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TDSA, Analyse Spectrale et Filtrage continu.pdf

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  1. 1. Module : Traitement du Signal Pr. A. SAHEL 1 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  2. 2. 2 I- Généralités sur les signaux, Rappels théoriques II- Représentation des signaux déterministes, Transformée de Fourier III- Impulsion du Dirac, Produit de Convolution V- l’Echantillonnage, Théorème de Shannon IV- La fonction de Corrélation VI- Filtrage à temps continu LST GT - TDSAN - Prof. A. SAHEL Partie 1 : Traitement du Signal Analogique
  3. 3. 3 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  4. 4. 4 Qu'est ce qu'un signal ? ● Une observation des fluctuations d’une grandeur physique relative à un phénomène (naturel ou technologique). Il se formule sous la forme d’une fonction ● Une grandeur physique convertie par un capteur sous la forme la plus fréquente d'un signal électrique : tension ou courant TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  5. 5. 5 Qu'est ce qu'un signal ? Un signal est la représentation physique de l’information qu’il transporte de sa source a son destinataire. Il sert de vecteur à une information. Il constitue la manifestation physique d’une grandeur mesurable (courant, tension, force, température, pression, etc.). Les signaux sont des grandeurs électriques variant en fonction du temps x(t) obtenues a l’aide de capteurs. Sur le plan analytique : Un signal sera une fonction d'une variable réelle, en général le temps. Exemples : ▪ Onde acoustique : délivré par un microphone (parole, musique, …) ▪ Signaux biologiques : EEG, ECG ▪ Tension aux bornes composant électronique ▪ Signaux géophysiques : vibrations sismiques ▪ Finances : cours du pétrole ▪ Images, Vidéos TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  6. 6. Notion de systèmes de traitement du signal 6 Réponse Signal de sortie Excitation Signal d’entrée Système ● Les grandeurs qui agissent sur la tâche sont les signaux d’entrée. ● Les grandeurs qui caractérisent ou résultat de tâche sont les signaux de sortie. Notion de système Un système est un ensemble d’éléments organisé dont l’utilité est la réalisation d’une (ou de plusieurs) tâche(s). Remarque L’approche adoptée de la notion « système » est la relation entrée–sorties (ou causes- effets) indépendamment de leur complexité ou la technologie des composants, Les signaux et systèmes sont deux notions indissociables car on étudie les signaux dans leur relation avec les systèmes qui les transforment, les traitent ou les transmettent, TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  7. 7. Notion de systèmes de traitement du signal 7 Notion de système de traitement du signal o acquisition :transformer une grandeur physique en grandeur électrique analogique ou numérique o transmission : permettre (ou faciliter) le transport du signal sans perte sensible de l’information utile sur le support adapté o mise en forme : extraire et présenter l’information utile contenue dans le signal pour l’interpréter (l’exploiter) le plus aisément possible o interprétation: donner une décision finale (détecter, estimer,…) TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  8. 8. Les signaux sont décrits soit par des fonctions soit par des distributions. Ils sont classés par deux paramètres : -- le temps, -- l’espace (signaux acoustiques) 1- Signal déterministe ou certain - Possibilité de prévoir à l’avance son évolution. - décrit mathématiquement par une fonction f(t) du temps. - parfaitement déterminé à chaque instant par cette fonction. Exemple : Signal sinusoïdal Typologie des signaux On distingue deux types de signaux : 2- Signal aléatoire - Sa forme est imprévisible et ne peut être décrit par un modèle mathématique (hasard). - Introduction des notions (probabilité, densité de probabilité, …) Exemple : La tension u(t) aux bornes d'une résistance à une température T (désordre des électrons sous agitation thermique). 8 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  9. 9. Signal et bruit 9 Tout signal physique comporte une composante aléatoire (perturbation externe, bruit, erreur de mesure, etc …). Le bruit est défini comme tout phénomène perturbateur gênant la perception ou l’interprétation d’un signal, par analogie avec les nuisances acoustiques (interférence, bruit de fond, etc.). La différentiation entre le signal et le bruit est artificielle et dépend de l’intêret de l’utilisateur : les ondes électromagnétiques d’origine galactique sont du bruit pour un ingénieur des télécommunications par satellites et un signal utile pour les radioastronomes. TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  10. 10. Émetteur Récepteur x(t) Signal émis y(t) = x(t) + b(t) Signal reçu b(t) Bruit Canal de transmission y(t) : signal reçu présentant souvent une distorsion. x(t) : information utile Utilité du TDS : récupérer x(t) dans le récepteur sans déformation ni dégradation. Utilité de l’étude des signaux aléatoires : le bruit contenu dans ce signal est peut être porteur d’information ou doit être isolé. Soit le système de transmission : Signal et bruit Le rapport signal sur bruit est une mesure de degré de contamination du signal par du bruit:        = = B S B S dB dB 10 10 log P P B S 10 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  11. 11. Le Traitement du signal Le Traitement Du Signal est une théorie permettant : -- d’effectuer une description (modélisation), -- un traitement (filtrage, amplification...), -- une analyse et une interprétation des signaux. Le TDS s’appuie sur plusieurs branches des mathématiques comme de la physique pour ses fondements théoriques: -- les mathématiques: statistiques, Analyse fonctionnelle, Algorithmique -- techniques de la théorie de l'information, 11 Les fonctions du traitement du signal peuvent se diviser en deux catégories : ▪ l’élaboration des signaux (incorporation des informations) et ▪ l’interprétation des signaux (extraction des informations). Les principales fonctions intégrées dans ces deux parties sont les suivantes : ▪ Elaboration des signaux : synthèse, modulation, codage/compression, etc. ▪ Interprétation des signaux : filtrage, détection, identification, analyse, mesure, etc. TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  12. 12. Les techniques du TDS s'appliquent à toutes les étapes - d'une chaîne d'acquisition, - d'analyse, d'interprétation, - de transfert et de restitution des données. ● Télécommunications : la téléphonie, le transfert de données numériques terrestre ou via satellite, la compression des données importante pour exploiter au mieux la bande passante disponible et minimiser les pertes, la suppression d'échos… ● Audio : amélioration des techniques d'enregistrement et de compression numérique pour obtenir la plus grande qualité sonore possible en utilisant le minimum de mémoire de stockage. ● Imagerie : domaine médical (reconstruction tomographique, imagerie par résonance magnétique - IRM), traitement de photos satellite ou d'images radar. Ce domaine inclut aussi les techniques de reconnaissance de formes et de compression. Les techniques du TDS s'appliquent dans pratiquement tous les domaines de la technologie : Domaines d’application du traitement du signal 12 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  13. 