Transmittance complexe
Fonction de transfert
Enseignement d’électronique de Première Année
IUT de l’Indre
Eric PERONNIN
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Quadripôles
Définition
 Circuit électrique possédant deux bornes d’entrée et deux
bornes de sortie.
 Il es...
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Transmittance complexe
Définition
 C’est le rapport, en notation complexe, qui existe entre la
tension en s...
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Gain et déphasage
Gain
 Il exprime le rapport de l’amplitude du signal de sortie sur
l’amplitude du signal ...
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Diagramme de Bode
Définition :
 C’est la représentation graphique de G(w) et de j(w) sur un
diagramme semi-...
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C
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Application : circuit RC
Transmittance complexe :
 Calcul de T(jw) :
 loi des mailles : et lo...
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Gain
Gain
 Note : si alors et si alors
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Dérivateur
Justification du diagramme de Bode
 Soit :
 Le repère (X,Y) est alors un repère cartésien ou X...
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Filtre passe-bas d’ordre 1  
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Gain
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Filtre passe-bas d’ordre 1
Réponse temporelle à 1 échelon de tension :
 Définition de Ve :
 Obtention de ...
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Filtre passe-bas d’ordre 1
 En vert, l’entrée avec E = 5v
 En rouge, le signal de sortie (constante de te...
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VsVe C
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Réalisations passives :
 Cricuit RC :
 Circuit LR :
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Transmittance complexe du passe-bas d’ordre 2 (ou second
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En l’absence de possibilité de factorisation d...
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Diagramme de Bode asymptotique
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Diagramme de Bode : l’amplitude (tracé pour fo=1Hz)
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Diagramme de Bode réel : déphasage
 Points d’inflexion :
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Réponse à un échelon de tension :
Passage du domaine fréquentiel au domaine temp...
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Filtre passe-bas d’ordre 2
Résolution de l’équation caractéristique :
2 cas de figure concrets possibles :
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Solution pour :
Constantes d’intégration :
 Conditions initiales (exemple) :
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Filtre passe-bas d’ordre 2
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Filtre passe-bas d’ordre 2
Réalisation passive : Exemples de réalisations
actives :
 Cellule Sallen & Key :
...
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Inverse d’une transmittance
Le diagramme de 1/T(jw) s’obtient facilement à partir du
diagramme de T(jw) en ...
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Rappel pour
Gain :
Déphasage :
Diagramme de Bode :
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 
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Application pour
Gain :
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Produit de transmittances
Le diagramme de Bode du produit de deux transmittances
complexes s’obtient en fai...
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Exemple : K>1
Gain :
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Exemple : K>1
Déphasage :
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Domaine de Laplace
L’étude d ’un quadripôle en régime harmonique se fait avec la
transmittance complexe. Po...
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Domaine de Laplace
Remarques :
 Pour passer du domaine de Laplace au régime harmonique, on
prend p = jw.
...
