1. MATRIKS DAN PENERAPANNYA DALAM BIDANG EKONOMI
1. Definisi dan Notasi Matriks
Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segiempat. Bilangan-bilangan
dalam susunan itu disebut anggota dlaam matriks tersebut.
Beberapa contoh matriks adalah
, , , , .
Ukuran matriks diberikan oleh jumlah baris (garis horizontal) dan kolom (garis
vertical) yang dikandungnya. Misalnya matriks pada contoh mempunyai ukuran 3
baris dan 2 kolom, sehingga ukurannya adalah 3 kali 2(ditulis 3 2). Dalam suatu
uraian ukuran, angka pertama selalu menyatakan jumlah baris dan angka kedua selalu
menyatakan jumlah kolom. Selanjutnya pada contoh secara berurutan matriks
mempunyai ukuran 1 3, 3 3, 2 1, dan 1 1. Untuk penamaan pada matriks,
kita akan menggunakan huruf besar untuk menyatakan matriks dan huruf kecil untuk
mewakili bilangan; jadi kita boleh menuliskan
atau
Anggota pada baris i dan kolom j dari sebuah matriks A akan dinyatakan
sebagai . Dan sebuah matriks umum m n ditulis sebagai
.

2. 2. Operasi – Operasi Matriks
a. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Dua matriks didefinisikan sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama
dan anggota berpadanannya sama. Dalam notasi matriks, jika A = [aij] dan B = [bij]
mempunyai ukuran sama, maka A=B jika dan hanya jika (A)ij = (B)ij atau secara
setara, aij = bij untuk semua i dan j.
Jika A = [aij] dan B = [bij] mempunyai ukuran sama maka
dan
Contoh operasi penjumlahan matriks:
Contoh operasi pengurangan matriks
b. Perkalian Matriks
Jika A adalah sebuah matriks m r dan B adalah sebuah matriks r n, maka
hasil kali AB adalah matriks m n yang anggota-anggotanya didefinisikan sebagai
berikut. Untuk mencari anggota dalam baris I dan kolom j dari AB, pilih baris i dari
matriks a dan kolom j dari matriks B. kalikan anggota-anggota yang berpadanan dari
baris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya.
A B = AB
m r r n m n
di dalam
di luar

3. Tinjau matriks-matriks
Karena matriks A matriks 2 3, dan matriks B adalah matriks 3 4, maka
hasil kali AB adalah sebuah matriks 2 4. Selanjutnya kita mengalikan anggota-
anggota berpadanan dengan cara:
(1.4) + (2.0) + (4.2) = 12
(1.1) (2.1) + (4.7) = 27
(1.4) + (2.3) + (4.5) = 30
(1.3) + (2.1) + (4.2) = 13
(2.4) + (6.0) + (0.2) = 8
(2.1) - (6.1) + (0.7) = 4
(2.4) + (6.3) + (0.5) = 26
(2.3) + (6.1) + (0.2) = 12
Jadi, bila dituliskan:A B menjadi
=
Jika ada sebarang scalar c dan matriks A,maka hasil kali cA adalah matriks yang
diperoleh dengan mengalikan setiap anggota A dengan c. Dalam notasi matriks, jika
A = [aij] maka
(cA)ij = c(A)ij = caij .
Contoh:
Matriks , kita mendapatkan bahwa 2A = .
3. Transpos suatu matriks
Jika A adalah sebarang matriks m n , maka transpos A dinyatakan dengan
, didefinisikan sebagai matriks n m yang didapatkan dengan mempertukarkan

4. baris dan kolom dari A; yaitu, kolom pertama dari adalah baris pertama dari A,
kolom kedua dari adalah baris kedua dari A, dan seterusnya.
Contoh:
maka,
maka,
 Sifat-Sifat Transpos Matriks
Jika ukuran matriks-matriks di bawah ini adalah sedemikian sehingga
operasi yang dinyatakan bias dilakukan, maka:
a. ((A)T)T = A
b. (A+B)T = + dan (A – B)T = –
c. (kA)T = kAT , dengan k adalah sebarang skalar
d. (AB)T =
4. Invers dari Sebuah Matriks
Jika A adalah sebuah matriks bujur sangkar, dan jika sebuah matriks B yang
berukuran sama bias didapatkan sedemikian sehingga AB = BA = I. maka A disebut
bias dibalik dan B disebut invers dari A.
Contoh:
Matriks
adalah invers dari
Karena

