Στην παρουσίαση αυτή θα δείτε μια μεθοδολογία για την ύπαρξη ριζών συνεχούς και παραγωγίσιμης συνάρτησης, με χρήση των θεωρημάτων Bolzano και Rolle. Θα βρείτε επίσης λυμένα παραδείγματα και κάποιες ασκήσεις για εξάσκηση.

1. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΥΠΑΡΞΗΣ ΡΙΖΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ
ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
 Μου ζητούν να δείξω ότι η f έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α,β).
Τότε επιλέγω μία από τις ακόλουθες μεθόδους για να αποδείξω το ζητούμενο :
1) Εφαρμόζω το Θεώρημα Bolzano.
Θεώρημα Bolzano : Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό
διάστημα [α,β].
Αν  η f είναι συνεχής στο [α,β] και επιπλέον ισχύει
 f(α) f(β)<0,
τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 є (α,β) τέτοιο, ώστε f(x0)=0.
Δηλαδή υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f(x)=0 στο ανοικτό
διάστημα (α,β).
παράδειγμα : Να δείξετε ότι η εξίσωση 2x+συν(x)=7 έχει μία
τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (π,2π).
Απάντηση : Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano ως εξής, θεωρώ τη
συνάρτηση f(x)=2x+συν(x)-7, x є (π,2π).
Τότε έχουμε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [π,2π], ως άθροισμα
συνεχών συναρτήσεων.
Επίσης, f(π) f(2π)<0, αφού f(π)=-0,72<0 και f(2π)=7,56>0.
Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει ένα,
τουλάχιστον x0 є (π,2π) τέτοιο, ώστε f(x0)=0, οπότε η εξίσωση
2x+συν(x)=7 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (π,2π).
άσκηση : Εξετάστε εάν η εξίσωση x2-3x=4 έχει ρίζα στο διάστημα (-2,2)
κάνοντας χρήση του θεωρήματος του Bolzano.
2) Εφαρμόζοντας το Θεώρημα του Rolle : βρίσκω μια συνάρτηση g για την
οποία θα ισχύει g’(x) = f(x) (η συνάρτηση g ονομάζεται αρχική ή
παράγουσα της f).
Θα εφαρμόζω για την συνάρτηση g το θεώρημα Rolle στο [α,β],
εξασφαλίζοντας έτσι την ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας για την g’,
δηλαδή για την f στο (α,β).
1

2. Θεώρημα Rolle : Αν μια συνάρτηση f είναι
 συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β]
 παραγωγίσιμη στο ανοιχτό διάστημα (α,β) και
 f(α)=f(β),
τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον ξ є (α,β) τέτοιο, ώστε f’(ξ)=0.
παράδειγμα : Να δείξετε ότι η συνάρτηση f ( x )  2x  5 έχει μία
τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [1,2].
απάντηση : Κάνοντας μια δοκιμή, θα πεισθείτε ότι τι θεώρημα του
Bolzano δεν έχει ισχύ στο παράδειγμά μας οπότε εφαρμόζω το θεώρημα
Rolle .
Θεωρώ ότι έχω τη συνάρτηση g( x )  x 2  5x  c , όπου c  , για την
οποία ισχύει ότι g ( x )  f ( x ) . Αυτό που καταφέραμε είναι να προκύψει
μια ισοδύναμη συνάρτηση με την f(x) και στην οποία θα εφαρμόσουμε το
θεώρημα του Rolle.
Έχουμε λοιπόν ότι η g(x) είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [1,2] και
παραγωγίσιμη στο ανοικτό (1,2) με g ( x )  2x  5 . Επίσης,
g( 1)  6  c  g( 2 ) , επομένως σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle θα
υπάρχει ένας αριθμός ξ  ( 1,2 ) τέτοιος, ώστε
5
g ( ξ )  0  2ξ  5  0  ξ  .
2
άσκηση : Εξετάστε εάν η εξίσωση 1+συν(2x)=0 έχει ρίζα στο διάστημα
[0,π] κάνοντας χρήση του θεωρήματος του Rolle.
3) Βρίσκω το σύνολο τιμών (ή αλλιώς πεδίο τιμών) της συνάρτησης και αν
αυτό περιέχει το 0 τότε θα έχει μια τουλάχιστον ρίζα.
παράδειγμα : Να δείξετε ότι η εξίσωση 5x+3=0 έχει μια τουλάχιστον
ρίζα.
απάντηση : Θεωρώ τη συνάρτηση f(x)=5x+3, το πεδίο ορισμού της
οποίας είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών και με την
κατάλληλη διαδικασία βρίσκουμε ότι και το σύνολο τιμών της είναι το .
Εφόσον το σύνολο τιμών περιέχει τον αριθμό μηδέν, η συνάρτησή μας
έχει μία τουλάχιστον ρίζα.
2

