Algebra lineal.

1. Grado en Economía
MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA I (2252)
Relación 1 de Prácticas
Tema: Espacios vectoriales reales
Ejercicios
Ejercicio 1. Dados los vectores u = (1, − 1, 0 ) y v = ( −2, 0, − 1), escribir, si es posible, los
vectores ( −10, 4, − 3 ) y (1, 3, 0 ) como combinación lineal de u y de v . ¿Para qué valores
del parámetro x , el vector ( x, 4, − 5 ) es combinación lineal de u y de v ?
Ejercicio 2. Hallar el vector 2 u que verifica 2( u 2u ) 5( u u ) 3u 4u 0 1 3 1 2 2 4 − + + − + − = ,
siendo u (6, 0, 8 ) 1 = − , u (0, 4, 1) 3 = − y u ( 5, 4, 4 ) 4 = − − . Estudiar la dependencia
lineal de 1 u , 2 u , 3 u y 4 u , y la dependencia lineal de 1 u , 2 u y 3 u .
1
⎛
=
1
u2 ,
a) Estudiar la dependencia lineal de los vectores 1 u y 2 u .
b) Decir si el vector u es combinación lineal de los vectores 1 u y 2 u .
c) ¿Para qué valores del parámetro a , el vector v es combinación lineal de los vectores
1
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
u1 ,
⎠
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
1
1
−
=
1
0
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
2
1
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
u y
⎝
1
0
−
=
Facultad de Economía y Empresa
Ejercicio 3. Sean los vectores
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
3
2
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
v .
⎠
2
⎛
=
1
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
a
0
Departamento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa
1 u y 2 u ?
d) Estudiar la dependencia lineal de los vectores 1 u , 2 u y u , y la de los vectores 1 u ,
2 u , u y v , cuando a = 0 .

2. Ejercicio 4. Decir si los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales de R3 y en caso
afirmativo indicar su dimensión:
a) S = {( x, y,z )∈R3 / x + y − 3z = 0}. b) S = {( x, y,z )∈R3 / x = z 2 }.
c) S = {( x, y,z )∈R3 / x + y = 0, z = 0}. d) S = {( x, y, z )∈R3 / xy = 0}.
Ejercicio 5. Decir si los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales de R4 y en caso
afirmativo indicar su dimensión:
a) S {( x ,x ,x ,x ) R / x 2x 0, x 2x 0 } 1 2 2 3
1 2 3 4 = ∈ + = + = .
b) S {( x ,x ,x ,x ) R / x 2x x 2x 1} 1 2 3 4
1 2 3 4 = ∈ + − + = .
c) S = {( x, y,z,t )∈ R4 / y − z = 3x − t }.
Ejercicio 6. Estudiar la dependencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores (Nota:
Este ejercicio también se propone en el tema 2 para resolverlo mediante el rango de una
matriz).
d) {(1, 2,3 ),( −1,− 2,− 3 ), (1,0,0 )} en R3 .
f) {(1,0,− 2 ),(0,1,0 ), (1,1,− 2 )} en R3 .
g) {(0,1,3,4 ),( 2,1,0,0 ), (1,2, 0,0 )} en R4 .
Ejercicio 7. Decir si los polinomios p( x ) = x2 + 3x − 1 y q( x ) = −2x2 + 2x + 4 son
combinación lineal de los polinomios 2
1 p ( x ) = (1 + x ) y p ( x ) 2x 2 2 = + .
2
b) {( 2,0 ),( 2,1),(0,0 )} en R2 .
e) {(1,0,− 2 ),(0,1,0 ), (1,0,1)} en R3 .
Facultad de Economía y Empresa
4
4
a) {( 2,0 ),( 4,0 )} en R2 .
c) {( 2,0 ),( 2,1)} en R2 .
Departamento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa

3. Ejercicio 8. Sean los números complejos z 1 2i 1 = − , z 2 4i 2 = − + y z 3 i 3 = + .
a) Escribir, si es posible, el número complejo z = 2 + 3i como combinación lineal de
3
Facultad de Economía y Empresa
Departamento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa
1 z y 3 z .
b) ¿Es z = 2 + 3i combinación lineal de 1 z , 2 z y 3 z ?
c) Decir si el número complejo z = −2 + 3i es combinación lineal de 1 z y 2 z .
Ejercicio 9. Estudiar la dependencia lineal de los siguientes polinomios:
a) Los polinomios p( t ) = 2 + t y q( t ) = 2t + t 2 .
b) Los polinomios p ( t ) 1 2t 1 = + , 2
2 p ( t ) = (1− t ) y p ( t ) t 2 2t 3
3 = + + .
c) Los polinomios p ( x ) 1 1 = , p ( x ) 1 x 2 = − y 2
3 p ( x ) = ( t + 1) .
Ejercicio 10. Probar la independencia lineal de los siguientes conjuntos de funciones:
a) {e − t , e 2t }. b) {2, 1 + t, t 2 }.
c) {sent, sen 2t}. d) {1, sent, cost}.

