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PROJET
METHODES NUMERIQUES
Etudes Numériques et Méthodes d’Analyse
Optimale d’une Structure Réduite de la Tour Eiffel
02/01/2017
Etudiant: Ramin SAMADI
Encadrants: Adinel GAVRUS, Franck LOMINE, Fabrice BERNARD
1
CONTENTS
I. l’introduction…………………………………………………….........................................................2
II. l’objectif de projet méthode numérique......................................................................2
Travail préparatoire à effectuer ........................................................................................3
1. Équation différentielle d’équilibre mécanique et la solution analytique ...................3
2. Optimisation de la structure et vérification .................................................................4
3. Trouver et vérification les coordonnées géométriques des nœuds ............................5
4. Ecrire l’algorithme numérique par la technique des différences finies.......................6
Travail numérique à réaliser..............................................................................................8
1. Analyse d’isostaticité de la structure en treillis et conditions limites .........................8
2. Simulation par CAST3M et détermination des efforts et contraintes des barres .......8
3. Simulation par ABAQUS et détermination les efforts et les contraintes.....……………11
4. Comparaison les solutions obtenues à l’aide des deux logiciels ..............................15
Optimisation à l’aide du logiciel OPTPAR……………………………………………………………………16
1. Détermination la section minimale des barres……………………………………………….….…16
2. Calculer les coordonnées du point H (IH, JH, EH et GH)………………………..………………17
I1I. Conclusion et Bibliographie ......................................................................................20
Nombre des figures (8)
Nombre des Tableaux (4)
2
I. Introduction
L’analyse numérique ou méthode numérique est l’étude afin de résoudre les problèmes
très difficiles de mathématiques continues spécifiquement des mathématiques discrètes.
C’est à dire qu’elle répond numériquement à des questions à variable réelle ou complexe
comme des algorithmes, de l’algèbre linéaire numérique sur les champs réels ou
complexes, la recherche de solution numérique d’équations différentielles et d’autres
problèmes liés survenant dans les sciences physiques et l’ingénierie.
Grace à méthode numérique spécialement les logiciels on peut optimiser, tracer, estimer
et simuler facilement et rapidement les projets qui sont difficile à faire
Premièrement, j’ai fait la partie théorique secondairement, j’ai fait la partie préparation
et finalement j’ai attaqué à des logiciels.
II. L’objectif de projet méthode numérique :
Ce projet méthode numérique nous permet d’analyser optimale d’une structure de la
tour Eiffel même modéliser cette structure a l’aide de deux logiciels (Abaqus et CAST3M)
de plus, en utilisant un logiciel d’optimisation OPTPAR, afin de résoudre les problèmes
que avoir la connaissance de chaque logiciel est très utile pour les ingénieures qui
travaillent dans le domaine de mécanique et génie civil. Cette structure est inspirée de la
tour Eiffel.
Figure 1 : schéma de la largeur et hauteur
(d’après blogspot)
Figure 2 : Schéma de la tour Eiffel (d'après Wikipédia)
3
Travail préparatoire à effectuer
1. Équation différentielle d’équilibre mécanique et la solution analytique :
On considère une structure volumique virtuelle, équivalente au tour Eiffel, en acier, de
hauteur H, de largeur L(z) variable et de section carrée A(z) dépendante de l’altitude
z. σn = σz(H) la contrainte appliquée en son sommet, la contrainte σz est constante
dans toute section intermédiaire.
Pour simplifier et le calcul rapide au lieu de A(z), σ(z) on utilise A, σ.
( ) ,
( )
0
0
z n
n n
n a
n n a
n n n a
n a
a
n
P dP
A P dP
A
P A dA dP Adz
A A dA Adz
A A dA Adz
dA Adz
A A
 
 
 
  
   
 




  
  
  
  
 

 
dz
A
A+dA
n
z
C’est l’équation différentielle linéaire et homogène du premier ordre. Afin de trouver la
solution générale homogène on a :
2 0
2
2 2
ln ( 0)
exp( )
a
n
a
n
A z
a
nL
a
n
z
a
n
dA
dz
A
dA
dz
A
A
z
L
A L e ou A L z











 
 
  
  
 
Alors Par la tranche de tour on a
Figure 3: Schéma de la structure
massive équivalente
4
2. Optimisation de la structure et vérification :
Pour avoir une structure d’égale résistance il faut que
( )
0zd Z
dz

 donc on:
2 2
2
2
2
' ' '
( )
' 0
( )
0
z z
z z
a
a
az
a a
z
P P dP
et
A A dA
d dP A PA PA
dz A dz A
PA PdA PA AdP PdA AdP PdA A Adz
Ad
PA A
dz A
d Z
Alors
dz
 
 



 


 


    
       

      

En utilisant la méthode d’optimisation afin de trouver la solution.
2 2
0
( ) ( )
( )
H
z zd z d z
dv A z dz
dz dz
     
          
 
𝑜𝑢 𝜎𝑧(𝑧)&(𝑧) 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑙𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 à 𝑑é𝑡𝑒𝑟𝑛𝑖𝑚𝑒𝑟.
2
2 2 2 2 2
2
2
'
'
' ' '
2
z
a
z z
a
z z z z z
a a a
d PA
dz A
d A
dz A
d A d A A
dz A dz A A


 

    
  
  
  
     
           
     
2 2 2
2
0 0 0
'
( . 2. . ' ) ( , , ')
H H H
z z
a z
d A
Adz A A dz F z A A dz
dz A
 
  
 
    
 
  
Pour optimiser la fonction on utilise de la méthode d’Euler-Poisson.
𝐹𝐴 −
𝑑𝐹 𝐴′
𝑑𝑧
= 0 𝑒𝑡 𝐹 𝐴′ 𝐴′ ≥ 0
𝐹𝐴 =
𝜕𝐹
𝜕𝐴
= 𝛾2
−
𝜎 𝑛
2(𝐴′)2
(𝐴)2
; 𝐹 𝐴′ = −2𝛾𝜎 𝑛 + 2
𝜎 𝑛
2
𝐴′
𝐴
; 𝐹 𝐴′ 𝐴′ =
2𝜎2
𝐴
5
𝑑𝐹 𝐴′
𝑑𝑧
= 2 𝜎 𝑛
2
𝐴′′
. 𝐴 − (𝐴′)2
(𝐴)2
𝐹𝐴 −
𝑑𝐹 𝐴′
𝑑𝑧
= 𝛾2
−
𝜎 𝑛
2(𝐴′)2
(𝐴)2
− 2 𝜎 𝑛
2
𝐴′′
. 𝐴 − (𝐴′)2
(𝐴)2
𝐹𝐴 −
𝑑𝐹 𝐴′
𝑑𝑧
= 𝛾2
− 2𝜎 𝑛
2 𝐴"
𝐴
+ 𝜎 𝑛
2 (𝐴′)
2
(𝐴)2 = 0 La solution est
𝐴(𝑧) = 𝐶𝑡𝑒. exp (−
𝛾𝑎
𝜎 𝑛
𝑧) ; 𝑜𝑛 𝑠𝑎𝑖𝑡 𝐴(𝑧 = 0) = 𝐶𝑡𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑠
𝐴(𝑧 = 0) = 𝐿2
⇒ 𝐶𝑡𝑒 = 𝐿2
Donc, 𝐴 = 𝐿2
𝑒𝑥𝑝 (−
𝛾𝑎
𝜎 𝑛
𝑧)
3. Trouver et vérification les coordonnées géométriques des nœuds :
Nous vérifions les coordonnées géométriques des nœuds de la tour Eiffel qui sont :
A (-60 ; 0) ; B (-20 ; 0) ; C (20 ; 0) ; D (60 ; 0) ;
E (-31,71 ; 100) ; F (0 ; 100) ; G (31,71 ; 100) ;
H (0 ; 150) ; I (-16,76 ; 200) ; J (16,76 ; 200) ;
K (-8,86 ; 300) ; L (8,86 ; 300)
6
2
3
3 3
( 0) 120
300
6 6 10
7.8 7.8 10
n
L z m
H m
NMpa
m
gr kg
cm m


  
 
 


  
On peut calculer les coordonnées des nœuds par l’équation
Par exemple : on considère les points I et J
3
6
7.8 9.8110 200( )
2 2 6 10
(200)
2 2 300
( , ) , 200
3 3
(120) 1123.7
1
1123.2 16.71
2
( 16.71 , 200)
(16.71 , 200)
n
a
z
z
I
H
I x z z
A L e A e
X
I
J


    


   
   
   

Mais nous pouvons trouver facilement les autres coordonnées des nœuds.
2
exp( ) ( ) exp( )a a
n n
A L z L z L z
 
 
    
6
A (-L(z = 0) / 3 ; z = 0) A(-60,0)
B (-L(z = 0) / 6 ; z = 0) B(-20;0)
C (L(z = 0) / 6 ; z = 0) C(20;0)
D (L(z = 0) / 3 ; z = 0) D(60;0)
H
F (0,0 ; z = ) F(0,0;100)
3
H
H (0,00 ; z = ) H(0,00;150)
2
H H
G (L(z = ) / 2 ; z = ) G(31,32;100)
3 3
H H
E (-L(z = ) / 2 ; z = ) E(-31,32;100)
3 3
K (-L(z = H) / 2 ; z = H) K(-8,53;300)
L (L(z = H) / 2 ; z = H) L(8,53;300)
2H 2H
I (-L(z = ) / 2 ; ) I(-16,35;200)
3 3
2H 2H
J (L(z = ) / 2 ; = ) J(16,35;200)
3 3
z
z


Donc, toutes les coordonnées (points) sont vérifiées
4. Ecrire l’algorithme numérique par la technique des différences finies :
L’équation différentielle du point I est
( ) ( )
( ) 0 ( )a a
n n
dA z dA z
A z A z
dz dz
 
 
    
Algorithme numérique de résolution
( ) ( ) (z)df z f z h f
dz h
 

Après la méthode différences finies on a alors.
Pour chaque tranche de la tour Eiffel on a les chiffres précis pour h.
( ) A( ) (z) A( ) (z) a
n
dA z z h A z h A
A
dz h h


   
   
Figure 4: Schéma de la structure
Simailaire3
7
Pour z=0
   
     
A 0
0 1 0a a
n n
h A h
A A h A
h
 
 
  
     
 
Pour z= (n-1) h
   
 
A (n 1) ( 1)
( 1)a
n
h h A n h
A n h
h


   
  
Pour la section (EG), z=100 la valeur est 4022.59 à l’aide de cette
équation
(IJ), z=200 égale a 1123.7 2
exp( )a
n
A L z


 
Nous pouvons utiliser au moyen de logiciel CASt3M afin de résoudre ce problème
H=300m on utilise h=H/(3*n) pour trouver la valeur de h (hauteur) et comparer avec
les valeur que on a déjà obtenu par l’équation on considère augmenter la valeur de n.
n h EG IJ
n=100 h=0.1 3989.7 1105.4
n=1000 h=0.01 4019.2 1121.9
n=10000 h=0.001 4022.3 1123.5
***Projet MN Tour Eiffel
***Partie 5
n=100;
haut=300.;
sigma=6000000.;
rho=7800.;
g=9.81;
i=(rho*g)/sigma;
A=14400.;
h=haut/(3*n);
***Algorithme numerique
de resolution
Repeter calcul n;
Ar=A;
A=(1-(h*i))*Ar;
FIN calcul;
List A;
8
Par conséquent, les résultats qu’on a obtenus par CAST3M sont très précis et quand on
change la valeur il n’est pas de discrétisation h en valeur petite. Il y a une limite que on
peut donner a (n).
Travail numérique à réaliser
1. Analyse d’isostaticité de la structure en treillis et conditions limites
Des conditions limites sur la section de base AD dans
les pots A, B, C et D :
0
0
A A
B B
H V
H V
 
