1. SISTEMA DE ECUACIONES
Llamamos sistema de ecuaciones a un conjunto cualquiera de ecuaciones. Por ejemplo, las
ecuaciones:
Forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
El conjunto de ecuaciones:
Forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Se llama grado del sistema de ecuaciones al mayor exponente al que se encuentre elevada
alguna incógnita del sistema.
Por ejemplo,
Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de segundo grado, porque el mayor
exponente es 2 (la x e y al cuadrado). Este sistema con ecuaciones de segundo grado se llaman
también sistema de ecuaciones cuadráticas.
El sistema de ecuaciones es de primer grado con dos incógnitas (porque todos los valores están
elevados a 1, que no se escribe).
Cuando el sistema de ecuaciones es de primer grado y además no aparecen términos con las
incógnitas multiplicadas entre sí (tipo x • y) se dice que es un sistema de ecuaciones lineales.
2. IGUALACIÒN
Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que despejar una incógnita,
la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se
obtiene una ecuación de primer grado. Las fases del proceso son las siguientes: Se
despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
Ejemplo:
1 Despejamos, por ejemplo, la inc ógnita x de la primera y segunda
ec uac ión:
2 Igualamos ambas expresiones:
3 Resolvemos la ec uac ión:
3. 4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que
tenemos despejada la x:
5 Solución:
Ejercicios:
1.
2.
6. REDUCCIÒN
El método de reducción o eliminación consiste primeramente en eliminar una de las
variables x o y, queda una ecuación con una sola variable, se resuelve, el valor
encontrado se sustituye en una de la ecuaciones originales para hallar el valor de la otra
variable.
Ejemplo:
Lo más fác il es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar
las ec uac iones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos
mejor el proc eso.
Restamos y resolvemos la ec uac ión:
Sustituimos el valor de y en la segunda ec uac ión inic ial.
Soluc ión:
9. SUSTITUCIÒN
El Método de Sustitución consiste en despejar una de las incógnitas de una de las
ecuaciones y reemplazar este valor en la otra ecuación, de esta forma se llega a una
ecuación de primer grado con una incógnita.
Ejemplo:
1. Despejamos una de las inc ógnitas en una de las dos ec uac iones.
Elegimos la inc ógnita que tenga el c oefic iente más bajo.
2. Sustituimos en la otra ec uac ión la variable x, por el valor anterior:
3. Resolvemos la ecuación obtenida:
4. Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.
5. Solución
12. DETERMINANTES
El determinante es una herramienta matemática, se puede encontrar o extraer un
determinante únicamente de las matrices que son cuadradas (tienen igual número de filas
y columnas), y es un numero real (en caso de que la matriz sea real) consistente en la
suma de los productos elementales de la matriz.
El orden de un determinante viene dado por el número de filas y columnas que tenga.
Determinante de orden uno
|a11| = a11
Ejemplo
|5| = 5
Determinante de orden dos
= a 11 a 22 − a 12 a 21
Ejemplo
Determinante de orden tres
Consideremos una matriz 3x3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se
define como sigue:
13. =
= a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 −
− a13 a22 a31 − a12 a21 a 33 − a11 a23 a32.
Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres
elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo
(conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).
Ejemplo
=
3 · 2 · 4 + 2 · (−5) · (−2) + 1 · 0 · 1 −
− 1 · 2 · (−2) − 2 · 0 · 4 − 3 · (−5) · 1 =
= 24 + 20 + 0 − (−4) − 0 − (−15) =
= 44 + 4 + 15 = 63
15. 2. Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:
3. Demostrar, sin desarrollar, que el siguiente determinante es
múltiplo de 15:
16. 4. Demostrar, sin desarrollar, que los siguientes determinantes valen cero:
T iene dos líneas proporc ionales.
La terc era c olumna es igual a la suma de las otras dos.
5. Demostrar que los siguientes determinantes son múltiplos de 5 y 4
respec tivamente, sin desarrollarlos
17. FUNCIÒN CUADRÀTICA
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una
parábola.
f(x) = ax² + bx + c
Representación gráfica de la parábola
Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:
1. Vértice
Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.
La ecuación del eje de simetría es:
2. Puntos de corte con el eje OX
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:
ax² + bx + c = 0
Resolviendo la ecuación podemos obtener:
Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0
18. Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0
Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0
3. Punto de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que
tendremos:
f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c (0,c
Ejemplo:
Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.
1. Vértice
Xv = − (−4) / 2 = 2 yv = 2² − 4· 2 + 3 = −1
V (2, −1)
2. Puntos de corte con el eje OX
X² − 4x + 3 = 0
(3, 0) (1, 0)
3. Punto de corte con el eje OY
(0, 3)
19. Ejercicios:
1. Representa gráfic amente la func ión c uadrátic a:
y = - x² + 4x - 3
1 1. y= −x² + 4x − 3
1. Vértic e
X v = − 4/ −2 = 2 y v = −2² + 4· 2 − 3 = 1 V(2, 1)
2. Puntos de c orte c on el eje OX.
X² − 4x + 3 = 0
(3, 0) (1, 0)
