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Factorización de polinomios: métodos y ejercicios
- 1. Teoría - Ejercicios de Aplicación
- 2. Escuela Técnica N° 21 “María Auxiliadora” Profesor: Elías López “Cartilla de Matemática” – 4° Año 2014 4 2 Factorización de Polinomios......................................................... 03 Métodos de Factorización.............................................................. 03 Factor Común................................................................................. 03 Factor Común por Grupo....................................................... 04 Trinomio Cuadrado Perfecto.............................................. 04 Cuatrinomio Cubo Perfecto................................................. 05 Diferencia de Cuadrado.......................................................... 06 Suma o Diferencia de Potencia de Igual Grado............................................................................... 07 Combinación de Casos de Factoreo........................................ 08
- 3. Escuela Técnica N° 21 “María Auxiliadora” Profesor: Elías López “Cartilla de Matemática” – 4° Año 2014 4 3 Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios llamados factores, de tal modo que al multiplicarlos entre sí se obtenga el polinomio original. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS En la multiplicación de polinomios, obtenemos el producto a partir de los factores, en el caso del factoreo es encontrar esos factores dado el producto. Ejemplo: MULTIPLICACION (𝟐𝒂 𝟐 + 𝟓𝒂 − 𝟑) ∙ (𝟒𝒂 + 𝟐) = 𝟖𝒂 𝟑 + 𝟐𝟒𝒂 𝟐 − 𝟐𝒂 − 𝟔 𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝑭𝒂𝒕𝒐𝒓 𝑷𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐 FACTOREO 𝟖𝒂 𝟑 + 𝟐𝟒𝒂 𝟐 − 𝟐𝒂 − 𝟔 = (𝟐𝒂 𝟐 + 𝟓𝒂 − 𝟑) ∙ (𝟒𝒂 + 𝟐) 𝑷𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐 𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 METODOS DE FACTORIZACION 1°) FACTOR COMUN Ejemplo: Factoriza el polinomio 𝑫. 𝑪. 