SlideShare une entreprise Scribd logo
1  sur  19
Télécharger pour lire hors ligne
BAB II
FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI
2.1 Fungsi
2.2 Grafik Fungsi
2.3 Barisan dan Deret
2.4 Irisan Kerucut
2.1 Fungsi
Dalam berbagai aplikasi, korespondensi/hubungan antara dua himpunan sering terjadi. Sebagai
contoh, volume bola dengan jari-jari r diberikan oleh relasi
3
3
4
rV π= . Contoh yang lain, tempat
kedudukan titik-titik ),( yx yang jaraknya 1 satuan dari titik pangkal O adalah 122
=+ yx . Ada hal
penting yang bisa dipetik dari contoh di atas. Misalkan X menyatakan himpunan semua absis lebih dari
atau sama dengan −1 dan kurang dari atau sama dengan 1, sedangkan Y himpunan ordinat lebih dari atau
sama dengan −1 dan kurang dari atau sama dengan 1. Maka elemen-elemen pada X berkorespondensi
dengan satu atau lebih elemen pada Y. Selanjutnya, korespondensi 122
=+ yx disebut relasi dari X ke Y.
Secara umum, apabila A dan B masing-masing himpunan yang tidak kosong maka relasi dari A ke B
didefinisikan sebagai himpunan tak kosong BAR ×⊂ .
A B
Gambar 2.1.1 Relasi dari himpunan A ke B
23
a1
a2
a3
b1
b2
b3
b4
Jika R adalah relasi dari A ke B dan Ax ∈ berelasi R dengan By ∈ maka ditulis:
)(atauatau),( aRbaRbRba =∈
Apabila diperhatikan secara seksama, ternyata dua contoh di atas mempunyai perbedaan yang
mendasar. Pada contoh yang pertama setiap 0>r menentukan tepat satu 0>V . Sementara pada contoh
yang ke dua, setiap ]1,1[−∈x berelasi dengan beberapa (dalam hal ini dua) nilai ]1,1[−∈x yang
berbeda. Relasi seperti pada contoh pertama disebut fungsi.
Jadi, relasi R dari A ke B disebut fungsi jika untuk setiap Ax ∈ terdapat tepat satu By ∈ sehingga
)(aRb = .
Sebagai contoh, misalkan { } { }6,3dan2,1 == YX . Himpunan { })3,2(),3,1( merupakan fungsi
dari X ke Y, karena setiap anggota X berelasi dengan tepat satu anggota Y. Demikian pula, himpunan
{ })3,2(),6,1( merupakan fungsi dari X ke Y. Sementara himpunan { })3,2(),6,1(),3,1( bukan
merupakan fungsi dari X ke Y, karena ada anggota X, yaitu 1, yang menentukan lebih dari satu nilai di Y.
Fungsi dinyatakan dengan huruf-huruf: f, g, h, F, H, dst. Selanjutnya, apabila f merupakan fungsi
dari himpunan A ke himpunan B, maka dituliskan:
f : A → B
Dalam hal ini, himpunan A dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah asal, sedangkan
himpunan B dinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi f. Domain fungsi f ditulis dengan notasi
Df, dan apabila tidak disebutkan maka disepakati bahwa domain fungsi f adalah himpunan terbesar di
dalam R sehingga f terdefinisikan atau ada. Jadi:
{ })ikanterdefinis(ada)(: xfxD f R∈=
Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A dinamakan range atau daerah hasil
fungsi f, ditulis fR atau Im(f) (Perhatikan Gambar 2.1.2).
24
Definisi 2.1.1 Diketahui R relasi dari A ke B. Apabila setiap Ax ∈ berelasi R dengan
tepat satu By ∈ maka R disebut fungsi dari A ke B.
A B
Jika pada fungsi f : A → B , sebarang elemen x ∈ A mempunyai kawan y ∈ B, maka dikatakan
“y merupakan bayangan x oleh f “ atau “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).
A B
Gambar 2.1.3 f fungsi dari himpunan A ke B.
Selanjutnya, x dan y masing-masing dinamakan variable bebas dan variabel tak bebas. Sedangkan y
= f(x) disebut rumus fungsi f.
Contoh 2.1.2 Tentukan domainnya.
a.
2
1
)(
+
=
x
xf b.
1
)(
2
−
=
x
x
xf c. )6ln(
5
1
)( 2
−−+
+
= xx
x
xf
Penyelesaian:
a. Suatu hasil bagi akan memiliki arti apabila penyebut tidak nol. Oleh karena itu,
{ } }2{02:ikanterdefinis
2
1
: −−=≠+∈=






