1.
Mise en œuvre du TNS Page 1 sur 96
Novembre 2011.
Traitement Numérique du Signal
CM3 : Transformée de Fourier
Université du Havre, IUT du Havre
Département GEII

2.
Mise en œuvre du TNS Page 2 sur 96
PPN 2008: MC-II3
Traitement du signal
Applications en GEII
Mise en œuvre
Test
DSP
CAN/CNA
TF, compression,
codage

3.
Mise en œuvre du TNS Page 3 sur 96
Conversion Analogique-Numérique
 Représentation d'un signal
 Séries de Fourier
 Transformée de Fourier
 Temps-fréquence
 Exemples
 Transformée en Cosinus Discret
Plan

4.
Mise en œuvre du TNS Page 4 sur 96
1. Représentation d’un signal

5.
Mise en œuvre du TNS Page 5 sur 96
 Dualité temps/fréquence : Transformée de Fourier (TF)
t
s(t)
0
0
0
1
T
f
=
Traitement du Signal
f
|S(f)|
0
0
0
1
f
T
=
( )0( ) sin 2s t A f tπ= ( )0( )S f f fδ= −
Signal sinusoïdal : Signal Dirac: "Pic" à f = f0
TF
TFI

6.
Mise en œuvre du TNS Page 6 sur 96
2. Composantes d'un signal

7.
Mise en œuvre du TNS Page 7 sur 96
0 20 40 60 80 100
-2
0
2
4
6
8
t (ms)
x(t)
0 20 40 60 80 100
0
1
2
3
4
5
f (Hz)|x(f)|
( )0 1 0( ) sin 2s t a a f tπ= +
0T
Traitement du Signal
0f
( ) ( )0 1 0( )S f a f a f fδ δ= + −
 Composante continue :
Signal : Signal Dirac : "Pic" à f = f0
0a
0 1a a+
0 1a a−
0a
1a
Composante continue
Composante fondamentale

8.
Mise en œuvre du TNS Page 8 sur 96
0 20 40 60 80 100
-8
-6
-4
-2
0
2
t (ms)
x(t)
0 20 40 60 80 100
0
1
2
3
4
5
f (Hz)|x(f)|
( )0 1 0( ) sin 2s t a a f tπ= +
0T
Traitement du Signal
Signal : Signal Dirac : "Pic" à f = f0
0a
0 1a a+
0 1a a−
0f
0a
1a
( ) ( )0 1 0( )S f a f a f fδ δ= + −
 Composante continue :
Composante continue
Composante fondamentale

9.
Mise en œuvre du TNS Page 9 sur 96
0 20 40 60 80 100
-8
-6
-4
-2
0
2
t (ms)
x(t)
0 20 40 60 80 100
0
1
2
3
4
5
f (Hz)|x(f)|
( )0 1 0( ) cos 2s t a a f tπ= +
0T
Traitement du Signal
 Dualité temps/fréquence : Influence de la phase
Signal : Signal Dirac : "Pic" à f = f0
0a
0 1a a+
0 1a a−
0f
( )0 1 0( ) sin 2 / 2s t a a f tπ π= + +
Phase
0a
1a
( ) ( )0 1 0( )S f a f a f fδ δ= + −

10.
Mise en œuvre du TNS Page 10 sur 96
3. Notion de phase

11.
Mise en œuvre du TNS Page 11 sur 96
t
a
( )0 0sin 2a a f tπ=
t
a
( )0 0sin 2 ( )pa a f tπ τ= −
τ
0
( )0 0sin 2pa a f tπ ϕ= −
Temps τ
de propagation
Déphasage temporel :
0
2
2 f
T
π
ϕ π τ τ ωτ= = =
0
0
1
T
f
=
Déphasage
 Dualité temps/fréquence : Influence de la phase

12.
Mise en œuvre du TNS Page 12 sur 96
 Dualité temps/fréquence : Influence de la phase
Signal : Signal Dirac : "Pic" à f = f0
0 20 40 60 80 100
-10
-5
0
5
10
t (ms)
x(t)
0 50 100 150
0
1
2
3
4
5
f (Hz)|x(f)|
( )
( )
0 1 0
2 0
( ) sin 2
sin 2 2
s t a a f t
a f t
π
π
= +
+
( ) ( )
( )
0 1 0
2 0
( )
2
S f a f a f f
a f f
δ δ
δ
= + −
+ −
Déphasage

13.
Mise en œuvre du TNS Page 13 sur 96
Signal : Signal Dirac : "Pic" à f = f0
0 50 100 150
0
1
2
3
4
5
f (Hz)|x(f)|
( )
( )
0 1 0
2 0
( ) sin 2
sin 2 2 / 2
s t a a f t
a f t
π
π π
= +
+ +
( ) ( )
( )
0 1 0
2 0
( )
2
S f a f a f f
a f f
δ δ
δ
= + −
+ −
0 20 40 60 80 100
-10
-5
0
5
10
t (ms)
x(t)
 Dualité temps/fréquence : Influence de la phase
Déphasage