𝑴. (𝟐𝟒; 𝟏𝟖; 𝟑𝟎) = 𝟔 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒄𝒐𝒏 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒆𝒙𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 = 𝒙 𝟐 𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝑪𝒐𝒎ú𝒏 = 𝟔𝒙 𝟐 A continuación se procede a dividir cada término del polinomio con el Factor Común. Es decir: 𝟐𝟒𝒙 𝟓 ∶ 𝟔𝒙 𝟐 = 𝟒𝒙 𝟑 𝟏𝟖𝒙 𝟒 ∶ 𝟔𝒙 𝟐 = 𝟑𝒙 𝟐 −𝟑𝟎𝒙 𝟐 ∶ 𝟔𝒙 𝟐 = −𝟓 𝑬𝒍 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒅𝒐 𝒔𝒆𝒓𝒊𝒂: ⇒ 𝟐𝟒𝒙 𝟓 + 𝟏𝟖𝒙 𝟒 − 𝟑𝟎𝒙 𝟐 = 𝟔𝒙 𝟐 ∙ (𝟒𝒙 𝟑 + 𝟑𝒙 𝟐 − 𝟓) Se puede realizar el cálculo, dividiendo directamente cada término del polinomio con el Factor Común. Otros Ejemplos: 𝒂) 𝟑𝟐𝒎 𝟒 − 𝟏𝟔 = 𝟏𝟔 ∙ (𝟐𝒎 𝟒 − 𝟏) 𝒃) 𝟒 𝟏𝟓 + 𝟔 𝟓 𝒃 𝟓 = 𝟐 𝟓 ∙ ( 𝟐 𝟑 − 𝟑 𝒃 𝟓 ) 𝒄) 𝟑𝟐𝒂 𝟕 + 𝟐𝟎𝒂 𝟑 − 𝟏𝟐𝒂 𝟒 = 𝟒𝒂 𝟑 ∙ (𝟖𝒂 𝟒 + 𝟓 − 𝟑𝒂) 𝒅) 𝟕 𝟒𝟖 𝒙 𝟑 − 𝟐𝟏 𝟏𝟐 𝒙 𝟕 = 𝟕 𝟔 𝒙 𝟑 ∙ ( 𝟏 𝟖 − 𝟑 𝟐 𝒙 𝟒 ) El factor común es igual a, la variable del polinomio elevado a la menor potencia y/o el Divisor Común Mayor (D.C.M.) de todos los coeficientes del mismo. 𝟐𝟒𝒙 𝟓 + 𝟏𝟖𝒙 𝟒 − 𝟑𝟎𝒙 𝟐
- 4. Escuela Técnica N° 21 “María Auxiliadora” Profesor: Elías López “Cartilla de Matemática” – 4° Año 2014 4 4 ACTIVIDAD 1 – Factor Comun 𝟏) 𝒇 𝟒 + 𝒇 𝟕 − 𝒇 𝟐 = 𝟐) 𝟏𝟐 𝟓 + 𝟏𝟖 𝟐𝟓 𝒄 𝟐 = 𝟑) 𝟒𝒄 𝟑 − 𝟏𝟐𝒄 𝟓 + 𝟖𝒄 𝟖 = 𝟒) 𝟏𝟐 𝟏𝟓 𝒌 𝟒 − 𝟑𝟔 𝟕𝟓 𝒌 = 𝟓) 𝟐𝟖𝒎 𝟒 + 𝟒𝟐𝒎 𝟐 − 𝟐𝟏𝒎 + 𝟓𝟔𝒎 𝟓 = 𝟔) 𝟏 𝟑 𝒙 + 𝟐 𝟓 𝒙 𝟑 − 𝟓 𝟐 𝒙 𝟓 − 𝒙 𝟒 = 2°) FACTOR COMUN POR GRUPO En ocasiones una expresión de cuatro o más términos se puede agrupar en igual cantidad de términos de tal modo que se pueden encontrar algunos factores comunes. De hecho, algunos pueden ser binomios, trinomios, cuatrinomios, etc. Para factorizar se procede de la siguiente manera: a). Agrupa términos con factores comunes. b). Resuelve aplicando el factor común a cada grupo. c). De los resultados obtenidos, aplica también el factor común. Ejemplo: 𝒚 𝟐 + 𝟑𝒚 + 𝟒𝒚 + 𝟏𝟐 = (𝒚 𝟐 + 𝟑𝒚) + (𝟒𝒚 + 𝟏𝟐) = 𝒚 ∙ (𝒚 + 𝟑) + 𝟒 ∙ (𝒚 + 𝟑) = (𝒚 + 𝟑) ∙ (𝒚 + 𝟒) 𝒂) 𝑨𝒈𝒓𝒖𝒑𝒐 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒎𝒖𝒏𝒆𝒔. 𝒃) 𝑨𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂 𝒆𝒍 𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒄𝒐𝒎ú𝒏 𝒂 𝒂𝒎𝒃𝒐𝒔 𝒈𝒓𝒖𝒑𝒐𝒔. 