13. -1 sgn(t) t 1 0 Fonctions particulières a- Fonction signe 1 0 0 0 1 0 0 0 0 pour t sgn(t ) pour t pour t pour t ou t pour t t −  = =  = =  t 1 0 u(t) 0 0 1 0 pour t u(t ) pour t  =  ) sgn( 2 1 2 1 ) ( t t u + = b- Signal Echelon (échelon de Heaviside) 13 r(t) t 0 c- Fonction rampe t t u d u t r t ). ( ) ( ) ( = =  −   dt t dr t u ) ( ) ( = TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  14. 14.   ( ) T x t Arect t  = − t A 0 +T/2 -T/2  Remarque En traitement du signal, la fonction rect(t) est considérée comme une impulsion rectangulaire de durée T, d’amplitude A et centrée à un instant t=. d- Fonction Porte Rectangulaire 1 rect(t) t 0 1/2 -1/2 2 1 0 2 1 1   = t pour t pour t rect ) ( C’est la fonction porte ou fenêtre (normalisée) Signaux Fondamentaux 14 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  15. 15. x(t) t 1 0 ( ) ( ) 2 F T T x t x t rect t   =  −   t 1 0 T t 1 0 T ) ( 2 T t rectT − En TDS rectT(t) joue un rôle très important. Elle permet de tronquer un signal d’une forme quelconque et le localiser pendant une durée T afin de simplifier son traitement et son étude. Signaux Fondamentaux rectT(t) intervient aussi dans la définition des fonctions énergétiques d’un signal x(t) pendant un intervalle de temps de longueur T: 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ). ( ) T T T x t x t dt x t rect t dt T T + − − = =   2 2 2 2 ( ) ( ). ( ) T q T T V x t dt x t rect t dt + − − = =   2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ). ( ) T x T T p t x t dt x t rect t dt T T + − − = =   x eff P x = Valeur moyenne de x(t) : Valeur quadratique moyenne de x(t) (puissance normalisée) Valeur efficace de x(t) sur T Valeur quadratique de x(t) 15 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  16. 16. Fonction Porte Triangulaire 1 1 0 0 t pour t tri(t ) pour t  −   =     tri(t) t 1 0 -1 1 ( ) ( ) . T x t Atri t  = − 0  t A -T +T Impulsion triangulaire centrée à  Signaux Fondamentaux 16 Fonction Sinus cardinal t t t   sin ) ( sinc =  +  − =  1 sinc dt t) (  +  − =  1 sinc2 dt t) ( TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  17. 17. t (t) 1 0 t ( ) ( ) 0 t t a t x −  =  a 0 t0  +  − =  = dt t t x x x ) ( ). ( , ) (   0 Signaux Fondamentaux (t) est une impulsion de largeur unité. C’est une distribution définie par :  +  − − = dt t t t x t x ) ( ). ( ) ( 0 0  (t) est non nulle à l’origine. (t) restitue la valeur d’une fonction continue à l’origine. C’est un opérateur très utilisé en traitement du signal et joue un grand rôle dans l’opération d’échantillonnage. Fonction Impulsion de Dirac Propriétés de (t) 1 ( at ) (t ) a   = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 x t t x t    =  ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 t t t x t t t x −  = −    ) ( ) ( t u dt d t =  ) 2 1 ( ) 2 1 ( )) ( ( − − + = t t t rect dt d   0 1 ( ) lim ( ) T T t rect t T  → = Remarque 17 t T T (t) 1 0 Peigne de Dirac : suite périodique d’impulsions de Dirac  + − = − = k T kT t t ) ( ) (   TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  18. 18. Les signaux sont classés selon le phénomène pendant lequel ils sont créés. On distingue les signaux déterministes et les signaux aléatoires. Classification des signaux Signaux aléatoires Les signaux aléatoires sont des signaux dont le comportement temporel est imprévisible. Leur création dépend du hasard et leur description nécessite des observations statistiques ce qui conduit à introduire la notion des probabilités. Signaux déterministes Leur évolution en fonction du temps peut être parfaitement prédite et leur représentation est faite à l’aide d’un modèle mathématique approprié. Classification phénoménologique : 18 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  19. 19. Exemple : signaux sinusoïdaux ( )      + = + =     t T A t T A t x 2 2 sin ) sin( ) (       = t T A t x  2 sin ) ( 0 0 t A t Classification des signaux Signaux déterministes x̂ ) ( ˆ t x Im t+  Re ) ( ) ( ˆ   +  = t j e x t x 0 Notation et Représentation complexe IC IR ⎯→ ⎯   t j t j e e x t x j    − + − =  2 0 0 ˆ sin ˆ   t j t j e e x t x    − + + =  2 0 0 ˆ cos ˆ jx0sint x0/2 x0/2 - t Im t Re x0cost x0/2 x0/2 - t Im  t Re ) ( ˆ ) ( t x t x ⎯→ ⎯ 0 0 0 1 2 f , f T   = = Ils sont de durée infinie et suivent une loi de répartition cyclique de période T et qui répondent à l’équation : Signaux périodiques IN k kT t x t x  + = ; ) ( ) (   j t j e x x avec e x t x  =  = 0 ˆ ˆ ) ( ˆ 19 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  20. 20. Signaux quasi-périodiques Ces signaux résultent d’une somme de signaux de périodes différentes : .......... 2 sin 2 sin 2 sin ) ( 3 2 1 + + + = T t T t T t t x    Signaux non périodiques x(t) t 0 Signaux transitoires de durée finie : Exemples : t x(t) 1 0 b a t 1 0 y(t)       + − = − 2 ) ( ) ( b a t rect t x a b ) ( ) ( t u e t y at  = − 20 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  21. 21. -- leur comportement temporel est imprévisible et Leur création dépend du hasard -- leur description nécessite des observations statistiques (notion des probabilités. Exemple : Les signaux pseudo-aléatoires. Pour rendre leur comportement probable on introduit la notion des probabilités. Classification des signaux Signaux aléatoires x(t) t 0 T1 Signaux aléatoires stationnaires Leurs caractéristiques statiques sont invariantes dans le temps. Ceci est en fonction de la durée d’observation. Exemple : bruit blanc ; signal à large bande 0 x(t) t x(t) 0 t Signaux aléatoires non stationnaires : 21 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  22. 22. Classification des signaux Classification Energétique : On distingue fondamentalement deux grandes catégories de signaux : • les signaux à énergie finie; • les signaux à puissance moyenne finie non nulle. La première catégorie comprend tous les signaux de type transitoire, qu'ils soient déterministes ou aléatoires. La deuxième catégorie englobe presque tous les signaux périodiques, quasi-périodiques et les signaux aléatoires permanents. L'abstraction mathématique pour l'impulsion de Dirac (t) n'est pas classable dans ce contexte, pas plus que la suite périodique d'impulsions de Dirac :  + − = − = k T kT t ) (   22 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  23. 23. 2 1 2 1 2 (valeur quadratique) t x t w (t ,t ) x (t )dt =  -- L’énergie d’un signal réel x(t) calculée sur l’intervalle t1,t2 est : -- la Puissance moyenne totale est :   2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 (valeur quadratique moyenne) t x t eff x P (t ,t ) x (t )dt t t X P sur t ,t = − =   +  − = dt t x Wx ) ( 2 Signaux périodiques de période T0 : -- l’Energie totale est : -- la Puissance moyenne totale est : 0 0 2 2 0 2 1 T x T T P lim x (t )dt T → − =  ( ) t x2 ( )2 t x Remarque : Dans le cas des signaux complexes, on remplace par 23 ; Classification des signaux Classification Energétique : TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  24. 24.  +  − = dt t x Wx ) ( 2 0 0 0 2 2 0 2 1 0 T T T lim x(t ) dt T → −     Signaux à énergie finie : Ces signaux vérifient : Signaux à puissance moyenne finie Ils vérifient l’équation : Exemple : Les signaux périodiques, quasi-périodiques, les signaux aléatoires stationnaires. est bornée Exemple : Les signaux carré sommables ont une puissance moyenne nulle 24 Classification des signaux Classification Energétique : TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  25. 25. Classification Morphologique : 25 Classification des signaux 0 xq(tk) : Signal numérique kTe Amplitude discrète - temps discret kTe x(tk) : Signal échantillonné 0 Amplitude continue - temps discret xq(t) : Signal quantifié 0 t Amplitude discrète - temps continu x(t) : signal analogique t 0 Amplitude continue - temps continu Quantification Échantillonnage TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  26. 