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  1. 1. Transmittance complexe Fonction de transfert Enseignement d’électronique de Première Année IUT de l’Indre Eric PERONNIN
  2. 2. www.geii.eu 2 Quadripôles Définition  Circuit électrique possédant deux bornes d’entrée et deux bornes de sortie.  Il est dit linéaire s’il ne comporte que des éléments linéaires.  Il est dit passif s’il ne comporte que des composants passifs (résistance, inductance, capacité). Représentation V1 et I1 sont aussi notés Ve et Ie (idem (V2,I2) <=> (Vs,Is) ) 2 QV I I 2V 2 1 Quadripôle 1
  3. 3. www.geii.eu 3 Transmittance complexe Définition  C’est le rapport, en notation complexe, qui existe entre la tension en sortie du quadripôle et la tension en entrée de ce quadripôle.  Mathématiquement :  Note :  ce calcul s’effectue en régime harmonique donc en utilisant les impédances complexes des éléments du circuit – pour une inductance : – pour une capacité : 3 1 QV 2 Quadripôle V
  4. 4. www.geii.eu 4 Gain et déphasage Gain  Il exprime le rapport de l’amplitude du signal de sortie sur l’amplitude du signal d’entrée en décibel (dB) Déphasage  Il exprime le décalage angulaire (en degré ou radian) sur un diagramme de Fresnel entre les signaux d’entrée et de sortie 4
  5. 5. www.geii.eu 5 Diagramme de Bode Définition :  C’est la représentation graphique de G(w) et de j(w) sur un diagramme semi-logarithmique : 5 GainendBoudépahasage(degréouradian) Fréquence en Hz ou pulsation en rad/s 1 décade
  6. 6. www.geii.eu 6 1 2V V R C I Application : circuit RC Transmittance complexe :  Calcul de T(jw) :  loi des mailles : et loi d’Ohm :  élimination de I :  finalement : – où est la pulsation de coupure du circuit – on note également la constante de temps du circuit . 6
  7. 7. www.geii.eu 7         2 0 2 00 0 1log 2 1 201log2001log201log.20 1 1 log20log20 wwwwww ww ww         j j jTG 1 2V V R C I Application : circuit RC Gain et déphasage :  Rappel :  Gain : – soit :  Déphasage : – soit : 7   RC où j jT 1 1 1 0 0    w ww w           0 1 0 0 tan01arg1arg 1 1 argarg wwww ww wwj           j j jT    0 1 tan wwwj       2 01log10 www G
  8. 8. www.geii.eu 8 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 -100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 100 1000 10000 100000 Gain(dB)-Déphasage(degré) Fréquence Gain asymptotique Gain réelDéphasage réel Déphasage asymptotique Application : circuit RC Diagramme de Bode : 8
  9. 9. www.geii.eu 9                         0 2 0 log201log10 w w w w wjT Diagramme asymptotique Justification du diagramme de Bode asymptotique :  Soit :  le repère (X,Y) est alors un repère cartésien ou X numérote les décades et Y représente le gain.  Cas de l’amplitude pour :  L’atténuation étant faible, on l’assimile à une constante égale au gain en 0, ici 0 dB, d’où une asymptote horizontale à Y=0 pour  Cas de l’amplitude pour   soit  c’est une droite passant par Y=0dB en w =w0 et possédant une pente de -20dB par décade = asymptote oblique. 9         w w GY X log 0ww  0ww  0ww 0ww  02020 XXY 
  10. 10. www.geii.eu 10 Transmittance complexe généralisée Sous une forme factorisée, elle s’écrit : – les w1i et w2i sont les pulsations de coupure des termes du premier ordre – les w3i et w3i sont les pulsations naturelles des termes du second ordre – les m3i et m4i sont les coefficients d’amortissement des termes du second ordre – K est un gain (dit « gain statique » lorsque u = 0) 10                                                           4 3 2 1 1 2 44 4 1 2 33 3 1 2 1 1 21 21 1 1 n i ii i n i ii i n i i n i iu jj m jj m j j jKjT w w w w w w w w w w w w ww