𝑶𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒑𝒂𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔 𝒔𝒐𝒏 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒆𝒔. 𝒄) 𝑨𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂 𝒆𝒍 𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒄𝒐𝒎ú𝒏 𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒐𝒔 ú𝒍𝒕𝒊𝒎𝒐𝒔 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔. Otros ejemplos: ∎ 4𝑎2 − 3𝑎 + 20𝑎 − 15 = (4𝑎2 − 3𝑎) + (20𝑎 − 15) = 𝑎 ∙ (4𝑎 − 3) + 5 ∙ (4𝑎 − 3) = (𝟒𝒂 − 𝟑) ∙ (𝒂 + 𝟓) ∎ 𝑚4 − 𝑚3 + 𝑚 − 1 = (𝑚4 + 𝑚) + (−𝑚3 − 1) = 𝑚 ∙ (𝑚3 + 1) − 1 ∙ (𝑚3 + 1) = (𝒎 𝟑 + 𝟏) + (𝒎 − 𝟏) ACTIVIDAD 2 – Factor Comun por Grupo 𝟏) 𝒏 𝟓 − 𝟐𝒏 𝟒 − 𝟑𝒏 + 𝟔 = 𝟐) 𝟑𝒂 𝟑 + 𝟑𝒂 𝟐 + 𝟐𝒂 + 𝟐 = 𝟑) 𝟒𝒛 𝟑 − 𝟐𝒛 𝟐 + 𝟔𝒛 − 𝟑 = 𝟒) 𝒂 𝟓 − 𝒂 𝟒 + 𝒂 − 𝟏 = 𝟓) 𝒚 𝟔 + 𝟐𝒚 𝟓 + 𝒚 𝟒 + 𝟐𝒚 𝟑 + 𝟐𝒚 + 𝟒 = 𝟔) 𝟐𝒎 𝟓 − 𝒎 𝟒 + 𝟔𝒎 𝟑 − 𝟑𝒎 𝟐 + 𝟖𝒎 − 𝟒 = 3°) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Para factorizar un polinomio que es trinomio cuadrado perfecto se eleva al cuadrado el binomio formado por las bases de los cuadrados perfectos que son términos del trinomio, previa identificación del doble producto de dichas bases con el término restante del trinomio. 𝒙2 ± 2 ∙ 𝒙 ∙ 𝒂 + 𝒂2 = ( 𝒙 ± 𝒂)2
- 5. Escuela Técnica N° 21 “María Auxiliadora” Profesor: Elías López “Cartilla de Matemática” – 4° Año 2014 4 5 Ejemplo: 𝒙 𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗 = (𝒙 + 𝟑) 𝟐 ↕ ↕ (𝒙) 𝟐 (𝟑) 𝟐 (𝒃𝒂𝒔𝒆𝟏) (𝒃𝒂𝒔𝒆𝟐) 𝟐 ∙ 𝒙 ∙ 𝟑 = 𝟔𝒙 ∗ 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙á 𝑙𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑠𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠. ∗ 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒: 𝟐 ∙ (𝒃𝒂𝒔𝒆𝟏) ∙ (𝒃𝒂𝒔𝒆𝟐) 𝑠𝑒𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎𝑙 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜. ∗ 𝑬𝒏 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒅𝒆 𝒏𝒐 𝒔𝒆𝒓 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍, 𝒏𝒐 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝑻𝒓𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐 𝑪𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 𝑷𝒆𝒓𝒇𝒆𝒄𝒕𝒐 Otros ejemplos ∎ 𝒂 𝟐 + 𝟏𝟎𝒂 + 𝟐𝟓 = (𝒂 + 𝟓) 𝟐 (𝒂) 𝟐 (𝟓) 𝟐 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝟓 = 𝟏𝟎𝒂 ∎ 𝟒𝒎 𝟐 + 𝟑𝟐𝒎 + 𝟔𝟒 = (𝟐𝒎 + 𝟖) 𝟐 (𝟐𝒎) 𝟐 (𝟖) 𝟐 𝟐 ∙ 𝟐𝒎 ∙ 𝟖 = 𝟑𝟐𝒎 ∎ 𝒕 𝟔 − 𝟑𝒕 𝟑 + 𝟗 𝟒 = (𝒕 − 𝟑 𝟐 ) 𝟐 (𝒕 𝟑) 𝟐 (− 𝟑 𝟐 ) 𝟐 𝟐 ∙ 𝒕 𝟑 ∙ (− 𝟑 𝟐 ) = −𝟑𝒕 𝟑 ∎ 𝒘 𝟖 − 𝟒 𝟑 𝒘 𝟒 + 𝟒 𝟗 = (𝒘 𝟒 − 𝟐 𝟑 ) 𝟐 (𝒘 𝟒) 𝟐 (− 𝟐 𝟑 ) 𝟐 𝟐 ∙ 𝒘 𝟒 ∙ (− 𝟐 𝟑 ) = − 𝟒 𝟑 𝒘 𝟒 ACTIVIDAD 3 – Trinomio Cuadrado Perfecto 𝟏) 𝒏 𝟔 + 𝟏𝟐𝒏 𝟑 + 𝟑𝟔 = 𝟐) 𝟒𝒂 𝟖 + 𝟐𝟖𝒂 𝟒 + 𝟒𝟗 = 𝟑) 𝟐𝟓 − 𝟏𝟎𝒛 𝟐 + 𝒛 𝟒 = 𝟒) 𝒚 𝟐 − 𝟐𝟐𝒚 + 𝟏𝟐𝟏 = 𝟓) 𝒎 𝟐 − 𝟏𝟎𝒎 + 𝟐𝟓 = 𝟔) 𝟏𝟔𝒙 𝟐 + 𝟒𝟗 + 𝟓𝟔𝒙 = 4°)CUATRINOMIO CUBO PERFECTO Para factorizar un polinomio que es cuatrinomio cubo perfecto se eleva al cubo el binomio formado por la suma de las bases de los cubos perfectos que son términos del cuatrinomio, previa identificación de los triples productos de los cuadrados de cada una de dichas bases por la otra con los otros dos términos del cuatrinomio. 𝒙3 ± 3 ∙ 𝒙2 ∙ 𝒂 + 3 ∙ 𝒙 ∙ 𝒂2 ± 𝒂3 = ( 𝒙 ± 𝒂)3 Ejemplo: 𝒙 𝟑 + 𝟔𝒙 𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟖 = (𝒙 + 𝟐) 𝟑 ↕ ↕ (𝒙) 𝟑 (𝟐) 𝟑 (𝒃𝒂𝒔𝒆𝟏) (𝒃𝒂𝒔𝒆𝟐) 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝒂) 𝟑 ∙ 𝒙 𝟐 ∙ 𝟐 = 𝟔𝒙 𝟐 𝒃) 𝟑 ∙ 𝒙 ∙ 𝟐 𝟐 = 𝟏𝟐𝒙 ∗ 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙á 𝑙𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑠𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑏𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠. ∗ 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒: 𝒂) 𝟑 ∙ (𝒃𝒂𝒔𝒆𝟏) 𝟐 ∙ (𝒃𝒂𝒔𝒆𝟐) 𝑠𝑒𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝐶𝑢𝑎𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜. ∗ 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒: 𝒃) 𝟑 ∙ (𝒃𝒂𝒔𝒆𝟏) ∙ (𝒃𝒂𝒔𝒆𝟐) 𝟐 𝑠𝑒𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎𝑙 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝐶𝑢𝑎𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜. ∗ 𝑬𝒏 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒅𝒆 𝒏𝒐 𝒔𝒆𝒓 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍, 𝒏𝒐 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝑪𝒖𝒂𝒕𝒓𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐 𝑪𝒖𝒃𝒐 𝑷𝒆𝒓𝒇𝒆𝒄𝒕𝒐