26. Classification spectrale : L’analyse spectrale d’un signal conduit à une classification basée sur la distribution de son énergie ou de sa puissance en fonction de la fréquence. On obtient alors un spectre. La largeur de bande B d’un signal ou la bande spectrale B d'un signal est le domaine de fréquence où se trouve l'énergie utile transportée par le signal. On définit ainsi les signaux à : -- à basses fréquences (BF), -- à hautes fréquences (HF), -- à bande étroite, -- à large bande… On appelle signal à bande limitée (ou de spectre borné) tout signal dont le spectre est nul en dehors d’une bande de fréquence B. 26 Classification des signaux TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  27. 27. Autres caractéristiques de signaux : Signaux bornés en amplitude C’est une propriété de tous les signaux physiquement réalisables et qui vérifie l’équation suivante : Signaux paires et impaires un signal est dit pair s’il vérifie l’équation : un signal est dit impair s’il vérifie l’équation : Signaux causals Ce sont des signaux qui vérifient l’équation : Tous les signaux expérimentaux vérifient cette condition. C’est par commodité théorique qu’on est amené à définir le signal sur la totalité de l’axe des temps. K t x  ) ( ) ( ) ( t x t x − = x( t ) x(t ) − = − 0 0   = t t x ; ) ( 27 Classification des signaux TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  28. 28. sgn(t) t -1 1 0 t 1 0 u(t) r(t) t 0 1 rect(t) t 0 1/2 -1/2 Signaux Fondamentaux 28 -1 1 tri(t) t 1 0 t (t) 1 0 ШT (t) T t 1 0 t 0       = t T A t x  2 sin ) ( t 0       = t T A t x  2 cos ) ( TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  29. 29. II- Représentation des signaux déterministes, Transformée de Fourier 29 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  30. 30. Notion de spectre, Transformée de Fourrier 30 Un même signal possède deux représentations différentes mais complémentaires : une représentation temporelle et une représentation fréquentielle. Pour obtenir une représentation spectrale des signaux déterministes (spectre). On fait appel aux outils mathématiques : - le développement en séries de Fourier - et, plus généralement, la transformée de Fourier En effet, dans la réalité, les signaux n'ont pas toujours une forme simple en raison de la nature de l'information qu’ils portent. Dans de tels cas, la représentation du signal en fonction de la fréquence est très utile. Pour cela, on fait appel à l'analyse fréquentielle. Elle a pour but de mettre en évidence des caractéristiques du signal non évidentes dans la représentation temporelle : les propriétés fréquentielles (spectrales). L’utilisation de cette description fréquentielle permet de caractériser simplement les filtres linéaires, et faciliter leur étude. l'analyse fréquentielle ou harmonique est l'instrument majeur de la théorie du signal Le spectre exprime la répartition de l'amplitude, de la phase, de l'énergie ou de la puissance des signaux considérés en fonction de la fréquence. TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  31. 31. -- si est paire : alors ( ) ( ) t f t f − = ( ) t f t n a a t f n n  + = + = 1 0 0 cos ) (  -- si est impaire : alors ( ) ( ) t f t f − − = t n b t f n n  + = = 1 0  sin ) ( ( ) t f Spectre des Signaux périodiques 31 Les signaux périodiques sont de durée infinie et suivent une loi de répartition cyclique de période T et répondent à l’équation : Soit un signal déterministe , tel que IN k kT t x t x  + = ; ) ( ) ( ) (t x Développement en série de Fourier Une fonction périodique f(t) de période peut être développée en série de Fourier et s’écrit sous la forme : 0 0 1 f T =  + = + + = 1 0 0 0 2 2 n n n t f n b t f n a a t f   sin cos ) ( Rappel Les coefficients de Fourier et se calculent comme suit : n a n b 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 ( ) ( 2 ) 0 ( ) ( 2 ) 1 T T n n a f t cos n f t dt n ; b f t sin n f t dt n T T   =   =     0 a est la valeur moyenne ou composante continue :  = 0 0 0 0 ) ( 1 T dt t f T a Propriétés TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  32. 32. 32 Représentation exponentielle complexe de la Série de Fourier 0 1 0 2 0 0 f e C e C a t f n t jn n t jn n     = + + =   = − − + ; ) (  − +  = 0 0 0 0 1 T t jn n dt e t f T C  ) ( 0 0 0 0 1 T jn t n C f (t ) e dt T  − =   0 0 0 0 0 1 0 0 a dt e t f T C C T =  = =  + − ) ( ) ( ) (  + − = n n C C  +  − + = t jn ne C t f 0  ) (  − = 0 0 0 0 1 T t jn n dt e t f T C  ) ( Or : et Spectre de Signaux périodiques Série de Fourier en cosinus En prenant en compte la relation trigonométrique suivante :               − +  + =  +  A B arctg B A B A    cos sin cos 2 2 le développement en série de Fourier peut également s'écrire :   = + + = 1 0 0 ) 2 cos( ) ( n n n t f n A A t f   n n n n n n a b tg a A b a A − = = + =  ; ; 0 0 2 2 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  33. 33. 33 Spectre des Signaux périodiques Le spectre s’étend de 0 à + C’est la représentation spectrale associée au développement en série de Fourier en cosinus Le spectre s’étend de - à + n n n n n n a b tg a A b a A − = = + =  ; ; 0 0 2 2  − = T t jn n dt e t f T C 0 0 0 ) ( 1   +  − = t jn ne C t f 0 ) (  n j n n n n e jb a C   = − = 2 n j n n n n e jb a C   − − = + = 2 0 2 2 2 2  = + = = n A b a C n n n n n  ) ( n n n a b Arctg − =  An A5 A6 A4 A3 A2 A1 0 f0 nf0 A0 Spectre unilatéral A5/2 A3/2 A0 A1/2 0 f0 nf0 A2/2 A4/2 A6/2 Spectre bilatéral A1/2 A2/2 Cn Le spectre d’amplitude d’un signal périodique est constitué: o de la composante continue à f=0 d’amplitude C0 (A0); o du fondamental à la fréquence f0 d’amplitude C1 (A1); o d’harmoniques positionnés aux différentes fréquences nf0 d’amplitude Cn (An). Remarque Le spectre d’un signal périodique est un spectre discontinu, (Spectre de raies, spectre discret). TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  34. 34. 34 Transformée de Fourier Soit un signal déterministe sa transformée de Fourier est une fonction complexe de la variable réelle définie par f : ( ) t x   1 2 ( ) ( ) ( ) j ft x t TF X f X f e df  + − + − = =     +  − − = = dt e t x f X t x TF ft j  2 ) ( ) ( ) ( ) ( f X est le spectre du signal . ) (t x Transformée de Fourier d’un signal réel     ) ( ) ( . ) ( ) ( ) ( f X j f X e f X f X m e f j  +  = =  : module, c’est le spectre d’amplitude ) ( f X : argument, c’est le spectre de phase ) ( f  La transformée de Fourier d’un signal réel x(t) est une fonction complexe X(f) telle que : t et f sont respectivement le temps et la fréquence, elles sont les variables conjuguées de la TF. Spectre de signaux quelconques TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  35. 35. 35 Transformée de Fourier, Propriétés de la Linéarité Similitude Changement d’échelle sur t Dérivation Intégration Transposition Complexe Conjugué Translation sur t Théorème du retard Modulation par une fréquence f0 (Translation sur f ) Dérivation par rapport à f Dérivation par rapport à t 1 2 1 2 y(t ) ax (t ) bx (t ) Y( f ) aX ( f ) bX ( f ) = +  = +        a f X a at x 1 ) ( ) ( ) 2 ( f X f j dt x d TF n n n  =       ) ( 2 1 ) ( f X f j d x TF t    =        −   ) ( ) ( f X t x TF − = − TF x (t ) X ( f )     = −     ) ( ) ( 0 2 0 f X e t t x TF ft j  − = − 0 2 0 j f t TF e x(t ) X( f f )     = −     2 2 ( n ) n X ( f ) TF [ x(t )] TF jt x(t ) X ( f ) TF ( j t ) x(t )     = = −    = −        ( )   2 2 n ( n ) TF x'(t ) j f TF x(t ) TF x (t ) j f TF ( x(t )   =    =    TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  36. 