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Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá


Natureza da           Análise de Regressão:
regressão

Conceitos da                Introdução
regressão
(população)

Conceitos da
regressão                   Rodrigo de Sá
(amostra)

Estimação

Hipóteses

               Fundação de Economia e Estatística, 2011
Livro texto


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá


Natureza da
regressão

Conceitos da    Damodar Gujarati
regressão
(população)     Econometria Básica
Conceitos da    3ª ed. 2005.
regressão
(amostra)

Estimação

Hipóteses
Interpretação da regressão


 Análise de
 Regressão:
 Introdução
                   Variável DEPENDENTE: a variável que se quer explicar.
 Rodrigo de
    Sá
                        Arrecadação.
Natureza da
regressão          Variáveis EXPLICATIVAS: as variáveis utilizadas para
Conceitos da       explicar a variável dependente.
regressão
(população)
                        Renda, consumo, taxa de juros, etc.
Conceitos da
regressão          OBJETIVO: estimar/prever o VALOR MÉDIO da
(amostra)
                   dependente em termos dos valores conhecidos das variáveis
Estimação

Hipóteses
                   explicativas.

                        O resultado é a ESPERANÇA CONDICIONAL da variável
                        DEPENDENTE dada as (realizações) das variáveis
                        EXPLICATIVAS.
Exemplo 1 - Alturas


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de        Para cada país, região, etc., pode-se calcular uma
    Sá
                   ALTURA MÉDIA.
Natureza da
regressão          Também pode-se comparar a altura média de dois países
Conceitos da       (A é maior do que B ou não se pode armar que são
regressão
(população)        estatisticamente diferentes?) usando um teste de diferença
Conceitos da       de médias.
regressão
(amostra)

Estimação

Hipóteses
Exemplo 1 - Alturas


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de        Para cada país, região, etc., pode-se calcular uma
    Sá
                   ALTURA MÉDIA.
Natureza da
regressão          Também pode-se comparar a altura média de dois países
Conceitos da       (A é maior do que B ou não se pode armar que são
regressão
(população)        estatisticamente diferentes?) usando um teste de diferença
Conceitos da       de médias.
regressão
(amostra)

Estimação          Mas pode-se ir além: Pode-se calcular a ALTURA MÉDIA
Hipóteses          de um determinado grupo da população de um pais, por
                   exemplo, qual é a altura média dos lhos de país que
                   medem 1,83cm?
Exemplo 1 - Alturas


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá


Natureza da
regressão

Conceitos da
regressão
(população)

Conceitos da
regressão
(amostra)

Estimação

Hipóteses




                 Figura: Altura dos lhos correspondentes a dadas alturas dos pais
Exemplo 2 - Inação versus desemprego


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá


Natureza da
regressão

Conceitos da
regressão
(população)

Conceitos da
regressão
(amostra)

Estimação

Hipóteses




                           Figura: Curva de Phillips hipotética
Relações estatísticas versus deterministas


 Análise de
 Regressão:
 Introdução        Nas RELAÇÕES ESTATÍSTICAS lidamos com variáveis

 Rodrigo de        ALEATÓRIAS (ou ESTOCÁSTICAS), ou seja, aquelas que
    Sá
                   têm distribuição de probabilidade.
Natureza da
regressão
                       Mesmo se conhecermos a renda, taxa de impostos, etc. de
Conceitos da
                       um consumidor, podemos apenas ESTIMAR qual será o
regressão              seu gasto, E (C |W , τ ) = f (W , τ ).
(população)

Conceitos da       Nas RELAÇÕES DETERMINISTAS (ou FUNCIONAIS)
regressão
(amostra)          podemos calcular exatamente o valor da variável
Estimação          dependente.
Hipóteses
                       Conhecendo a massa de dois corpos e a distância entre
                       eles, podemos calcular a força de atração entre elas,
                       F = k mdm2 .
                               1
                                 2
                       Mas mesmo na Física existem áreas onde as relações não
                       são determinísticas, como a Física Quântica!
Regressão versus causação


 Análise de
 Regressão:
 Introdução
                   Um agrônomo pode estar interessado em estudar a
 Rodrigo de
    Sá             dependência do rendimento da colheita de trigo em relação

Natureza da
                   à temperatura, chuva e quantidade de fertilizantes.
regressão
                   Porém, sem uma teoria, a regressão sozinha não dá razão
Conceitos da
regressão          estatística para supor que a precipitação de chuva não
(população)
                   dependa do rendimento da colheita.
Conceitos da
regressão
(amostra)
                   Sabemos, pelo bom senso, que a altura dos lhos depende

Estimação          da altura dos país, e não o contrário! Os lhos nascem

Hipóteses          depois dos pais.
Regressão versus causação


 Análise de
 Regressão:
 Introdução
                   Um agrônomo pode estar interessado em estudar a
 Rodrigo de
    Sá             dependência do rendimento da colheita de trigo em relação

Natureza da
                   à temperatura, chuva e quantidade de fertilizantes.
regressão
                   Porém, sem uma teoria, a regressão sozinha não dá razão
Conceitos da
regressão          estatística para supor que a precipitação de chuva não
(população)
                   dependa do rendimento da colheita.
Conceitos da
regressão
(amostra)
                   Sabemos, pelo bom senso, que a altura dos lhos depende

Estimação          da altura dos país, e não o contrário! Os lhos nascem

Hipóteses          depois dos pais.


                   Mas e a inação e o desemprego? Qual variável determina
                   qual?
Regressão versus correlação


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de        São relacionadas, porém apresentam diferenças.
    Sá
                   Na análise de CORRELAÇÃO estamos interessados no
Natureza da
                   grau de associação entre duas variáveis.
regressão

Conceitos da       Na análise de REGRESSÃO estamos interessados em
regressão
(população)        prever ou estimar o valor médio de uma variável (em
Conceitos da       função das outras variáveis do modelo).
regressão
(amostra)
                   Na análise de CORRELAÇÃO tratamos as duas variáveis
Estimação
                   simetricamente
Hipóteses
                   Na análise de REGRESSÃO tratamos a variável
                   DEPENDENTE como ESTOCÁSTICA e as variáveis
                   EXPLICATIVAS como DETERMINADAS.
A natureza dos dados


 Análise de
 Regressão:
                   DADOS DE SÉRIE TEMPORAL: um conjunto de
 Introdução
                   observações dos valores que uma variável assume em
 Rodrigo de
                   diferentes momentos do tempo.
    Sá
                       Exemplo: arrecadação anual do RS nos anos
Natureza da
regressão
                       {t = 1980, 1981, ..., 2010}.
Conceitos da       DADOS DE CORTE (CROSS-SECTION): dados de uma
regressão
(população)        mesma variável coletados para vários indivíduos em um
Conceitos da       determinado ponto do tempo.
regressão
(amostra)              Exemplo: arrecadação anual em 2010 dos municípios
Estimação              gaúchos {i = 1, 2, ..., 496}.
Hipóteses          DADOS COMBINADOS (DADOS DE PAINEL):
                   observações de vários indivíduos em vários instantes do
                   tempo.
                       Exemplo: arrecadação anual de cada um dos municípios
                       gaúchos de 1980 a 2010,
                       {i = 1, ..., 496, t = 1980, ..., 2010}.
Exemplo 3 - Consumo X Renda


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá


Natureza da
regressão

Conceitos da
regressão
(população)

Conceitos da
regressão
(amostra)

Estimação

Hipóteses




                          Figura: Consumo e renda familiar semanal

               (18)(37)
Exemplo 3 - Consumo X Renda


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá


Natureza da
regressão

Conceitos da
regressão
(população)

Conceitos da
regressão
(amostra)

Estimação

Hipóteses




                     Figura: Dispersão do consumo em função da renda
Exemplo 3 - Consumo X Renda


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá


Natureza da
regressão

Conceitos da
regressão
(população)

Conceitos da
regressão
(amostra)

Estimação

Hipóteses




                      Figura: Probabilidades condicionais do consumo
Exemplo 3 - Consumo X Renda


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá


Natureza da
regressão

Conceitos da
regressão
(população)

Conceitos da
regressão
(amostra)

Estimação

Hipóteses




                         Figura: Reta de regressão da população
Função de regressão populacional (FRP)


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de        Pelo exemplo vemos que a média condicional de gastos de
    Sá
                   cada família      E (Y |X ) é uma função de X .
                                            i                     i   Assim,
Natureza da
regressão

Conceitos da
regressão
                                      E (Y |X ) = f (X )
                                                i        i

(população)
                                      E (Y |X ) = β0 + β1 X .
                                                i             i
Conceitos da
regressão
(amostra)

Estimação
                   β0   e   β1   são coecientes desconhecidos, porém xos,

Hipóteses
                   chamados de COEFICIENTES DE REGRESSÃO. São eles
                   que queremos estimar.

                   FUNÇÃO DE REGRESSÃO LINEAR DA POPULAÇÃO.
O signicado do termo linear


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá
                   LINEAR NAS VARIÁVEIS
Natureza da
regressão              Exemplo: E (Y |Xi ) = β0 + β1 Xi .
Conceitos da
regressão          LINEAR NOS PARÂMETROS
(população)

Conceitos da
                       Exemplo:E (Y |Xi ) = β0 + β1 Xi2 .
regressão
(amostra)
                       Exemplo: E (Y |Xi ) = β0 + β1 log Xi .
Estimação          NÃO LINEAR:

                       Exemplo: E (Y |Xi ) = β0 + β1 Xi .
                                                   2
Hipóteses
O signicado do termo linear


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá


Natureza da
regressão

Conceitos da
regressão
(população)

Conceitos da
regressão
(amostra)

Estimação

Hipóteses




                          Figura: Funções lineares nos parâmetros
Especicação estocástica da FRP


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá

                   Voltemos ao exemplo (11) e vejamos o consumo especíco
Natureza da
regressão          de cada família (e não a sua média) em função da renda.
Conceitos da       Ele sempre aumenta?
regressão
(população)

Conceitos da
regressão
(amostra)

Estimação

Hipóteses
Especicação estocástica da FRP


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá

                   Voltemos ao exemplo (11) e vejamos o consumo especíco
Natureza da
regressão          de cada família (e não a sua média) em função da renda.
Conceitos da       Ele sempre aumenta?
regressão
(população)

Conceitos da
regressão
                   Podemos dizer que o consumo de uma família    Y   i   especíca
(amostra)          situa-se ao redor do consumo médio de todas as famílias
Estimação          com renda   X = X , ou seja, em torno da sua expectativa
                                     i

Hipóteses          condicional.
Especicação estocástica da FRP


 Análise de
 Regressão:
                   Assim, podemos expressar o DESVIO de um indivíduo                           Y
                                                                                               i

 Introdução
                   em torno do seu valor esperado:
 Rodrigo de
    Sá
                                    u   i    = Y − E (Y |X )
                                                   i                   i


Natureza da
regressão
                                    Y   i    = E (Y |X ) + u
                                                           i               i



Conceitos da                        Y   i    = β0 + β1 X + u . i               i
regressão
(população)
                   Tomando o valor esperado condicional de ambos os lados:
Conceitos da

                        E (Y |X ) = E [E (Y |X ) |X ] + E (u |X )
regressão
(amostra)                   i   i                          i       i                   i   i

Estimação
                        E (Y |X ) = E (Y |X ) + E (u |X )
                            i   i                      i                   i       i
Hipóteses
                        E (u |X ) = 0.
                            i   i



                   A hipótese de que a reta de regressão passa pela média
                   condicional de   Y       implica que os valores médios
                   condicionais do erro são zero. EM MÉDIA NÃO
                   ERRAMOS!
O signicado do termo de pertubação estocástico


 Análise de
 Regressão:
                     O DESVIO ou TERMO DE PERTURBAÇÃO
 Introdução
                     ESTOCÁSTICO pode ser entendido como o componente
 Rodrigo de
    Sá
                     assistemático substitui todas as variáveis que afetam    Y
                     que não estão no modelo. Por que não aumentar o número
Natureza da
regressão            de variáveis?

