Distribución discreta

1. DISTRIBUCIÓN DISCRETA
Se denomina distribución de variable discreta
a aquella cuya función de probabilidad sólo
toma valores positivos naturales en un
conjunto de valores de {x│x} finito o infinito
numerable. A dicha función se le llama función
de densidad de probabilidad. Con una
distribución de probabilidad discreta, cada
valor posible de la variable aleatoria discreta
puede estar asociado con una probabilidad
distinta de cero. Por lo tanto, una distribución
de probabilidad discreta suele representarse
en forma tabular. Las probabilidades deben
sumar 1.

2. Función de probabilidad
Se llama función de probabilidad de una
variable aleatoria discreta X a la
aplicación que asocia a cada valor de 𝑥𝑖
de la variable su probabilidad 𝑃𝑖.
Donde:
0 ≤ 𝑃𝑖 ≤ 1
𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 + ⋯ + 𝑃𝑛 = 𝑃𝑖 = 1
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
Sea X una variable aleatoria
discreta cuyos valores suponemos
ordenados de menor a mayor.
Llamamos función de distribución
de la variable X a la función.
Donde:
𝐹 𝑥𝑖 = 𝑃𝑖(𝑋 ≤ 𝑥𝑖)

3. Distribución binomial
Una distribución binomial
es una distribución de
probabilidad discreta que
describe el número de
éxitos al realizar n
experimentos
independientes entre sí,
acerca de una variable
aleatoria.
Existen una gran diversidad de
experimentos o sucesos que
pueden ser caracterizados bajo
esta distribución de probabilidad.
Imaginemos el lanzamiento de una
moneda en el que definimos el
suceso “sacar cara” como el éxito.
Si lanzamos 5 veces la moneda y
contamos los éxitos (sacar cara)
que obtenemos, nuestra
distribución de probabilidades se
ajustaría a una distribución
binomial.
Por lo tanto, la
distribución binomial se
entiende como una serie
de pruebas o ensayos en
la que solo podemos
tener 2 resultados
(éxito o fracaso), siendo
el éxito nuestra variable
aleatoria.

4. Propiedades de la distribución binomial
Para que una variable aleatoria se considere que sigue una
distribución binomial, tiene que cumplir las siguientes propiedades:
• El experimento consta de una secuencia de n ensayos
idénticos.
• En cada ensayo hay dos resultados posibles A uno de ellos de
le llama éxito y al otro fracaso.
• La probabilidad de éxito es constante de un ensayo a otro,
nunca cambia y se denota por p. Por ello, la probabilidad de
fracaso será 1-p
• Los ensayos son independientes, de modo que el resultado de
cualquiera de ellos no influye en el resultado de cualquier otro
ensayo.

5. La fórmula para calcular la distribución normal es:
Donde:
n = Número de ensayos/
experimentos
x = Número de éxitos
p = Probabilidad de éxito
q = Probabilidad de fracaso (1-p)
Es importante resaltar que la expresión
entre corchetes no es una expresión
matricial, sino que es un resultado de una
combinatoria sin repetición. Este se obtiene
con la siguiente formula:
• Su esperanza vale E[X]=n·p, y su
varianza, Var(X)=n·p·(1-p).
• La moda es
𝑀𝑜 =
𝑚 − 1 𝑦 𝑚 𝑠𝑖 𝑚 = 𝑛 + 1 𝑝 𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜
𝑚 𝑠𝑖 𝑚 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜
donde [m] expresa la parte entera de m
• El coeficiente de asimetría es 𝑦1 =
𝑞−𝑝
𝑛𝑝𝑞

6. EJEMPLO 1
La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el
punto de que el 80% de los lectores ya la han leído.
Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
• ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la
novela 2 personas?
• ¿Y cómo máximo 2?

7. EJEMPLO 2
Un tratamiento contra el cáncer produce mejoría en el 80 % de los enfermos a los que se le aplica. Se suministra
a 5 enfermos. Se pide :
a) Calcula la probabilidad de que los 5 pacientes mejoren.
b) Calcula la probabilidad de que, al menos, tres no experimenten mejoría.
c) ¿Cuántos pacientes se espera que mejoren?
Sean :
X = "número de enfermos que experimentan mejoría"
n = "número de pacientes a los que se les suministra el tratamiento"
p = "probabilidad de mejoría"
Si p = 0,8 ⇒ q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2
𝑃 𝑋 = 𝑥 =
𝑛
𝑥
∗ 𝑝𝑥
∗ 𝑞𝑛−𝑥
𝑎) 𝑃 𝑥 = 5 =
5
5
∗ 0.85
∗ 0.20
= 1 ∗ 0.3277 = 0.3277
𝑏) 𝑃 𝑥 < 3 = 𝑃 𝑥 = 1 + 𝑃 𝑥 = 2 + 𝑃 𝑥 = 0
=
5
1
∗ 0.81
∗ 0.24
+
5
2
∗ 0.82
∗ 0.23
+
5
0
∗ 0.80
∗ 0.25
= 5 ∗ 0.8 ∗ 0.0016 + 10 ∗ 0.64 ∗ 0.008 + 1 ∗ 1 ∗ 0.00032
= 0.0064 + 0.0512 + 0.00032 = 0.05792
𝑐) 𝐸 𝑥 = 𝜇 = 𝑛 ∗ 𝑝 = 5 ∗ 0.8 = 4 𝑝𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