14.
Mise en œuvre du TNS Page 14 sur 96
Signal : Signal Dirac : "Pic" à f = f0
0 50 100 150
0
1
2
3
4
5
f (Hz)|x(f)|
( )
( )
0 1 0
2 0
( ) sin 2
sin 2 2
s t a a f t
a f t
π
π π
= +
+ +
( ) ( )
( )
0 1 0
2 0
( )
2
S f a f a f f
a f f
δ δ
δ
= + −
+ −
0 20 40 60 80 100
-10
-5
0
5
10
t (ms)
x(t)
 Dualité temps/fréquence : Influence de la phase
Déphasage

15.
Mise en œuvre du TNS Page 15 sur 96
Signal : Signal Dirac : "Pic" à f = f0
0 50 100 150
0
1
2
3
4
5
f (Hz)|x(f)|
( )
( )
0 1 0
2 0
( ) sin 2
sin 2 2 3 / 2
s t a a f t
a f t
π
π π
= +
+ +
( ) ( )
( )
0 1 0
2 0
( )
2
S f a f a f f
a f f
δ δ
δ
= + −
+ −
0 20 40 60 80 100
-10
-5
0
5
10
t (ms)
x(t)
 Dualité temps/fréquence : Influence de la phase
Déphasage

16.
Mise en œuvre du TNS Page 16 sur 96
4. Séries de Fourier

17.
Mise en œuvre du TNS Page 17 sur 96
 Décomposition en séries de Fourier :
( ) ( )( )0
0 0
1
( ) cos 2 sin 2
2
n n
n
a
s t a nf t b nf tπ π
+∞
=
= + +∑
( )
( )
0
0
1/
0 0
0
1/
0 0
0
2 ( )cos 2
2 ( )sin 2
f
n
f
n
a f s t nf t dt
b f s t nf t dt
π
π

=



=

∫
∫
 Coefficients de Fourier :
Décomposition en séries de Fourier
 Autre notation :
( )
0
( ) sin 2
n
n n n
n
s t c f tπ ϕ
→+∞
=
= −∑
( )
0
( ) sin 2 ( )
N
n n n bruit
n
s t c f t s tπ ϕ
=
= − +∑
( )
0
( ) sin 2
N
n n n
n
s t c nf tπ ϕ
=
= −∑
 Signal utile et bruit :
 Signal utile :
 Le bruit est le signal "non désiré".
 Le signal utile contient N composantes
harmoniques "utiles".

18.
Mise en œuvre du TNS Page 18 sur 96
 Signal carré :
 Signal triangle :
 Signal dent de scie :
 Signal |Sinus| :
( )0
1
4 1
( ) sin 2 (2 1)
2 1n
s t n f t
n
π
π
+∞
=
= −
−
∑
( )
( )022
1
8 1
( ) sin 2 (2 1)
2 1n
s t n f t
n
π
π
+∞
=
= −
−
∑
( )
( )
1
0
1
12
( ) sin 2
k
n
s t nf t
n
π
π
+
+∞
=
−
= ∑
( ) ( )
( )0
1
2 4 1
( ) sin 2 2
2 1 2 1n
s t nf t
n n
π
π π
+∞
=
= −
− +
∑
Décomposition en séries de Fourier

19.
Mise en œuvre du TNS Page 19 sur 96
( ) ( ) ( )0 0 0
4 1 1
( ) sin 2 sin 2 3 sin 2 5 ...
3 5
s t f t f t f tπ π π
π
 
= + + + ÷
 
( ) ( ) ( )0 0 02 2 2
8 1 1
( ) sin 2 sin 2 3 sin 2 5 ...
3 5
s t f t f t f tπ π π
π
 
= + + + ÷
 
( ) ( ) ( )0 0 0
2 1 1
( ) sin 2 sin 2 2 sin 2 3 ...
2 3
s t f t f t f tπ π π
π
 
= − + − ÷
 
( ) ( )0 0
2 4 1 1
( ) sin 2 2 sin 2 4 ...
1 3 3 5
s t f t f tπ π
π π
 
= − + + ÷
× × 
 Signal carré :
 Signal triangle :
 Signal dent de scie :
 Signal |Sinus| :
Décomposition en séries de Fourier

20.
Mise en œuvre du TNS Page 20 sur 96
Signal f = 0 f = f0 f = 2f0 f = 3f0
Sinus 0 1 0 0
Cosinus 0 1 0 0
Carré 0 4/π 0 4/(3π)
Triangle 0 8/π2
0 8/(3π)2
Dent de scie 0 2/π −1/π 2/(3π)
|Sinus| 2/π 0 −4/(3π) 0
 Synthèse :
Décomposition en séries de Fourier

21.
Mise en œuvre du TNS Page 21 sur 96
 Fondamental
 Signal carré :
 h1 + h3
Décomposition en séries de Fourier
 h1+h3+h5
 h1+h3+h5+h7  h1+h3+…+h11  h1+h3+…+h15

22.
Mise en œuvre du TNS Page 22 sur 96
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-2
-1
0
1
2
t (ms)
x(t)
0 0.5 1 1.5 2
0
0.5
1
1.5
f (kHz)
|x(f)|
0 0.5 1 1.5 2
-15
-10
-5
0
5
10
15
f (kHz)
φ(rad)
 Décroissance des harmoniques impairs en 1/n
Décomposition en séries de Fourier

23.
Mise en œuvre du TNS Page 23 sur 96
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)
0 0.5 1 1.5 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f (kHz)
|x(f)|
0 0.5 1 1.5 2
-20
-10
0
10
20
f (kHz)
φ(rad)
 Décroissance des harmoniques impairs en 1/n2
Décomposition en séries de Fourier