36. III- Impulsion du Dirac, Produit de Convolution 36 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  37. 37. t0 Impulsion de Dirac 37 0 t (t) 1 Impulsion centrée à l’instant t=t0  +  − = 1 ) ( dt t  (t-t0) 0 t0 t 0 t A.(t)  +  − =  A dt t A ) (  Produit d’une fonction par l’impulsion de Dirac A 1 (t) 0 t 1 t0 t 0 f(t) f(t).(t) 0 t (t) 0 t 1 t 0 f(t) f(t).(t) 0 t ) 0 ( ) ( ) ( f t t f =  ) ( ) ( ) ( 0 0 t f t t t f = −  t 0 f(t) p(t) 0 t 1 e T e T 2 e nT fe(t)=f(t).p(t) 0 t e T e T 2 e nT e e e e n n f (t ) f (t ) (t nT ) f ( nT ). (t nT )   + + =− =− =  − = −   Produit d’une fonction par : f(t) est échantillonnée ( ) t f ( ) t p TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  38. 38. 0 f   ) (t A TF  38 0 t (t) 1 (t-t0) 0 t0 t 0 t A.(t) A   1 ) ( = t TF  On démontre que : TF[ A (t ) ] A  =   0 2 0 j ft TF (t t ) e   − − = 0 f   ) (t TF    1 TF ( f )  = On démontre également:   0 2 0 j f t TF ( f f ) e   − = Transformée de Fourier de l’impulsion Dirac 𝑇𝐹 1 = 𝛿(𝑓) 0 2 0 j f t TF e ( f f )     = −   1 A   0 0 2 2 0 1 2 2 j f t j f t TF cos f t TF e e    −   = +   1/2 0 f0 f -f0   t f TF 0 2 cos    0 0 2 2 0 1 2 2 j f t j f t TF sin f t TF e e j    −   = −   -f0 1/2j 0 f0 f   t f TF 0 2 sin  t f0 2 sin  0 t f0 2 cos  0 T0 t -1/2j     0 0 0 1 2 2 TF cos f t ( f f ) ( f f )    = − + +     0 0 0 1 2 2 TF sin f t ( f f ) ( f f ) j    = − − + D’où TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  39. 39. 39 p(t) est périodique de période e T Décomposition de p(t) en série de Fourier, e e n t jk k T avec e C t p e    2 ) ( = =  + − = 2 2 0 2 2 1 1 1 ( ). ( ). e e e e e T T jk t k T T e e e C t e dt t e dt T T T    + + − − − = = =    + − = = = n t jk e e k e e T t p T C  1 ) ( ; 1  + − = − = n e nT t t p ) ( ) (  0 t 1 e T e T 2 e nT k C 0 f 1/Te e F e F 2 e kF e F − Spectre du peigne de Dirac Calcul de la transformée de Fourier de p(t)       0 2 1 ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) e jk t k e jk f t k e e k e k e e TF p t TF e T TF e T TF p t f kf T k TF p t f T T     + =− + =− + =− + =−   =       =   = − = −     P( f ) 0 f 1/Te e F e F 2 e kF e F − TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  40. 40. 40   ( ) ( ) H f TF h t = La convolution est un outil qui est utile pour deux applications principales dans la théorie de signal : l’échantillonnage et la modulation Le produit de convolution est utilisé dans le traitement du signal, lors de l’opération de filtrage. s(t) est la réponse du système linéaire, causal et invariant dans le temps s(t) est le produit de convolution entre e(t) et h(t). Produit de Convolution Si l'on applique un signal e(t) à l’entrée d’un système de fonction de transfert : s(t) e(t) Filtre h(t) ) ( ) ( ) ( t h t e t s  = ( ) ) ( ) ( t t e  = h(t) est la réponse impulsionnelle du filtre . Un système linéaire est modélisé par sa réponse impulsionnelle h(t). Produit de Convolution TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  41. 41. 41 Produit de Convolution : Définition  +  − −  =  =    d t h x t h t x t y ) ( ) ( ) ( ) ( ) (  −  = t d t h x t y 0 ) ( ) ( ) (    Pour les signaux causaux ) 0 0 ) ( ) ( (  = = t pour t h t x Propriétés du produit de convolution ) ( ) ( ) ( ) ( t f t g t g t f  =  ( ) ( ) 2 1 2 1 g f g f g g f  +  = +    ( ) ( ) g f g f g f f  +  =  + 2 1 2 1   Commutativité Distributivité ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t h t g t f t h t g t f   =   Associativité Elément neutre ) ( ) ( ) ( t f t t f =  Produit de Convolution TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  42. 42. 42 Illustration du produit de convolution : Intégrale géométrique ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y t f t g t f g t d g f t d       + + − − =  =  − =  −   3 3 ( ) t g 0 2 1 t 4 ( ) t f t 0 1 2 Pour t=3 3 4 ) 2 ( ) (   − g f t 0 1 2 4 ( ) t y t 0 1 2 3 4 ) 2 ( ) (   − g f t 0 1 2 Pour t=1 2 3 4 ) 2 ( ) (   − g f t 0 1 2 Pour t=2 1 0 -3 -2 -1 t 0 2 4 ) 0 ( ) (   − g f 3 Pour t=0 -3 -2 -1 3 0 ( )  − g 4 ( )  f  0 1 2  Produit de Convolution TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  43. 43. Produit de convolution par une impulsion de Dirac 0 0 f (t ) (t t ) h(t t )   − = − 0 t 1 ( ) t  0 t ( ) t f 0 t0 t ( ) 0 t t −  1  0 t ( ) ) (t t f   0 t0 t ( ) ) ( 0 t t t f −  On démontre au sens des distributions que : f (t ) (t ) f (t )   =  Produit de Convolution 43 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  44. 44. Théorème de Plancherel-Parseval L’énergie d’un signal x(t) est :  +  −    = dt t x t x Ex ) ( ) (     +  − +  −  +  − +  −  =   = =   = df f X dt f X f X dt t x dt t x t x Ex 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Ce théorème montre que l’énergie d’un signal se retrouve intégralement dans son spectre t 0 ( )2 t x f 0 ( )2 f X Produit de Convolution et transformée de Fourier 2 ) (t x est la densité temporelle énergétique 2 ) ( f X est la densité spectrale énergétique   +  − +  − = df f X dt t x 2 2 ) ( ) ( Produit de convolution temporel     1 1 2 2 F ( f ) TF f (t ) ; F ( f ) TF f (t ) = = Produit de convolution fréquentiel 1 2 Y( f ) F ( f ) F ( f ) =  si alors ) ( ) ( ) ( 2 1 t f t f t y  = ) ( ) ( ) ( 2 1 f F f F f Y  = si alors 1 2 y(t ) f (t ) f (t ) =  Soit 44 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  45. 45. 45 Exercice Produit de Convolution TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  46. 46. 46 Exercice (suite) Produit de Convolution TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  47. 47. 47 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  48. 48. 48 Analyse dans le domaine fréquentiel o le domaine temporel est le domaine habituel pour analyser un signal, on analyse l’évolution du signal au cours du temps o Il permet de mettre en évidence certaines caractéristiques lorsque la forme du signal est simple : - caractère périodique ou non (détermination de la période) - calcul de la valeur moyenne, efficace, de l’énergie,… o Dans la pratique, les signaux ont une forme complexe : - L’analyse dans le domaine temporel devient insuffisante - La représentation de certaines caractéristiques du signal en fonction de la fréquence s’avère alors très utile,  analyse spectrale Le spectre (l’interspectre) de l’énergie ou de la puissance du signal (des signaux) decrit la répartition de l’énergie ou de la puissance d’un signal en fonction de la fréquence. En télécommunication, une transmission d’information est liée à une transmission d’énergie. Il est possible donc de déterminer dans quelle bande de fréquence le signal émet de l’énergie, ce qui est équivaut à étudier sa densité spectrale d’énergie ou de puissance. Il est donc nécessaire d’étudier les propriétés spectrales du signal. TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  49. 49. 49 Densité spectrale Signaux à énergie finie Un signal à énergie finie possède la propriété suivante : En revanche, l’énergie totale finie implique que ces signaux aient un comportement transitoire. Puisqu’ils sont à support borné, tous ces signaux possèdent une transformée de Fourier x(t ) X( f ) x ( f )  f f 2 T E x(t ) dt =   Signaux à puissance moyenne finie La puissance moyenne d’un signal périodique sur une période ou d’un signal à énergie infinie tronqué par une fenêtre de durée T    =  + −  → x T T T x P dt t x T P 0 , ) ( 1 lim 2 2 2 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  50. 50. 