8. EJEMPLO 3
Si el 20 % de las tartas elaboradas en una fábrica tienen trazas de nueces, ¿cuál es la probabilidad de
que, entre cuatro tartas elegidas al azar, a lo sumo dos contengan trazas de nueces?
X = número de tartas con trazas de nueces
p = probabilidad de tarta con trazas de nueces = 0,2
n = número de tartas seleccionadas = 4
Tenemos por tanto una distribución binomial B ( 4 ; 0,2 ).
𝑃 𝑋 = 𝑥 =
𝑛
𝑥
∗ 𝑝𝑥
∗ 𝑞𝑛−𝑥
𝑃 𝑥 ≤ 2 = 𝑃 𝑥 = 0 + 𝑃 𝑥 = 1 + 𝑃 𝑥 = 2
=
4
0
∗ 0.84
∗ 0.20
+
4
1
∗ 0.83
∗ 0.21
+
4
2
∗ 0.82
∗ 0.22
= 0.4096 + 0.4096 + 0.1536 = 0.9728

9. Distribución de Poisson
La distribución de Poisson
es una distribución de
probabilidad discreta que
expresa, a partir de una
frecuencia de ocurrencia
media λ, la probabilidad
que ocurra un determinado
número de eventos durante
un intervalo de tiempo
dado o una región
específica.
Se puede entender como un caso
particular de la Binomial que
utilizamos para determinadas
distribuciones en las que el
cálculo de la probabilidad es
engorroso debido bien a que el
número de pruebas es
excesivamente elevado o bien a
que la probabilidad de éxito es
excesivamente baja; en ambos
casos la media (n*p) es muy
pequeña en relación al número
de pruebas (n).
Como regla práctica
entenderemos que es
aplicable la distribución
de Poisson en aquellas
binomiales cuya media
tenga un valor inferior a 5
y el número de pruebas
sea superior a 30.
Ejemplos:
 El número de accidentes de tráfico
en una ciudad durante una semana
 El número de emergencias que
llegan a un servicio de urgencia
hospitalaria.
 El número de llamadas telefónicas
que llegan a la central de una gran
empresa en hora punta.

10. Históricamente, la distribución de Poisson aparece como límite de la distribución binomial cuando el
número de experimentos tiende a infinito y la probabilidad de éxito tiende hacia cero.
Simbólicamente se describe como P(l), aparece como aproximación a la distribución binomial, B(n,p),
cuando n es grande y p pequeño, siendo E(X)=l=Var(X).
Su función de probabilidad es
Admite una única moda cuando l no es entero (la moda es la parte entera de l, [l]) y dos cuando es entero
(l-1y l).
Su coeficiente de asimetría vale
Si l>20 su función de distribución se aproxima a una normal de la misma media y varianza.

11. EJEMPLO 2
La producción de televisores en SAMSUNG trae asociada una probabilidad de defecto del 2%, si se
toma un lote o muestra de 85 televisores, obtener la probabilidad de que existan 4 televisores con
defectos.
Datos:
n=85
P=0.02
X=4
𝜆=n*p=1.7
SOLUCIÓN:
𝑃 = 𝑋 = 𝑘 = 𝑒−𝜆
𝜆𝑘
𝑘!
𝑃 = 𝑋 = 4 = 𝑒−1.7
1.7𝑘
4!
= 0.0635746

12. EJEMPLO 2
Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a)
cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?
Solución:
a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera = 0,
1, 2, 3, ....., etc, etc.
λ = 6 cheques sin fondo por día
ε = 2.718
b) X= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en dos días consecutivos = 0,
1, 2, 3, ......, etc., etc. λ = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días
consecutivos

13. EJEMPLO 3
• En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en
promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos
imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos.
Solución:
a) X= variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 3 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc. λ = 0.2
x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata
b) X= variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 5 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc. λ = 0.2
x 5 =1 imperfección en promedio por cada 5 minutos en la hojalata
c) X = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 15 minutos = 0, 1, 2, 3, ....., etc., etc. λ =
0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en la hojalata