃa ser la canónica, (1, O), (O,
1) .
El rango de la aplicación, o dimensión de la imagen, es 2.
Finalmente, para determinar la matri z asociada a la aplicación en las bases
canónicas, debemos determi nar las imágenes de los vectores de la base
canónica de IR] :

21. J(1,
O,
O)
(2,
O) }
1 O].
O 1 - 3
J(O, O, 1)
(O, - J)
(b) La aplicación f: IR
J
---. IR) definida por f(x, y , z) = (xy, y, z) no es una
aplicación
lineal , puesto que, por ejemplo, tomando X:: 2, (x, y, z) = ( l. 2.
3). tenemos quc
J12· (1 , 2, J)I
J(2, 4, 6)
(2 . 4, 4, 6)
(8, 4, 6) "
" 2 . J(1 , 2, J)
2 . (1 . 2, 2, J)
2 . (2, 2, J)
(4, 4, 6)
y, por tanto, en general,
JlX, (x, y, ¡)I " X ·J(x, y, x).
(e) De for ma análoga a como se ha hecho en el apart ado (a), se
puede comprobar que
la aplicación f: IR
J
-4 R
3
definida por I (x, y , z) = (x + y , 0, y + z) es lineal.
Para determinar el núcleo de la aplicaciónf, buscamos los vectores (x. y.
<:) E IR)
tales que
f (x. Y. z) = (x + Y. O, Y + z) = (O, O. O).
Resulta el sistema de ecuaciones
0 = 0
}'+z =o
cuyas soluciones son x "" z "" - y. Por tanto. los vectores del núcleo son
de la forma
(x, - x, x), de donde Ker/ = «1, - 1, 1» . Asà pues, la dimensión
del núcl eo es 1,
y una base de este subespacio está formada por el vector (1, - 1,
1).
Aplicando la propiedad que relaciona las dimensiones del núcleo, imagen y
espacio inicial de la aplicación, tenemos:
dim Imf = dim R
1
- dim Ker f = 3 - 1 = 2.
EJERCICIOS RESUElTOS OEl CAPiTULO 1 • 35
Por tanto, la imagen de la aplicación no coi ncidc con el espacio
final, [RJ. Para
determinar una base de la imagen, como sabemos que vendrá grnerada por las
imágenes de los vectorrs de la base canónica,
¡ (I, O, O)
(1, O, O), ¡(O,
1), ¡(O, O, 1)
(O, O, 1),
debemos escoger dos vectores linealmente independientes entre ellos; por
ejemplo,
una base estará formada por los vec tores 1(1, O, O), (1 , O, 1) l. El
rango de la apli cación es 2.
Para determinar la matri z asociada a la aplicación en las bases
canónicas, hacemos:
[1 O]
O O O.
0 1
Ejercicio 1.8 Demuéstresl' que toda aplicación lineal f: E - F cumple
I(Oa = 01-'
SOLUCIÀN Teniendo en cuenta que. tomando el escalar O E JR Y cualquier
vector u E E, siempre se

22. verifica que O· u == 0F, podemos escribir:
f (O/J = 1(0 · 11) = I por ser 1 lineal I = O . 1(11) = O,
de donde resulta que, efect ivamente, I (Oe) = 01-'
Ej erci ci o 1.9 Si la mulri..: asociada u tl nu uplicaci ón lineal
es, en determi nadas bases,
A
[ - : ]
determÃnese:
(a) l as dimensiones de los espacios inici al y final.
(h)
analÃtica de 1:1 aplicación lineal.
(e) El núcleo. una base y su dimensión.
(d) l a imagen. una base. su dimensión l' el rango de la
aplicación.
SOL vel6N (a) Por ser una matriz de orden 3 x 2, resulta que la
aplicación es del lipo
f: JR2 _ r;?l.
36 • MATEMÀTICAS EMPRESARI ALES
(b) La expresión analÃtica la calcularemos determinando la imagen de
un vector de ~
cualqui era:
Asà pues,
J(x, y) : (2x, - x - Jy, y ).
(e) Para determinar el núcleo, buscamos los vectores (x. y) E ~
tales que
J(x, y) : (2x. - x - Jy, y) : (0, 0, O).
Result a el sistema de ecuaciones
[
2x : °
- x - 3y = 0
y ::: O
con solución x = y = O. Por tanto.
Kerl= 1(0,0)1 y dim Kerl = O.
(d) Usando la relación emre las dimensiones. tenemos que
dim lml = dim ~ - dim Ker 1= 2 - O = 2.
Como sabemos que las imágenes de los vectores de una base de ~
generan el
subespacio Iml. tenemos que
J(l, O): (2, - 1, O),
J(O, 1) : (O, - J, 1)
generan Iml; como tiene dimensión 2, además constituyen una base
suya:
ImJ: «2, - l . O), (0, -J, 1)).
Por definición,
rangol = dim Im f = 2.
Ejercici o 1.10 Duda 111 apli cación lineal f: 1R2 -- Jl(l defini da
Ilor f(x , y ) = (2x - y. 3y, xl . se pide:
(a) DetermÃnese la mat riz asoci ada a la a pli caci ón en las bases
[(J, 1) ,(0, - 1) ) Y 1(1,0,1),(0,2,0),(1,1,0)).
(b) CalclÃl eS4! la imagen del ,'eclor (3, - 2) en las bases a nteri
ores.
EJERCICIOS RESUELTOS DEl CAPiTULO 1 • 37
SOLUCIÀN (a) Para determinar la matriz asociada a la aplicaci ón lineal
en unas determinadas bases , debemos calcular las imágenes de los vectores de la base del
espacio inicial , expresadas en la base del espacio fi nal; por tanto:
1(3, 1) ~ (5, 3, 3) ~ A,' ( 1, 0, 1) + A,' (0,2, O) + A,' (1 , 1, O).
Desarrollando, queda el sistema de ecuaciones:
La solución del sistema es
Al = 3,
Análogamente, determinarÃamos
feo, - 1) = (1, - 3,0)=1-'1· (1, 0, 1)+1-'2, (0,2,0) +1-'3, (1, 1,0),
La solución es, en este caso,
1-' 1 = 0,
Por tanto, expresando las imágenes en las bases ci tadas, tenemos

23. 1(3, 1) ~ ( 3, : ' 2) Y 1(0, - 1) ~ (0, - 2, 1).
Por tanto, la matriz asociada a la apl icación linea l en las bases
citadas es:
(b) Para calcular la imagen de (3, - 2), debemos expresar este vector
en las bases utilizadas:
(3, - 2) ~ A, . (3, 1) + A,' (0, - 1).
Al resolver el sistema resultante, queda
Al = I Y A2 = 3.
38 • MATEMÀTICAS EMPRESARI ALES
Por tanlO.
Obsérvese que
11
3· (1 ,0, 1) - 2 · (0, 2.0) + 5 ' (1. 1, 0) = (8, - 6,3)
es la imagen del vector (3. - 2) expresada cn las bases canónicas.
como se puede
comprobar a parti r de la definición analÃtica dc la aplicación.