24.
Mise en œuvre du TNS Page 24 sur 96
 Fondamental
 Signal dent de scie :
 Fondamental + h2
 Fondamental + h2 et h3
 Fondamental + h2 à h4
 Fondamental + h2 à h5
Décomposition en séries de Fourier

25.
Mise en œuvre du TNS Page 25 sur 96
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-2
-1
0
1
2
t (ms)
x(t)
0 0.5 1 1.5 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f (kHz)
|x(f)|
0 0.5 1 1.5 2
-20
-10
0
10
20
f (kHz)
φ(rad)
 Décroissance des harmoniques pairs et impairs en 1/n
Décomposition en séries de Fourier

26.
Mise en œuvre du TNS Page 26 sur 96
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t (ms)
x(t)
0 0.5 1 1.5 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f (kHz)
|x(f)|
0 0.5 1 1.5 2
-20
-10
0
10
20
f (kHz)
φ(rad)
 Décroissance des harmoniques pairs en 1/((n−1)(n+1)) ≈ 1/n2
Décomposition en séries de Fourier

27.
Mise en œuvre du TNS Page 27 sur 96
0 20 40 60 80 100
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
t (ms)
x(t)
 Effet d’une troncature :
0 100 200 300 400 500
0
1
2
3
4
5
f (Hz)
|x(f)|
 Troncature à 90 % de l’amplitude
Décomposition en séries de Fourier

28.
Mise en œuvre du TNS Page 28 sur 96
 Effet d’une troncature :
 Troncature à 75 % de l’amplitude
0 20 40 60 80 100
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
t (ms)
x(t)
0 100 200 300 400 500
0
1
2
3
4
5
f (Hz)
|x(f)|
Décomposition en séries de Fourier

29.
Mise en œuvre du TNS Page 29 sur 96
0 20 40 60 80 100
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
t (ms)
x(t)
 Effet d’une troncature :
 Troncature à 50 % de l’amplitude
0 100 200 300 400 500
0
1
2
3
4
5
f (Hz)
|x(f)|
Décomposition en séries de Fourier

30.
Mise en œuvre du TNS Page 30 sur 96
 Effet d’une troncature :
 Troncature à 25 % de l’amplitude
0 100 200 300 400 500
0
1
2
3
4
5
f (Hz)
|x(f)|
0 20 40 60 80 100
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
t (ms)
x(t)
Décomposition en séries de Fourier

31.
Mise en œuvre du TNS Page 31 sur 96
5. Transformée de Fourier

32.
Mise en œuvre du TNS Page 32 sur 96
Tout signal périodique (T) de puissance finie peut être décomposé en une somme de sinus
et de cosinus.
( )0
0 0
1
( ) cos( ) sin( )
2
n n
n
a
x t a n t b n tω ω
∞
=
= + +∑
/ 2
0
/ 2
2
( ).cos( ).
T
n
T
a x t n t dt
T
ω
−
= ∫
/ 2
0
/ 2
2
( ).sin( ).
T
n
T
b x t n t dt
T
ω
−
= ∫
1 (4/π)
1+ 3 (4/3π)
a0 = 0
1+ 3+5 (4/5π)
1+ 3+ 5 + 7 (4/7π)
Continu / Fondamental / Harmoniques
Séries de Fourier

33.
Mise en œuvre du TNS Page 33 sur 96
Sinusoïde
Rectangle périodique
Triangle périodique
Dent de scie
{ } { }( ) : 0,1,2,... : 1,2,3...n nx t a n b n= = + =
Signaux périodiques

34.
Mise en œuvre du TNS Page 34 sur 96
( ) ( ).exp( 2 ).X f x t j f t dtπ
+∞
−∞
= −∫
( ) ( ).exp( 2 ).x t X f j f t dfπ
+∞
−∞
= ∫
sin( / 2)
( ) .
/ 2
X A
ωτ
ω τ
ωτ
 
=  ÷
 
Signal "porte"

35.
Mise en œuvre du TNS Page 35 sur 96
Signal "porte"

36.
Mise en œuvre du TNS Page 36 sur 96
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f (Hz)
Amplitude
Spectre
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0.5
1
t (s)
Amplitude
Signal temporel
Signal "porte"
( )x t
( )X f

37.
Mise en œuvre du TNS Page 37 sur 96
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
1
2
t (s)
Amplitude
Signal temporel
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-30
-20
-10
0
10
f (Hz)
Énergie(dB)
Spectre
Signal "porte"
( )x t
( )X f
Conservation
de l’énergie

38.
Mise en œuvre du TNS Page 38 sur 96
Signaux "classiques"
( )tδ
0cos(2 )f tπ
0sin(2 )f tπ
( )0 0
1
( ) ( )
2
f f f fδ δ− + +
( )0 0
1
( ) ( )
2
f f f f
j
δ δ− − +
1
02j f t
e π
0( )f fδ −
( )fδ1
0( )t tδ − 02j ft
e π−
{ }( ) ( )X f TF x t={ }1
( ) ( )x t TF X f−
=
( )H t
1 1
( )
2 2
f
j f
δ
π
+
( )H t−
1 1
( )
2 2
f
j f
δ
π
−
+

39.
Mise en œuvre du TNS Page 39 sur 96
Signaux "classiques"
0sin(2 ) ( )
T
f t tπ ∏ ( ) ( )( )0 0sinc ( ) sinc ( )
2
T
f f T f f T
j
π π− − +
{ }( ) ( )X f TF x t={ }1
( ) ( )x t TF X f−
=
( ) ( ) ( )sign t H t H t= − −
1
j fπ
( ) t
H t e α−
1
2j fα π+
| |t
e α−
2 2
2
(2 )f
α
α π+
( )
T
t∏ sin( )
. .sinc( )
fT
T T fT
fT
π
π
π
 
= ÷
 
. ( ) t
t H t e α−
( )
2
1
2j fα π+

40.
Mise en œuvre du TNS Page 40 sur 96
Signaux "classiques"
{ }( ) ( )X f TF x t={ }1
( ) ( )x t TF X f−
=
( )e
n
t nTδ −∑ 1
ne e
n
f
T T
δ
 
− ÷
 
∑
( )
d
t
dt
δ 2j fπ
0sin(2 ) ( ) t
f t H t e α
π −
( ) ( )
0
2 2
0
2
2 2
f
j f f
π
α π π+ +
( )
T
tΛ ( )
2
2sin( )
. . sinc( )
2 2
T fT T
fT
fT
π
π
π
 
= ÷
 
2
0
0 0
1
2 2 ( )1
2
t
t t
j f t t
t
e e
σ π
πσ
 −
−  ÷ ÷ − 
2
0
0 0
1
2 2f
f f
j f t
e e
σ π
 −
 ÷−
 ÷
 
1
2
t
f
σ
πσ
=
( ).
t
t dtδ∫ 1
2j fπ

41.
Mise en œuvre du TNS Page 41 sur 96
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-0.5
0
0.5
1
t (s)
Amplitude
Signal temporel
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f (Hz)
Amplitude
Spectre
Signaux “sinus"
( )x t
( )X f

42.
Mise en œuvre du TNS Page 42 sur 96
Signaux périodiques
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-0.5
0
0.5
1
t (s)
Amplitude
Signal temporel
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f (Hz)
Amplitude
Spectre
( )x t
( )X f

43.
Mise en œuvre du TNS Page 43 sur 96
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-0.5
0
0.5
1
t (s)
Amplitude
Signal temporel
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f (Hz)
Amplitude
Spectre
0 5 10 15 20 25 30
Signaux périodiques
( )x t
( )X f

44.
Mise en œuvre du TNS Page 44 sur 96
6. Représentation temps-fréquence

45.
Mise en œuvre du TNS Page 45 sur 96
 Représentation temps-fréquence :
 Nécessité imposée par la non-stationnarité des signaux
Temps-fréquence
 Principe:
1) Découpage en signaux élémentaires de courte durée: [ti; ti+30ms].
2) Transformée de Fourier rapide: FFT.
3) Concaténation des FFT et représentation en niveaux de couleurs.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
-100
-50
0
50
100
Time(ms)
Amplitude(mV)
0 5 10 15 20 25 30
-100
-50
0
50
100
Time (ms)
Amplitude(mV)
Fenêtre

46.
Mise en œuvre du TNS Page 46 sur 96
 Représentation temps-fréquence :
 Nécessité imposée par la non-stationnarité des signaux
Temps-fréquence
 Principe:
1) Découpage en signaux élémentaires de courte durée: [ti; ti+30ms].
2) Transformée de Fourier rapide: FFT.
3) Concaténation des FFT et représentation en niveaux de couleurs.
0 5 10 15 20 25 30
-100
-50
0
50
100
Time (ms)
Amplitude(mV)
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
-150
-100
-50
0
Magnitude(dB)
Frequency (Hz)
Global spectrum on a sample of 0.03 s (277 points at 11025 Hz)
280 Hzcf =
22 msit =
FFT

47.
Mise en œuvre du TNS Page 47 sur 96
 Représentation temps-fréquence :
 Nécessité imposée par la non-stationnarité des signaux
Temps-fréquence
 Principe:
1) Découpage en signaux élémentaires de courte durée: [ti; ti+30ms].
2) Transformée de Fourier rapide: FFT.
3) Concaténation des FFT et représentation en niveaux de couleurs.
3140 Hzcf =
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-100
-50
0
50
100
Time (ms)
Amplitude(mV)
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
-150
-100
-50
0
Magnitude(dB)
Frequency (Hz)
Global spectrum on a sample of 0.02 s (223 points at 11025 Hz)
600 msit =
FFT

48.
Mise en œuvre du TNS Page 48 sur 96
 Représentation temps-fréquence :
 Nécessité imposée par la non-stationnarité des signaux
Temps-fréquence
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
-150
-100
-50
0
Magnitude(dB)
Frequency (Hz)
Global spectrum on a sample of 0.03 s (277 points at 11025 Hz)
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
-150
-100
-50
0
Magnitude(dB)
Frequency (Hz)
Global spectrum on a sample of 0.02 s (223 points at 11025 Hz)
2 600 msit =1 20 msit =
2 3140 Hzcf =
1 280 Hzcf =
 Principe:
1) Découpage en signaux élémentaires de courte durée: [ti; ti+30ms].
2) Transformée de Fourier rapide: FFT.
3) Concaténation des FFT et représentation en niveaux de couleurs.