50 Densité spectrale Signal déterministe d’énergie finie     ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( ) z t x t y t X f TF x t et Y f TF y t =  = =   2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j ft j ft Z f TF z t e x y t d dt x y t e dt d         + + + + − − − − − −         = =  − = −                 2 2 2 j ft j f j f t t d dt e e e           − − − = −  = +  =   =  2 2 ( ) ( ) . ( ) j f j f Z f x e d y e d         + + − − − − =   ( ) ( ). ( ) Z f X f Y f = Soit : Donc D’où : Soit : Théorème de Plancherel Exercice: l’égalité (2) se calcule d’une façon similaire Ce théorème est très utile : il permet de simplifier un grand nombre de calculs et il est utilisé dans de nombreuses applications.     ( ) ( ) ( ) ( ) (1) ( ) ( ) ( ) ( ) (2) TF x t y t X f Y f TF x t y t X f Y f  =   =  Démontrons les égalités (1) et (2) TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  51. 51. 51 Densité spectrale Signal déterministe d’énergie finie Soit un signal x(t) d’énergie totale finie et de spectre X(f). Parseval a démontré que : Densité spectrale énergétique Ex s’exprime en fonction de Sxx(f) :  +  − = df f S E xx x ) (   +  − +  − = = df f X dt t x Ex 2 2 ) ( ) ( 2 ( ) ( ) j ft X f x t e dt  + − − =    +  − +  −    = df f X f X dt t x t x ) ( ) ( ) ( ). ( Théorème de Parseval si alors (3) Ce théorème montre que l’énergie d’un signal peut être calculée soit dans la représentation temporelle, soit dans la représentation fréquentielle. L’énergie d’un signal est répartie dans le temps suivant la puissance instantanée que l’on peut appeler "densité temporelle d’énergie" couramment appelée puissance du signal. La relation de Plancherel-Parseval suggère que cette énergie est répartie sur l’axe fréquentiel avec une " densité spectrale d’énergie (DSE) " donnée par ) ( ) ( 2 f S f X xx = 2 ) (t x TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  52. 52. 52 Densité spectrale Signal déterministe d’énergie finie -T/2 T/2 1 t 0 ( ) T rect t -5/T -4/T -3/T -2/T -1/T 0 1/T 2/T 3/T 4/T 5/T T ) ( Tsinc Tf  L’énergie contenue dans le signal : f    +  − − = = = 2 2 2 . 1 ) ( T T x T dt dt t x E avec ) ( sinc ) ( 2 2 Tf T f Sxx  = ( ) 0 = f Sxx    =  k T k f , Conclusion L’énergie d’un signal est contenue dans sa bande spectrale du u u T fT d fT fT T df fT fT T E n n n n T n T n x T n    − − −       =         =         =            2 2 2 2 sin ) ( sin sin , ) 2 ( sin sin 2 0 2 0 n Si du u u du u u n n    = =         ) 2 ( 2 , n Si T E x T n   = or 1 2 , 0,9028. 90% ; , 0,9499. 95% x x x x T T E T de E E T de E =  =  Soit : Application 1: Energie d’un Signal rectT(t)       − T n T n , L’énergie d’un signal rectT(t)est contenue dans sa bande spectrale , n0 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  53. 53. Densité spectrale Signal déterministe d’énergie finie Application 2: TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  54. 54. Densité spectrale Signal déterministe d’énergie finie Soient deux signaux x(t) et y(t) de spectres respectifs X(f) et Y(f). L’énergie d’interaction entre les deux signaux :  +  −   = dt t y t x Exy ) ( ) ( Par Parseval : df f S df f Y f X dt t y t x xy    +  − +  −  +  −  =  =  ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( f Y f X f Sxy  = : Densité spectrale croisée Densité spectrale croisée ou densité interspectrale d’énergie C’est une fonction réelle positive TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  55. 55. 55 Densité spectrale Signal déterministe d’énergie finie Application du Théorème de Parseval On veut calculer les deux intégrales suivantes : Pour calculer I1, on utilise la relation (3), en posant : L’équation (3) devient : Pour calculer I2, on pose : En reportant dans l’égalité de Parseval on a : TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  56. 56. Fonction de Corrélation L’opération ou la fonction de corrélation est très utilisée en traitement du signal : • c’est une mesure énergétique de la similitude de forme et de position entre deux signaux décalés • elle permet de mesurer le degré de dépendance (ressemblance) entre deux signaux distincts en fonction du décalage entre les deux signaux. Lorsque cette opération est appliquée à un signal réel, on parle alors d’autocorrélation: Lorsque cette opération est appliquée à deux signaux réels distincts , on parle alors d’intercorrélation: La fonction de corrélation est utilisée également pour la détermination - d’une périodicité cachée d’un signal, - du temps de retard entre deux signaux . Les principales applications de la fonction de corrélation se pratiquent dans le cas des signaux aléatoires où elle permet entre outre l’extraction d’un signal noyé dans du bruit. ( ) ( ). ( ) xx IR C x t x t dt    = −   +  −  − = dt t y t x Cxy ) ( ). ( ) (   TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  57. 57. ( ) ( ). ( ) xx IR C x t x t dt    = −  Fonction de corrélation Soit le signal x(t) à énergie finie : On définit : Fonction Autocorrélation En raison de la symétrie hermitienne, on a la relation : * ( ) ( ) xx xx C C   = − Pour des signaux réels, est réel et satisfait : ( ) xx C t ( ) ( ) xx xx C C   = − On en déduit notamment que l’autocorrélation d’un signal réel est une fonction paire. TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  58. 58. Fonction de corrélation Il y a une similarité d’écriture entre corrélation et convolution . La corrélation mesure la ressemblance entre les fonctions x(t) et y(t) selon le décalage  . La convolution est le résultat de filtrage entre les fonctions x(t) et y(t). Relation entre corrélation et convolution ( ) ( ) ( ) xx C x x     =  − ( ) ( ). ( ( )) xx IR C x t x t dt    = − −  ( ) ( ). ( ) xx IR C x t x t dt    = −  TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  59. 59. Fonction de corrélation Propriétés de ) (t Cxx ( ) ( ) ( ) xx C t x t x t      − = −    ( ) ( ) ( ) xx x t x t C t  =  − = ) ( ) ( t C t C xx xx − =  ( ) ( ) ( ) xx C t x t x t  =  − ( ) ( ) ( ) xx C t x t x t  − = −  et Si x(t) est réel alors ) ( ) ( t C t C xx xx − = -T/2 T/2 t 0 ( ) T rect t -T T t 0 ( ) t Cxx est une fonction paire ) (t Cxx TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  60. 60. Fonction de corrélation Propriétés de ) (t Cxx 2 2 2 2 ( ) ( ). ( ). j ft j ft xx IR IR C t A f e df A f e df   =    inégalité de Schwartz est bornée : admet un maximum au décalage égale à 0 ) (t Cxx ▪ L’énergie totale de x(t) est : 0 ) 0 ( ) ( 2  = =  +  − xx x C dt t x E ▪ Le théorème de Cauchy – Schwartz conduit à la relation suivante : t C t C xx xx   ) 0 ( ) ( Démonstration : ) ( ) ( ) ( f j e f A f X  −  = soit 1 ) ( 0 ; ) 0 ( ) ( ) (    =  t C t C t xx xx xx xx ▪ On définit le degré de self de cohérence d’un signal x(t)  = =  = IR x xx xx ft j E C df f A t C alors e or ) 0 ( ) ( ) ( 1 2 2 ) 0 ( ) ( xx xx C t C  TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  61. 61.   ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xy xy C TF S f TF X f Y f TF X f TF Y f x y             = = =  =  −        +  −  − = dt t y t x Cxy ) ( ). ( ) (   Fonction d’intercorrélation entre les signaux x(t) et y(t) à énergie finie Fonction de corrélation Soient deux signaux x(t) et y(t) de spectres respectifs X(f) et Y(f). Fonction d’intercorrélation ) ( xy C restitue l’énergie d’interaction entre les signaux x(t) et y(t) Si on dit que les signaux x(t) et y(t) sont décorélés ou orthogonaux 0 ) ( =  xy C Théorème de Wiener-Kintchine : ( ) ( ) ( ) ( ) xy xy TF C S f X f Y f     = =    On montre que      ) 0 ( ) 0 ( ) ( 2 yy xx xy C C C TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  62. 