4. Preguntas TEST
1. Dados los vectores u = (1,2,0 ) , v = ( 0,5,− 1) y w = ( 4,0,− 2 ) , el resultado de la
operación
2. Sean los vectores ( 2,1,1,1) y ( 2,0,2,− 1) . ¿Cuál de los siguientes vectores es
combinación lineal de ellos?:
3. Los vectores ( 3,0,− 1) , (1, 0,1) y ( x,4,0 ) son linealmente independientes:
4. ¿Cuál de los siguientes conjuntos de vectores es linealmente dependiente?:
5. ¿Cuál de los siguientes conjuntos de vectores es linealmente independiente?:
6. ¿Cuál de los siguientes conjuntos de números complejos es linealmente independiente?:
4
a) {( 2,0,1),(0,0,0 ), ( −2,1,3 )}.
b) {(0,1,5 ),(1,0,1), (0,1,− 3 )}.
c) {( −2,1,0 ),( 4,1,0 ), (0,1,0 )}.
Facultad de Economía y Empresa
3u − v + w es:
2
a) ( 5,1,− 3 ) .
b) ( 3,− 3,1) .
c) ( 5,1,0 ) .
a) ( 2,0,2,0 ).
b) (0,0,2,− 1) .
c) ( 2,0,2,− 1).
a) Para todo x ∈ R .
b) Solo cuando x = 0 .
c) Siempre que x ≠ 0 .
a) {(1,5 ),(1, 1),(0,− 3 )}.
b) {(0,1),( −2,1)}.
c) {( −2,1)}.
a) {0, 1, − i}.
b) {− i,(1 + i )2}.
c) {1 + i, 2 − i}.
Departamento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa

5. 7. Indicar los polinomios linealmente dependientes:
8. Indicar el conjunto de funciones linealmente independiente:
9. La dimensión del subespacio vectorial S = {( x,0,z )∈ R3 / x,z ∈ R} es:
5
a) p( t ) = t − 2 y q( t ) = ( t − 2 )2 .
b) p( x ) = x − 2 y q( x ) = x( x − 2 ) .
c) p( x ) = x − 2 y q( x ) = 2( x − 2 ) .
Facultad de Economía y Empresa
a) {e t , e t+1}.
b) {sent, cost}.
c) {0, e 2t , e 3t }.
Departamento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa
a) 1 .
b) 2 .
c) 3 .
10. La dimensión del subespacio vectorial S = {( 3z,z,2z )∈R3 / z∈R} es:
a) 1 .
b) 2 .
c) 3 .
11. Sea z el número complejo de módulo r = 2 y argumento α = π / 2 . ¿Cuál de los
siguientes conjuntos de números complejos es linealmente dependiente?:
a) {z, z 2 }.
b) {z, z3}.
c) {z 2 , z3}.
12. El espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 tiene dimensión:
a) 1 .
b) 2 .
c) 3 .

6. SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS
Ejercicio 1
El vector ( −10, 4, − 3 ) es combinación lineal de u y de v . La combinación lineal es
( −10, 4, − 3 ) = −4u + 3v .
El vector (1, 3, 0 ) no es combinación lineal de u y de v .
El valor es x = −14 .
Ejercicio 2
u ( 1,0, 2 ) 2 = − − . Los vectores 1 u , 2 u , 3 u y 4 u son linealmente dependientes. Los vectores
1 u , 2 u y 3 u son linealmente independientes.
Ejercicio 3
a) Los vectores 1 u y 2 u son linealmente independientes.
b) El vector u no es combinación lineal de 1 u y 2 u .
c) El vector v es combinación lineal de 1 u y 2 u cuando a = 3 .
d) En los dos casos, los vectores son linealmente independientes.
Ejercicio 4
a) Es un subespacio vectorial de dimensión 2 . b) No es subespacio vectorial.
c) Es un subespacio vectorial de dimensión 1 . d) No es subespacio vectorial.
Ejercicio 5
a) Es un subespacio vectorial de dimensión 2 . b) No es subespacio vectorial.
c) Es un subespacio vectorial de dimensión 3 .
6
Facultad de Economía y Empresa
Departamento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa

7. Ejercicio 6
Los conjuntos a), b), d) y f) son linealmente dependientes.
Los conjuntos c), e) y g) son linealmente independientes.
Ejercicio 7
El polinomio p( x ) = x2 + 3x − 1 no es combinación lineal de p ( x ) 1 y p ( x ) 2 . El
polinomio q( x ) = −2x2 + 2x + 4 es combinación lineal de p ( x ) 1 y p ( x ) 2 .
Ejercicio 8
a) y b) El vector 2 + 3i es combinación lineal de 1 z y 2 z , y es combinación lineal de 1 z , 2 z
y 3 z .
c) El vector − 2 + 3i no es combinación lineal de 1 z y 2 z .
Ejercicio 9
Los polinomios de a) y c) son linealmente independientes.
Los polinomios de b) son linealmente dependientes.
SOLUCIONES DE LAS PREGUNTAS TEST
1. c. 2. c. 3. a. 4. a. 5. b.
6. c. 7. c. 8. b. 9. b. 10. a.
11. b. 12. c.
7
Facultad de Economía y Empresa
Departamento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa