1. Escuela de Educación Continua
Repaso para la Prueba de Evaluación
y Admisión Universitaria
(College Board)
MATEMÁTICAS
Geometría
Ángulos
Preparado por
Dra. Casilda Canino, Enero 1994
Prof. Norma Rivera, Enero 1994
Revisado por
Prof. René Rivera, Diciembre 2011

2. Este manual es propiedad del Campus Virtual de la Escuela de
Educación Continua de la Universidad Metropolitana. El mismo
no puede ser reproducido parcial ni totalmente sin la autorización
expresa del Decano Asociado del Campus Virtual de la Escuela
de Educación Continua de la Universidad Metropolitana.
®Escuela de Educación Continua de UMET, enero de 2012

3. Geometría
I. Ángulos
Figura formada por dos rayos que comienzan en el mismo punto. Los rayos son
lados del ángulo y el punto es el vértice del ángulo.
E
Lado
F 1
Vértice
Lado G
A. Los ángulos se nombran de acuerdo con sus medidas .
1. Ángulo agudo (Ángulo que mide menos de 90 o)
2. Ángulo recto (Ángulo que mide 90 o)
3. Ángulo obtuso (Ángulo que mide más de 90 o)
4. Ángulo llano (Ángulo que mide 180 o)
1
2

4. Un ángulo agudo es Un ángulo recto es
menor que un ángulo como una tarjeta.
recto.
3 4
Un ángulo llano es
Un ángulo obtuso una recta.
es mayor que un
ángulo recto pero
menor que un ángulo
llano.
A. Bisección de Ángulos
1. Bisectriz de un ángulo
Rayo que divide al ángulo en dos ángulos iguales. En esta figura, GM
biseca a FGH, por tanto, FGM  MGH.
H
M
G
F

5. B. Conceptos generales
1. Ángulos adyacentes
Tienen el vértice común y un lado común
P
M N T
2. Ángulos complementarios
Son dos ángulos cuyas medidas suman 90 o
M  A + M  B = 90º
B
A
50º
40º
A
B
50º+ 40º =90 º
3. Ángulos Suplementarios

6. Son dos ángulos cuyas medidas suman 180 o
140º 40º
Z
Z X
140º + 40º = 180º
X
4. Ángulos opuestos al vértice
Las rectas que se intersecan forman dos pares de ángulos opuestos
por el vértice. Los ángulos 1y 3 son ángulos opuestos por el vértice.
Los ángulos 2 y 4 son ángulos opuestos por el vértice.
2
1 3
4
Ángulos opuestos por el vértice
1 y  3,  2 y  4
5. La suma de todos los ángulos consecutivos formados alrededor de un
punto es igual a un ángulo de 360o
3 2
4 1
5 8
6 7

7. 6. Ángulos correspondientes
Ángulos que están en la misma posición relativa cuando una recta
cruza otras dos rectas paralelas. Los ángulos 5 y 6 son ángulos
correspondientes, los ángulos 8 y 7 son también ángulos
correspondientes
5
8
6
7
Ángulos correspondientes
 5 y  6,  7 y  8
7. Ángulos alternos
Son los ángulos no consecutivos (ambos internos o ambos externos)
que quedan en lados opuestos de la transversal. En la figura los
ángulos 1 y 8 así como 2 y 7 son ángulos alternos externos. Mientras
los ángulos 3 y 6 así como 4 y 5 son ángulos alternos internos.
1
2
3
4
5
6
7
8

8. Ejemplos
1) Halla la medida del ángulo complementario de  DBE
90o – 38.5o = 51.5o Por lo tanto, el ángulo complementario de
 DBE es 51.5o
D
38.5º
B
E
2) Halla la medida del ángulo suplementario de  XYZ
180o – 94o = 86o Por lo tanto, el ángulo suplementario de
 XYZ es 86o
Z
94º
Y X
3) En el diagrama a la derecha, m  1 = 50o.
Halla las medidas de los otros ángulos.
Solución: Como  1 y  3 son ángulos opuestos por el vértice, son
congruentes (tienen la misma medida) por lo tanto, m  3 = 50o.
Además como  1 y  2 combinados forman un ángulo llano, sabes
que la suma de sus medidas es de 180o. Entonces
m  2 = 180o – m  1
4
= 180º - 50º 1 50º
3
2

9. = 130º
Como  2 y  4 son ángulos opuestos al vértice, estos son congruentes
y puedes concluir que m  4 = 130o
Práctica: Rectas y ángulos
1) ¿Cuánto es la medida del ángulo opuesto por el vértice en cada una de las siguientes
ilustraciones?
60º
120º 75º
90º 90º
60º b
a
45º
b a b a
1. a_____ 2. a______ 3. a______
b_____ b______ b______
2) Halla los grados de cada ángulo desconocido. Recuerda que las líneas 1 y 2 son
perpendiculares.

10. B C
A. . .
2
2
2
55º
a 47º
b a
b c
1 1
c  a +  b = ____º c
1
 a =____ º  a +  b = ___º b
a +  b = ____º
 c = ____º  a =____º  a =____º
a
 c = ____º  c = ____º
32º
3) En los ejercicios de A a la F, usas la figura de abajo.
A. ¿Cuáles dos rectas son paralelas?
B. Nombra cuatro pares de ángulos opuestos al vértice.
C. Nombra cuatro pares de ángulos correspondientes.
D. ¿Cuánto mide  2 ? Explica tu razonamiento.
E. ¿Cuánto mide  4 ? Explica tu razonamiento.
F. ¿Cuánto mide  8 ? Explica tu razonamiento.

11. t
2
1
3
m 4
55º
6
n 5
8 7
4) Halla las medidas de los ángulos a, b y c en las siguientes y ilustraciones.
A. B. C.
1
1
2 2
145
1 º b
a 125
a
º
a c
b c
b
2 65º
c
 a = _____º
 b = _____º  a = _____º
 a = _____º
 c = _____º  b = _____º
 b = _____º
 c = _____º  c = _____º

12. 5) En la figura 3, si CD es una recta, AO es perpendicular a BO y L3 > L1 , entonces L3 es
(A) 300 Figura 3 B
(B) Mayor de 450
(C) Menor de 450 A
0
(D) 45
(E) Ninguna de las anteriores
2
3 1
C O D
6) En la Figura 4, la medida del ángulo B es cuatro veces la medida del ángulo C, y la medida del
ángulo A es cinco veces la medida del ángulo C. ¿Cuánto mide el ángulo B?
(A) 18o Figura 4
o
(B) 10
(C) 60o B
o
(D) 90 A C
o
(E) 72
Respuestas (Práctica 30)
1) a = 60 b = 120 2) a = 90 b = 90 3) a = 60 b = 120
2) A B C
 a + b = 90  a + b = 90  a + b = 90
 a = 43  a =35  a =58
 c = 43  c= 35  c =58
3) A) M y N B. ( 1 y  3 ) (2 y 4) (6 y 8) (5 y 7) C. ( 1 y 5 ) ( 4 y 8) ( 2 y 6) ( 3 y 7)
D)  2 = 55o E)  4 = 55o F)  8 = 55o
4) A B C
 a =35 o  a = 115 o  a = 125 o
 b = 145 o  b = 115 o  b = 55 o
 c = 35 o  c = 65 o  c = 55 o
5) B 6) D