- 6. Escuela Técnica N° 21 “María Auxiliadora” Profesor: Elías López “Cartilla de Matemática” – 4° Año 2014 4 6 Otros ejemplos ∎ 𝒂 𝟑 − 𝟑𝒂 𝟐 + 𝟑𝒂 − 𝟏 = (𝒂 − 𝟏) 𝟑 (𝒂) 𝟑 (−𝟏) 𝟑 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝒂) 𝟑 ∙ 𝒂 𝟐 ∙ (−𝟏) = −𝟑𝒂 𝟐 𝒃) 𝟑 ∙ 𝒂 ∙ (−𝟏) 𝟐 = 𝟑𝒂 ∎ 𝒘 𝟔 − 𝟏𝟐𝒘 𝟒 + 𝟒𝟖𝒘 𝟐 − 𝟔𝟒 = (𝒘 𝟐 − 𝟒) 𝟑 (𝒘 𝟐) 𝟑 (−𝟒) 𝟑 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝒂) 𝟑 ∙ (𝒘 𝟐) 𝟐 ∙ (−𝟒) = −𝟏𝟐𝒘 𝟒 𝒃) 𝟑 ∙ 𝒘 𝟐 ∙ (−𝟒) 𝟐 = 𝟒𝟖𝒘 𝟐 ∎ 𝟏 𝟖 𝒎 𝟑 − 𝟑 𝟒 𝒎 𝟐 + 𝟑 𝟐 𝒎 − 𝟏 = ( 𝟏 𝟐 𝒎 − 𝟏) 𝟑 ( 𝟏 𝟐 𝒎) 𝟑 (−𝟏) 𝟑 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝒂) 𝟑 ∙ ( 𝟏 𝟐 𝒎) 𝟐 ∙ (−𝟏) = − 𝟑 𝟒 𝒎 𝟐 𝒃) 𝟑 ∙ ( 𝟏 𝟐 𝒎) ∙ (−𝟏) 𝟐 = 𝟑 𝟐 𝒎 ∎ 𝒙 𝟔 + 𝟑 𝟐 𝒙 𝟒 + 𝟑 𝟒 𝒙 𝟐 + 𝟏 𝟖 = (𝒙 𝟐 + 𝟏 𝟐 ) 𝟑 (𝒙 𝟐) 𝟑 ( 𝟏 𝟐 ) 𝟑 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝒂) 𝟑 ∙ (𝒙 𝟐) 𝟐 ∙ ( 𝟏 𝟐 ) = 𝟑 𝟐 𝒙 𝟒 𝒃) 𝟑 ∙ 𝒙 𝟐 ∙ ( 𝟏 𝟐 ) 𝟐 = 𝟑 𝟒 𝒙 𝟐 ACTIVIDAD 4 – Cuatrinomio Cubo Perfecto 𝟏) 𝒏 𝟑 + 𝟏𝟓𝒏 𝟐 + 𝟕𝟓𝒏 + 𝟏𝟐𝟓 = 𝟐) 𝒙 𝟑 + 𝟑 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝟑 𝟒 𝒙 + 𝟏 𝟖 = 𝟑) 𝒚 𝟑 − 𝟗𝒚 𝟐 + 𝟐𝟕𝒚 − 𝟐𝟕 = 𝟒) 𝟏 𝟐𝟕 + 𝟏 𝟑 𝒎 + 𝒎 𝟐 + 𝒎 𝟑 = 𝟓) − 𝒘 𝟑 − 𝟕𝟓𝒘 − 𝟏𝟓𝒘 𝟐 − 𝟏𝟐𝟓 = 𝟔) 𝒛 𝟑 − 𝟏 𝟐 𝒛 𝟐 + 𝟏 𝟏𝟐 𝒛 − 𝟏 𝟐𝟏𝟔 = 5°) DIFERENCIA DE CUADRADO Para factorizar un binomio que es diferencia de cuadrados se forma el producto de la suma de las bases de dichos cuadrados por la diferencia de las mismas. Es decir: 𝒙2 − 𝒂 𝟐 = ( 𝒙 + 𝒂) ∙ ( 𝒙 − 𝒂) Ejemplo: 𝒙 𝟐 − 𝟐𝟓 = (𝒙 + 𝟓) ∙ (𝒙 − 𝟓) ↕ ↕ (𝒙) 𝟐 (𝟓) 𝟐 (𝒃𝒂𝒔𝒆𝟏) (𝒃𝒂𝒔𝒆𝟐) ∗ 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙á 𝑙𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑠𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠. ∗ 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑠𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎. Otros ejemplos ∎ 𝒂 𝟐 − 𝟏 = (𝒂 + 𝟏) ∙ (𝒂 − 𝟏) (𝒂) 𝟐 (𝟏) 𝟐 ∎ 𝒎 𝟔 − 𝟏𝟐𝟏 = (𝒎 𝟑 + 𝟏𝟏) ∙ (𝒎 − 𝟏𝟏) (𝒎 𝟑) 𝟐 (𝟏𝟏) 𝟐 ∎ 𝒘 𝟐 − 𝟏 𝟒𝟗 = (𝒘 + 𝟏 𝟕 ) ∙ (𝒘 − 𝟏 𝟕 ) (𝒘) 𝟐 ( 𝟏 𝟕 ) 𝟐 ∎ − 𝟏 𝟐𝟓 𝒎 𝟐 + 𝟒 𝟗 = 𝟒 𝟗 − 𝟏 𝟐𝟓 𝒎 𝟐 = ( 𝟐 𝟑 + 𝟏 𝟓 𝒎) ∙ ( 𝟐 𝟑 − 𝟏 𝟓 𝒎) ( 𝟐 𝟑 ) 𝟐 ( 𝟏 𝟓 𝒎) 𝟐