Conceitos da     1
regressão
                     Imprecisão da teoria.
(população)
                       1   A Teoria Econômica pode não explicitar todas as variáveis
Conceitos da
regressão
                           que afetam uma outra.
(amostra)              2   É certo que a renda afeta o consumo, mas quais outras
Estimação                  variáveis também o fazem?
Hipóteses        2   Indisponibilidade de dados.
                       1   Mesmo que saibamos que variáveis afetam a nossa variável
                           de interesse, pode ser que não tenhamos acesso a várias
                           delas.
                 3   Variáveis essenciais versus variáveis periféricas.
                       1   Podemos decidir não usar algumas variáveis por
O signicado do termo de pertubação estocástico


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá           1   Casualidade intrínseca no comportamento humano.

Natureza da      2   Variáveis proxy fracas.
regressão

Conceitos da
                       1   As variáveis utilizadas podem não ser medidas acuradas.
regressão              2   Exemplo: renda permanente da função de consumo
(população)
                           proposta por Milton Friedman.
Conceitos da
regressão
                 3   Princípio da parcimônia.
(amostra)

Estimação              1   Seguindo a navalha de Ocan, gostaríamos de deixar o
Hipóteses                  nosso modelo de regressão tão simples quanto possível.
                 4   Forma funcional errada.
Função de regressão amostral


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá


Natureza da
regressão
                   Mas nós não conhecemos a população!
Conceitos da
regressão
(população)
                   Por isso precisamos estimar a função de regressão amostral

Conceitos da       para fazermos inferência sobre a função de regressão
regressão
(amostra)
                   populacional.

Estimação

Hipóteses
Exemplo 4 - Consumo X Renda


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá


Natureza da
regressão

Conceitos da
regressão
(população)

Conceitos da
regressão
(amostra)

Estimação

Hipóteses




                            Figura: Amostras aleatórias
Exemplo 4 - Consumo X Renda


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá


Natureza da
regressão

Conceitos da
regressão
(população)

Conceitos da
regressão
(amostra)

Estimação

Hipóteses




                 Figura: Retas de regressão baseadas em duas amostras diferentes
Função de regressão amostral estimada


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá


Natureza da
regressão
                                              Y = β0 + β1 X
                                              ˆi
                                                  ˆ    ˆ        i


Conceitos da
regressão
(população)
                   Y
                   ˆ   i   é o estimador de   E (Y |X ).i


Conceitos da       ˆ
                   βi      é o estimador de   β    i.
regressão
(amostra)
                   Assim:
Estimação

Hipóteses                               Y = β0 + β1 X + u
                                          i
                                            ˆ    ˆ      ˆ   i       i
Retas de regressão


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá


Natureza da
regressão

Conceitos da
regressão
(população)

Conceitos da
regressão
(amostra)

Estimação

Hipóteses




                    Figura: Regras de regressão da amostra e da população
Exercício 1


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá
                Os modelos a seguir são lineares nos parâmetros, nas variáveis,
                em ambos ou em nenhum?
Natureza da
regressão

Conceitos da
regressão
(população)

Conceitos da
regressão
(amostra)

Estimação

Hipóteses
Exercício 2


 Análise de     A seguinte reta de regressão é FRP ou FRA? Por que? Como
 Regressão:
 Introdução     você interpretaria os pontos dispersos em torno da reta de
 Rodrigo de     regressão? Além do PIB que outros fatores, ou variáveis,
    Sá
                poderiam determinar a despesa de consumo pessoal?
Natureza da
regressão

Conceitos da
regressão
(população)

Conceitos da
regressão
(amostra)

Estimação

Hipóteses
O método dos mínimos quadrados ordinários (MQO)


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá             Queremos estimar Y = β0 + β1 X + u
                                               i                i       i   através de

Natureza da
                   Y = β0 + β1 X + u = Y + u .
                    i
                        ˆ   ˆ       ˆ  i
                                        ˆ  iˆ      i        i

regressão
                   Fazemos isso minimizando
Conceitos da
regressão
(população)
                                                                    2
Conceitos da                   u2 =
                               ˆ   i
                                                       Y −Y
                                                        i
                                                          ˆ     i
regressão
(amostra)                                                                        2
Estimação                      u2 =
                               ˆ   i
                                                       Y − β0 + β1 X
                                                        i
                                                           ˆ    ˆ            i       .
Hipóteses


                   Resolvendo...
Estimador de MQO


 Análise de
 Regressão:
 Introdução
               Estimador da inclinação
 Rodrigo de
    Sá


                              ˆ              X −X Y −Y
                                              i
                                                   ¯      ¯  i
Natureza da                   β1 =
regressão
                                                  X −X 2
                                                  i
                                                        ¯
Conceitos da
regressão
(população)                   ˆ              X −X Y
                                              i
                                                   ¯     i
                              β1 =
Conceitos da                                 X 2 − nX 2
                                              i
                                                     ¯
regressão
(amostra)
                              ˆ              Y −Y X
                                              i
                                                   ¯     i
                              β1 =
Estimação
                                             Xi
                                               2 − nX 2
                                                     ¯
Hipóteses



               Estimador do intercepto


                                         β0 = Y − β1 X
                                         ˆ    ¯   ˆ ¯
Exemplo 5 - Consumo X Renda


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá


Natureza da
regressão

Conceitos da
regressão
(população)

Conceitos da
regressão
(amostra)

Estimação

Hipóteses




                           Figura: Consumo e renda familiar
Exemplo 5 - Consumo X Renda


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá


Natureza da
regressão

Conceitos da
regressão
(população)

Conceitos da
regressão
(amostra)

Estimação

Hipóteses




                               Figura: Calculando...
Exemplo 5 - Consumo X Renda


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá


Natureza da
regressão

Conceitos da
regressão
(população)

Conceitos da
regressão
(amostra)

Estimação

Hipóteses




                          Figura: Reta de regressão estimada
Propriedades numéricas dos estimadores de MQO


 Análise de
 Regressão:
 Introdução      1   Os estimadores de MQO são expressos exclusivamente em
 Rodrigo de          termo das quantidades observadas pela amostra (     Y    e   X ).
    Sá
                 2   Eles são ESTIMADORES DE PONTO, isto é, dada uma
Natureza da
regressão
                     amostra, cada estimador fornecerá um único ponto do

