nociones de limites y sus aplicaciones

1. Calculo y geometría analítica I
UNIDAD 2
Clase 2
“Limite y continuidad”
Prof. Ing. José Rodríguez
1

2. Objetivos de aprendizaje
• Calcular limites de funciones algebraicas
• Determinar la continuidad o discontinuidad de una función
• Calcular asíntotas horizontales y verticales
• Aplicar el concepto de limite a situaciones problemáticas
Contenido de la unidad
• Dominio y rango de una función
• Graficas de funciones de variable real
• Limites laterales. (izquierdo y derecho)
• Concepto de limite. (épsilon – delta). Calculo de delta.
• Teoremas sobre limite
• Formas indeterminadas de limites
• Limites de funciones trigonométricas
• Continuidad o discontinuidad de una función
• Asíntotas horizontales y verticales
• Limites al infinito
2

3. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
Se define dominio de una función como el conjunto de valores que puede tomar la
variable independiente (x), para que la función esté definida.
DOMINIO DE FUNCIONES POLINÓMICAS: ( axn + bxn – 1 + …….. + cx + d)
El dominio de una función polinómicas son todos los números
reales: )(xDomf
DOMINIO DE FUNCIONES RACIONALES:
)(
)(
)(
xg
xf
xh
Donde f(x) y g(x) son funciones polinómicas
El dominio de una función racional son todos los números reales excepto aquellos
valores de la variable independiente que hacen que el denominador se anule:
0)(/)( xgxxDomh
3

4. DOMINIO DE FUNCIONES IRRACIONALES: )()( xfxh
El dominio de una función irracional son todos los números reales excepto
aquellos valores de la variable independiente que hacen que el radicando sea
negativo:
0)(/)( xfxxDomh
DOMINIO DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS: f(x)logh(x) a
El dominio de una función logarítmica son todos los números reales excepto
aquellos valores de la variable independiente que hacen que el argumento del
logaritmo sea menor o igual que 0:
0)(/)( xfxxDomh
DOMINIO DE FUNCIONES EXPONENCIALES DE BASE > 0:
)(xf
ah(x)
El dominio de una función exponencial de base > 0, coincide con el domino de
la función que se encuentra en el exponente.
)()( xDomfxDomh
4

5. Determine el dominio de:
b) 1)( 2
xxf
c) 4
1
)( 2
x
xf
d) 5
1
)(
x
xf
a) 1)( xxf
Ejercicios:
5

6. Alguna vez ha estado Usted en un
estacionamiento en el que puede
“aproximarse” al automóvil de enfrente,
pero no quiere tocarlo ni golpearlo. Esta
noción de estar cada vez más cerca de
algo, pero sin tocarlo, es muy importante
en matemáticas y en la cual está
involucrada el concepto de límite, en el
que descansa el fundamento del cálculo.
Noción de límite
6

7. Cuando una variable “se aproxima” a
un valor particular, examinaremos el
efecto que tiene sobre los valores de
la función.
Noción de límite
7

8. Acercamientos Laterales
Por izquierda Por derecha
8

9. Gráfica de un acercamiento por derecha
Matemáticamente: x 3+
Gráficamente:
Cuando x se aproxima a 3 por medio
de valores mayores que el 3, se dice
que x se aproxima a 3 por la derecha
3
5
x
9

10. Matemáticamente: x 3-
Gráficamente:
Cuando x se aproxima a 3 por medio de
valores menores que el 3, se dice que x se
aproxima a 3 por la izquierda
3
5
x
Gráfica de un acercamiento por la izquierda
10

11. Si realizamos ambas aproximaciones al
mismo tiempo, obtenemos:
3
5
x x
11

12. 5)(
3
xfLím
x
Observando los slides anteriores, se puede
decir que si x tiende a 3 por la izquierda, la
función tiende al valor de 5.
12

13. 5)(
3
xfLím
x
Mientras que, si x tiende a 3 por la derecha,
la función tiende al valor de 5.
13

14. Nótese que para que el límite exista,
cuando la variable tiende a un número “a”
(en nuestro ejemplo a = 3) tanto por la
izquierda como por la derecha, la función
tiende a adoptar un único valor “L” (en
nuestro ejemplo L = 5)
Condición para la existencia del límite
14

15. ¡ Importante !
No es lo mismo decir “ x es igual a tres” ,
que decir “ x tiende a tres ”
15

16. ¿qué ocurre con el valor de f(x)
cuando x 3 en esta grafica?
3
5
7
x x
16

17. Condición para la existencia del límite
Nótese que cuando x tiende a 3 por la
izquierda, la función tiende al valor de 5.
Mientras que si x tiende a 3 por derecha, la
función tiende al valor de 7
En este caso se dice que el límite de f(x)
cuando x tiende a 3, no existe
17

18. Graficar:
2;
2
4
)(
2
x
x
x
xf
18

19. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x 1,88 1,90 1,99 --- 2,00 --- 2,01 2,10 2,12
f(x) 3,88 3,90 3,99 --- ? --- 4,01 4,10 4,12
2;
2
4
)(
2
x
x
x
xf
19

20. En ambos casos la información apunta a la
misma conclusión: los valores de f(x) se
aproxima a 4 cuando los valores de x se
aproximan a 2. Este comportamiento se denota
por:
4
2
42
2 x
x
Limx
2x
4x
)x(f
2
Y se lee “ límite de la función en 2 es 4”
20

21. Definición
Una función f tiene límite L cuando x tiende a
“a” por cualquier lado (derecha o izquierda);
y se escribe:
LxfLim
ax
)(
Si todos los valores f(x) para f se encuentran
cerca de L para todos los valores que se
encuentran arbitrariamente cerca, pero que no
son iguales a “a”.
21

22. Conclusión
LxfLím
ax
)( si y solo si :
LxfLímxfLím
axax
)()(
Nótese que para que el límite de una
función (en un valor de a) exista, no es
necesario que la función esté definida en
este valor de a.
22

23. Si para cada , existe un correspondiente ,
tal que
Dada una función f(x) definida en un entorno de
Excepto posiblemente en
Decimos que el límite de la función cuando x tiende a
Definición formal de limite
23

24. Se quiere fabricar placas de acero de
8cm x 8cm.
8 cm
8 cm
Es decir, de 64 cm2 de superficie.
En la realidad, resulta imposible fabricar
placas con 64 cm2 de superficie, siempre se
elabora con cierta aproximación, o sea, que
cumpla las especificaciones dentro de la
tolerancia. 24

25. Para cualquier medida de los lados de la placa:
A (L) = L2
Si consideramos las siguientes tolerancias:
A (L) = 64 0.75 esto implica que 63.25< A (L) <64.75
A (L) = 64 0.50 63.5 < A (L) <64.5
A (L) = 64 0.25 63.75< A (L) <64.25
A (L) = 64 0.125 63.875< A (L) <64.125
A (L) = 64 0.1 63.9< A (L) <64.1
Se debe encontrar un intervalo para L de tal manera que A ( L) esté
dentro del intervalo de tolerancia.
Tolerancia de menos Tolerancia de más Tolerancia de menos Tolerancia de más
L L A(L) A(L)
8 64
25

26. Es decir:
Si 7.96 < L < 8.04 → 63.25 < A (L) <64.75 ¡cumple!
Si 7.97 < L < 8.03 → 63.5 < A (L) <64.5 ¡cumple!
Si 7.99 < L < 8.01 → 63.75 < A (L) <64.25 ¡cumple!
Si se quiere más precisión de A (L), significa que L debe estar lo más
cercano posible a 8. O sea, existe una pequeña diferencia de A (L) con 64,
análogamente, existe también una pequeña diferencia de L con 8.
Por la definición intuitiva de límite:
64)(lím
8
LA
L
26

27. Si esas pequeñas diferencias que existen de L con 8 y
de A (L) con 64 les llamamos δ(delta) y ε(épsilon)
respectivamente, tendríamos:
8 – δ < L< 8 + δ ↔ 64 - ε < A (L) < 64 + ε
↔ Significa si y sólo si.
También se puede escribir como:
– δ < L - 8 < δ ↔ - ε < A (L) - 64 < ε
Lo anterior quiere decir que si L se encuentra en el
intervalo (8- δ, 8+ δ), entonces A (L) se encuentra en el
intervalo abierto (64- ε, 64+ ε)
27

28. a L
x f (x)
a –δ a +δ L – ε L + ε
Por propiedades del valor absoluto, las desigualdades
– δ < L - 8 < δ ↔ - ε < A (L) - 64 < ε
Se pueden escribir como:
Como el valor de L se aproxima a 8 sin llegar a ser 8, entonces
L – 8 ≠ 0 y por lo tanto
64)(8 LAL
08L
28