49.
Mise en œuvre du TNS Page 49 sur 96
 Représentation temps-fréquence :
 Application: Chirp (gazouillis, pépiement en anglais)
Temps-fréquence
 Détection de la fréquence instantanée: Fondamental et harmoniques caractéristiques.
( ) ( ).sin(2 )i cx t A t f tπ=
0
1
( ) ( '). '
t
c if t f t dt
t
= ∫avec
où Ai(t) est l'amplitude instantanée, fc(t) la pseudo-fréquence et fi(t) la fréquence instantanée.
 Exemple: Chirp linéaire
( )1 2 1
max
( )i
t
f t f f f
t
= + − ( )1 2 1
max
( )
2
c
t
f t f f f
t
= + −soit
2f
1f

50.
Mise en œuvre du TNS Page 50 sur 96
 Représentation temps-fréquence :
 Application: Fréquence variable dans le temps (FM)
Temps-fréquence
 Détection de "formants": Fondamental et harmoniques caractéristiques.
minf
maxf

51.
Mise en œuvre du TNS Page 51 sur 96
 Représentation temps-fréquence :
 Application: Analyse de la parole
Temps-fréquence
 Détection de "formants": Fondamental et harmoniques caractéristiques.

52.
Mise en œuvre du TNS Page 52 sur 96
7. Illustrations temps-fréquence

53.
Mise en œuvre du TNS Page 53 sur 96
Décomposition
 Représentation temporelle et spectrale :
 Spectre avec fondamental
et harmonique 2
 Spectre riche avec 12
fréquences harmoniques

54.
Mise en œuvre du TNS Page 54 sur 96
La3 Diapason
 Représentation temporelle :
0 500 1000 1500 2000 2500
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
t (ms)
x(t)
 Décroissance exponentielle
0 2 4 6 8 10
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
t (ms)
x(t)
 Pseudo période: T = 2,3 ms
T

55.
Mise en œuvre du TNS Page 55 sur 96
La3 Diapason
 Représentation spectrale :
0 200 400 600 800 1000
0
0.05
0.1
0.15
0.2
f (Hz)
|x(f)|
430 435 440 445 450
0
0.05
0.1
0.15
0.2
f (Hz)
|x(f)|
870 875 880 885 890
0
0.005
0.01
0.015
0.02
f (Hz)
|x(f)|
 Deux composantes "visibles":
1 440f Hz=
2 880f Hz=
 Fondamental: f1 = 440 Hz
 Harmonique 2: f2 = 880 Hz
 Amplitudes relatives: a2 / a1 = 10

56.
Mise en œuvre du TNS Page 56 sur 96
La3 Diapason
 Représentation spectrale :
 On parle de "dynamique" d’un signal:
 Sur la bande f = 0 à 5 kHz, la dynamique est de 110 dB.
 Harmonique 3: f3 = 3×440 = 1320 Hz
 Amplitudes relatives: a1 / a2 = 10 et a1 / a3 > 1000
0 1000 2000 3000 4000 5000
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
f (Hz)
|x(f)|(dB)
20log
max( )
dB
x
x
x
 
=  ÷ ÷
 
 Echelle dB:
 Cette échelle permet de visualiser les
composantes de très grand rapport
d’amplitude.
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120 106
105
104
103
102
101
100
f3

57.
Mise en œuvre du TNS Page 57 sur 96
La3 Diapason
 Représentation temps/fréquence :
 Décroissance exponentielle en échelle linéaire:
⇔ Décroissance linéaire en échelle dB:
 Harmoniques n: fn = n×440 Hz
1f
2f
3f

58.
Mise en œuvre du TNS Page 58 sur 96
560 562 564 566 568 570
-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)
La3 Piano
 Représentation temporelle :
 Troncature du signal  Pseudo période: T = 2,3 ms
T
500 1000 1500 2000
-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)

59.
Mise en œuvre du TNS Page 59 sur 96
430 435 440 445 450
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
f (Hz)
|x(f)|
860 870 880 890 900 910
0
0.01
0.02
0.03
0.04
f (Hz)
|x(f)|
0 1000 2000 3000 4000 5000
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
f (Hz)
|x(f)| La3 Piano
 Représentation spectrale :
 Neuf composantes "visibles":
1 442f Hz=
2 886f Hz=
 Fondamental: f1 = 442 Hz
 Harmonique 2: f2 = 886 Hz
 Amplitudes relatives: a1 / a2 = 2,4

60.
Mise en œuvre du TNS Page 60 sur 96
0 1000 2000 3000 4000 5000
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
f (Hz)
|x(f)|(dB) La3 Piano
 Représentation spectrale :
 On parle de "dynamique" d’un signal:
 Sur la bande f = 0 à 5 kHz, la dynamique est de 110 dB.
 Harmonique 9: f3 = 9×442 = 3980 Hz contre 4080 Hz mesurés.
 Amplitudes relatives: a1 / a2 = 2,4 et a1 / a9 = 50
20log
max( )
dB
x
x
x
 
=  ÷ ÷
 
 Echelle dB:
 Cette échelle permet de visualiser les
composantes de très grand rapport
d’amplitude.
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120 106
105
104
103
102
101
100
f9

61.
Mise en œuvre du TNS Page 61 sur 96
La3 Piano
 Représentation temps/fréquence :
 Harmoniques 1 à 7:nettement visibles.
 Harmoniques n: fn = n×442 Hz
1f
5f
3f
7f
9f
11f
 Décroissance variable en amplitude, selon t et f.