62. Fonction de corrélation 2 ( ) ( ) ( ) ( ) at at x t u t e et y t u t e − − =  =  Exercice On considère les signaux : Où a est un réel positif - Calculer et représenter l’intercorrélation entre ces deux signaux - Calculer et représenter le produit de convolution entre ces deux signaux TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  63. 63. Fonction de corrélation TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  64. 64. Fonction de corrélation TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  65. 65.         ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( f X TF f X TF f X f X TF f S TF xx    =  =   ) ( ) ( ) ( t x t x f S TF xx −  =    ) ( ) ( t C f S TF xx xx = ) ( ) ( ) ( t x t x t Cxx −  =   − − =  IR xx d t x x t C    )) ( ( ). ( ) (   ( ) ( ) ( ). ( ) xx xx IR TF S f C t x x t d     = = −  Fonction de corrélation Soit le signal x(t) de densité spectrale X(f) Relation entre autocorrelation et Densité Spectrale énergétique Soit:   2 ( ) ( ) ( ) j f xx xx xx S f TF C C e d      + − − = =  Théorème de Wiener-Kintchine TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  66. 66. y(t)=x(t)h(t) x(t) X(f) Cxx(t) Filtre FF H(f) h(t)   yy yy yy y(t ) x(t ) h(t ) C (t ) y(t ) y ( t ) C (t ) x(t ) h(t ) x ( t ) h ( t ) C (t ) x(t ) x ( t ) h(t ) h ( t )      =  =  −   =   −  −       =  −   −     2 ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( f H f S f S TF t C t C t C xx yy hh xx yy =   = Filtrage de l’énergie TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  67. 67. 67 Signal déterministe à puissance moyenne finie df f S P xx x ) (  +  − =    =  + −  → x T T T x P dt t x T P 0 , ) ( 1 lim 2 2 2 La puissance moyenne d’un signal périodique sur une période ou d’un signal à énergie infinie tronqué par une fenêtre de durée T: On démontre que Px peut s’écrire : densité spectrale de puissance exprimée en (W/Hz). ) ( f Sxx 2 2 2 2 ). ( 1 lim ) (  + − −  → = T T ft j T xx dt e t x T f S   −   →  −   = 2 2 ) ( ). ( 1 lim ) ( T T T xx t d t t x t x T t C   − −  − −  →  = 2 2 2 2 2 2 ). ( ). ( 1 lim ) ( T T ft j T T ft j T xy dt e t y dt e t x T f S    −   →  −   = 2 2 ) ( ). ( 1 lim ) ( T T T xy t d t t y t x T t C Densité spectrale de puissance (DSP) et fonction d’autocprrélation Interspectre de puissance et fonction d’intercorélation  −  → = 2 2 2 ) ( 1 lim ) 0 ( T T T xx dt t x T C TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  68. 68. 68 Signal déterministe à puissance moyenne finie Soit x(t) un signal à puissance moyenne finie et sa densité spectrale de puissance (DSP): Relation entre DSP et X(f)   2 ( ) ( ) ( ) j f xx xx xx S f TF C C e d      + − − = =  Pour les signaux x(t) à puissance moyenne finie, la DSP n’est pas égale au carré du module de la transformée de Fourier X(f). On peut cependant trouver une relation asymptotique. En effet, soit x(t) un signal à puissance moyenne finie, on note x(t, T) = x(t)rectT(t) la portion du signal de largeur T centrée sur l’origine et TF[x(t, T)]=X(f, T). Ainsi x(t, T) est un signal à énergie finie dont on peut calculer la DSE : 2 ( , ) ( , ) xx S f T X f T = En utilisant le théorème de Parseval, on a : En identifiant les intégrales des derniers termes, on a donc : 2 2 2 2 2 1 lim ( ) ( ) 1 1 lim ( , ) lim ( , ) T x xx T T x T T P x t dt S f df T P x t T dt X f T df T T  + → −  − + + → → − − = = = =     2 1 ( ) lim ( , ) xx T S f X f T T → = TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  69. 69. 69 Signal déterministe à puissance moyenne finie Exemple : signal échelon ; Calcul de la DSP Le calcul de la dernière limite repose sur le fait que le lobe principal de sinc décroit lorsque T augmente (sa largeur vaut 1/T) et sur l’identité On voit que le résultat, Sxx(f)=δ(f)/2 n’a rien à voir avec le carré du module de X(f): 2 sinc ( ) 1 u du + − =  On considère le signal à puissance moyenne finie x(t)=u(t) dont la transformée de Fourier est X(f)=1/(j2πf)+δ(f)/2. Calculons la DSP de x(t), à partir du signal d’énergie finie x(t,T)=rectT/2(t−T/4). Commençons par calculer la TF de x(t,T) : 2 2 2 1 1 1 ( ) lim ( ) ( ) lim 0 2 T T xx T T T C u t u t dt dt pour T T     → → − = − = =    Calculons directement : Compte tenu de la parité de Cxx(), on a donc Cxx()= 1/2, d’où la DSP :   ( ) ( ) ( ) 2 xx xx f S f TF C   = = On peut calculer la DSP de x(t) comme la limite 2 /4 2 /4 4 2 /4 2 2 /4 2 /4 2 /4 4 sin(2 / 4) ( , ) sinc( / 2) 2 2 2 T j fT j fT j fT j ft j fT j fT j fT T e e fT T X f T e e dt e e e fT j f j f            + − − − − − − −   − = = = =      2 2 1 1 1 ( ) ( ) lim ( , ) lim sinc( T/2) lim sinc( T/2)= 4 2 4 2 xx T T T T T f S f X f T f f T T    → → →   = = =     2 2 1 ( ) ( ) 2 2 f X f j f   = + TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  70. 70. dt t x t y Cyx ) ( ) ( ) (   − =  +  − Application de la fonction de corrélation c d t 2 0 = Un radar émet un signal réel de courte durée qui se propage à la célérité c et se réfléchit sur une cible et revient à l’émetteur après un temps t0 proportionnel à 2 fois la distance d. Estimer d. - on calcule la fonction d’intercorrélation entre le signal reçu y(t) et le signal émis x(t) : - un modèle simple est un modèle sans bruit où le signal de retour y(t) est le signal réel x(t) décalé de t0 et atténué par un facteur a : Avec le changement de variable : L’autocorrélation étant maximale en 0, l’intercorrélation entre le signal reçu et le signal émis sera maximale pour t0. Il suffit donc de chercher le max de la fonction d’intercorrélation pour en déduire un estimé de la distance d. ) ( . ) ( 0 t t x a t y − = dt t x t t ax Cyx ) ( ) ( ) ( 0   −  − =  +  − u t t = − 0 ) ( )) ( ( ) ( ) ( 0 0 t aC du t u x u ax C xx yx − = − − =  +  −    TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  71. 71. Application de la fonction de corrélation TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  72. 72. 72 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  73. 73. Introduction Les signaux rencontrés dans la nature sont analogiques. Pour pouvoir les traiter par un système numérique ou informatique, il faut d'abord les numériser pour obtenir un signal discret ou signal numérique ou encore signal digital. 73 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  74. 74. Signal échantillonné, signal numérique Un signal numérique est un signal défini seulement pour un certain nombre d'instants. La valeur du signal (amplitude) à ces instants est elle-même discrétisée. Pour obtenir un signal digital à partir d'un signal analogique, on procède en deux étapes: Etape d'échantillonnage : prélever la valeur du signal s(t) à intervalles de temps réguliers de durée Te (période d’échantillonnage). On obtient alors des échantillons s(nTe) prélevés à la fréquence d’échantillonnage : Etape de quantification : dans l’espace des amplitudes, chaque valeur s(nTe) est approchée par un multiple entier d’une quantité élémentaire q; c’est l’opération de quantification. La valeur approchée ainsi obtenue est ensuite associée à un nombre ; c’est le codage e e T F 1 = Echantillonnage Quantification Quelle est donc l’influence de l’échantillonnage d’un signal sur son spectre? L’analyse spectrale permet de mettre en évidence certaines limitations. Question fondamentale : est-il possible de reconstruire x(t) à partir des échantillons x(nTe)? Le théorème d’échantillonnage montre que, pour les signaux à bande limitée, cette reconstruction est possible et unique. 74 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  75. 