  11. 11. www.geii.eu 11 Gain Gain  Note : si alors et si alors Déphasage Diagramme de Bode 11   KjT w            0log20 0log20 log20 KsiK KsiK KG w 1K 1K   0wG  0wG           0 00 arg Ksi Ksi K  wj 0dB w0 w  wG 1K 1K 0 w0 w  wj 0K 0K -
  12. 12. www.geii.eu 12 Dérivateur Gain  Note :  Déphasage Diagramme de Bode 12          00 log20log20 w w w w w j G   00 wG   2 arg 0  w w wj        j 0dB w0/10 w0 10w0 w  wG  wj /2 -20dB 20dB 0 w0/10 w0 10w0 w   0w w w j jT 
  13. 13. www.geii.eu 13 Dérivateur Justification du diagramme de Bode  Soit :  Le repère (X,Y) est alors un repère cartésien ou X numérote les décades et Y représente le gain  Dans ce repère cartésien, l’équation du gain s’écrit : » où X0 correspond avec w0  C’est une droite qui passe par Y=0dB en w = w0 avec une pente de +20dB par décade (Y augmente de 20dB pour un accroissement unitaire de X ce qui représente 1 décade) 13         w w GY X log 02020 XXY    0w w w j jT 
  14. 14. www.geii.eu 14 Filtre passe-bas d’ordre 1   01 1 ww w j jT   Transmittance complexe du passe-bas Gain Déphasage Diagramme de Bode 14                    2 0 0 1log10 1 1 log20 w w w w w j G   dBG 30 w                 0 1 0 tan1arg w w w w wj j   dBG 00    4 0  wj  0dB w0/10 w0 10w0 w  wG  wj /2 -20dB -20dB 0 w0/10 w0 10w0 w coupuredepulsationoù 0w
  15. 15. www.geii.eu 15 Filtre passe-bas d’ordre 1 Réponse temporelle à 1 échelon de tension :  Définition de Ve :  Obtention de l’équation temporelle à partir de la transmittance complexe :  Multiplier par revient à dériver par rapport au temps :  On retrouve une équation différentielle du premier ordre et donc : 15         0 00 tcEtV ttV te e e     e s ses e s V V jVV j V jjV jV          000 1 1 1 w w w w www w       Etv dt tdv tvV V jV e s se s s  00 1 ww w    t s eEtv   0 1 w wj
  16. 16. www.geii.eu 16 Filtre passe-bas d’ordre 1  En vert, l’entrée avec E = 5v  En rouge, le signal de sortie (constante de temps = 1s) 16
  17. 17. www.geii.eu VsVe C R RVe L Vs Filtre passe-bas d’ordre 1 Réalisations passives :  Cricuit RC :  Circuit LR : Réalisation active : 17 + - 3 2 6 Ve R Vs1 C R   CR où j jT     1 1 1 0 0 w ww w   L R où j jT    0 01 1 w ww w   CR où j jT      1 1 1 0 0 w ww w
  18. 18. www.geii.eu 18 0w wj x  Filtre passe-bas d’ordre 2 Transmittance complexe du passe-bas d’ordre 2 (ou second ordre) :  w0 est la pulsation naturelle du filtre  m est le coefficient d’amortissement (m>0 au dénominateur) Factorisation du dénominateur :  Possible dans certains cas :  Posons : et factorisons  On trouve aisément que c’est possible si et on a alors : où 18 2 21)( xmxxD  1m                 21 11 1 w w w w w jj jT  12 02,1  mmww 21 2 0 www 
  19. 19. www.geii.eu 19     2 2;0m 2 0 21 mr ww Filtre passe-bas d’ordre 2 En l’absence de possibilité de factorisation donc lorsque  Gain :  Remarque : on montre que pour , le gain présente un maximum en appelée pulsation de résonnance.  Déphasage :  le calcul s’établit pour assurer la continuité du déphasage : 19 1m                                           2 0 22 0 2 00 2 1log20 21 1 log20 w w w w w w w w w m jj m G      ww ww w w w w wj k mjj m                           2 0 01 2 00 1 2 tan21arg 00 10 wwww  pourketpourk
  20. 20. www.geii.eu 20 Filtre passe-bas d’ordre 2 Diagramme de Bode asymptotique 20 0dB w0/10 w0 10w0 w  wG  wj  -40dB -40dB 0 w0/10 w0 10w0 w 0dB w0/10 w1 w0 w2 10w0 w  wG  wj -20dB -20dB /2 0dB w0/10 w1 w0 w2 10w0 w
  21. 21. www.geii.eu 21 Filtre passe-bas d’ordre 2 Diagramme de Bode : l’amplitude (tracé pour fo=1Hz) 21
  22. 22. www.geii.eu 22 Filtre passe-bas d’ordre 2 Diagramme de Bode réel : déphasage  Points d’inflexion :  2 de part et d’autre d’ lorsque  1 double en lorsque  Points spécifiques : 22           180lim 90 00 0 wj wj j w