29. De lo anterior:
Ahora, generalizando para cualquier función f (x) cuando
x → a, tenemos:
64)(80 LAL
Lxfax )(0
29

30. Interpretación geométrica:
L + ε
a - δ
L
ε
ε
a - δ
a
δ δ
L - ε
30

31. Ejemplo:
1. Sea la función f definida por f (x) = 4x – 7. Suponiendo que
a) Utilizando una figura, para ε = 0.01, determinar una δ > 0 tal que si 0 < | x – 3 | < δ
entonces | f (x) – 5 | < 0.01
b) Usando las propiedades de las desigualdades, determinar una δ > 0 tal que si
0 < | x – 3 | < δ entonces | f (x) – 5 | < 0.01
Solución:
5)(lím
3
xf
x
f (x) =4 x - 7
5.01
4.99
5
3
x1 x2 31

32. Solución a)
4 x1 - 7 = 4.99 4 x2 – 7 = 5.01
Como 3 – 2.9975 = 0.0025
Y 3.0025 – 3 = 0.0025
Se elige δ = 0.0025, de tal forma que
0 < | x-3| < 0.0025 entonces | f (x) – 5 | < 0.01 Lo cual es verdadero.
32

33. Solución b)
Para toda ε > 0 y δ > 0, se debe cumplir que:
Donde a = 3, L = 5 y f (x) = 4 x – 7, ε = 0.01
Entonces:
0 < | x - 3 | < δ si y sólo si | (4x – 7) - 5 | < 0.01
Tomando la segunda ecuación:
| (4x – 7) - 5 | < 0.01
| 4x – 7 - 5 | < 0.01
| 4x – 12 | < 0.01
| 4 (x – 3 ) | < 0.01
| 4 | | x – 3 | < 0.01
4 | x – 3 | < 0.01
33

34. ¿Por qué las marcas de una taza de medir de un litro miden alrededor de un milímetro de ancho?
Si la taza es un cilindro circular recto de 6 cm de radio, el volumen es
V = 62h = 36 h
¿Con qué precisión se debe medir h para
medir 1 L(1000 cm3) con un error no
mayor de 1% (10 cm3)?
Para que valores de h se satisface
| V – 1000 | = | 36 h – 1000 | 10
| 36 h – 1000 | 10
–10 36 h – 1000 10
990 36 h 1010
990 /36 h 1010 /36
8.8 h 8.9
8.9 – 8.8 = 0.1 cm = 1 mm
h
r = 6 cm
Ejemplo:
34

35. Reglas para calcular límites
Teorema #1
Las reglas siguientes son válidas si limx c f(x) = L y limx c g(x) = M (L y M son
números reales)
1. Regla de la suma: limx c [f(x) + g(x)] = L + M
2. Regla de la resta: limx c [f(x) – g(x)] = L – M
3. Regla del producto: limx c f(x) ∙ g(x) = L ∙ M
4. Regla del producto: limx c k f(x) = kL
por una constante
5. Regla del cociente: limx c f(x) / g(x) = L / M, M 0
6. Regla de la potencia: limx c [f(x)]m/n = Lm/n
35

36. Límites de Polinomios
Teorema #2
Los límites de polinomios pueden ser calculados por sustitución
Si P(x) = anxn + an–1 xn–1 +...+ a0, entonces
limx c P(x) = P(c) = ancn + an–1 cn–1 +...+ a0
Teorema #3
Los límites de las funciones racionales pueden calcularse por sustitución si el
límite del denominador no es cero.
Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(c) 0, entonces
limx c P(x) / Q(x) = P(c) / Q(c)
36

37. Ejercicios:
37

38. Límites indeterminados
0
2
2
lim
22
2
lim
4
2
lim
2
2
22
2
2 x
x
xx
x
x
x
xxx
4
1
2
1
lim
22
2
lim
4
2
lim
2222 xxx
x
x
x
xxx
22
3
lim
4
3
lim
22
2 xx
x
x
x
xx
22
3
lim
4
3
lim
22
2 xx
x
x
x
xx
existeno
xx
x
x
x
xx 22
3
lim
4
3
lim
222
22323
2 2
1
lim
2
2
lim
2
2
lim
xx
x
x
x
xxx 38