 
H et V sont les déplacements horizontaux et verticaux
qui est même pour les pots C et D.
Il y a trois conditions :
m+r<2n treillis non stables
m+r=2n treillis isostatiques
m+r>2n treillis hyperstatique
Dans cette structure m=23 et n=12
m+r=2n ------ r= 24-23=1
Il faut que on ajoute un appui roulé afin d’avoir une structure isostatique. De plus, on ne
peut pas avoir une structure stable avec un seul appui roulé relative à 3 conditions.
2. Simulation par CAST3M et détermination des efforts et contraintes des barres :
Grace à logiciel CAST3M on peut simuler et calculer les contraintes de la structure que
j’utilise de version 2016 pour ce projet.
Ci-dessous le fichier que je crée pour CAST3M il nous
montre la géométrie de la structure, comportement
des matériaux, les efforts …
m : nombre des barres
n : nombre des nœuds
r : nombre des réactions
Figure 6 et 7: Structure initiale et déformée du logiciel CASTEM
Figure 5: Structure réduite des
barres 2D en treillis
9
***Projet MN Tour Eiffel
OPTI echo 1;
OPTI DIME 2 ELEM SEG2;
OPTI MODE PLAN CONT;
***Definition Les coordonnées des noeuds
*lAB=line entre deux points (A et B)
A=-60. 0.;B=-20. 0; C=20. 0.; D=60. 0.;
E=-31.71 100.;F=0. 100.; G=31.71 100.;
H=0. 150.; I=-16.76 200.;J=16.76 200.;
K=-8.86 300.;L=8.86 300.;
***Definition des droites
LAB=DROITE 1 A B;
LBC=DROITE 1 B C;
LCD=DROITE 1 C D;
LAE=DROITE 1 A E;
LBE=DROITE 1 B E;
LBF=DROITE 1 B F;
LCF=DROITE 1 C F;
LCG=DROITE 1 C G;
LDG=DROITE 1 D G;
LGF=DROITE 1 G F;
LFE=DROITE 1 F E;
LEH=DROITE 1 E H;
LGH=DROITE 1 G H;
LEI=DROITE 1 E I;
LHI=DROITE 1 H I;
LHJ=DROITE 1 H J;
LGJ=DROITE 1 G J;
LIJ=DROITE 1 I J;
LIK=DROITE 1 I K;
LIL=DROITE 1 I L;
LJK=DROITE 1 J K;
LJL=DROITE 1 J L;
LKL=DROITE 1 K L;
EIFFEL=LAB ET LBC ET LCD ET LAE ET LBE ET LBF ET LCF
ET LCG ET LDG ET LGF ET LFE ET LEH ET LGH ET LEI
ET LHI ET LHJ ET LGJ ET LIJ ET LIK ET LIL ET LJK
ET LJL ET LKL;
*TRACE QUAL EIFFEL;
***Definition de Modele et du Materiau
S=0.01;
MO1=MODE EIFFEL MECANIQUE ELASTIQUE BARR;
MAT1=MATE MO1 YOUN 21E10 NU 0.25 RHO 7800. SECT S;
***Condition Limites
BL1=BLOQ UX UY A;
BL2=BLOQ Ux UY B;
BL3=BLOQ UX UY C;
BL4=BLOQ UX UY D;
BL=BL1 ET BL2 ET BL3 ET BL4;
***Chargements
F1=FORC FY -5.316E6 K;
F2=FORC FY -5.316E6 L;
FT=F1 ET F2;
VECF=VECT FT;
***Matrice de rigidité
RIG1=RIGI MAT1 MO1;
RIGT=RIG1 ET BL;
***Résolution
SOL1=RESO RIGT FT;
10
Nombre Élément(Barre) Effort Normal(MN) Contrainte(MPa)
1 LAB 0.0 0.0
2 LBC 0.0 0.0
3 LCD 0.0 0.0
4 LAE -2.72 -271.5
5 LBE -2.72 -271.8
6 LBF 0.0 0.0
7 LCF 0.0 0.0
8 LCG -2.72 -271.8
9 LDG -2.72 -271.8
10 LGF 1.42 141.7
11 LFE 1.42 141.7
12 LEH -2.51 -250.5
13 LGH -2.51 -250.5
14 LEI -3.23 -323.1
15 LHI -2.23 -223.3
16 LHJ -2.23 -223.3
17 LGJ -3.23 -323.1
18 LIJ 1.09 109.9
19 LIK -2.80 -280.1
20 LIL -2.60 -260.2
21 LJK -2.60 -260.2
22 LJL -2.80 -280.1
23 LKL 0.425 42.55
Tableau 1: Résultat des efforts et contraintes
***Deplacement en quelques points
DYP2=EXTR SOL1 UY E;
MESS'DEPLACEMENT DE E SUIVANT y :'DYP2'mm';
DYP3=EXTR SOL1 UY F;
MESS'DEPLACEMENT DE F SUIVANT y :'DYP3'mm';
DYP4=EXTR SOL1 UY G;
MESS'DEPLACEMENT DE G SUIVANT y :'DYP4'mm';
***les Effort par N
SIG=SIGM MO1 MAT1 SOL1;
MESS'EFFORT NORMAL DANS CHAQUE BARRE';
lIST SIG;
***les Contraint
C23=SIG/0.01;
LIST C23;
TRAC EIFFEL VECF TITR 'FORCES PONCTUELLES';
DEF0=DEFO EIFFEL SOL1 0. BLEU;
DEF1=DEFO EIFFEL SOL1 1.0 ORANGE;
TRAC (DEF0 ET DEF1);
***tracé du N
N0=EXCO EFFX SIG;
TRAC MO1 N0 TITR 'N SUR ELEMENTS';
FIN;
11
3. Simulation par ABAQUS et détermination les efforts et les contraintes :
A l’aide de logiciel ABAQUS on peut simuler et tracer la structure de la tour Eiffel, pour
construire une simulation numérique, il faut faire un passage successif dans les différents
modules : Part / Property / Assembly / Step / Interaction / Load / Mesh / Job.
il faut que nous avons modifié le fichier .inp pour obtenir des résultats de manière plus exacte.
Pour cela, nous avons modifié la table de connectivités :
Ce que j’ai fait les nœuds vrais pour la structure sont :
Figure 8 : Structure tracé par le logiciel Abaqus et les résultats
I
k L
J
Lk
JI
*Part, name=Part-1
*Node
1, 16.7600002, 200.
2, 31.7099991, 100.
3, 0., 100.
4, 20., 0.
5, 60., 0.
6, -20., 0.
7, -31.7099991, 100.
8, 8.85999966, 300.
9, -8.85999966, 300.
11, 0., 150.
12, -60., 0.
13, -16.7600002, 200.
12
*Heading
** Job name: Job-1 Model name: Model-1
** Generated by: Abaqus/CAE Student Edition 6.14-2
*Preprint, echo=NO, model=NO, history=NO, contact=NO
**
** PARTS
**
*Part, name=Part-1
*Node
1, 16.7600002, 200.
Nombre Élément (Barre) Contraite(MPa)
1 LAB 0.0
2 LBC 0.0
3 LCD 0.0
4 LAE -270.89
5 LBE -271.17
6 LBF 0.0
7 LCF 0.0
8 LCG -271.17
9 LDG -270.89
10 LGF 139.39
11 LFE 139.39
12 LEH -250.0
13 LGH -250.0
14 LEI -322.35
15 LHI -222.7
16 LHJ -222.7
17 LGJ -322.35
18 LIJ 109.5
19 LIK -279.39
20 LIL -259.59
21 LJK -259.59
22 LJL -279.39
23 LKL 42.422
Tableau 2: Résultat des contraintes par le logiciel Abaqus
Abacus
13
2, 31.7099991, 100.
3, 0., 100.
4, 20., 0.
5, 60., 0.
6, -20., 0.
7, -31.7099991, 100.
8, 8.85999966, 300.
9, -8.85999966, 300.
10, 0., 265.417633
11, 0., 150.
12, -60., 0.
13, -16.7600002, 200.
*Element, type=T2D2
1, 1, 2
2, 2, 3
3, 3, 4
4, 4, 5
5, 5, 2
6, 4, 2
7, 6, 4
8, 6, 3
9, 3, 7
10, 7, 6
11, 1, 8
12, 8, 9
13, 9, 10
14, 10, 1
15, 2, 11
16, 12, 6
17, 7, 12
18, 13, 1
19, 11, 1
20, 8, 10
21, 10, 13
22, 9, 13
23, 11, 7
24, 7, 13
25, 13, 11
*Nset, nset=Set-1, generate
1, 13, 1
*Elset, elset=Set-1, generate
1, 25, 1
14
** Section: Section-1
*Solid Section, elset=Set-1, material=acier
0.01,
*End Part
**
**
** ASSEMBLY
**
*Assembly, name=Assembly
**
*Instance, name=Part-1-1, part=Part-1
*End Instance
**
*Nset, nset=Set-1, instance=Part-1-1
8, 9
*Nset, nset=Set-2, instance=Part-1-1
4, 5, 6, 12
*End Assembly
**
** MATERIALS
**
*Material, name=acier
*Elastic
2.1e+11, 0.3
** ----------------------------------------------------------------
**
** STEP: Step-1
**
*Step, name=Step-1, nlgeom=NO
*Static
0.1, 1., 1e-05, 1.
**
** BOUNDARY CONDITIONS
**
** Name: BC-1 Type: Displacement/Rotation
*Boundary
Set-2, 1, 1
Set-2, 2, 2
**
** LOADS
**
** Name: Load-1 Type: Concentrated force
15
*Cload
Set-1, 2, -5.3e+06
**
** OUTPUT REQUESTS
**
*Restart, write, frequency=0
**
** FIELD OUTPUT: F-Output-1
**
*Output, field, variable=PRESELECT
**
** HISTORY OUTPUT: H-Output-1
**
*Output, history, variable=PRESELECT
*End Step
4. Comparaison les solutions obtenues à l’aide des deux logiciels :
Nombre Élément(Barre) Contrainte Abaqus
(MPa)
Contraite CASTEM
(MPa)
1 LAB 0 0
2 LBC 0 0
3 LCD 0 0
4 LAE -270.89 -271.5
5 LBE -271.17 -271.8
6 LBF 0 0
7 LCF 0 0
8 LCG -271.17 -271.8
9 LDG -270.89 -271.8
10 LGF 139.39 141.7
11 LFE 139.39 141.7
12 LEH -250.0 -250.5
13 LGH -250.0 -250.5
14 LEI -322.35 -323.1
15 LHI -222.7 -223.3
16 LHJ -222.7 -223.3
17 LGJ -322.35 -323.1
18 LIJ 109.5 109.9
19 LIK -279.39 -280.1
20 LIL -259.59 -260.2
21 LJK -259.59 -260.2
22 LJL -279.39 -280.1
16
23 LKL 42.422 42.55
Grace à les deux logiciels on a obtenu les contraints de la structure alors les résultats
finales et la différence entre les deux logiciels sont quasiment pareil et il y a une petite
erreur qui est acceptable.
Optimisation à l’aide du logiciel OPTPAR
Afin de réaliser une optimisation topologique de la structure on utilise un couplage du
logiciel CAST3M avec le logiciel d’optimisation OPTPAR. Pour l’utilisation le logiciel OPTPAR,
il faut que nous préparions un fichier cast3m.
1. Détermination la section minimale des barres :
La section minimale des barres pour que la valeur maximale des contraintes normales
dans les barres soit égale à 250 MPa.
Il y a 12 barres avec les contraintes plus grandes que 250 MPa on optimise les 12 barres
les barres sont et ci-dessous le fichier que j’ai déterminé à OPTPAR.
Nombre Élément (Barre) Contraite(MPa)
1 LAB 0
2 LBC 0
3 LCD 0
4 LAE -270.89
5 LBE -271.17
6 LBF 0
7 LCF 0
8 LCG -271.17
9 LDG -270.89
10 LGF 139.39
11 LFE 139.39
12 LEH -250.0
13 LGH -250.0
14 LEI -322.35
15 LHI -222.7
16 LHJ -222.7
17 LGJ -322.35
18 LIJ 109.5
19 LIK -279.39
20 LIL -259.59
21 LJK -259.59
22 LJL -279.39
Tableau 3: comparaison des efforts et des contraintes de deux
logiciels Abaqus Abacus
17
Projet MN Tour Eiffel
OPTI ECHO 1;
OPTI DIME 2 ELEM SEG2 MODE PLAN CONT;
*****-----------------------------------------------------
******COUPLAGE AVEC OPTPAR
*****-----------------------------------------------------
OPTION ACQUERIR PARAMETRES;
ACQUERIR II*ENTIER X*FLOTTANT;
*****----------------------------------------------------
***Definition Les coordonnées des noeuds
A=-60. 0.;B=-20. 0; C=20. 0.; D=60. 0.;
E=-31.71 100.;F=0. 100.; G=31.71 100.;
H=0. 150.; I=-16.76 200.;J=16.76 200.;
K=-8.86 300.;L=8.86 300.;
***Definition des droites
*lAB=line entre deux points (A et B)
LAB=DROITE 1 A B;
LBC=DROITE 1 B C;
LCD=DROITE 1 C D;
LAE=DROITE 1 A E;
LBE=DROITE 1 B E;
LBF=DROITE 1 B F;
LCF=DROITE 1 C F;
LCG=DROITE 1 C G;
LDG=DROITE 1 D G;
LGF=DROITE 1 G F;
LFE=DROITE 1 F E;
LEH=DROITE 1 E H;
LGH=DROITE 1 G H;
LEI=DROITE 1 E I;
LHI=DROITE 1 H I;
LHJ=DROITE 1 H J;
LGJ=DROITE 1 G J;
LIJ=DROITE 1 I J;
LIK=DROITE 1 I K;
LIL=DROITE 1 I L;
LJK=DROITE 1 J K;
LJL=DROITE 1 J L;
LKL=DROITE 1 K L;
EIFFEL=LAB ET LBC ET LCD ET LAE ET LBE ET LBF ET LCF
ET LCG ET LDG ET LGF ET LFE ET LEH ET LGH ET LEI
ET LHI ET LHJ ET LGJ ET LIJ ET LIK ET LIL ET LJK
ET LJL ET LKL;
*TRACE QUAL EIFFEL;
*----------------------------
*Definition de Modele et du Materiau
*----------------------------
S=X;
MO1=MODE EIFFEL MECANIQUE ELASTIQUE BARR;
MAT1=MATE MO1 YOUN 21E10 NU 0.25 RHO 7800. SECT S;
23 LKL 42.422
18
*-------------------------
*Condition Limites
*-------------------------
BL1=BLOQ UX UY A;
BL2=BLOQ Ux UY B;
BL3=BLOQ UX UY C;
BL4=BLOQ UX UY D;
BL=BL1 ET BL2 ET BL3 ET BL4;
*--------------------------
*Chargements
*--------------------------
FORC1=FORC FY -5.316E6 K;
FORC2=FORC FY -5.316E6 L;
FORCT=FORC1 ET FORC2;
*-------------------------
*Matrice de rigidité
*-----------------------
RIG1=RIGI MAT1 MO1;
RIGT=RIG1 ET BL;
*--------------------------
*Résolution
*--------------------------
SOL1=RESO RIGT FORCT;
SIGM1=SIGM MO1 MAT1 SOL1;
***Calcul les Effort N
B9=EXTR SIGM1 1 9 1 EFFX;
B8=EXTR SIGM1 1 8 1 EFFX;
B5=EXTR SIGM1 1 5 1 EFFX;
B4=EXTR SIGM1 1 4 1 EFFX;
B17=EXTR SIGM1 1 17 1 EFFX;
B14=EXTR SIGM1 1 14 1 EFFX;
B12=EXTR SIGM1 1 12 1 EFFX;
B13=EXTR SIGM1 1 13 1 EFFX;
B19=EXTR SIGM1 1 19 1 EFFX;
B22=EXTR SIGM1 1 22 1 EFFX;
B21=EXTR SIGM1 1 21 1 EFFX;
B20=EXTR SIGM1 1 20 1 EFFX;
B9S=B9/(S*1.E6);
B8S=B8/(S*1.E6);
B5S=B5/(S*1.E6);
B4S=B4/(S*1.E6);
B17S=B17/(S*1.E6);
B14S=B14/(S*1.E6);
B12S=B12/(S*1.E6);
B13S=B13/(S*1.E6);
B19S=B19/(S*1.E6);
B22S=B22/(S*1.E6);
B21S=B21/(S*1.E6);
B20S=B20/(S*1.E6);
LIST B9S;
LIST B8S;
19
LIST B5S;
LIST B4S;
LIST B17S;
LIST B14S;
LIST B12S;
LIST B13S;
LIST B19S;
LIST B22S;
LIST B21S;
LIST B20S;
K1=CHAINE FORMAT'(1PE20.8)'0. B9S;
K2=CHAINE FORMAT'(1PE20.8)'1. B8S;
K3=CHAINE FORMAT'(1PE20.8)'2. B5S;
K4=CHAINE FORMAT'(1PE20.8)'3. B4S;
K5=CHAINE FORMAT'(1PE20.8)'4. B17S;
K6=CHAINE FORMAT'(1PE20.8)'5. B14S;
K7=CHAINE FORMAT'(1PE20.8)'6. B12S;
K8=CHAINE FORMAT'(1PE20.8)'7. B13S;
K9=CHAINE FORMAT'(1PE20.8)'8. B19S;
K10=CHAINE FORMAT'(1PE20.8)'9. B22S;
K11=CHAINE FORMAT'(1PE20.8)'10. B21S;
K12=CHAINE FORMAT'(1PE20.8)'11. B20S;
DEBPROC @STOCK FICHEXT*'MOT';
BB=vale impr;
OPTI IMPR 10 IMPR FICHEXT;
MESSAGE K1;
MESSAGE K2;
MESSAGE K3;
MESSAGE K4;
MESSAGE K5;
MESSAGE K6;
MESSAGE K7;
MESSAGE K8;
MESSAGE K9;
MESSAGE K10;
MESSAGE K11;
MESSAGE K12;
OPTI IMPR BB;
FINPROC;
@stock OBSERVABLES;
Fin;
Fin;
2. Calculer les coordonnées du point H (IH, JH, EH et GH) :
On fait la même méthode pour l’optimisation sur 4 barres.
20
Conclusion
Sans doute méthodes numériques de nos jours joue un rôle très important et vaste dans tous les
secteurs ce projet était très utile et intéressent pour moi car j’ai appris beaucoup des choses que
déjà je n’ai pas vue comme optimiser, simuler, tracer, analyser un projet par trois logiciel et je
remercie chaleureusement de professeur Adinel GAVRUS et les autres professeures qui nous
guident beaucoup. Je trouve une petite erreur entre deux logiciels qui est acceptable.
Bibliographie
1. Cours de Méthodes Numériques : Adinel Gavrus – INSA de Rennes.
2. Polycopie_Projet_Méthodes_Numériques_UE3a_v6_A_GAVRUS_F_BERNARD_2.
3. Presentation et utilization de CASTEM 2000 –by E. Le Fichoux ENSTA – LME.