  23. 23. www.geii.eu 23 Filtre passe-bas d’ordre 2 Réponse à un échelon de tension : Passage du domaine fréquentiel au domaine temporel :  Une multiplication par revient à dériver par rapport à :  d’où l’équation différentielle régissant l’évolution de : 23
  24. 24. www.geii.eu 24 Filtre passe-bas d’ordre 2 Résolution de l’équation caractéristique : 2 cas de figure concrets possibles : 24  : 2 racines complexes conjuguées : avec et  : 2 racines réelles distinctes : où
  25. 25. www.geii.eu Filtre passe-bas d’ordre 2 Solution pour : Constantes d’intégration :  Conditions initiales (exemple) : Solution pour : Constantes d’intégration :  Conditions initiales (exemple) : 25
  26. 26. www.geii.eu 26 Filtre passe-bas d’ordre 2 Tracé de la réponse à un échelon 26
  27. 27. www.geii.eu Filtre passe-bas d’ordre 2 Réalisation passive : Exemples de réalisations actives :  Cellule Sallen & Key :  Cellule de Rauch : 27 VsVe C LR + - 3 2 6 C1 Ve Vs R1 C2 R2 Vs R2 R1 C5 C4 + - 3 2 6 R3 Ve
  28. 28. www.geii.eu 28 Inverse d’une transmittance Le diagramme de 1/T(jw) s’obtient facilement à partir du diagramme de T(jw) en changeant les signes du gain et du déphasage : Exemple : 28                   wjwj ww ww GG jTjT 1 0dB w0 w  wG  wjT  wjT 1 0 w0 w  wj  wG  wjT 1  wj  wjT
  29. 29. www.geii.eu 29 Rappel pour Gain : Déphasage : Diagramme de Bode : 29                    2 0 0 1log10 1 1 log20 w w w w w j G   dBG 30 w                 0 1 0 tan1arg w w w w wj j   dBG 00    4 0  wj  0dB w0/10 w0 10w0 w  wG  wj /2 -20dB -20dB 0 w0/10 w0 10w0 w
  30. 30. www.geii.eu 30 Application pour Gain : Déphasage : Diagramme de Bode : 30                                   2 0 2 0 1log101log10 w w w w w w GG                   0 1 0 1 tantan w w wj w w wj 0dB w0/10 w0 10w0 w  wG  wj /2 -20dB -20dB 0 w0/10 w0 10w0 w /2
  31. 31. www.geii.eu 31 Produit de transmittances Le diagramme de Bode du produit de deux transmittances complexes s’obtient en faisant la somme des diagrammes de Bode de chacune des transmittances  Soit :  Soit G1 et j1 le gain et déphasage de T1(jw)  Soit G2 et j2 le gain et déphasage de T2(jw)  On a donc : 31                 wjwjwj www 21 21 GGG      www jTjTjT 21 
  32. 32. www.geii.eu 32 Exemple : K>1 Gain : 32                                 2 2 2 1 1log101log10log20 w w w w w KG -20dB 0dB w1/10 w1 w2 10w2 w K 2 1 1 w wj  1 1 1 w wj   wG
  33. 33. www.geii.eu 33 Exemple : K>1 Déphasage : 33                      21 11 w w w w w jj KjT  wj -/2 0 w1/10 w1 w2 10w2 w K 2 1 1 w wj  - 1 1 1 w wj                  2 1 1 1 tantan0 w w w w wj
  34. 34. www.geii.eu 34 Domaine de Laplace L’étude d ’un quadripôle en régime harmonique se fait avec la transmittance complexe. Pour des études plus complexes, on recherche la fonction de transfert de Q  on la note H(p)=V2(p)/V1(p) Pour déterminer H(p), on utilise les impédances complexes généralisées  pour la résistance : R(p) = R  pour la capacité : C(p) = 1/Cp  pour l’inductance : L(p) = Lp – Remarque : p, variable de Laplace, est un complexe 34
  35. 35. www.geii.eu 35 Domaine de Laplace Remarques :  Pour passer du domaine de Laplace au régime harmonique, on prend p = jw.  On peut aussi, sous certaines conditions, passer du domaine temporel au domaine de Laplace par le biais d’une transformation dite « Transformation de Laplace » (l’inversion est aussi possible, cf. mathématiques 2ième d’année).  Intérêts en électronique :  Légère simplification d’écriture (p au lieu de jw).  Déterminer plus facilement les réponses à des signaux assez complexes. 35

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