- 7. Escuela Técnica N° 21 “María Auxiliadora” Profesor: Elías López “Cartilla de Matemática” – 4° Año 2014 4 7 ACTIVIDAD 5 – Diferencia de Cuadrado 𝟏) 𝒙 𝟐 − 𝟑𝟔 = 𝟐) − 𝟗 𝟐𝟓 + 𝒎 𝟐 = 𝟑) 𝒎 𝟒 − 𝟏𝟗𝟔 = 𝟒) 𝒘 𝟐 − 𝟏𝟔 𝟒𝟗 = 𝟓) – 𝟏𝟒𝟒 + 𝒚 𝟐 = 𝟔) − 𝟗 𝟏𝟔𝟗 + 𝟒 𝟐𝟓 𝒙 𝟐 = 6°)SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIA DE IGUAL GRADO Para resolver estos tipos de polinomios, se tiene en cuenta lo siguiente: A). Potencias con “Exponentes Pares” 𝑪𝒂𝒔𝒐 𝟏: "𝑺𝑼𝑴𝑨" 𝒂 𝑷𝒂𝒓 + 𝒃 𝑷𝒂𝒓 𝑵𝑶 𝑺𝑬 𝑷𝑼𝑬𝑫𝑬 𝑭𝑨𝑪𝑻𝑶𝑹𝑰𝒁𝑨𝑹 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝒎 𝟒 + 𝟏𝟔 𝑪𝒂𝒔𝒐 𝟐: "𝑫𝑰𝑭𝑬𝑹𝑬𝑵𝑪𝑰𝑨" 𝒂 𝑷𝒂𝒓 − 𝒃 𝑷𝒂𝒓 𝑺𝒆 𝒑𝒖𝒆𝒅𝒆 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒓 𝒑𝒐𝒓 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒃𝒂𝒔𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒅𝒊𝒄𝒉𝒂 𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝒂 𝟒 − 𝟖𝟏 𝑎4 − 81 = (𝒂 + 𝟑) ∙ (𝒂 𝟑 𝟑 𝟎 − 𝒂 𝟐 𝟑 𝟏 + 𝒂 𝟑 𝟐 − 𝒂 𝟎 𝟑 𝟑) (𝒂)4 (𝟑)4 = (𝑎 + 3) ∙ (𝑎3 − 3𝑎2 + 9𝑎 − 27) = (𝒂 − 𝟑) ∙ (𝒂 𝟑 𝟑 𝟎 + 𝒂 𝟐 𝟑 𝟏 + 𝒂 𝟑 𝟐 + 𝒂 𝟎 𝟑 𝟑) = (𝑎 − 3) ∙ (𝑎3 + 3𝑎2 + 9𝑎 + 27) B). Potencias con “Exponentes Impares” 𝑪𝒂𝒔𝒐 𝟑: "𝑺𝑼𝑴𝑨" 𝒂 𝑰𝒎𝒑𝒂𝒓 + 𝒃 𝑰𝒎𝒑𝒂𝒓 𝑺𝒆 𝒑𝒖𝒆𝒅𝒆 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒓 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒃𝒂𝒔𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒅𝒊𝒄𝒉𝒂 𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒔 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝒙 𝟑 + 𝟖 𝑥3 + 8 = (𝒙 + 𝟐) ∙ (𝒂 𝟐 𝟐 𝟎 − 𝒂 𝟏 𝟐 𝟏 + 𝒂 𝟎 𝟐 𝟐) (𝒙)3 (𝟐)3 = (𝑥 + 2) ∙ (𝑎2 − 2𝑎 + 4) 𝑪𝒂𝒔𝒐 𝟒: "𝑫𝑰𝑭𝑬𝑹𝑬𝑵𝑪𝑰𝑨" 𝒂 𝑰𝒎𝒑𝒂𝒓 − 𝒃 𝑰𝒎𝒑𝒂𝒓 𝑺𝒆 𝒑𝒖𝒆𝒅𝒆 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒓 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒃𝒂𝒔𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒅𝒊𝒄𝒉𝒂 𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝒘 𝟑 − 𝟏 𝑤3 − 1 = (𝒘 − 𝟏) ∙ (𝒘 𝟐 𝟏 𝟎 + 𝒘 𝟏 𝟏 𝟏 + 𝒘 𝟎 𝟏 𝟐) (𝒘)3 (𝟏)3 = (𝑤 − 1) ∙ (𝑤2 + 𝑤 + 1) Otros ejemplos