5. dan
Untuk dapat mencari invers dapat kita perhatikan rumus berikut ini:
, dapat dibalik jika ad – bc ≠ 0, di mana inversnya bias dicari dengan
rumus:
=
5. Determinan Sebuah Matriks
Pada pembahasan di atas kita membahas bahwa sebuah matriks
, dapat dibalik jika ad – bc ≠ 0. Ekspresi ad – bc muncul begitu sering
dalam matematika hingga ekspresi ini diberi nama, yaitu determinan dari matriks A(2
2) dan dinyatakan sebagai symbol det(A).
Menghitung sebuah determinan mulanya dari menghitung permutasi.
Permutasi himpunan bilangan bulat {1, 2, 3,…, n} adalah susunan biangan-bilangan
bulat ini dalam suatu urutan tanpa penghilang atau pengurangan. Untuk menyatakan
suatu permutasi umum dari himpunan {1, 2, 3,…, n}, kita akan menuliskan {j1, j2,…,
jn}. di sini j1 adalah bilangan bulat pertama dalam permutasi, j2 adalah yang kedua,
dan seterusnya. Suatu pembalikan dikatakan terjadi dalam suatu permutasi {j1, j2,…,
jn} bilamana suatu bilangan bulat yang lebih besar mendahului yang lebih kecil. Total
jumlah pembalikan yang terjadi dlaam suatu permutasi bias didapatkan sebagai
berikut: (1) cari jumlah bilangan bulat yang lebih kecil dari j1 dan yang mengikuti j1
dalam permutasi tersebut; (2) cari jumlah bilangan bulat yang lebih kecil dari j2 dan
yang mengikuti permutasi tersebut. Teruskan proses menghitung ini untuk j3,…, jn – 1.

6. Total dari jumlah – jumlah ini adalah total jumlah pembalikan dalam permutasi
tersebut.
Contoh:
Jumlah pembalikan dalam permutasi (6, 1, 3, 4, 5, 2) adalah :
5 + 0 + 1 + 1 + 1 = 8.
Jumlah pembalikan dalam permutasi (2, 4, 1, 3) adalah : 1 + 2 + 0 = 3.
Untuk menghitung determinan suatu matriks kita dapat mendaftarkan semua
hasil kali dasar dari suatu matriks A(n n). kita akan memberikan makna pada setiap
hasil kali dari n anggota dari A, yang dua di antaranya tidak ada yang berasal dari
baris atau kolom yang sama.
Berikut adalah hasil kali bertanda dari matriks – matriks berordo 2 2 dan
3 3.
a.
Hasil Kali Permutasi Jumlah Hasil Kali Dasar
Klasifikasi
Dasar Terkait Pembalikan Bertanda
(1,2) 0 genap
(2,1) 1 ganjil
Mengacu pada tabel di atas kita peroleh:
=

7. b.
Hasil Kali Permutasi Jumlah Hasil Kali Dasar
Klasifikasi
Dasar Terkait Pembalikan Bertanda
(1,2,3) 0 genap
(1,3,2) 1 ganjil
(2,1,3) 1 ganjil
(2,3,1) 2 genap
(3,1,2) 2 genap
(3,2,1) 3 ganjil
Mengacu pada tabel di atas kita peroleh:
=
.
Lebih mudah lagi, kita dapat menghitung dengan menjumlahkan hasil kali pada
panah kanan dan mengurangkannya dengan hasil kali pada panah kiri.
(a)

8. Contoh :
Hitung determinan dari A= dan B=
Penyelesaian:
Dengan menggunakan metode panah di atas kita peroleh:
Det (A) = (3)( 2) – (1)(4) = 10
Det (B) = (45) + (84) + (96) – (105) – ( 48) – ( 72) = 240.

9. Penerapan Matriks pada Bidang Ekonomi
1. Suatu perekonomian hipotesa yang sederhana terdiri dari dua industri A dan B
yang dinyatakan dalam tabel berikut (data dalam puluhan juta dolar produk):
Input Permintaan Jumlah
Produsen
A B akhir output
A 14 6 10 35
B 7 18 15 48
Tentukanlah vektor output perekonomian jika permintaan akhir berubah menjadi16
untuk A dan 20 untuk B.
Penyelesaian:
Koefisien input
I–A= dalam bentuk sederhana menjadi

10. Jika C1 = 16, dan C2 = 10 maka vektor output menjadi: