1. Introducci´on Inecuaciones
Ecuaciones y Desigualdades
Inecuaciones
Ysela Ochoa Tapia
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2. Introducci´on Inecuaciones
Introducci´on
Introducci´on
Vimos en la secci´on 3.2 que en la soluci´on de ecuaciones
lineales ten´ıamos una soluci´on ´o como en el caso del valor
absoluto 2 soluci´ones. Ahora en las inecuaciones, tendremos
un conjunto infinito de soluciones las cuales las
representaremos mediante INTERVALOS
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3. Introducci´on Inecuaciones
Inecuaci´on Lineal
Definici´on
Una inecuaci´on lineal de una variable es una desigualdad
(>, <, ≥, ≤) entre dos expresiones algebraicas donde la
variable (inc´ognita) tiene grado uno y se expresa como:
ax + b < c ax + b > c
´o
ax + b ≤ c ax + b ≥ c
a = 0; a, b, c ∈ R
El conjunto soluci´on. se representaran con INTERVALOS y tambien lo representamos graficamente en la recta real
R
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4. Introducci´on Inecuaciones
Tipos de Intervalos
INTERVALO ABIERTO
Usar PARENTESIS
a < x < b =⇒
(a, b)
GRAFICAMENTE
a b
< ´o >: ABIERTO.
INTERVALO CERRADO
Usar CORCHETE
a ≤ x ≤ b =⇒
[a, b]
GRAFICAMENTE
a b
≤ ´o ≥: CERRADO
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5. Introducci´on Inecuaciones
Tipos de Intervalos
INTERVALOS SEMIABIERTOS
Usar PARENTESIS
x > a =⇒
(a, ∞)
x < a =⇒
(−∞, a)
Usar CORCHETES
x ≥ a =⇒
[a, ∞)
x ≤ a =⇒
(−∞, a]
a
x > a
a
x ≥ a
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6. Introducci´on Inecuaciones
Inecuaci´on Lineal
Se resuelve similar a las ecuaciones, usando propiedades de
desigualdad.
Propiedad de Adici´on Propiedad de Multiplicaci´on
Si a < b =⇒ a + c < b + c Si a < b =⇒ a.c < b.c
con c positivo (c > 0)
IMPORTANTE Si c < 0 la desigualdad cambia en la
multiplicaci´on: a.c > b.c
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7. Introducci´on Inecuaciones
Ejercicios de Pr´actica
Hallar el conjunto soluci´on de: 3x + 5 < 14
Soluci´on
3x + 5 − 5 < 14 − 5 (prop. de adicci´on)
3x < 9
3x
3
<
9
3
(prop. de multiplicaci´on)
x < 3
Representaciones del Conjunto Soluci´on
INTERVALO: (−∞, 3)
GR´AFICO:
0 3
x < 3
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8. Introducci´on Inecuaciones
Ejercicios de Pr´actica
Resolver: −2x + 3 ≥ 2x − 8 Soluci´on:
−2x + 3 − 3 ≥ 2x − 8 − 3 (prop. de adicci´on)
−2x ≥ 2x − 11
−2x − 2x ≥ 2x − 11 − 2x (prop. de adicci´on)
−4x ≥ −11
−4x
−4
≤
−11
−4
(prop. de multipl. (-1/4) cambia de sentido la desigualdad )
x ≤
11
4
INTERVALO: −∞, 11
4
0 11
4
x ≤ 11
4
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9. Introducci´on Inecuaciones
Inecuaci´on Lineal
Inecuaciones con Valor Absoluto. Propiedades:
Si |a| < b ´o |a| ≤ b Si |a| > b ´o |a| ≥ b
=⇒ −b < a < b =⇒ a > b ´o a < −b
=⇒ −b ≤ a ≤ b =⇒ a ≥ b ´o a ≤ −b
Halle el C.S. de |3x − 4| < 8 Soluci´on:
−8 < 3x − 4 < 8
−8 + 4 < 3x − 4 + 4 < 8 + 4
−4 < 3x < 12
−4
3
<
3x
3
<
12
3
−
4
3
< x < 4
INTERVALO: C.S −4
3
, 4
GR´AFICO:
0 4−4
3
− 4
3
< x < 3
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10. Introducci´on Inecuaciones
Ejercicios de Pr´actica
Halle el C.S. de |6x + 4| > 9 Soluci´on:
6x + 4 > 9
6x + 4 − 4 > 9 − 4
6x > 5
6x
6
>
5
6
x >
5
6
´o
´o
6x + 4 < −9
6x + 4 − 4 < −9 − 4
6x < −13
6x
6
<
−13
6
x < −
13
6
IMPORTANTE la Disyunci´on l´ogica ´o se convierte en union ∪
C.S. −∞, −13
6
∪ 5
6
, ∞
0 5
6
−13
6
x > 5/6x < −13/6
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11. Introducci´on Inecuaciones
Ejercicios de Pr´actica
Halle el C.S. de |4 − 7x| ≥ 2x + 1 Soluci´on:
4 − 7x ≥ 2x + 1
4 − 7x − 4 ≥ 2x + 1 − 4
−7x − 2x ≥ 2x − 3 − 2x
−9x ≥ −3
−9x
−9
≤
−3
−9
x ≤
1
3
´o
´o
4 − 7x ≤ −(2x + 1)
4 − 7x ≤ −2x − 1
4 − 7x − 4 ≤ −2x − 1 − 4
−7x + 2x ≤ −2x − 5 + 2x
−5x ≤ −5
−5x
−5
≥
−5
−5
x ≥ 1
C.S. −∞, 1
3
∪ [1, ∞)
0 11
3
x ≥ 1x ≤ 1/3
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