62.
Mise en œuvre du TNS Page 62 sur 96
450 452 454 456 458 460
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
t (ms)
x(t)
La3 Violon
 Représentation temporelle :
 Augmentation de l’amplitude
du signal avec le temps
 Pseudo période: T = 2,3 ms
T
0 500 1000 1500 2000
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
t (ms)
x(t)

63.
Mise en œuvre du TNS Page 63 sur 96
0 1000 2000 3000 4000 5000
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
f (Hz)
|x(f)|
430 435 440 445 450
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
f (Hz)
|x(f)|
860 870 880 890 900 910
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
f (Hz)
|x(f)|
La3 Violon
 Représentation spectrale :
 Neuf composantes "visibles":
1 442f Hz=
2 884f Hz=
 Fondamental: f1 = 442 Hz
 Harmonique 2: f2 = 884 Hz
 Amplitudes relatives: a1 / a2 = 2,1

64.
Mise en œuvre du TNS Page 64 sur 96
0 1000 2000 3000 4000 5000
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
f (Hz)
|x(f)|(dB) La3 Violon
 Représentation spectrale :
 On parle de "dynamique" d’un signal:
 Sur la bande f = 0 à 5 kHz, la dynamique est de 110 dB.
 Harmonique 11: f3 = 11×442 = 4860 Hz.
 Amplitudes relatives: a1 / a2 = 2,1 et a1 / a11 = 24
20log
max( )
dB
x
x
x
 
=  ÷ ÷
 
 Echelle dB:
 Cette échelle permet de visualiser les
composantes de très grand rapport
d’amplitude.
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120 106
105
104
103
102
101
100
f11

65.
Mise en œuvre du TNS Page 65 sur 96
La3 Violon
 Représentation temps/fréquence :
 Harmoniques 1 à 11 nettement visibles.
 Harmoniques n: fn = n×442 Hz
1f
5f
3f
7f
9f
11f
 Décroissance variable en amplitude, selon t et f.

66.
Mise en œuvre du TNS Page 66 sur 96
 Recomposition temporelle et spectrale :
 Extrait original en bleu  Les 20 pics les plus
importants ont été retenus
La3 Violon
500 600 700 800 900 1000
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
t (ms)
x(t)
 Extrait recomposé en noir
0 1000 2000 3000 4000
-100
-80
-60
-40
-20
0
f (Hz)
|x(f)|(dB)

67.
Mise en œuvre du TNS Page 67 sur 96
 Recomposition temporelle et spectrale :
 Extrait original en bleu  Les 20 pics les plus
importants ont été retenus
La3 Violon
 Extrait recomposé en noir
600 602 604 606 608 610
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
t (ms)
x(t)
0 500 1000 1500 2000
-100
-80
-60
-40
-20
0
f (Hz)
|x(f)|(dB)

68.
Mise en œuvre du TNS Page 68 sur 96
Notes Violon
 Représentation temps/fréquence :
 Nombreux harmoniques nettement visibles.
 Harmoniques n: fn = n× f0
 Décroissance variable en amplitude, selon t et f.

69.
Mise en œuvre du TNS Page 69 sur 96
gamme.wav
 Représentation temporelle et spectrale :
 On distingue 8 paquets
d’ondes distincts
 On distingue 8 pics
0 500 1000 1500 2000
-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)
0 200 400 600 800
-100
-80
-60
-40
-20
0
f (Hz)
|x(f)|(dB)
LADO

70.
Mise en œuvre du TNS Page 70 sur 96
gamme.wav
 Représentation temps/fréquence :
 Gamme complète.
 Fréquences fondamentales seulement.
 Dans l’ordre des fréquences croissantes.
DO
RE
MI
FA
SOL
LA
SI
DO

71.
Mise en œuvre du TNS Page 71 sur 96
SOUND1.wav
 Représentation temporelle et spectrale :
 Rien de visible...  Nombreux pics
0 1000 2000 3000 4000 5000
-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)
0 1000 2000 3000 4000
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
f (Hz)
|x(f)|

72.
Mise en œuvre du TNS Page 72 sur 96
SOUND1.wav
 Représentation temporelle et spectrale :
 Le signal ne semble pas périodique  Nombreux pics
0 200 400 600 800
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
f (Hz)
|x(f)|
1000 1050 1100 1150 1200
-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)

73.
Mise en œuvre du TNS Page 73 sur 96
SOUND1.wav
 Représentation temps/fréquence :
 Spectre large.
 Harmoniques.
 Croissance en fréquence.