- 8. Escuela Técnica N° 21 “María Auxiliadora” Profesor: Elías López “Cartilla de Matemática” – 4° Año 2014 4 8 ∎ 𝑥3 + 27 = (𝒙 + 𝟑) ∙ (𝑥2 30 − 𝑥1 31 + 𝑥0 32) (𝒙)3 (𝟑)3 = (𝑥 + 3) ∙ (𝑥2 − 3𝑥 + 9) ∎ 32 − 𝑚5 = (𝟐 − 𝒎) ∙ (24 𝑚0 + 23 𝑚1 + 22 𝑚2 + 21 𝑚3 + 20 𝑚4) (𝟐)5 (𝒎)5 = (2 − 𝑚) ∙ (16 + 8𝑚 + 4𝑚2 + 2𝑚3 + 𝑚4) ∎ 𝑐4 + 16 = 𝑁𝑜 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑟 ∎ 𝑤4 − 1 = (𝒘 + 𝟏) ∙ (𝑤3 10 − 𝑤2 11 + 𝑤1 12 − 𝑤0 13) (𝒘)4 (𝟏)4 = (𝑤 + 1) ∙ (𝑤3 − 𝑤2 + 𝑤 − 1) 𝑜 (𝑤 − 1) ∙ (𝑤3 + 𝑤2 + 𝑤 + 1) ACTIVIDAD 6 – Suma o Diferencia de potencias de igual grado 𝟏) 𝟏 + 𝒎 𝟓 = 𝟐) 𝒙 𝟔 + 𝟏 = 𝟑) 𝟖𝒚 𝟑 − 𝟏 = 𝟒) 𝟏𝟔 − 𝒂 𝟒 = 𝟓) 𝒚 𝟑 − 𝟑𝟐 = 𝟔) 𝟔𝟒 − 𝒘 𝟔 = 𝟕) 𝒎 𝟒 + 𝟏𝟔 = 𝟖) 𝟔𝟒 + 𝒂 𝟑 = COMBINACION DE CASOS DE FACTOREO Ciertos polinomios pueden factorizarse aplicando sucesivamente varios casos de factoreo. Generalmente se inicia aplicando el primer caso, luego el segundo y así sucesivamente hasta que el polinomio quede completamente expresado en producto de polinomios primos. Ejemplos: 𝒂 𝒃 𝟏) 𝟔𝒙 𝟒 − 𝟐𝟒𝒙 𝟔⏞ = 𝟔𝒙 𝟒 ∙ (𝟏 − 𝟒𝒙 𝟐)⏞ = 𝟔𝒙 𝟒 ∙ (𝟏 − 𝟐 𝒙) (𝟏 + 𝟐 𝒙) 𝒂 → "𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝑪𝒐𝒎ú𝒏" 𝒃 → "𝑫𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝑪𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐" 𝒂 𝒃 𝟐) 𝒎 𝟒 − 𝟐𝒎 𝟑 + 𝒎 𝟐⏞ = 𝒎 𝟐 ∙ (𝒎 𝟐 − 𝟐𝒎 + 𝟏)⏞ = 𝒎 𝟐 ∙ (𝒎 − 𝟏) 𝟐 𝒂 → "𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝑪𝒐𝒎ú𝒏" 𝒃 → "𝑻𝒓𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐 𝑪𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 𝑷𝒆𝒓𝒇𝒆𝒄𝒕𝒐" 𝒂 𝒃 𝟑) 𝒘 𝟑 − 𝟑𝒘 𝟐 − 𝟒𝒘 + 𝟏𝟐⏞ = (𝒘 − 𝟑) ∙ (𝒘 𝟐 − 𝟒)⏞ = (𝒘 − 𝟑) ∙ (𝒘 + 𝟐) ∙ (𝒘 − 𝟐) 𝒂 → "𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝑪𝒐𝒎ú𝒏 𝒆𝒏 𝑮𝒓𝒖𝒑𝒐" 𝒃 → "𝑫𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝑪𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐" ACTIVIDAD 7 – Casos Combinados 𝟏) 𝟑𝒙 𝟓 − 𝟒𝟖𝒙 = 𝟐) 𝟒𝒙 𝟑 − 𝟖𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 = 𝟑) 𝟓𝟎 − 𝟐𝒚 𝟐 = 𝟒) 𝒂 𝟑 − 𝒂 𝟐 − 𝒂 + 𝟏 = 𝟓) 𝒙 𝟔 − 𝟗𝒙 𝟒 − 𝒙 𝟐 + 𝟗 = 𝟔) 𝒙 𝟏𝟎 − 𝟐𝒙 𝟖 + 𝒙 𝟔 − 𝒙 𝟒 + 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟏 =
- 9. Escuela Técnica N° 21 “María Auxiliadora” Profesor: Elías López “Cartilla de Matemática” – 4° Año 2014 4 9