Conceitos da         parâmetro relevante da população.
regressão
(população)      3   Depois de obter as estimativas de MQO (β0 e     β1 ),   pode-se
Conceitos da         obter facilmente a reta de regressão da amostra, que
regressão
(amostra)            apresenta as seguintes propriedades:
Estimação
                       1   Ela passa pelas médias de Y e X .
Hipóteses
                       2   O valor médio do Y estimado é igual ao valor médio do Y
                           real (observado na amostra).
                       3   O valor médio dos resíduos é zero.
                       4   Os resíduos não tem correlação com o Y previsto,
                       5   Os resíduos não tem correlação com o X .
Hipóteses subjacentes ao MQO


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá
                   O objetivo é utilizar        ˆ
                                                β0   e   ˆ
                                                         β1   para fazermos inferência sobre
Natureza da
regressão          β0   e   β1   e   Y
                                     ˆ
                                     i   para tentarmos saber algo sobre       E (Y |X ).
                                                                                      i


Conceitos da       Para isso precisamos de hipóteses estatísticas sobre como
regressão
(população)        as variáveis são geradas (suas distribuições de
Conceitos da       probabilidade).
regressão
(amostra)
                   O MODELO CLÁSSICO (OU PADRÃO, OU
Estimação
                   GAUSSIANO) DE REGRESSÃO LINEAR (MCRL) têm 10
Hipóteses
                   hipóteses que vão garantir suas propriedades estatísticas.
1. Linear nos parâmetros


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá


Natureza da
regressão
                   Caso contrário, estaríamos estimando um modelo
Conceitos da
regressão          especicado de forma incorreta!
(população)

Conceitos da       Lembrem-se que o modelo PODE ser não-linear nas
regressão
(amostra)          variáveis.

Estimação

Hipóteses
2. X xados


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá


Natureza da        Os valores das variáveis explicativas (   X ) são xados em
                                                              i
regressão
                   amostragem repetida.
Conceitos da
regressão
(população)
                   As variáveis explicativas são não-estocásticas.

Conceitos da       Isso implica que a análise de regressão é condicional aos
regressão
(amostra)          dados valores do regressor.
Estimação
                   Mais uma vez o exemplo do consumo! (11)
Hipóteses
3. O erro tem média zero


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá             Dado o valor de     X , o valor médio do termo de perturbação
                                         i



Natureza da
                   aleatória   u
                               i   é zero,
regressão

Conceitos da
                                             E (u |X ) = 0.
                                                     i   i

regressão
(população)
                   Isto implica que os fatores não incluídos explicitamente no
Conceitos da
regressão
(amostra)
                   modelo (e, portanto, incluídos emu ) não afetam
                                                              i

                   sistematicamente o valor médio de Y .
Estimação

Hipóteses          Assim,

                                      E (Y |X ) = β0 + β1 X .
                                             i   i                i
3. O erro tem média zero


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá


Natureza da
regressão

Conceitos da
regressão
(população)

Conceitos da
regressão
(amostra)

Estimação

Hipóteses




                          Figura: Distribuição condicional do erro
4. Homoscedasticidade


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de        Os erros são HOMOCEDÁSTICOS, ou seja, sua
    Sá
                   VARIÂNCIA É CONSTANTE PARA QUALQUER VALOR
Natureza da
regressão
                   DE   X.
                         i


Conceitos da

                                  u |X ) = E (u − E (u ) |X )2
regressão
(população)                  var (   i   i      i            i       i

                                               2
                             var (u |X ) = E u |X
Conceitos da
regressão                            i   i      i   i
(amostra)
                                            2
                             var (u |X ) = σ .
                                     i   i
Estimação

Hipóteses

                   Se os erros fossem HETEROCEDÁSTICOS, poderíamos
                   denotar a sua variância como var (   u |X ) = σ 2 .
                                                         i       i       i
4. Homoscedasticidade


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá


Natureza da
regressão

Conceitos da
regressão
(população)

Conceitos da
regressão
(amostra)

Estimação

Hipóteses




                             Figura: Erros homocedásticos
4. Homoscedasticidade


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá


Natureza da
regressão

Conceitos da
regressão
(população)

Conceitos da
regressão
(amostra)

Estimação

Hipóteses




                            Figura: Erros heterocedásticos
4. Homoscedasticidade


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá
                   Exemplos


Natureza da
                       Homocedástica: o consumo aumenta com a renda, mas a
regressão              variabilidade é igual tanto para pessoas com maior ou
Conceitos da           menor renda.
regressão
(população)            Heterocedástica: o consumo aumenta com a renda, mas a
Conceitos da
                       variabilidade também aumenta com a renda. Indivíduos
regressão              pobres, em geral, consomem toda a renda (pouca
(amostra)
                       variabilidade). Indivíduos mais ricos podem consumir
Estimação
                       grande parte da renda como também podem poupá-la.
Hipóteses

                   É importante que os erros tenham variância constante pois
                   o modelo clássico considera todos os   Y   i   importantes.
5. Os erros não são correlacionados entre si


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá

                   Não existe nenhuma autocorrelação entre as perturbações.
Natureza da
regressão
                   Dados dois valores            X   i   e   X   j             i = j ), a correlação
                                                                     quaisquer (
Conceitos da
regressão          entre   u
                           i   e   u
                                   j   é zero.
(população)

Conceitos da                             cov (    u , u |X , X ) = 0.
                                                         i   j       i   j
regressão
(amostra)

Estimação          Caso contrário,       Y   t   dependeria também de              u −1 , e não só
                                                                                    t


Hipóteses          das variáveis explicativas.
5. Os erros não são correlacionados entre si


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá


Natureza da
regressão

Conceitos da
regressão
(população)

Conceitos da
regressão
(amostra)

Estimação

Hipóteses




                         Figura: Padrões de correlação entre os erros.
6. Os erros não são correlacionados com                         X
 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá
                   A perturbação        u   e a variável explanatória     X   não tem

Natureza da        correlação.
regressão

Conceitos da                                  cov (   u , X ) = 0.
                                                       i   i
regressão
(população)

Conceitos da       Essa hipótese é necessária porque precisamos separar os
regressão
(amostra)          efeitos de   X   e   u   sobre o    Y ; caso contrário, não saberíamos
Estimação          que parte do efeito atribuiríamos às variáveis e aos erros.
Hipóteses
                   Essa hipótese abre espaço para que o              X   também seja
                   estocástico!
7. Observações sucientes


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá


Natureza da

                                              n deve ser maior do que o
regressão
                   O número de observações
Conceitos da
regressão          número de parâmetros a serem estimados (número de
(população)
                   variáveis explicativas).
Conceitos da
regressão
(amostra)
                   Quantos pontos precisamos para traçarmos uma reta?

Estimação

Hipóteses
8. Variabilidade de      X
 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá


Natureza da
                   Os valores   X   em uma dada amostra não podem ser todos
regressão          iguais.
Conceitos da
regressão          Isto é, var (X )  0.
(população)
                   O que aconteceria na fórmula do estimador caso contrário?
Conceitos da
regressão
(amostra)          O que aconteceria se regredirmos a arrecadação dos

Estimação          governos municipais gaúchos contra a unidade da
Hipóteses          federação a qual pertencem?
9. Especicação correta


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá


Natureza da
regressão

Conceitos da
regressão          O modelo de regressão está corretamente especicado.
(população)
                   Isto é, não há nenhum viés de especicação.
Conceitos da
regressão
(amostra)

Estimação

Hipóteses
9. Especicação correta


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá


Natureza da
regressão

Conceitos da
regressão
(população)

Conceitos da
regressão
(amostra)

Estimação

Hipóteses




                        Figura: Curvas de Phillips linear e não-linear.
10. Ausência de multicolinearidade


 Análise de
 Regressão:
 Introdução

 Rodrigo de
    Sá


Natureza da
regressão
                   Não há relação lineares perfeitas entre as variáveis
Conceitos da
regressão          explicativas.
(população)

Conceitos da       Voltaremos a esse ponto quando tratarmos de regressão
regressão
(amostra)
                   múltipla.