74.
Mise en œuvre du TNS Page 74 sur 96
SOUND68.wav
 Représentation temporelle et spectrale :
 Rien de visible...  Nombreux pics
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
t (ms)
x(t)
0 1000 2000 3000 4000
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
f (Hz)
|x(f)|

75.
Mise en œuvre du TNS Page 75 sur 96
 Représentation temps/fréquence :
 Nombreuses fréquences.
 Nombreux harmoniques.
 Décroissance en fréquence.
SOUND68.wav

76.
Mise en œuvre du TNS Page 76 sur 96
0 100 200 300 400 500 600
-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)
SOUND999.wav
 Représentation temporelle et spectrale :
 Décroissance en fréquence  Décroissance exponentielle
0 1000 2000 3000 4000
0
0.05
0.1
0.15
f (Hz)
|x(f)|

77.
Mise en œuvre du TNS Page 77 sur 96
SOUND999.wav
 Décroissance exponentielle
0 1000 2000 3000 4000
0
0.05
0.1
0.15
f (Hz)
|x(f)|
150 200 250
-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)
 Représentation temporelle et spectrale :
 Troncature du signal de 150
à 250 ms

78.
Mise en œuvre du TNS Page 78 sur 96
 Représentation temps/fréquence :
 Une fréquence fondamentale.
 Harmoniques 2 et 3 visibles de 150 à 250 ms.
 Décroissance exponentielle en fréquence.
SOUND999.wav

79.
Mise en œuvre du TNS Page 79 sur 96
LASER.wav
 Représentation temporelle et spectrale :
 Décroissance en fréquence  Spectre large
0 50 100 150
-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)
0 1000 2000 3000 4000
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
f (Hz)
|x(f)|

80.
Mise en œuvre du TNS Page 80 sur 96
 Représentation temps/fréquence :
 Une fréquence fondamentale.
 Décroissance exponentielle en fréquence.
LASER.wav

81.
Mise en œuvre du TNS Page 81 sur 96
 Calcul de fréquence moyenne :
 Une fréquence fondamentale.
 Décroissance exponentielle en fréquence.v
LASER.wav
0 20 40 60 80 100 120 140 160
0
1000
2000
3000
4000
5000
f
mean
(Hz)
Time (ms)
 La fréquence décroît de 4700 à 450 Hz.

82.
Mise en œuvre du TNS Page 82 sur 96
accel.wav
 Représentation temporelle et spectrale :
 Croissance en fréquence  Spectre large
0 200 400 600 800 1000
-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)
0 1000 2000 3000 4000 5000
0
0.005
0.01
0.015
0.02
f (Hz)
|x(f)|

83.
Mise en œuvre du TNS Page 83 sur 96
 Représentation temps/fréquence :
 Une fréquence fondamentale.
 Croissance linéaire en fréquence, de 310 à 4200 Hz.
accel.wav

84.
Mise en œuvre du TNS Page 84 sur 96
 Effet Doppler :
 Décalage négatif lorsque la source s’approche :
accel.wav
 Décalage de la fréquence d ’émission.
 Décalage positif lorsque la source s’éloigne :
0v 0vθ
θ
0 02 cos
D
air
f v
f
c
θ
=
0 Df f f= +
0 Df f f= −

85.
Mise en œuvre du TNS Page 85 sur 96
sirene.wav
 Représentation temporelle et spectrale :
 Rien de visible...  Spectre large
0 1000 2000 3000 4000
-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)
0 200 400 600 800 1000
0
0.05
0.1
0.15
f (Hz)
|x(f)|

86.
Mise en œuvre du TNS Page 86 sur 96
 Représentation temps/fréquence :
 Une fréquence fondamentale.
 Variation de fréquence, de 0 à 1000 Hz.
sirene.wav

87.
Mise en œuvre du TNS Page 87 sur 96
8. Application: DCT

88.
Mise en œuvre du TNS Page 88 sur 96
Transformée en cosinus discret
TCD (DCT): Contenu fréquentiel
 Décomposition dans une base de cosinus:
 Coefficients réels;
 Regroupement de l'énergie.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformée_en_cosinus_discrète
 Principe:
 La transformée en cosinus discrète (DCT) est une
transformation proche de la transformée de Fourier discrète (DFT).
Le noyau de projection est un cosinus et crée donc des coefficients
réels, contrairement à la DFT, dont le noyau est une exponentielle
complexe et qui crée donc des coefficients complexes.
 La DCT [directe] la plus courante est la DCT type-II.
 La DCT [inverse] correspondante est la DCT type-III.
 Applications:
 La DCT est très utilisée en traitement numérique du
signal et spécialement en compression.
 Coefficients non nuls retenus : JPEG et MPEG.

89.
Mise en œuvre du TNS Page 89 sur 96
Transformée en cosinus discret
TCD (DCT): Contenu fréquentiel
 Décomposition dans une base de cosinus:
 Composante continue;
 Harmoniques.
1 1
2 2 1 2 1
( , ) ( ) ( ) ( , ).cos ( 1) .cos ( 1)
2 2
N N
C
m n
m n
P i j C i C j p m n i j
N N N
π π
= =
− −   
= − − ÷  ÷
   
∑∑
1 1
2 2 1 2 1
( , ) ( ) ( ) ( , ).cos ( 1) .cos ( 1)
2 2
N N
C
i j
m n
p m n C i C j P i j i j
N N N
π π
= =
− −   
= − − ÷  ÷
   
∑∑
2
si 1
( ) 2
1 si 1
k
C k
k

=
= 
 >
http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformée_en_cosinus_discrète
 DCT [directe]:
 IDCT [inverse]:
 Coefficients:

90.
Mise en œuvre du TNS Page 90 sur 96
Transformée en cosinus discret
TCD (DCT): Contenu fréquentiel
 Décomposition dans une base de cosinus:
 Composante continue;
 Harmoniques.
1 1
2 2 1 2 1
( , ) ( ) ( ) ( , ).cos ( 1) .cos ( 1)
2 2
N N
C
m n
m n
P i j C i C j p m n i j
N N N
π π
= =
− −   
= − − ÷  ÷
   
∑∑
http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformée_en_cosinus_discrète
 Application: DCT
DCT

91.
Mise en œuvre du TNS Page 91 sur 96
Transformée en cosinus discret
TCD (DCT): Contenu fréquentiel
 Décomposition dans une base de cosinus:
 Composante continue;
 Harmoniques.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformée_en_cosinus_discrète
DCT
8×8 = 64 pixels 1+4 = 5 pixels
 Compression: !!! Négatif couleur !!!
 α = 5/64 = 7,8%.

92.
Mise en œuvre du TNS Page 92 sur 96
Transformée en cosinus discret
TCD (DCT): Contenu fréquentiel
 Décomposition dans une base de cosinus:
 Quantification:
La quantification consiste à diviser cette matrice par une autre, appelée
matrice de quantification, et qui contient les coefficients choisis pour
atténuer les hautes fréquences, celles auxquelles l’œil est peu sensible.
 Opération de quantification [et filtrage]:
http://fr.wikipedia.org/wiki/JPEG
( , )
( , )
( , )
C
CQ
FQ
P i j
P i j fix
Q i j
 
=  ÷ ÷
 
( , ) 1 ( 1)FQQ i j i j FQ= + + −
 Facteur de qualité: FQ
 Exemple: FQ = 5
5
6 11 16 21 26 31 36 41
11 16 21 26 31 36 41 46
16 21 26 31 36 41 46 51
21 26 31 36 41 46 51 56
26 31 36 41 46 51 56 61
31 36 41 46 51 56 61 66
36 41 46 51 56 61 66 71
41 46 51 56 61 66 71 76
Q
 
 
 
 
 
 =
 
 
 
 
 
  

93.
Mise en œuvre du TNS Page 93 sur 96
Transformée en cosinus discret
TCD (DCT): Contenu fréquentiel
 Décomposition dans une base de cosinus:
 Exemple:
 Résultats:
5
6 11 16 21 26 31 36 41
11 16 21 26 31 36 41 46
16 21 26 31 36 41 46 51
21 26 31 36 41 46 51 56
26 31 36 41 46 51 56 61
31 36 41 46 51 56 61 66
36 41 46 51 56 61 66 71
41 46 51 56 61 66 71 76
Q
 
 
 
 
 
 =
 
 
 
 
 
  
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
p
 
 
 
 
 
 =
 
 
 
 
 
  
1020 184 0 217 0 325 0 924
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
CP
− − − − 
 
 
 
 
 =
 
 
 
 
 
  
1020 176 0 210 0 310 0 902
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
.
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
CQ FQP Q
− − − − 
 
 
 
 
 =
 
 
 
 
 
  

94.
Mise en œuvre du TNS Page 94 sur 96
Transformée en cosinus discret
TCD (DCT): Contenu fréquentiel
 Décomposition dans une base de cosinus:
 Exemple:
 Résultats:
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
p
 
 
 
 
 
 =
 
 
 
 
 
  
5 251 3 253 2 252 4 250
5 251 3 253 2 252 4 250
5 251 3 253 2 252 4 250
5 251 3 253 2 252 4 250
5 251 3 253 2 252 4 250
5 251 3 253 2 252 4 250
5 251 3 253 2 252 4 250
5 251 3 253 2 252 4 250
QFQp
 
 
 
 
 
 =
 
 
 
 
 
  
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8

95.
Mise en œuvre du TNS Page 95 sur 96
Transformée en cosinus discret
TCD (DCT): Contenu fréquentiel
 Décomposition dans une base de cosinus:
 Optimisation du calcul de la DCT: Algorithme de Chen
Le calcul de la DCT est optimisé pour le cas N = 8 (JPEG et MPEG)
en réécrivant la transformée sous forme matricielle et en factorisant la
décomposition, pour réduire le nombre de multiplications nécessaires.
http://fr.wikipedia.org/wiki/JPEG

96.
Mise en œuvre du TNS Page 96 sur 96
Transformée en cosinus discret
TCD (DCT): Contenu fréquentiel
 Décomposition dans une base de cosinus:
 Optimisation du calcul de la DCT: Algorithme de Loeffler
 L'algorithme de Chen (qui calcule la DCT 1D à 8 points avec 16 multiplications)
est à la base des optimisations suivantes par factorisation des sous-matrices.
 L'algorithme de Loeffler est actuellement le plus efficace ayant été publié:
Loeffler :11 multiplications (DCT 1D à 8 points)
Chen : 16 multiplications (DCT 1D à 8 points)
Ces algorithmes se différencient seulement en termes de stabilité et de précision.
 Pour une DCT 2D 8×8:
Loeffler :112 multiplications (DCT 2D à 8x8 points)
Chen : 256 multiplications (DCT 2D à 8x8 points)
 Plus de détails: normes de compression JPEG et MPEG.
http://www.vtvt.ece.vt.edu/research/references_video_DCT.php