39. Estudio del
x 0
lim
sen x
x . Se pone la calculadora en modo Rad para construir las siguientes tablas.
x 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,0000001
sen x
x
0,998334166468 0,999983333416 0,999999833333 0,999999998333 0,99999999998 0,999999999999
x - 0’1 - 0’01 - 0’001 - 0’0001 - 0’00001 - 0’0000001
sen x
x
0,998334166468 0,999983333416 0,999999833333 0,999999998333 0,99999999998 0,999999999999
Los resultados sugieren que
x 0+
lim
sen x
x
=1
Los resultados sugieren que
x 0-
lim
sen x
x
=1
En consecuencia:
x 0
lim
sen x
x
=1
Límites de funciones trigonométricas
39

40. El
x 0
lim
sen x
x geométricamente
- 10 -5 5 10
- 0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
• La función no está
definida en 0.
• Pero está definida en
las proximidades del
punto 0
40

41. El límite fundamental trigonométrico
1
sen
lim
0
0
1cos
lim
0
θ>0 en radianes
41

42. Problema
0
sen 3
lim
6x
x
x
Solución
sen 3 sen 31
Re-escribimos
6 2 3
x x
x x
0
sen
Usamos que lim 1.
2
1
3
3
2
1
6
3
queconcluye,1
3
3
limlimlim 000 x
xsen
x
xsen
se
x
xsen
Como
xxx
42

43. 43

44. Ejercicios:
x
xsen
x 2
4
lim0
xsen
x
x
2
2
0 6
3
lim
xsen
xsen
x 3
2
lim0
x
x
x
5cos1
lim0
1.
2.
3.
4.
5.
Calcule los siguientes límites:
x
xtg
x 2lim0
44

45. tiempo
(años)
clientes
f
¿Cuál es el máximo número esperado de
clientes al cual se tiende en
el largo plazo?
Analicemos …
¿ ?
¿ ?
50
t
Entonces: 50)(lim tf
t
Esto es un límite al infinito, que nos indica a qué valor se
aproxima la función cuando t crece indefinidamente.
45
El límite cuando tiende al infinito
45

46. Límites al infinito
Si los valores de la función f (x) tienden al número
L cuando x aumenta indefinidamente, se escribe:
lim ( )
x
f x L
De manera similar, valores de la función f (x) tienden
al número M cuando x disminuye indefinidamente,
se escribe:
lim ( )
x
f x M
46

47. y = f (x)
y
y = L
y = M M
L
lim ( )
x
f x L
lim ( )
x
f x M
x
Por ejemplo….
47

48. Sabemos que para n > 0, ,
¿cuál es el valor de los siguientes límites?
n
x
xlim
n
x x
1
lim
n
x x
1
lim
Interrogante . . . . .
48

49. 1
1 1 0
1
1 1 0
( )
n n
n n
m m
m m
a x a x a x a
f x
b x b x b x b


1
1 1 0
1
1 1 0
lim ( ) lim
n n
n n
m
m mx x
m m
m
a x a x a x a
xf x
b x b x b x b
x


Divida el numerador y denominador entre el x
elevado al mayor grado del denominador y calcule el
límite de la nueva expresión:
Resolución:
límite al infinito para funciones racionales
49 49

50. Ejercicios:
32
54
2
2
lim x
x
x
x
xx
x 21
34
lim
x
xx
x 21
34
lim
3
7
2limx
x
x
1.
2.
3.
4.
Calcule los siguientes límites al infinito:
50

51. Una función f(x) es continua en un punto x = a si cumple:
1. Existe f(a)
Si una función no cumple alguna de estas condiciones, decimos que la función
es discontinua en x = a
lim
x a
f (x) lim
x a
f (x) lim
x a
f (x)2. Existe
lim
x a
f (x)3. Se cumple que f(a) =
Continuidad de una función
51

52. Ejemplo: Estudiar la continuidad de la función
lim
x 2
x2 1
x 2
5
0
52Continuidad de Funciones
f (x) x2 1
x 2
Tenemos que el dominio de la función es R-{2}, por lo tanto x = 2
será una punto de discontinuidad.
Estudiemos como no se cumple la definición de continuidad y que
tipo de discontinuidad tenemos.
Evidentemente no existe f(2)
No se puede
dividir por 0
lim
x 2
x2 1
x 2
5
0
Calculamos los limites a la izquierda y derecha de x=2
Números muy pequeños
pero negativos:
1,90 – 2 = - 0,1
1,99 – 2 = - 0,01
Números muy pequeños
pero positivos:
1,90 - 2 = 0,1
1,99 - 2 = 0,01
Como los límites izquierda y derecha son distintos tenemos una
función discontinua en x = 2 de 1ª especie con salto infinito
(diferencia entre los límites laterales)
52