75. t 0 s(t) p(t) 0 t 1 e T e T 2 e nT se(t)=s(t).p(t) 0 t e T e T 2 e nT  + − = −  = = n e e nT t t s t p t s t s ) ( ) ( ) ( ). ( ) (  ) ( ). ( ) (  + − = − = n e e e nT t nT s t s  Signal échantillonné : Signal échantillonné Les échantillons en fonction de temps se notent s(nTe). Pour des raisons de simplification et aussi se rapprocher de la représentation mathématique des suites numériques, on note sk , le kème échantillon du signal s(t) pour t=kTe . 75 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  76. 76. Spectre d’un Signal échantillonné -Fmax 0 Fmax f ) ( f S Soit le signal réel s(t), de spectre complexe de spectre borné (forme Passe-Bas) et tel que :   max max F ,F − ( ) ( ) ( ) f j e f S f S  −  = ( ) ( ) f f   − = −     1 1 e e e n e e n e e e n e e e e e n S ( f ) TF s (t ) TF s(t ). (t nT ) S ( f ) TF s(t ) TF (t nT ) S ( f ) S( f ) ( f nF ) ; F T T S ( f ) F S( f ) ( f nF )     + =− + =− + =− + =−   = = −       =  −     =  − = =   −     Remarque Le spectre d’un signal échantillonné est une fonction continue de f ) ( . ) (  + − = − = n e e e nF f S F f S ( f )  -Fmax 0 Fmax f 76 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  77. 77. 0 ) ( = n e f S ) ( f Se ) ( ) ( 1 e n e F f S f S − = = f Fmax Fe-Fmax Fe Fe+Fmax 2Fe -Fe -Fmax 0 • 1er cas 2 e max F F  La restitution (reconstitution) du signal original à partir de son spectre est possible car les supports des différents échantillons sont disjoints. 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Sinusoïde de fréquence f0=1/T0 Fmax=f0 Signal à bande limitée de fréquence maximale Fmax Théorème de Shannon 0 e n S ( f ) = f Fmax Fe -Fmax 0 Filtre Passe Bas fc=Fe/2 77 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  78. 78. • 2ème cas : (Sous échantillonnage) 2 e max F F  0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Impossible de reconstituer correctement le signal. Théorème de Shannon 0 ) ( = n e f S ) ( f Se 1 ) ( = n e f S f Fe-Fmax Fmax Fe 2Fe -Fe -Fmax 0 Repliements des spectres Théorème de Shannon : Pour pouvoir reconstituer à partir de il faut que la fréquence d’échantillonnage soit supérieure à deux fois la fréquence maximale du signal. ) ( f S ) ( f Se max 2F Fe  78 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  79. 79. Filtrage Passe-bas idéal pour isoler l’échantillon (n=0) On utilise ( ) Re ( ) f P f ct f  = ( ) ( ). ( ) e e S f T S f P f =           e e e e e e s(t ) TF S( f ) s(t ) TF T S ( f ).P( f ) s(t ) T TF S ( f ).P( f ) s(t ) T TF S ( f ) TF P( f ) = =  =  =   Reconstitution du signal : Interpolation de Shannon   ( ) Re ( ) sinc( ) f TF P f TF ct f f ft     = =        + − = −  = = n e e e e nT t nT s t s f S TF ) ( ) ( ) ( ) (  ( ) ( ). ( ) sinc( ) e e e n s t T s nT t nT f ft   + =−   = −               ( ). ( ) sinc( ) ( ). ( ) sinc( ) ( ).sinc ( ) e e e e e e s nT t nT ft s nT t nT ft s nT f t nT       −   = −   =  − Pour n donné : e s( nT ) cte échantillon d' ordre n = =   ( ) . ( ).sinc ( ) e e e n s t f T s nT f t nT  + =− =   −  or et 79 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  80. 80. Reconstitution du signal : Interpolation de Shannon   e e e n s(t ) f .T s( nT ).sinc f (t nT )  + =− =   −  Filtre de reconstitution parfaite du signal d’origine : un filtre Passe – Bas idéal de fréquence de coupure 2 c e f F = Un signal analogique peut être reconstitué à partir de sa version échantillonnée en additionnant à l'infini des fonctions sinc. Chacune étant centrée sur l'instant nTe et ayant l'amplitude s(nTe). C'est pour cette raison que la fonction sinc est souvent appelée fonction d'interpolation. 80 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  81. 81. Considérons un signal réel x(t) dont la spectre est nul en dehors des deux intervalles de fréquence définis par Fm ≤ |F| ≤ FM : Cas des signaux passe-bande ou à bande étroite Le théorème de Shannon impose Fe>2FM. Pourtant, il est possible d’échantillonner à une cadence bien plus faible si on met à profit le fait que le spectre est nul dans l’intervalle (−Fm, Fm). Quelles sont les conditions sur Fe pour que le spectre, une fois périodisé, soit constitué de bandes disjointes? il suffit de choisir deux valeurs k et Fe, telles que la kième et la (k+1)ième translatées de la partie de X(F) dans les fréquences négatives ne recouvrent pas la partie de X(f) dans les fréquences positives. Ce qui s’écrit : -Fm+kFe<Fm et -FM+(k+1)Fe > FM 81 LST GT - TDSAN - Prof. A. SAHEL
  82. 82. Cas des signaux passe-bande ou à bande étroite Fe doit être donc choisie dans des plages de valeurs de la forme : La plus petite fréquence d’échantillonnage qui assure le non repliement du spectre est donc donnée par : 2FM/(k0+1) où k0 est la partie entière de Fm/(FM-Fm). où k est un entier tel que : (2FM/k+1)<2Fm/k  k≤Fm/(FM-Fm). le calcul de la formule de reconstruction, est analogue à celui fait pour un signal “passe-bas”. il faut prendre, le filtre passe-bande réel défini par : H(F)=Te (rectF (F- F0)+rectF (F+F0)) où F = FM-Fm et F0 = (FM+Fm)/2. avec 82 LST GT - TDSAN - Prof. A. SAHEL
  83. 83. Cas des signaux passe-bas de bande infinie En pratique, lorsque la fréquence d’échantillonnage est imposée, le phénomène de repliement de spectre ne peut être évité. Il y a donc perte d’information sur le signal à échantillonner. Le problème est de limiter autant que possible cette perte. En pratique, on doit faire précéder l’opération d’échantillonnage d’un filtrage passe-bas idéal dans la bande −Fe/2, Fe/2, appelé filtrage anti-repliement (anti-aliasing). Evidemment il y a perte d’information et ce que l’on peut reconstruire est, au mieux, ce qui est à l’intérieur de la bande −Fe/2, Fe/2. Fe/2 -Fe/2 Exemple (audio) on ne va garder que les fréquences que l’oreille est capable d’entendre. Les caractéristiques internes de l'oreille induisent une sensibilité fréquentielle allant de 20hz à 20khz. Ce qui explique la fréquence d'échantillonnage fe=44,1 khz dans le cas du CD. Ainsi, avant d'échantillonner le signal, on place en amont un filtre (anti-repliement) qui a pour but d'éliminer toutes les fréquences supérieures à 20khz. 83 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  84. 84. L’échantillonnage blocage est réalisé en prélevant la valeur du signal à chaque instant nTe et en le maintenant à la même valeur pendant une durée  .  nTe nTe+ (n+1)Te ( ) e nT s ( ) t s t 0 seb(t) ) ( ). ( ) 2 ( ) (  + − = −  − = n e e eb nT t nT s t rect t s    ) ( ) 2 ( ) ( t s t rect t s ei eb  − =       f j n e e eb e nF f S F f S − + − =  −  = ). ( f). sinc( ) ( Signal échantillonné bloqué Spectre d’un signal échantillonné bloqué Echantillonneur bloqueur 84 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  85. 85. Signal échantillonné bloqué (θ<Te) Signal échantillonné bloqué (θ=Te) Dans un blocage de faible durée (θ<Te), le sinc atténue les échantillons d’ordre n>0 de spectre. Un filtre passe-bas avec fc=Fe/2 permettrait de récupérer de manière parfaite le signal d’entrée. ) (t seb ) ( f Seb ) ( f Seb ) (t seb Pour (θ=Te) le sinc écrase les fréquences proches de Fe et modifie les propriétés du spectre du signal d’entrée qui ne peut plus être restitué de manière parfaite à l’aide d’un simple filtre. Par contre, il présente l’avantage d’éliminer les recopies de spectre et donc d’alléger le contenu spectral du signal. Influence de la durée du maintien du blocage sur le spectre Echantillonneur bloqueur 85 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  86. 