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Projet Méthodes Numériques

  • 1. PROJET METHODES NUMERIQUES Etudes Numériques et Méthodes d’Analyse Optimale d’une Structure Réduite de la Tour Eiffel 02/01/2017 Etudiant: Ramin SAMADI Encadrants: Adinel GAVRUS, Franck LOMINE, Fabrice BERNARD
  • 2. 1 CONTENTS I. l’introduction…………………………………………………….........................................................2 II. l’objectif de projet méthode numérique......................................................................2 Travail préparatoire à effectuer ........................................................................................3 1. Équation différentielle d’équilibre mécanique et la solution analytique ...................3 2. Optimisation de la structure et vérification .................................................................4 3. Trouver et vérification les coordonnées géométriques des nœuds ............................5 4. Ecrire l’algorithme numérique par la technique des différences finies.......................6 Travail numérique à réaliser..............................................................................................8 1. Analyse d’isostaticité de la structure en treillis et conditions limites .........................8 2. Simulation par CAST3M et détermination des efforts et contraintes des barres .......8 3. Simulation par ABAQUS et détermination les efforts et les contraintes.....……………11 4. Comparaison les solutions obtenues à l’aide des deux logiciels ..............................15 Optimisation à l’aide du logiciel OPTPAR……………………………………………………………………16 1. Détermination la section minimale des barres……………………………………………….….…16 2. Calculer les coordonnées du point H (IH, JH, EH et GH)………………………..………………17 I1I. Conclusion et Bibliographie ......................................................................................20 Nombre des figures (8) Nombre des Tableaux (4)
  • 3. 2 I. Introduction L’analyse numérique ou méthode numérique est l’étude afin de résoudre les problèmes très difficiles de mathématiques continues spécifiquement des mathématiques discrètes. C’est à dire qu’elle répond numériquement à des questions à variable réelle ou complexe comme des algorithmes, de l’algèbre linéaire numérique sur les champs réels ou complexes, la recherche de solution numérique d’équations différentielles et d’autres problèmes liés survenant dans les sciences physiques et l’ingénierie. Grace à méthode numérique spécialement les logiciels on peut optimiser, tracer, estimer et simuler facilement et rapidement les projets qui sont difficile à faire Premièrement, j’ai fait la partie théorique secondairement, j’ai fait la partie préparation et finalement j’ai attaqué à des logiciels. II. L’objectif de projet méthode numérique : Ce projet méthode numérique nous permet d’analyser optimale d’une structure de la tour Eiffel même modéliser cette structure a l’aide de deux logiciels (Abaqus et CAST3M) de plus, en utilisant un logiciel d’optimisation OPTPAR, afin de résoudre les problèmes que avoir la connaissance de chaque logiciel est très utile pour les ingénieures qui travaillent dans le domaine de mécanique et génie civil. Cette structure est inspirée de la tour Eiffel. Figure 1 : schéma de la largeur et hauteur (d’après blogspot) Figure 2 : Schéma de la tour Eiffel (d'après Wikipédia)
  • 4. 3 Travail préparatoire à effectuer 1. Équation différentielle d’équilibre mécanique et la solution analytique : On considère une structure volumique virtuelle, équivalente au tour Eiffel, en acier, de hauteur H, de largeur L(z) variable et de section carrée A(z) dépendante de l’altitude z. σn = σz(H) la contrainte appliquée en son sommet, la contrainte σz est constante dans toute section intermédiaire. Pour simplifier et le calcul rapide au lieu de A(z), σ(z) on utilise A, σ. ( ) , ( ) 0 0 z n n n n a n n a n n n a n a a n P dP A P dP A P A dA dP Adz A A dA Adz A A dA Adz dA Adz A A                                     dz A A+dA n z C’est l’équation différentielle linéaire et homogène du premier ordre. Afin de trouver la solution générale homogène on a : 2 0 2 2 2 ln ( 0) exp( ) a n a n A z a nL a n z a n dA dz A dA dz A A z L A L e ou A L z                        Alors Par la tranche de tour on a Figure 3: Schéma de la structure massive équivalente
  • 5. 4 2. Optimisation de la structure et vérification : Pour avoir une structure d’égale résistance il faut que ( ) 0zd Z dz   donc on: 2 2 2 2 2 ' ' ' ( ) ' 0 ( ) 0 z z z z a a az a a z P P dP et A A dA d dP A PA PA dz A dz A PA PdA PA AdP PdA AdP PdA A Adz Ad PA A dz A d Z Alors dz                                      En utilisant la méthode d’optimisation afin de trouver la solution. 2 2 0 ( ) ( ) ( ) H z zd z d z dv A z dz dz dz                    𝑜𝑢 𝜎𝑧(𝑧)&(𝑧) 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑙𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 à 𝑑é𝑡𝑒𝑟𝑛𝑖𝑚𝑒𝑟. 2 2 2 2 2 2 2 2 ' ' ' ' ' 2 z a z z a z z z z z a a a d PA dz A d A dz A d A d A A dz A dz A A                                            2 2 2 2 0 0 0 ' ( . 2. . ' ) ( , , ') H H H z z a z d A Adz A A dz F z A A dz dz A                  Pour optimiser la fonction on utilise de la méthode d’Euler-Poisson. 𝐹𝐴 − 𝑑𝐹 𝐴′ 𝑑𝑧 = 0 𝑒𝑡 𝐹 𝐴′ 𝐴′ ≥ 0 𝐹𝐴 = 𝜕𝐹 𝜕𝐴 = 𝛾2 − 𝜎 𝑛 2(𝐴′)2 (𝐴)2 ; 𝐹 𝐴′ = −2𝛾𝜎 𝑛 + 2 𝜎 𝑛 2 𝐴′ 𝐴 ; 𝐹 𝐴′ 𝐴′ = 2𝜎2 𝐴
  • 6. 5 𝑑𝐹 𝐴′ 𝑑𝑧 = 2 𝜎 𝑛 2 𝐴′′ . 𝐴 − (𝐴′)2 (𝐴)2 𝐹𝐴 − 𝑑𝐹 𝐴′ 𝑑𝑧 = 𝛾2 − 𝜎 𝑛 2(𝐴′)2 (𝐴)2 − 2 𝜎 𝑛 2 𝐴′′ . 𝐴 − (𝐴′)2 (𝐴)2 𝐹𝐴 − 𝑑𝐹 𝐴′ 𝑑𝑧 = 𝛾2 − 2𝜎 𝑛 2 𝐴" 𝐴 + 𝜎 𝑛 2 (𝐴′) 2 (𝐴)2 = 0 La solution est 𝐴(𝑧) = 𝐶𝑡𝑒. exp (− 𝛾𝑎 𝜎 𝑛 𝑧) ; 𝑜𝑛 𝑠𝑎𝑖𝑡 𝐴(𝑧 = 0) = 𝐶𝑡𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝐴(𝑧 = 0) = 𝐿2 ⇒ 𝐶𝑡𝑒 = 𝐿2 Donc, 𝐴 = 𝐿2 𝑒𝑥𝑝 (− 𝛾𝑎 𝜎 𝑛 𝑧) 3. Trouver et vérification les coordonnées géométriques des nœuds : Nous vérifions les coordonnées géométriques des nœuds de la tour Eiffel qui sont : A (-60 ; 0) ; B (-20 ; 0) ; C (20 ; 0) ; D (60 ; 0) ; E (-31,71 ; 100) ; F (0 ; 100) ; G (31,71 ; 100) ; H (0 ; 150) ; I (-16,76 ; 200) ; J (16,76 ; 200) ; K (-8,86 ; 300) ; L (8,86 ; 300) 6 2 3 3 3 ( 0) 120 300 6 6 10 7.8 7.8 10 n L z m H m NMpa m gr kg cm m               On peut calculer les coordonnées des nœuds par l’équation Par exemple : on considère les points I et J 3 6 7.8 9.8110 200( ) 2 2 6 10 (200) 2 2 300 ( , ) , 200 3 3 (120) 1123.7 1 1123.2 16.71 2 ( 16.71 , 200) (16.71 , 200) n a z z I H I x z z A L e A e X I J                       Mais nous pouvons trouver facilement les autres coordonnées des nœuds. 2 exp( ) ( ) exp( )a a n n A L z L z L z         
  • 7. 6 A (-L(z = 0) / 3 ; z = 0) A(-60,0) B (-L(z = 0) / 6 ; z = 0) B(-20;0) C (L(z = 0) / 6 ; z = 0) C(20;0) D (L(z = 0) / 3 ; z = 0) D(60;0) H F (0,0 ; z = ) F(0,0;100) 3 H H (0,00 ; z = ) H(0,00;150) 2 H H G (L(z = ) / 2 ; z = ) G(31,32;100) 3 3 H H E (-L(z = ) / 2 ; z = ) E(-31,32;100) 3 3 K (-L(z = H) / 2 ; z = H) K(-8,53;300) L (L(z = H) / 2 ; z = H) L(8,53;300) 2H 2H I (-L(z = ) / 2 ; ) I(-16,35;200) 3 3 2H 2H J (L(z = ) / 2 ; = ) J(16,35;200) 3 3 z z   Donc, toutes les coordonnées (points) sont vérifiées 4. Ecrire l’algorithme numérique par la technique des différences finies : L’équation différentielle du point I est ( ) ( ) ( ) 0 ( )a a n n dA z dA z A z A z dz dz          Algorithme numérique de résolution ( ) ( ) (z)df z f z h f dz h    Après la méthode différences finies on a alors. Pour chaque tranche de la tour Eiffel on a les chiffres précis pour h. ( ) A( ) (z) A( ) (z) a n dA z z h A z h A A dz h h           Figure 4: Schéma de la structure Simailaire3
  • 8. 7 Pour z=0           A 0 0 1 0a a n n h A h A A h A h                Pour z= (n-1) h       A (n 1) ( 1) ( 1)a n h h A n h A n h h          Pour la section (EG), z=100 la valeur est 4022.59 à l’aide de cette équation (IJ), z=200 égale a 1123.7 2 exp( )a n A L z     Nous pouvons utiliser au moyen de logiciel CASt3M afin de résoudre ce problème H=300m on utilise h=H/(3*n) pour trouver la valeur de h (hauteur) et comparer avec les valeur que on a déjà obtenu par l’équation on considère augmenter la valeur de n. n h EG IJ n=100 h=0.1 3989.7 1105.4 n=1000 h=0.01 4019.2 1121.9 n=10000 h=0.001 4022.3 1123.5 ***Projet MN Tour Eiffel ***Partie 5 n=100; haut=300.; sigma=6000000.; rho=7800.; g=9.81; i=(rho*g)/sigma; A=14400.; h=haut/(3*n); ***Algorithme numerique de resolution Repeter calcul n; Ar=A; A=(1-(h*i))*Ar; FIN calcul; List A;
  • 9. 8 Par conséquent, les résultats qu’on a obtenus par CAST3M sont très précis et quand on change la valeur il n’est pas de discrétisation h en valeur petite. Il y a une limite que on peut donner a (n). Travail numérique à réaliser 1. Analyse d’isostaticité de la structure en treillis et conditions limites Des conditions limites sur la section de base AD dans les pots A, B, C et D : 0 0 A A B B H V H V     H et V sont les déplacements horizontaux et verticaux qui est même pour les pots C et D. Il y a trois conditions : m+r<2n treillis non stables m+r=2n treillis isostatiques m+r>2n treillis hyperstatique Dans cette structure m=23 et n=12 m+r=2n ------ r= 24-23=1 Il faut que on ajoute un appui roulé afin d’avoir une structure isostatique. De plus, on ne peut pas avoir une structure stable avec un seul appui roulé relative à 3 conditions. 2. Simulation par CAST3M et détermination des efforts et contraintes des barres : Grace à logiciel CAST3M on peut simuler et calculer les contraintes de la structure que j’utilise de version 2016 pour ce projet. Ci-dessous le fichier que je crée pour CAST3M il nous montre la géométrie de la structure, comportement des matériaux, les efforts … m : nombre des barres n : nombre des nœuds r : nombre des réactions Figure 6 et 7: Structure initiale et déformée du logiciel CASTEM Figure 5: Structure réduite des barres 2D en treillis
  • 10. 9 ***Projet MN Tour Eiffel OPTI echo 1; OPTI DIME 2 ELEM SEG2; OPTI MODE PLAN CONT; ***Definition Les coordonnées des noeuds *lAB=line entre deux points (A et B) A=-60. 0.;B=-20. 0; C=20. 0.; D=60. 0.; E=-31.71 100.;F=0. 100.; G=31.71 100.; H=0. 150.; I=-16.76 200.;J=16.76 200.; K=-8.86 300.;L=8.86 300.; ***Definition des droites LAB=DROITE 1 A B; LBC=DROITE 1 B C; LCD=DROITE 1 C D; LAE=DROITE 1 A E; LBE=DROITE 1 B E; LBF=DROITE 1 B F; LCF=DROITE 1 C F; LCG=DROITE 1 C G; LDG=DROITE 1 D G; LGF=DROITE 1 G F; LFE=DROITE 1 F E; LEH=DROITE 1 E H; LGH=DROITE 1 G H; LEI=DROITE 1 E I; LHI=DROITE 1 H I; LHJ=DROITE 1 H J; LGJ=DROITE 1 G J; LIJ=DROITE 1 I J; LIK=DROITE 1 I K; LIL=DROITE 1 I L; LJK=DROITE 1 J K; LJL=DROITE 1 J L; LKL=DROITE 1 K L; EIFFEL=LAB ET LBC ET LCD ET LAE ET LBE ET LBF ET LCF ET LCG ET LDG ET LGF ET LFE ET LEH ET LGH ET LEI ET LHI ET LHJ ET LGJ ET LIJ ET LIK ET LIL ET LJK ET LJL ET LKL; *TRACE QUAL EIFFEL; ***Definition de Modele et du Materiau S=0.01; MO1=MODE EIFFEL MECANIQUE ELASTIQUE BARR; MAT1=MATE MO1 YOUN 21E10 NU 0.25 RHO 7800. SECT S; ***Condition Limites BL1=BLOQ UX UY A; BL2=BLOQ Ux UY B; BL3=BLOQ UX UY C; BL4=BLOQ UX UY D; BL=BL1 ET BL2 ET BL3 ET BL4; ***Chargements F1=FORC FY -5.316E6 K; F2=FORC FY -5.316E6 L; FT=F1 ET F2; VECF=VECT FT; ***Matrice de rigidité RIG1=RIGI MAT1 MO1; RIGT=RIG1 ET BL; ***Résolution SOL1=RESO RIGT FT;
  • 11. 10 Nombre Élément(Barre) Effort Normal(MN) Contrainte(MPa) 1 LAB 0.0 0.0 2 LBC 0.0 0.0 3 LCD 0.0 0.0 4 LAE -2.72 -271.5 5 LBE -2.72 -271.8 6 LBF 0.0 0.0 7 LCF 0.0 0.0 8 LCG -2.72 -271.8 9 LDG -2.72 -271.8 10 LGF 1.42 141.7 11 LFE 1.42 141.7 12 LEH -2.51 -250.5 13 LGH -2.51 -250.5 14 LEI -3.23 -323.1 15 LHI -2.23 -223.3 16 LHJ -2.23 -223.3 17 LGJ -3.23 -323.1 18 LIJ 1.09 109.9 19 LIK -2.80 -280.1 20 LIL -2.60 -260.2 21 LJK -2.60 -260.2 22 LJL -2.80 -280.1 23 LKL 0.425 42.55 Tableau 1: Résultat des efforts et contraintes ***Deplacement en quelques points DYP2=EXTR SOL1 UY E; MESS'DEPLACEMENT DE E SUIVANT y :'DYP2'mm'; DYP3=EXTR SOL1 UY F; MESS'DEPLACEMENT DE F SUIVANT y :'DYP3'mm'; DYP4=EXTR SOL1 UY G; MESS'DEPLACEMENT DE G SUIVANT y :'DYP4'mm'; ***les Effort par N SIG=SIGM MO1 MAT1 SOL1; MESS'EFFORT NORMAL DANS CHAQUE BARRE'; lIST SIG; ***les Contraint C23=SIG/0.01; LIST C23; TRAC EIFFEL VECF TITR 'FORCES PONCTUELLES'; DEF0=DEFO EIFFEL SOL1 0. BLEU; DEF1=DEFO EIFFEL SOL1 1.0 ORANGE; TRAC (DEF0 ET DEF1); ***tracé du N N0=EXCO EFFX SIG; TRAC MO1 N0 TITR 'N SUR ELEMENTS'; FIN;
  • 12. 11 3. Simulation par ABAQUS et détermination les efforts et les contraintes : A l’aide de logiciel ABAQUS on peut simuler et tracer la structure de la tour Eiffel, pour construire une simulation numérique, il faut faire un passage successif dans les différents modules : Part / Property / Assembly / Step / Interaction / Load / Mesh / Job. il faut que nous avons modifié le fichier .inp pour obtenir des résultats de manière plus exacte. Pour cela, nous avons modifié la table de connectivités : Ce que j’ai fait les nœuds vrais pour la structure sont : Figure 8 : Structure tracé par le logiciel Abaqus et les résultats I k L J Lk JI *Part, name=Part-1 *Node 1, 16.7600002, 200. 2, 31.7099991, 100. 3, 0., 100. 4, 20., 0. 5, 60., 0. 6, -20., 0. 7, -31.7099991, 100. 8, 8.85999966, 300. 9, -8.85999966, 300. 11, 0., 150. 12, -60., 0. 13, -16.7600002, 200.
  • 13. 12 *Heading ** Job name: Job-1 Model name: Model-1 ** Generated by: Abaqus/CAE Student Edition 6.14-2 *Preprint, echo=NO, model=NO, history=NO, contact=NO ** ** PARTS ** *Part, name=Part-1 *Node 1, 16.7600002, 200. Nombre Élément (Barre) Contraite(MPa) 1 LAB 0.0 2 LBC 0.0 3 LCD 0.0 4 LAE -270.89 5 LBE -271.17 6 LBF 0.0 7 LCF 0.0 8 LCG -271.17 9 LDG -270.89 10 LGF 139.39 11 LFE 139.39 12 LEH -250.0 13 LGH -250.0 14 LEI -322.35 15 LHI -222.7 16 LHJ -222.7 17 LGJ -322.35 18 LIJ 109.5 19 LIK -279.39 20 LIL -259.59 21 LJK -259.59 22 LJL -279.39 23 LKL 42.422 Tableau 2: Résultat des contraintes par le logiciel Abaqus Abacus
  • 14. 13 2, 31.7099991, 100. 3, 0., 100. 4, 20., 0. 5, 60., 0. 6, -20., 0. 7, -31.7099991, 100. 8, 8.85999966, 300. 9, -8.85999966, 300. 10, 0., 265.417633 11, 0., 150. 12, -60., 0. 13, -16.7600002, 200. *Element, type=T2D2 1, 1, 2 2, 2, 3 3, 3, 4 4, 4, 5 5, 5, 2 6, 4, 2 7, 6, 4 8, 6, 3 9, 3, 7 10, 7, 6 11, 1, 8 12, 8, 9 13, 9, 10 14, 10, 1 15, 2, 11 16, 12, 6 17, 7, 12 18, 13, 1 19, 11, 1 20, 8, 10 21, 10, 13 22, 9, 13 23, 11, 7 24, 7, 13 25, 13, 11 *Nset, nset=Set-1, generate 1, 13, 1 *Elset, elset=Set-1, generate 1, 25, 1
  • 15. 14 ** Section: Section-1 *Solid Section, elset=Set-1, material=acier 0.01, *End Part ** ** ** ASSEMBLY ** *Assembly, name=Assembly ** *Instance, name=Part-1-1, part=Part-1 *End Instance ** *Nset, nset=Set-1, instance=Part-1-1 8, 9 *Nset, nset=Set-2, instance=Part-1-1 4, 5, 6, 12 *End Assembly ** ** MATERIALS ** *Material, name=acier *Elastic 2.1e+11, 0.3 ** ---------------------------------------------------------------- ** ** STEP: Step-1 ** *Step, name=Step-1, nlgeom=NO *Static 0.1, 1., 1e-05, 1. ** ** BOUNDARY CONDITIONS ** ** Name: BC-1 Type: Displacement/Rotation *Boundary Set-2, 1, 1 Set-2, 2, 2 ** ** LOADS ** ** Name: Load-1 Type: Concentrated force
  • 16. 15 *Cload Set-1, 2, -5.3e+06 ** ** OUTPUT REQUESTS ** *Restart, write, frequency=0 ** ** FIELD OUTPUT: F-Output-1 ** *Output, field, variable=PRESELECT ** ** HISTORY OUTPUT: H-Output-1 ** *Output, history, variable=PRESELECT *End Step 4. Comparaison les solutions obtenues à l’aide des deux logiciels : Nombre Élément(Barre) Contrainte Abaqus (MPa) Contraite CASTEM (MPa) 1 LAB 0 0 2 LBC 0 0 3 LCD 0 0 4 LAE -270.89 -271.5 5 LBE -271.17 -271.8 6 LBF 0 0 7 LCF 0 0 8 LCG -271.17 -271.8 9 LDG -270.89 -271.8 10 LGF 139.39 141.7 11 LFE 139.39 141.7 12 LEH -250.0 -250.5 13 LGH -250.0 -250.5 14 LEI -322.35 -323.1 15 LHI -222.7 -223.3 16 LHJ -222.7 -223.3 17 LGJ -322.35 -323.1 18 LIJ 109.5 109.9 19 LIK -279.39 -280.1 20 LIL -259.59 -260.2 21 LJK -259.59 -260.2 22 LJL -279.39 -280.1
  • 17. 16 23 LKL 42.422 42.55 Grace à les deux logiciels on a obtenu les contraints de la structure alors les résultats finales et la différence entre les deux logiciels sont quasiment pareil et il y a une petite erreur qui est acceptable. Optimisation à l’aide du logiciel OPTPAR Afin de réaliser une optimisation topologique de la structure on utilise un couplage du logiciel CAST3M avec le logiciel d’optimisation OPTPAR. Pour l’utilisation le logiciel OPTPAR, il faut que nous préparions un fichier cast3m. 1. Détermination la section minimale des barres : La section minimale des barres pour que la valeur maximale des contraintes normales dans les barres soit égale à 250 MPa. Il y a 12 barres avec les contraintes plus grandes que 250 MPa on optimise les 12 barres les barres sont et ci-dessous le fichier que j’ai déterminé à OPTPAR. Nombre Élément (Barre) Contraite(MPa) 1 LAB 0 2 LBC 0 3 LCD 0 4 LAE -270.89 5 LBE -271.17 6 LBF 0 7 LCF 0 8 LCG -271.17 9 LDG -270.89 10 LGF 139.39 11 LFE 139.39 12 LEH -250.0 13 LGH -250.0 14 LEI -322.35 15 LHI -222.7 16 LHJ -222.7 17 LGJ -322.35 18 LIJ 109.5 19 LIK -279.39 20 LIL -259.59 21 LJK -259.59 22 LJL -279.39 Tableau 3: comparaison des efforts et des contraintes de deux logiciels Abaqus Abacus
  • 18. 17 Projet MN Tour Eiffel OPTI ECHO 1; OPTI DIME 2 ELEM SEG2 MODE PLAN CONT; *****----------------------------------------------------- ******COUPLAGE AVEC OPTPAR *****----------------------------------------------------- OPTION ACQUERIR PARAMETRES; ACQUERIR II*ENTIER X*FLOTTANT; *****---------------------------------------------------- ***Definition Les coordonnées des noeuds A=-60. 0.;B=-20. 0; C=20. 0.; D=60. 0.; E=-31.71 100.;F=0. 100.; G=31.71 100.; H=0. 150.; I=-16.76 200.;J=16.76 200.; K=-8.86 300.;L=8.86 300.; ***Definition des droites *lAB=line entre deux points (A et B) LAB=DROITE 1 A B; LBC=DROITE 1 B C; LCD=DROITE 1 C D; LAE=DROITE 1 A E; LBE=DROITE 1 B E; LBF=DROITE 1 B F; LCF=DROITE 1 C F; LCG=DROITE 1 C G; LDG=DROITE 1 D G; LGF=DROITE 1 G F; LFE=DROITE 1 F E; LEH=DROITE 1 E H; LGH=DROITE 1 G H; LEI=DROITE 1 E I; LHI=DROITE 1 H I; LHJ=DROITE 1 H J; LGJ=DROITE 1 G J; LIJ=DROITE 1 I J; LIK=DROITE 1 I K; LIL=DROITE 1 I L; LJK=DROITE 1 J K; LJL=DROITE 1 J L; LKL=DROITE 1 K L; EIFFEL=LAB ET LBC ET LCD ET LAE ET LBE ET LBF ET LCF ET LCG ET LDG ET LGF ET LFE ET LEH ET LGH ET LEI ET LHI ET LHJ ET LGJ ET LIJ ET LIK ET LIL ET LJK ET LJL ET LKL; *TRACE QUAL EIFFEL; *---------------------------- *Definition de Modele et du Materiau *---------------------------- S=X; MO1=MODE EIFFEL MECANIQUE ELASTIQUE BARR; MAT1=MATE MO1 YOUN 21E10 NU 0.25 RHO 7800. SECT S; 23 LKL 42.422
  • 19. 18 *------------------------- *Condition Limites *------------------------- BL1=BLOQ UX UY A; BL2=BLOQ Ux UY B; BL3=BLOQ UX UY C; BL4=BLOQ UX UY D; BL=BL1 ET BL2 ET BL3 ET BL4; *-------------------------- *Chargements *-------------------------- FORC1=FORC FY -5.316E6 K; FORC2=FORC FY -5.316E6 L; FORCT=FORC1 ET FORC2; *------------------------- *Matrice de rigidité *----------------------- RIG1=RIGI MAT1 MO1; RIGT=RIG1 ET BL; *-------------------------- *Résolution *-------------------------- SOL1=RESO RIGT FORCT; SIGM1=SIGM MO1 MAT1 SOL1; ***Calcul les Effort N B9=EXTR SIGM1 1 9 1 EFFX; B8=EXTR SIGM1 1 8 1 EFFX; B5=EXTR SIGM1 1 5 1 EFFX; B4=EXTR SIGM1 1 4 1 EFFX; B17=EXTR SIGM1 1 17 1 EFFX; B14=EXTR SIGM1 1 14 1 EFFX; B12=EXTR SIGM1 1 12 1 EFFX; B13=EXTR SIGM1 1 13 1 EFFX; B19=EXTR SIGM1 1 19 1 EFFX; B22=EXTR SIGM1 1 22 1 EFFX; B21=EXTR SIGM1 1 21 1 EFFX; B20=EXTR SIGM1 1 20 1 EFFX; B9S=B9/(S*1.E6); B8S=B8/(S*1.E6); B5S=B5/(S*1.E6); B4S=B4/(S*1.E6); B17S=B17/(S*1.E6); B14S=B14/(S*1.E6); B12S=B12/(S*1.E6); B13S=B13/(S*1.E6); B19S=B19/(S*1.E6); B22S=B22/(S*1.E6); B21S=B21/(S*1.E6); B20S=B20/(S*1.E6); LIST B9S; LIST B8S;
  • 20. 19 LIST B5S; LIST B4S; LIST B17S; LIST B14S; LIST B12S; LIST B13S; LIST B19S; LIST B22S; LIST B21S; LIST B20S; K1=CHAINE FORMAT'(1PE20.8)'0. B9S; K2=CHAINE FORMAT'(1PE20.8)'1. B8S; K3=CHAINE FORMAT'(1PE20.8)'2. B5S; K4=CHAINE FORMAT'(1PE20.8)'3. B4S; K5=CHAINE FORMAT'(1PE20.8)'4. B17S; K6=CHAINE FORMAT'(1PE20.8)'5. B14S; K7=CHAINE FORMAT'(1PE20.8)'6. B12S; K8=CHAINE FORMAT'(1PE20.8)'7. B13S; K9=CHAINE FORMAT'(1PE20.8)'8. B19S; K10=CHAINE FORMAT'(1PE20.8)'9. B22S; K11=CHAINE FORMAT'(1PE20.8)'10. B21S; K12=CHAINE FORMAT'(1PE20.8)'11. B20S; DEBPROC @STOCK FICHEXT*'MOT'; BB=vale impr; OPTI IMPR 10 IMPR FICHEXT; MESSAGE K1; MESSAGE K2; MESSAGE K3; MESSAGE K4; MESSAGE K5; MESSAGE K6; MESSAGE K7; MESSAGE K8; MESSAGE K9; MESSAGE K10; MESSAGE K11; MESSAGE K12; OPTI IMPR BB; FINPROC; @stock OBSERVABLES; Fin; Fin; 2. Calculer les coordonnées du point H (IH, JH, EH et GH) : On fait la même méthode pour l’optimisation sur 4 barres.
  • 21. 20 Conclusion Sans doute méthodes numériques de nos jours joue un rôle très important et vaste dans tous les secteurs ce projet était très utile et intéressent pour moi car j’ai appris beaucoup des choses que déjà je n’ai pas vue comme optimiser, simuler, tracer, analyser un projet par trois logiciel et je remercie chaleureusement de professeur Adinel GAVRUS et les autres professeures qui nous guident beaucoup. Je trouve une petite erreur entre deux logiciels qui est acceptable. Bibliographie 1. Cours de Méthodes Numériques : Adinel Gavrus – INSA de Rennes. 2. Polycopie_Projet_Méthodes_Numériques_UE3a_v6_A_GAVRUS_F_BERNARD_2. 3. Presentation et utilization de CASTEM 2000 –by E. Le Fichoux ENSTA – LME.