3.  Μου ζητούν να δείξω ότι η f έχει μια το πολύ ρίζα στο (α,β).
Τότε επιλέγω μία από τις ακόλουθες μεθόδους για να αποδείξω το ζητούμενο :
1) Δείχνω ότι η f είναι γνησίως μονότονη, συνεπώς είναι «1-1» άρα δεν
μπορεί να έχει 2 ρίζες.
παράδειγμα : Να δείξετε ότι η συνάρτηση f ( x )  5x  8 έχει μία το
πολύ ρίζα στο διάστημα ( 2,2 ) .
απάντηση : Έστω x1 ,x2  ( 2,2 ) και θεωρώ x1  x2 , τότε
x1  x2  5  x1  5  x2 , πολλαπλασιάζοντας με τον αριθμό 5
5x1  5x2  5x1  8  5x2  8 , προσθέτοντας κατά μέλη τον αριθμό 8
5x1  8  5x2  8  f ( x1 )  f ( x2 ) , καταλήγουμε ότι η συνάρτησή μας
είναι γνησίως αύξουσα.
Συνεπώς είναι γνησίως μονότονη και «1-1», άρα δεν μπορεί να έχει δύο
ρίζες. Επομένως, θα έχει το πολύ μία ρίζα στο διάστημα ( 2,2 ) .
άσκηση : Να δείξετε ότι η συνάρτηση f ( x )  2  x  1 έχει μία το πολύ
ρίζα στο διάστημα ( 0,5 ) .
2) Θα υποθέτω ότι η f έχει 2 ρίζες έστω τις ρ1,ρ2 στο (α,β) και
εφαρμόζοντας το θεώρημα Rolle για την f στο [ρ1,ρ2], θα δείχνω ότι η f’
έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α,β) και στην συνέχεια παίρνοντας την
f’(x) = 0 θα καταλήγω σε άτοπο.
παράδειγμα : Να δείξετε ότι η συνάρτηση f ( x )  4x  7 έχει μία το πολύ
ρίζα στο διάστημα ( 3,3 ) .
απάντηση : Έστω ότι η συνάρτηση f έχει δύο ρίζες στο ( 3,3 ) , τις ρ1
και ρ2. Τώρα θα εφαρμόσω το θεώρημα Rolle στο διάστημα [ρ1,ρ2] και
θα δείξω ότι f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα αυτό.
Έχουμε λοιπόν ότι η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [ρ1,ρ2], ως
πολυωνυμική συνάρτηση και παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (ρ1,ρ2), με
f ( x )  4 . Τότε σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle θα υπάρχει ένας
αριθμός ξ  ( ρ1,ρ2 ) τέτοιος, ώστε f ( ξ )  0  4  0 .
3

4. Καταλήξαμε σε άτοπο, οπότε η αρχική μας υπόθεση δεν ισχύει και
συνεπώς η συνάρτηση f έχει μία ρίζα το πολύ.
άσκηση : Να δείξετε ότι η συνάρτηση f ( x )  3x  6 έχει μία το πολύ
ρίζα στο διάστημα ( 0,5 ) .
 Μου ζητούν να δείξω ότι η f έχει μια ακριβώς ρίζα στο (α,β).
Τότε ακολουθώ τα παρακάτω :
Ακολουθούμε την πρώτη μεθοδολογία που αναπτύξαμε παραπάνω για να
δείξουμε ότι η f έχει μια τουλάχιστον ρίζα και στη συνέχεια με τη δεύτερη
μεθοδολογία αποδεικνύω ότι έχει μία το πολύ ρίζα. Άρα, συνδυάζοντας τα
αποτελέσματα των δύο προκύπτει ότι η συνάρτησή μου έχει ακριβώς μία ρίζα στο
ανοιχτό διάστημα (α,β).
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ
1) Μεταξύ 2 διαδοχικών ριζών της f υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της f’
(όπου f παραγωγίσιμη στο ).
2) Μεταξύ 2 διαδοχικών ριζών της f’ υπάρχει μια το πολύ ρίζα της f (όπου f
παραγωγίσιμη στο ).
3) Στην περίπτωση που το θεώρημα Bolzano δεν εφαρμόζεται, θυμηθείτε να
δοκιμάσετε το θεώρημα του Rolle σε μια αρχική συνάρτηση.
Μερικές ασκήσεις για τον αναγνώστη …
άσκηση 1η : Να δείξετε ότι η εξίσωση 8  2x  1  3x έχει μια τουλάχιστον
ρίζα. Χρησιμοποιείστε όποια από τις παραπάνω μεθόδους θεωρείτε πιο
κατάλληλη.
άσκηση 2η : Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f ( x )  x 2  8x  1 ικανοποιεί τις
υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [ 1,1] .
άσκηση 3η : Δώστε τη λύση των δύο προηγούμενων ασκήσεων με έναν
εναλλακτικό τρόπο από αυτούς που παρουσιάστηκαν. Νομίζετε ότι μπορούμε σε
κάθε περίπτωση να χρησιμοποιούμε όλες τις μεθόδους;
4