53. Veamos la gráfica de la función: f (x) x2 1
x 2
Cuando me acerco a 2-
la función va hacia -∞
Cuando me acerco a 2+
la función va hacia +∞
Aquí tendremos
Una Asíntota vertical
De ecuación x=2
53

54. Veamos el siguiente ejemplo con una función
definida a trozos:
f (x)
5 x 2
x2 6x 10 2 x 5
4x 15 x 5
Aquí tenemos una recta horizontal,
paralela al eje de abcisas X.
Siempre es continua en su
intervalo de definición.
Aquí tenemos una parábola.
Siempre es continua en su
intervalo de definición.
Aquí tenemos una recta. Siempre
es continua en su intervalo de
definición.
Así que solo procederemos a estudiar la continuidad en los casos x = 2 y
x = 5 . Que son los puntos donde puede ocurrir algún cambio respecto a la
continuidad
54

55. Si nos fijamos en la gráfica de esta función
veremos que:
55

56. Continuidad de Funciones
Estudiamos analíticamente el caso de x = 2
lim
x 2
5 5 f(x)
5 x 2
x2 6x 10 2 x 5
4x 15 x 5
lim
x 2
x2 6x 10 2
f (2) 5
Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la
derecha en x=2 son distintos tenemos que f(x) es discontinua
de 1ª especie en x =2, donde se produce un salto de 3
unidades.
56

57. Continuidad de Funciones
Estudiamos analíticamente el caso de x = 5
lim
x 5
x2 6x 10 5 f (x)
5 x 2
x2 6x 10 2 x 5
4x 15 x 5
lim
x 5
4x 15 5
f (5) 5
Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en
x=5 son iguales tenemos que f(x) continua de en x = 5
57

58. Continuidad de Funciones
Veamos algún caso con una discontinuidad del
tipo “Evitable”
f (x) x2 3x 2
x 1
Tenemos que Dominio de f = R - { 1 }
Solo tendríamos que estudiar el caso x = 1
1. f(1) no existe ya que x = 1 no está en el dominio
2. lim
x 1
x2 3x 2
x 1
0
0
lim
x 1
x 1 x 2
x 1
lim
x 1
x 2 1
lim
x 1
x2 3x 2
x 1
0
0
lim
x 1
x 1 x 2
x 1
lim
x 1
x 2 1
lim
x 1
f (x) f (1) que no existe
58

59. Veamos ahora la gráfica de la función
Tenemos un agujero para x = 1
59

60. Ejercicios:
21
211
136
)( 2
xx
xx
xx
xf 

29
2123
134
)(
2
2


xx
xx
xxx
xf
1.
2.
Demuestre si es continua o discontinua las
siguientes funciones
60

61. ASÍNTOTAS
61- 79

62. Definición de una asíntota
 Cuando la gráfica de una función se acerca a una recta cuando x o y tienden a
infinito, dicha recta se llama ASÍNTOTA de la función.
 No todas las funciones tienen asíntotas.
Las asíntotas de una función pueden ser:
Verticales Horizontales Oblicuas
62

63. Tipos de asíntotas
x = c
y
x
Asíntotas Verticales
x = c
y
x
63

64. y = L
y = f(x)
y
x
y = L
y = f(x)
y
x
Asíntotas Horizontales
Tipos de asíntotas
64

65. Asíntotas Oblicuas
y
x
y = ax + b
Tipos de asíntotas
65

66. )(lim xf
cx
)(lim xf
cx
)(lim xf
cx
La recta x = c es una asíntota vertical de una función f(x) si se cumple
alguna de las siguientes condiciones:
Ejemplo:
2
1
lim
2 xx
2
1
lim
2 xx
2
1
)(
x
xf
La recta x = 2 es una asíntota vertical
Asíntotas verticales
66

67. Asíntotas horizontales
Lxf
x
)(lim Lxf
x
)(lim
La recta x = L es una asíntota horizontal de una función f(x) si se
cumple alguna de las siguientes condiciones:
Ejemplo:
1
2
)(
x
x
xf
2
1
2
lim
x
x
x
2
1
2
lim
x
x
x
La recta y = 2 es una asíntota horizontal
67