Estimação

Hipóteses

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  • 1. Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Natureza da Análise de Regressão: regressão Conceitos da Introdução regressão (população) Conceitos da regressão Rodrigo de Sá (amostra) Estimação Hipóteses Fundação de Economia e Estatística, 2011
  • 2. Livro texto Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Natureza da regressão Conceitos da Damodar Gujarati regressão (população) Econometria Básica Conceitos da 3ª ed. 2005. regressão (amostra) Estimação Hipóteses
  • 3. Interpretação da regressão Análise de Regressão: Introdução Variável DEPENDENTE: a variável que se quer explicar. Rodrigo de Sá Arrecadação. Natureza da regressão Variáveis EXPLICATIVAS: as variáveis utilizadas para Conceitos da explicar a variável dependente. regressão (população) Renda, consumo, taxa de juros, etc. Conceitos da regressão OBJETIVO: estimar/prever o VALOR MÉDIO da (amostra) dependente em termos dos valores conhecidos das variáveis Estimação Hipóteses explicativas. O resultado é a ESPERANÇA CONDICIONAL da variável DEPENDENTE dada as (realizações) das variáveis EXPLICATIVAS.
  • 4. Exemplo 1 - Alturas Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Para cada país, região, etc., pode-se calcular uma Sá ALTURA MÉDIA. Natureza da regressão Também pode-se comparar a altura média de dois países Conceitos da (A é maior do que B ou não se pode armar que são regressão (população) estatisticamente diferentes?) usando um teste de diferença Conceitos da de médias. regressão (amostra) Estimação Hipóteses
  • 5. Exemplo 1 - Alturas Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Para cada país, região, etc., pode-se calcular uma Sá ALTURA MÉDIA. Natureza da regressão Também pode-se comparar a altura média de dois países Conceitos da (A é maior do que B ou não se pode armar que são regressão (população) estatisticamente diferentes?) usando um teste de diferença Conceitos da de médias. regressão (amostra) Estimação Mas pode-se ir além: Pode-se calcular a ALTURA MÉDIA Hipóteses de um determinado grupo da população de um pais, por exemplo, qual é a altura média dos lhos de país que medem 1,83cm?
  • 6. Exemplo 1 - Alturas Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Natureza da regressão Conceitos da regressão (população) Conceitos da regressão (amostra) Estimação Hipóteses Figura: Altura dos lhos correspondentes a dadas alturas dos pais
  • 7. Exemplo 2 - Inação versus desemprego Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Natureza da regressão Conceitos da regressão (população) Conceitos da regressão (amostra) Estimação Hipóteses Figura: Curva de Phillips hipotética
  • 8. Relações estatísticas versus deterministas Análise de Regressão: Introdução Nas RELAÇÕES ESTATÍSTICAS lidamos com variáveis Rodrigo de ALEATÓRIAS (ou ESTOCÁSTICAS), ou seja, aquelas que Sá têm distribuição de probabilidade. Natureza da regressão Mesmo se conhecermos a renda, taxa de impostos, etc. de Conceitos da um consumidor, podemos apenas ESTIMAR qual será o regressão seu gasto, E (C |W , τ ) = f (W , τ ). (população) Conceitos da Nas RELAÇÕES DETERMINISTAS (ou FUNCIONAIS) regressão (amostra) podemos calcular exatamente o valor da variável Estimação dependente. Hipóteses Conhecendo a massa de dois corpos e a distância entre eles, podemos calcular a força de atração entre elas, F = k mdm2 . 1 2 Mas mesmo na Física existem áreas onde as relações não são determinísticas, como a Física Quântica!
  • 9. Regressão versus causação Análise de Regressão: Introdução Um agrônomo pode estar interessado em estudar a Rodrigo de Sá dependência do rendimento da colheita de trigo em relação Natureza da à temperatura, chuva e quantidade de fertilizantes. regressão Porém, sem uma teoria, a regressão sozinha não dá razão Conceitos da regressão estatística para supor que a precipitação de chuva não (população) dependa do rendimento da colheita. Conceitos da regressão (amostra) Sabemos, pelo bom senso, que a altura dos lhos depende Estimação da altura dos país, e não o contrário! Os lhos nascem Hipóteses depois dos pais.
  • 10. Regressão versus causação Análise de Regressão: Introdução Um agrônomo pode estar interessado em estudar a Rodrigo de Sá dependência do rendimento da colheita de trigo em relação Natureza da à temperatura, chuva e quantidade de fertilizantes. regressão Porém, sem uma teoria, a regressão sozinha não dá razão Conceitos da regressão estatística para supor que a precipitação de chuva não (população) dependa do rendimento da colheita. Conceitos da regressão (amostra) Sabemos, pelo bom senso, que a altura dos lhos depende Estimação da altura dos país, e não o contrário! Os lhos nascem Hipóteses depois dos pais. Mas e a inação e o desemprego? Qual variável determina qual?
  • 11. Regressão versus correlação Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de São relacionadas, porém apresentam diferenças. Sá Na análise de CORRELAÇÃO estamos interessados no Natureza da grau de associação entre duas variáveis. regressão Conceitos da Na análise de REGRESSÃO estamos interessados em regressão (população) prever ou estimar o valor médio de uma variável (em Conceitos da função das outras variáveis do modelo). regressão (amostra) Na análise de CORRELAÇÃO tratamos as duas variáveis Estimação simetricamente Hipóteses Na análise de REGRESSÃO tratamos a variável DEPENDENTE como ESTOCÁSTICA e as variáveis EXPLICATIVAS como DETERMINADAS.
  • 12. A natureza dos dados Análise de Regressão: DADOS DE SÉRIE TEMPORAL: um conjunto de Introdução observações dos valores que uma variável assume em Rodrigo de diferentes momentos do tempo. Sá Exemplo: arrecadação anual do RS nos anos Natureza da regressão {t = 1980, 1981, ..., 2010}. Conceitos da DADOS DE CORTE (CROSS-SECTION): dados de uma regressão (população) mesma variável coletados para vários indivíduos em um Conceitos da determinado ponto do tempo. regressão (amostra) Exemplo: arrecadação anual em 2010 dos municípios Estimação gaúchos {i = 1, 2, ..., 496}. Hipóteses DADOS COMBINADOS (DADOS DE PAINEL): observações de vários indivíduos em vários instantes do tempo. Exemplo: arrecadação anual de cada um dos municípios gaúchos de 1980 a 2010, {i = 1, ..., 496, t = 1980, ..., 2010}.
  • 13. Exemplo 3 - Consumo X Renda Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Natureza da regressão Conceitos da regressão (população) Conceitos da regressão (amostra) Estimação Hipóteses Figura: Consumo e renda familiar semanal (18)(37)
  • 14. Exemplo 3 - Consumo X Renda Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Natureza da regressão Conceitos da regressão (população) Conceitos da regressão (amostra) Estimação Hipóteses Figura: Dispersão do consumo em função da renda
  • 15. Exemplo 3 - Consumo X Renda Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Natureza da regressão Conceitos da regressão (população) Conceitos da regressão (amostra) Estimação Hipóteses Figura: Probabilidades condicionais do consumo
  • 16. Exemplo 3 - Consumo X Renda Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Natureza da regressão Conceitos da regressão (população) Conceitos da regressão (amostra) Estimação Hipóteses Figura: Reta de regressão da população