86. nTe nTe+ (n+1)Te ( ) e nT s ( ) t s t 0 ( ) e T n s ) 1 ( + L’échantillonnage par moyennage est réalisé en prélevant la valeur du signal à chaque instant nTe pendant une durée . e e e nT t nT nT e t rect t s nTe s dt nTe t rect t s nTe s dt t s nT s =  +  − +   = −  = =   ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) (        + − = −   = n e em nT t t rect t s t s ) ( )) ( ) ( ( 1 ) (    Signal échantillonné moyenné Spectre d’un signal échantillonné moyenné ( ) ( ( ).sin ( )) ( ) em e e n S f S f c f F f nF    + =− =   −  Echantillonneur moyenneur 86 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  87. 87. VI- Filtrage à temps continu 87 TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  88. 88. 88 Le filtrage est un outil de traitement de signal très puissant et dans de nombreux cas, très simple à mettre en œuvre. En électronique, on a besoin de traiter des signaux provenant de différentes sources (capteurs de température, signaux audio...). Un bruit indésirable provenant soit du canal de transmission, soit des composants qui constituent le circuit électronique, peut se superposer à ces signaux. Le filtrage permet de récupérer ces signaux et rejeter le bruit. But du filtrage Les filtres servent principalement à séparer des signaux dans le domaine fréquentiel. Dans certains rares cas particuliers, on utilise également les filtres pour retarder un signal (travail dans le domaine temporel). Plus précisément, les fonctions essentielles d’un filtre ont pour objectif de : - modifier les composantes spectrales d’un signal, - isoler une information utile contenue dans une bande passante déterminée par rapport aux bruits et aux autres informations existant hors de cette bande. Exemple : Antenne d'un récepteur radio simple qui capte plusieurs signaux provenant de différents émetteurs. Signal d'entrée : Somme de plusieurs signaux émis Seule l'utilisation d'un filtre passe-bande permet de récupérer le signal correspondant à la station choisie. Filtrage à temps continu TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  89. 89. 89 filtre temporel : troncature d’un signal s(t)=e(t).g(t) e(t) g(t) FT Un filtre temporel est un multiplieur temporel e(t) t 1 0 e(t) t 1 0 T t 1 0 T s(t) C’est une opération, d’interruption ou d’atténuation d’un signal. Filtrer temporellement e(t) par g(t) c’est donc réaliser le produit ) ( ) ( ) ( t e t g t s  = Ce filtrage temporel est généralement appelé apodisation (troncature) ou pondération (atténuation) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( f E f G f S t e t g t s  = →  = Le spectre de e(t) va-il être affecté par un tel filtrage ? Par Plancherel-Parseval : avec Tf Tf T f G   ) sin( ) ( = Si T est assez grand, G(f) est assimilable à une impulsion de Dirac et l’effet de filtrage ne sera pas sensible. Examiner une tranche d’un phénomène c’est modifier son spectre (voir TD). Filtrage à temps continu TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  90. 90. 90 s(t)=h(t)e(t) e(t) Filtre h(t) , RI FF Filtre fréquentiel Si on fait subir à e(t) un filtrage : - Passe-bande , seules sont transmises les fréquences comprises dans l’intervalle [f0, f0+f]. - Coupe bande, les fréquences comprises entre f0 et f0+f sont rejetées. E(f) f f T S( f) f S(f) f0 f0+f f0 f0+f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( f E f H f S t e t h t s  = →  = Par Plancherel-Parseval : Un filtre fréquentiel est un multiplieur fréquentiel Un filtre fréquentiel est donc un système qui apporte une modification de l'amplitude et (ou) de la phase des composantes spectrales d'un signal, donc c'est un sélecteur de fréquence et la bande de fréquence transmise s'appelle la bande passante du filtre. H(f) est la fonction de transfert ou la réponse fréquentielle du filtre Filtrage à temps continu TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  91. 91. 91 Propriétés d’un Filtre à temps continu Un filtre à temps continu est un système linéaire continu, invariant par translation. s(t) e(t) Filtre h(t) . Linéarité Continuité Invariance par translation ) ( ) ( ) ( alors ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 t s t s t s t e t e t e si     + = + = La majorité des systèmes linéaires sont continus 0 0 pour correspond la sortie e(t t ) s(t t ) − − Le filtre est défini par un opérateur qui à une excitation e(t) fait correspondre une réponse s(t). est la réponse impulsionnelle du filtre ( ) t h ( ) t h Filtrage à temps continu TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  92. 92. Filtres Linéaires Physiquement réalisable Causalité L’effet (sortie du filtre ) ne peut précéder la cause (entrée du filtre). La réponse impulsionnelle d’un filtre étant la réponse à une impulsion de Dirac appliquée au temps t=0, elle doit être nulle pour t<0 Tout système physique aura donc une réponse impulsionnelle h(t) telle que:   + +  − − = − = →  = 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 ) (       d t e h d t e h t s t pour t h Déphasage des filtres ) ( ) ( )] ( [( ) ( f j e f H t h TF f H  = = La relation sortie-entrée est, en fréquence: ) ( ) ( ) ( ) ( f E e f H f S f j  =  Le déphasage entre la sortie par rapport à l’entrée est la phase (f) du filtre. Tout filtre physiquement réalisable provoque un déphasage Filtrage à temps continu TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  93. 93. 93 Filtres analogiques Les filtres que l’on réalise sur les signaux continus sont composés de résistances, de capacités, de self-inductances, d’amplificateurs opérationnels. De tels filtre réalisent entre e(t) et s(t) une relation différentielle linéaire à coefficients constants. Par transformée de Fourier, cette relation conduit à un gain complexe qui est le quotient de deux polynômes en f: ) ( ) ( ) ( f D f N f H = On classe les filtres en deux grandes familles : • Les filtres analogiques réalisés à partir de composants passifs (résistance, inductance, condensateur) ou actifs avec des amplificateurs opérationnels. • Les filtres numériques réalisés à partir de structure intégrée micro programmable. Filtrage à temps continu TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  94. 94. 94 1 2 3 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 1 Filtrepasse b du1 ordre 1 2 2 Filtrepasse haut du1 ordre 1 2 1 Filtrepasse b du 2èmeordre 1 4 4 4 Filtrepasse haut du 2èmeordre 1 4 4 as er H ( f ) j f j f er H ( f ) j f as H ( f ) j f f f H ( f ) j f f                 − = + − = + − = + − − = + − Fonction de transfert Le comportement d'un filtre est défini par l'étude fréquentielle de la fonction de transfert entre la tension de sortie et la tension d'entrée du filtre. On le caractérise par l'amplification et le déphasage qu'il apporte sur les différents harmoniques du signal d'entrée. Exemples de filtres : Filtrage à temps continu TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  95. 95. 95 Notion de gabarit d’un filtre Filtrage à temps continu TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  96. 96. 96 filtre passe-bas. filtre passe-haut. filtre passe-bande. filtre coupe-bande. Filtre idéal On peut classer les filtres en quatre catégories selon les fréquences à favoriser et à atténuer. Le filtre idéal permet de transmettre sans distorsion une partie du spectre (bande passante) et bloque toutes les autres parties (bande coupée) avec un passage abrupt (discontinuité) entre ces 2 parties. Filtrage à temps continu TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL
  97. 97. 97 Filtrage à temps continu TDSA – GET1 - Prof. A. SAHEL

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