68. a
x
xf
x
)(
lim
a
x
xf
x
)(
lim
baxxf
x
))((lim
La recta y = ax + b es una asíntota oblicua de una función f(x) si se
cumple alguna de las siguientes condiciones:
a)
b) baxxf
x
))((lim
Ejemplo:
1
2
)(
2
x
x
xf
2
2
lim
)(
lim 2
2
xx
x
x
xf
xx
2)2
1
2
(lim))((lim
2
x
x
x
axxf
xx
La recta y = 2x+2 es una asíntota oblicua
Asíntotas oblicuas
68

69. Asíntotas de funciones racionales
 Una función racional tiene una asíntota vertical cuando el denominador de la función
simplificada es igual a 0.
 Recuerda que se simplifica cancelando los factores comunes del numerador y
denominador.
Asíntotas Verticales
69

70. Asíntota vertical
x = -1
Ejemplo 1: Calcular las asíntotas verticales
x
x
xf
22
52
Dada la función
Calculamos los valores de x que
hacen 0 el denominador:
2 + 2x = 0 x = -1
La recta x = -1 es la única
asíntota vertical de la función.
70

71. Primero simplicamos la función.
9
12102
2
2
x
xx
xf
La(s) asíntota(s) aparecen cuando el
denominator (después de simplificar)
es igual a 0.
x – 3 = 0 x = 3
La recta vertical x = 3 es la única
asíntota vertical de esta función.
Ejemplo 2: Calcular las asíntotas verticales
Asíntota vertical
x = 3
33
423
9
12102
2
2
xx
xx
x
xx
3
42
x
x
71

72. 6
5
2
xx
x
xg
32
5
6
5
2
xx
x
xx
x
El denominador es igual a 0 cuando
x + 2 = 0 x = -2
o
x - 3 = 0 x = 3
Esta función tiene dos asíntotas
verticales, una x = -2 y la otra x = 3
Ejemplo 3: Calcular las asíntotas verticales
Asíntota vertical
x = - 2
Asíntota vertical
x = 3
72

73. Asíntotas horizontales
Las asíntotas horizontales aparecen cuando ocurre una de las siguientes condiciones
(ambas condiciones no pueden ocurrir en la misma función):
El grado del numerador es menor que el grado del denominador. En este caso,
la asíntota es la recta horizontal y = 0.
El grado del numerador es igual al grado del denominador. En este caso, la
asíntota es la recta horizontal y = a/b, donde a es el coeficiente de mayor grado
del numerador y b es el del denominador.
Cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador la función no
tiene asíntota horizontal.
73

74. Ejemplo 4: Calcular las asíntotas horizontales
0
27
53
lim 3
2
x
xx
x
27
53
3
2
x
xx
xf
0
27
53
lim 3
2
x
xx
x
Tiene una asíntota horizontal en la recta
y = 0 porque el grado del numerador (2)
es menor que el grado del denominador
(3).
La recta horizontal y = 0 es la
asíntota horizontal.
Asíntota horizontal
y = 0
74

75. Ejemplo 5: Calcular las asíntotas horizontales
5
6
975
536
lim 2
2
xx
xx
x
975
536
2
2
xx
xx
xg
El grado del numerador (2) es igual al
grado del denominador (2), luego la recta
y = 6/5 es una asíntota horizontal.
La recta y = 6/5 es la
asíntota horizontal.
Asíntota horizontal
y = 6/5
75

76. Ejemplo 6: Calcular las asíntotas horizontales
1
952
2
3
x
xx
xf
No tiene asíntotas horizontales
porque el grado del numerador
es mayor que el grado del
denominador.
76

77. Asíntotas oblicuas
• Las asíntotas oblicuas aparecen cuando el
grado del numerador es exactamente una
unidad mayor que el grado del
denominador.
77

78. Ejemplo 7: Calcular las asíntotas oblicuas
1
952
2
23
xx
xxx
xf
Tiene una asíntota oblicua porque el
grado del numerador (3) es uno más
que el grado del denominador (2).
1
952
lim
)(
lim 23
23
xxx
xxx
x
xf
xx
3
1
943
lim))((lim 2
2
xx
xx
xxf
xx
La recta y = x + 3 es
asíntota oblicua
Asíntota oblicua
y = x + 3
78

79. Calcula las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de las
funciones:
2
2
2 15
7 10
x x
f x
x x
Vertical: x = -2
Horizontal : y = 1
Oblicua: no tiene
2
2 5 7
3
x x
g x
x
Vertical: x = 3
Horizontal : no tiene
Oblicua: y = 2x +11
Ejercicios:
79