  • 17. Função de regressão populacional (FRP) Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Pelo exemplo vemos que a média condicional de gastos de Sá cada família E (Y |X ) é uma função de X . i i Assim, Natureza da regressão Conceitos da regressão E (Y |X ) = f (X ) i i (população) E (Y |X ) = β0 + β1 X . i i Conceitos da regressão (amostra) Estimação β0 e β1 são coecientes desconhecidos, porém xos, Hipóteses chamados de COEFICIENTES DE REGRESSÃO. São eles que queremos estimar. FUNÇÃO DE REGRESSÃO LINEAR DA POPULAÇÃO.
  • 18. O signicado do termo linear Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá LINEAR NAS VARIÁVEIS Natureza da regressão Exemplo: E (Y |Xi ) = β0 + β1 Xi . Conceitos da regressão LINEAR NOS PARÂMETROS (população) Conceitos da Exemplo:E (Y |Xi ) = β0 + β1 Xi2 . regressão (amostra) Exemplo: E (Y |Xi ) = β0 + β1 log Xi . Estimação NÃO LINEAR: Exemplo: E (Y |Xi ) = β0 + β1 Xi . 2 Hipóteses
  • 19. O signicado do termo linear Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Natureza da regressão Conceitos da regressão (população) Conceitos da regressão (amostra) Estimação Hipóteses Figura: Funções lineares nos parâmetros
  • 20. Especicação estocástica da FRP Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Voltemos ao exemplo (11) e vejamos o consumo especíco Natureza da regressão de cada família (e não a sua média) em função da renda. Conceitos da Ele sempre aumenta? regressão (população) Conceitos da regressão (amostra) Estimação Hipóteses
  • 21. Especicação estocástica da FRP Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Voltemos ao exemplo (11) e vejamos o consumo especíco Natureza da regressão de cada família (e não a sua média) em função da renda. Conceitos da Ele sempre aumenta? regressão (população) Conceitos da regressão Podemos dizer que o consumo de uma família Y i especíca (amostra) situa-se ao redor do consumo médio de todas as famílias Estimação com renda X = X , ou seja, em torno da sua expectativa i Hipóteses condicional.
  • 22. Especicação estocástica da FRP Análise de Regressão: Assim, podemos expressar o DESVIO de um indivíduo Y i Introdução em torno do seu valor esperado: Rodrigo de Sá u i = Y − E (Y |X ) i i Natureza da regressão Y i = E (Y |X ) + u i i Conceitos da Y i = β0 + β1 X + u . i i regressão (população) Tomando o valor esperado condicional de ambos os lados: Conceitos da E (Y |X ) = E [E (Y |X ) |X ] + E (u |X ) regressão (amostra) i i i i i i Estimação E (Y |X ) = E (Y |X ) + E (u |X ) i i i i i Hipóteses E (u |X ) = 0. i i A hipótese de que a reta de regressão passa pela média condicional de Y implica que os valores médios condicionais do erro são zero. EM MÉDIA NÃO ERRAMOS!
  • 23. O signicado do termo de pertubação estocástico Análise de Regressão: O DESVIO ou TERMO DE PERTURBAÇÃO Introdução ESTOCÁSTICO pode ser entendido como o componente Rodrigo de Sá assistemático substitui todas as variáveis que afetam Y que não estão no modelo. Por que não aumentar o número Natureza da regressão de variáveis? Conceitos da 1 regressão Imprecisão da teoria. (população) 1 A Teoria Econômica pode não explicitar todas as variáveis Conceitos da regressão que afetam uma outra. (amostra) 2 É certo que a renda afeta o consumo, mas quais outras Estimação variáveis também o fazem? Hipóteses 2 Indisponibilidade de dados. 1 Mesmo que saibamos que variáveis afetam a nossa variável de interesse, pode ser que não tenhamos acesso a várias delas. 3 Variáveis essenciais versus variáveis periféricas. 1 Podemos decidir não usar algumas variáveis por
  • 24. O signicado do termo de pertubação estocástico Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá 1 Casualidade intrínseca no comportamento humano. Natureza da 2 Variáveis proxy fracas. regressão Conceitos da 1 As variáveis utilizadas podem não ser medidas acuradas. regressão 2 Exemplo: renda permanente da função de consumo (população) proposta por Milton Friedman. Conceitos da regressão 3 Princípio da parcimônia. (amostra) Estimação 1 Seguindo a navalha de Ocan, gostaríamos de deixar o Hipóteses nosso modelo de regressão tão simples quanto possível. 4 Forma funcional errada.
  • 25. Função de regressão amostral Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Natureza da regressão Mas nós não conhecemos a população! Conceitos da regressão (população) Por isso precisamos estimar a função de regressão amostral Conceitos da para fazermos inferência sobre a função de regressão regressão (amostra) populacional. Estimação Hipóteses
  • 26. Exemplo 4 - Consumo X Renda Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Natureza da regressão Conceitos da regressão (população) Conceitos da regressão (amostra) Estimação Hipóteses Figura: Amostras aleatórias
  • 27. Exemplo 4 - Consumo X Renda Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Natureza da regressão Conceitos da regressão (população) Conceitos da regressão (amostra) Estimação Hipóteses Figura: Retas de regressão baseadas em duas amostras diferentes
  • 28. Função de regressão amostral estimada Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Natureza da regressão Y = β0 + β1 X ˆi ˆ ˆ i Conceitos da regressão (população) Y ˆ i é o estimador de E (Y |X ).i Conceitos da ˆ βi é o estimador de β i. regressão (amostra) Assim: Estimação Hipóteses Y = β0 + β1 X + u i ˆ ˆ ˆ i i
  • 29. Retas de regressão Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Natureza da regressão Conceitos da regressão (população) Conceitos da regressão (amostra) Estimação Hipóteses Figura: Regras de regressão da amostra e da população
  • 30. Exercício 1 Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Os modelos a seguir são lineares nos parâmetros, nas variáveis, em ambos ou em nenhum? Natureza da regressão Conceitos da regressão (população) Conceitos da regressão (amostra) Estimação Hipóteses
  • 31. Exercício 2 Análise de A seguinte reta de regressão é FRP ou FRA? Por que? Como Regressão: Introdução você interpretaria os pontos dispersos em torno da reta de Rodrigo de regressão? Além do PIB que outros fatores, ou variáveis, Sá poderiam determinar a despesa de consumo pessoal? Natureza da regressão Conceitos da regressão (população) Conceitos da regressão (amostra) Estimação Hipóteses
  • 32. O método dos mínimos quadrados ordinários (MQO) Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Queremos estimar Y = β0 + β1 X + u i i i através de Natureza da Y = β0 + β1 X + u = Y + u . i ˆ ˆ ˆ i ˆ iˆ i i regressão Fazemos isso minimizando Conceitos da regressão (população) 2 Conceitos da u2 = ˆ i Y −Y i ˆ i regressão (amostra) 2 Estimação u2 = ˆ i Y − β0 + β1 X i ˆ ˆ i . Hipóteses Resolvendo...
  • 33. Estimador de MQO Análise de Regressão: Introdução Estimador da inclinação Rodrigo de Sá ˆ X −X Y −Y i ¯ ¯ i Natureza da β1 = regressão X −X 2 i ¯ Conceitos da regressão (população) ˆ X −X Y i ¯ i β1 = Conceitos da X 2 − nX 2 i ¯ regressão (amostra) ˆ Y −Y X i ¯ i β1 = Estimação Xi 2 − nX 2 ¯ Hipóteses Estimador do intercepto β0 = Y − β1 X ˆ ¯ ˆ ¯
  • 34. Exemplo 5 - Consumo X Renda Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Natureza da regressão Conceitos da regressão (população) Conceitos da regressão (amostra) Estimação Hipóteses Figura: Consumo e renda familiar
  • 35. Exemplo 5 - Consumo X Renda Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Natureza da regressão Conceitos da regressão (população) Conceitos da regressão (amostra) Estimação Hipóteses Figura: Calculando...
  • 36. Exemplo 5 - Consumo X Renda Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Natureza da regressão Conceitos da regressão (população) Conceitos da regressão (amostra) Estimação Hipóteses Figura: Reta de regressão estimada
  • 37. Propriedades numéricas dos estimadores de MQO Análise de Regressão: Introdução 1 Os estimadores de MQO são expressos exclusivamente em Rodrigo de termo das quantidades observadas pela amostra ( Y e X ). Sá 2 Eles são ESTIMADORES DE PONTO, isto é, dada uma Natureza da regressão amostra, cada estimador fornecerá um único ponto do Conceitos da parâmetro relevante da população. regressão (população) 3 Depois de obter as estimativas de MQO (β0 e β1 ), pode-se Conceitos da obter facilmente a reta de regressão da amostra, que regressão (amostra) apresenta as seguintes propriedades: Estimação 1 Ela passa pelas médias de Y e X . Hipóteses 2 O valor médio do Y estimado é igual ao valor médio do Y real (observado na amostra). 3 O valor médio dos resíduos é zero. 4 Os resíduos não tem correlação com o Y previsto, 5 Os resíduos não tem correlação com o X .
  • 38. Hipóteses subjacentes ao MQO Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá O objetivo é utilizar ˆ β0 e ˆ β1 para fazermos inferência sobre Natureza da regressão β0 e β1 e Y ˆ i para tentarmos saber algo sobre E (Y |X ). i Conceitos da Para isso precisamos de hipóteses estatísticas sobre como regressão (população) as variáveis são geradas (suas distribuições de Conceitos da probabilidade). regressão (amostra) O MODELO CLÁSSICO (OU PADRÃO, OU Estimação GAUSSIANO) DE REGRESSÃO LINEAR (MCRL) têm 10 Hipóteses hipóteses que vão garantir suas propriedades estatísticas.
  • 39. 1. Linear nos parâmetros Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Natureza da regressão Caso contrário, estaríamos estimando um modelo Conceitos da regressão especicado de forma incorreta! (população) Conceitos da Lembrem-se que o modelo PODE ser não-linear nas regressão (amostra) variáveis. Estimação Hipóteses
  • 40. 2. X xados Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Natureza da Os valores das variáveis explicativas ( X ) são xados em i regressão amostragem repetida. Conceitos da regressão (população) As variáveis explicativas são não-estocásticas. Conceitos da Isso implica que a análise de regressão é condicional aos regressão (amostra) dados valores do regressor. Estimação Mais uma vez o exemplo do consumo! (11) Hipóteses
  • 41. 3. O erro tem média zero Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Dado o valor de X , o valor médio do termo de perturbação i Natureza da aleatória u i é zero, regressão Conceitos da E (u |X ) = 0. i i regressão (população) Isto implica que os fatores não incluídos explicitamente no Conceitos da regressão (amostra) modelo (e, portanto, incluídos emu ) não afetam i sistematicamente o valor médio de Y . Estimação Hipóteses Assim, E (Y |X ) = β0 + β1 X . i i i
  • 42. 3. O erro tem média zero Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Natureza da regressão Conceitos da regressão (população) Conceitos da regressão (amostra) Estimação Hipóteses Figura: Distribuição condicional do erro
  • 43. 4. Homoscedasticidade Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Os erros são HOMOCEDÁSTICOS, ou seja, sua Sá VARIÂNCIA É CONSTANTE PARA QUALQUER VALOR Natureza da regressão DE X. i Conceitos da u |X ) = E (u − E (u ) |X )2 regressão (população) var ( i i i i i 2 var (u |X ) = E u |X Conceitos da regressão i i i i (amostra) 2 var (u |X ) = σ . i i Estimação Hipóteses Se os erros fossem HETEROCEDÁSTICOS, poderíamos denotar a sua variância como var ( u |X ) = σ 2 . i i i
  • 44. 4. Homoscedasticidade Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Natureza da regressão Conceitos da regressão (população) Conceitos da regressão (amostra) Estimação Hipóteses Figura: Erros homocedásticos
  • 45. 4. Homoscedasticidade Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Natureza da regressão Conceitos da regressão (população) Conceitos da regressão (amostra) Estimação Hipóteses Figura: Erros heterocedásticos
  • 46. 4. Homoscedasticidade Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Exemplos Natureza da Homocedástica: o consumo aumenta com a renda, mas a regressão variabilidade é igual tanto para pessoas com maior ou Conceitos da menor renda. regressão (população) Heterocedástica: o consumo aumenta com a renda, mas a Conceitos da variabilidade também aumenta com a renda. Indivíduos regressão pobres, em geral, consomem toda a renda (pouca (amostra) variabilidade). Indivíduos mais ricos podem consumir Estimação grande parte da renda como também podem poupá-la. Hipóteses É importante que os erros tenham variância constante pois o modelo clássico considera todos os Y i importantes.
  • 47. 5. Os erros não são correlacionados entre si Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Não existe nenhuma autocorrelação entre as perturbações. Natureza da regressão Dados dois valores X i e X j i = j ), a correlação quaisquer ( Conceitos da regressão entre u i e u j é zero. (população) Conceitos da cov ( u , u |X , X ) = 0. i j i j regressão (amostra) Estimação Caso contrário, Y t dependeria também de u −1 , e não só t Hipóteses das variáveis explicativas.
  • 48. 5. Os erros não são correlacionados entre si Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Natureza da regressão Conceitos da regressão (população) Conceitos da regressão (amostra) Estimação Hipóteses Figura: Padrões de correlação entre os erros.
  • 49. 6. Os erros não são correlacionados com X Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá A perturbação u e a variável explanatória X não tem Natureza da correlação. regressão Conceitos da cov ( u , X ) = 0. i i regressão (população) Conceitos da Essa hipótese é necessária porque precisamos separar os regressão (amostra) efeitos de X e u sobre o Y ; caso contrário, não saberíamos Estimação que parte do efeito atribuiríamos às variáveis e aos erros. Hipóteses Essa hipótese abre espaço para que o X também seja estocástico!
  • 50. 7. Observações sucientes Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Natureza da n deve ser maior do que o regressão O número de observações Conceitos da regressão número de parâmetros a serem estimados (número de (população) variáveis explicativas). Conceitos da regressão (amostra) Quantos pontos precisamos para traçarmos uma reta? Estimação Hipóteses
  • 51. 8. Variabilidade de X Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Natureza da Os valores X em uma dada amostra não podem ser todos regressão iguais. Conceitos da regressão Isto é, var (X ) 0. (população) O que aconteceria na fórmula do estimador caso contrário? Conceitos da regressão (amostra) O que aconteceria se regredirmos a arrecadação dos Estimação governos municipais gaúchos contra a unidade da Hipóteses federação a qual pertencem?
  • 52. 9. Especicação correta Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Natureza da regressão Conceitos da regressão O modelo de regressão está corretamente especicado. (população) Isto é, não há nenhum viés de especicação. Conceitos da regressão (amostra) Estimação Hipóteses
  • 53. 9. Especicação correta Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Natureza da regressão Conceitos da regressão (população) Conceitos da regressão (amostra) Estimação Hipóteses Figura: Curvas de Phillips linear e não-linear.
  • 54. 10. Ausência de multicolinearidade Análise de Regressão: Introdução Rodrigo de Sá Natureza da regressão Não há relação lineares perfeitas entre as variáveis Conceitos da regressão explicativas. (população) Conceitos da Voltaremos a esse ponto quando tratarmos de regressão regressão (amostra) múltipla. Estimação Hipóteses