+
∈= RRR xx
x
xD f
b. Karena akar suatu bilangan ada hanya apabila bilangan tersebut tak negatif, maka:
25
● ●
●
●
●
fR
Gambar 2.1.2x yf
{ } ).,1(]0,1(1atau01:
0
1
:ada
1
:
22
∞∪−=>≤<−∈=






≥
−
∈=






−
∈=
xxx
x
x
x
x
x
xD f
R
RR
c. Suatu jumlahan memiliki arti apabila masing-masing sukunya terdefinsikan. Sehingga:
{ }
{ }
{ } { })3dan5:atau2dan5:
)3atau2(dan5:
0)6(dan05:
ada)6ln(danada
5
1
:
ada)6ln(
5
1
:
2
2
2
>−≠∈−<−≠∈=
>−<−≠∈=
>−−≠+∈=






−−
+
∈=






−−+
+
∈=
xxxxxx
xxxx
xxxx
xx
x
x
xx
x
xD f
RR
R
R
R
R
= ),3()2,5()5,( ∞∪−∪−−∞ .█
Contoh 2.1.3 Jika )1(3)( 2
xxxf += , maka tentukan:
a. )1(−f b. )2( +xf c. )1( xf d. )( xxf ∆+
Penyelesaian:
a. 2)11()1.(3)1( 2
=−+−=−f .
b. )2(112123)2(1)2(3)2( 22
++++=+++=+ xxxxxxf .
c. ( ) xx
x
xxf +=+= 22
3
1
1
)1.(3)1( .
d. )(1)(.63)(1).(3)( 222
xxxxxxxxxxxxf ∆∆∆∆∆∆ ++++=+++=+ .█
2.1.1 Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif
Berikut diberikan beberapa fungsi yang memenuhi syarat-syarat tertentu . Diberikan fungsi
BAf →: .
(i). Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai kawan anggota himpunan A, maka f disebut
fungsi surjektif atau fungsi pada (onto function).
26
a1●
a2●
a3●
a4●
●b1
●b2
●b3
A B
Gambar 2.1.4 f fungsi surjektif dari himpunan A ke himpunan B
(ii). Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai yang kawan di A, kawannya tunggal, maka f disebut
fungsi injektif atau fungsi 1-1 (into function).
A B
(iii). Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A maka f disebut fungsi bijektif atau
korespodensi 1-1. Mudah dipahami bahwa korespondensi 1-1 adalah fungsi surjektif sekaligus
injektif.
A B
2.1.2 Operasi Pada Fungsi
Diberikan skalar real α dan fungsi-fungsi f dan g. Jumlahan gf + , selisih gf − , hasil kali skalar
fα , hasil kali gf . , dan hasil bagi gf masing-masing didefinisikan sebagai berikut:
27
a1●
a2●
a3●
●b1
●b2
●b3
●b4
●b5
a1●
a2●
a3●
a4●
●b1
●b2
●b3
●b4
Gambar 2.1.5 Fungsi injektif dari A ke B
Gambar 2.1.6 Korespondensi 1 – 1.
)()())(( xgxfxgf +=+ )()())(( xgxfxgf −=−
)())(( xfxf αα = )().())(.( xgxfxgf =
0)(asalkan,
)(
)(
))(( ≠= xg
xg
xf
x
g
f
Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan domain f dan domain g, kecuali untuk gf ,
{ }0)(: ≠∩∈= xgDDxD gfgf .
Contoh 2.1.4 Jika f dan g masing-masing:
1)( −= xxf
5
1
)(
+
=
x
xg
maka tentukan: gf + , gf − , gf . , dan gf beserta domainnya.
Penyelesaian:
( ) ( )
( ) ( )
5
1
)(
5
1
.1)(.
5
1
1)(
5
1
1)(
+
−
=
+
−=
+
−−=−
+
+−=+
x
x
xgf
x
xxgf
x
xxgf
x
xxgf
Karena }5{dan),1[ −−=∞= Rgf DD , maka gf + , gf − , gf . , dan gf masing-masing
mempunyai domain: ),1[ ∞ .█
2.1.3 Fungsi Invers
Diberikan fungsi YXf →: . Kebalikan (invers) fungsi f adalah relasi g dari Y ke X. Pada
umumnya, invers suatu fungsi belum tentu merupakan fungsi. Sebagai contoh, perhatikan Gambar 2.1.7 di
bawah ini.
28
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
f
A B
Apabila YXf →: merupakan korespondensi 1 – 1, maka mudah ditunjukkan bahwa invers f juga
merupakan fungsi. Fungsi ini disebut fungsi invers, ditulis dengan notasi 1−
f . Perhatikan Gambar 2.1.8
berikut.
Jadi:
)()(1
xfyyfx =⇔= −
dengan ffff
DRRD == −− 11 dan
Contoh 2.1.5 Tentukan 1−
f jika diketahui
23
1
1)(
+
−
−=
x
x
xf .
Penyelesaian:
23
1
1
23
1
1)(
+
−
=−⇔
+
−
−==
x
x
y
x
x
xfy
29
x ● ● y
X Y
1−
f
Gambar 2.1.8
Gambar 2.1.7
f
)(
32
32
3232
12233
1)23)(1(
1
yf
y
y
x
yxyx
xyxyx
xxy
−
=
−
−
=⇔
−=−⇔
−=+−−⇔
−=+−⇔
Jadi,
x
x
xf
32
32
)(1
−
−
=−
.█
Contoh 2.1.6 Tentukan inversnya jika diketahui:









>
+
−
=−
<−
=
0jika
1
1
0jika1
0jika
)(
x
x
x
xx
xf
Penyelesaian: (i). Untuk 0<x , 0)( >−== xxfy . Sehingga:
0)(1
>=−= −
yyfyx
(ii). Untuk 0=x , 1)0( −=f . Sehingga, diperoleh: )1(0 1
−= −
f .
(iii).Untuk 0>x ,
1
10
1
1
1
)( −=
+
−
<
+
−
==
x
xfy
atau:
1)(
1
1
1 1
−<=
−−
=−
−
= −
yyf
y
y
y
x
Selanjutnya, dari (i), (ii), dan (iii) diperoleh:









−<
−−
−=
>−
=−
1jika
1
1jika0
0jika
)(1
x
x
x
x
xx
xf .█
2.1.4 Fungsi Komposisi
30
Perhatikan fungsi 12
+= xy . Apabila didefinisikan uufy == )( dan 1)( 2
+== xxgu
maka dengan substitusi diperoleh 1))(()( 2
+=== xxgfufy , yaitu rumus fungsi yang pertama
disebutkan. Proses demikian ini disebut komposisi. Secara umum dapat diterangkan sebagai berikut.
Diketahui f dan g sebarang dua fungsi. Ambil sebarang gDx ∈ . Apabila fDxg ∈)( maka f dapat
dikerjakan pada )(xg dan diperoleh fungsi baru ))(()( xgfxh = . Ini disebut fungsi komposisi dari f
dan g, ditulis gf  .
Contoh 2.1.7 Jika f(x) = x2
dan g(x) = x−1 maka tentukan fungsi-fungsi berikut beserta domainnya.
a. gf  b. fg  c. ff  d. gg 
Penyelesaian:
a. ( ) 2
)1()1())(()( −=−== xxfxgfxgf  , dengan domain R=gfD  .
b. ( ) 1)())(()( 22
−=== xxgxfgxfg  , dengan domain R=fgD  .
c. ( ) 42
)())(()( xxfxffxff === , dengan domain R=ffD  .
d. ( ) 21)1()1())(()( −=−−=−== xxxgxggxgg  , dengan domain R=ggD  .█
31
x ● ● ●
g f
gf 
Gambar 2.1.9 Fungsi komposisi
Definisi 2.1.7 Fungsi komposisi dari f dan g, ditulis gf  , didefinisikan sebagai:
( ) ))(()( xgfxgf = ,
dengan domain { }fggf DxgDxD ∈∈= )(: .
Contoh 2.1.8 Jika 2
1)( xxf −= dan 2
2)( xxg = maka tentukan fungsi-fungsi berikut ini beserta
domainnya.
a. gf  b. fg 
Penyelesaian:
a. ( ) 4222
41)2(1)2())(()( xxxfxgfxgf −=−=== , dengan domain:
{ } { }
{ } 





≤≤
−
∈=≤≤∈=
≤≤−∈=∈∈=
2
2
1
2
2
1
:210:
121:)(:
2
2
xxxx
xxDxgDxD fggf
RR
R
.
b. ( ) )1(2)1())(()( 22
xxgxfgxfg −=−== , dengan domain:
{ } { }11:)(: ≤≤−∈=∈∈= xRxDxfDxD gffg .█
Contoh 2.1.9 Tentukan gf  jika diketahui:





<
≥+
=
0jika1
0jika1
)(
xx
xx
xf







≤−
>
−
=
1jika12
1jika
1
)(
xx
x
x
x
xg
Penyelesaian:
(i). Untuk 1>x , 01
1
1
1
1
11
1
)( >>
−
+=
−
+−
=
−
=
xx
x
x
x
xg . Sehingga:
1
1)(1))(())((
−
+=+==
x
x
xgxgfxgf 
(ii).Untuk 1≤x , 111.212)( =−≤−= xxg . Karena 1)( ≤xg , maka dapat dibedakan menjadi
1)(0 ≤≤ xg dan 0)( <xg . Selanjutnya,
(a). 1)(0 ≤≤ xg apabila 1120 ≤−≤ x atau 121 ≤≤x . Hal ini berakibat, untuk 121 ≤≤x ,
xxxgxgfxgf 2)12(1)(1))(())(( =−+=+==
(b). 0)( <xg apabila 012 <−x atau 21<x . Jadi, untuk 21<x diperoleh:
)12(1)(1))(())(( −=== xxgxgfxgf 
Dari (i) dan (ii), diperoleh:
32











<
−
≤≤
>
−
+
=
21jika
12
1
121jika2
1jika
1
1
))((
x
x
xx
x
x
x
xgf 
2.2 Grafik Fungsi
Diberikan fungsi f. Himpunan { }fDxxfyyx ∈= ),(:),( disebut grafik fungsi f.
2.2.1 Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kartesius
Dalam sistem koordinat kartesius fungsi dapat dibagi menjadi:
(a). Fungsi Aljabar (b). Fungsi Transenden
Fungsi f disebut fungsi aljabar jika f dapat dinyatakan sebagai jumlahan, selisih, hasil kali, hasil
bagi, pangkat, ataupun akar fungsi-fungsi suku banyak. Sebagai contoh, fungsi f dengan rumus:
1
)1(3
)(
2
322
+
+−
=
x
xxx
xf
merupakan fungsi aljabar. Fungsi yang bukan fungsi aljabar disebut fungsi transenden. Beberapa contoh
fungsi transenden adalah fungsi trigonometri, fungsi logaritma, dsb.
Fungsi Aljabar
Fungsi Aljabar meliputi :
(1). Fungsi rasional :
a. Fungsi bulat (fungsi suku banyak)
b. Fungsi pecah.
(2). Fungsi irasional.
Fungsi Suku Banyak
Fungsi suku banyak berderajat n mempunyai persamaan
f(x) = Pn(x) = a0 + a1x + . . . + an xn
33
dengan n bilangan bulat tak negatif , a1, . . . , an bilangan-bilangan real dan an ≠ 0.
(a). Fungsi konstan: cxf =)( .
Grafik fungsi ini berupa garis lurus sejajar sumbu X.
(b). Fungsi linear: f(x)= mx + n
Grafik fungsi ini berupa garis lurus dengan gradien m dan melalui titik ),0( n .
(c). Fungsi kuadrat: 0,)( 2
≠++= acbxaxxf .
34
Y
0
a0
3
f(x) = −1
X
f(x) = a0
f(x) = 3
0
2
y = x + 2
y = x
y = x − 3
y = −x
−1
−2 3
−3
Gambar 2.2.1
Gambar 2.2.2
Grafik fungsi kuadrat berupa parabola. Diskriminan: acbD 42
−= . Secara umum, grafik fungsi
kuadrat ini dapat digambarkan sebagai berikut:
35
D>0
a<0
D>0
a>0
(a) (b)
D=0
a<0
(c) (d)
D=0
a>0
D<0
a<0
(e) (f)
D<0
a>0
Gambar 2.2.3
Perhatikan pula gambar berikut ini.
(d). Fungsi kubik: 0,)( 301
2
2
3
3 ≠+++= aaxaxaxaxf .
36
Y
X2
y = x2
y = 4x – x2
y = ¼ x2
Y
y = x3
y = (x−1)3
X
−1
1
4
Gambar 2.2.4
Gambar 2.2.5
Fungsi Pecah
Fungsi f(x) yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua fungsi suku banyak
m
m
n
n
xbxbb
xaxaa
xf
+++
+++
=
...
...
)(
10
10
disebut fungsi pecah. Grafik beberapa fungsi pecah sederhana, seperti:
f(x) =
1
)(dan
1
−
=
x
x
xf
x
diperlihatkan dalam gambar berikut.
Fungsi Irasional
Beberapa contoh fungsi irasional beserta grafiknya diperlihatkan pada gambar berikut ini.
37
y =
1−x
x
x = 1
y = 1
y = 1/x
Gambar 2.2.6
Fungsi Transenden
Fungsi transenden meliputi: Fungsi Trigonometri, Fungsi Siklometri, Fungsi Eksponen, dan Fungsi
Logaritma.
(a). Fungsi trigonometri
Ditinjau titik sebarang P(x,y) pada bidang koordinat seperti terlihat dalam gambar berikut ini.
38
xy =
−a a
−a a
a
−a
2
xay −=
2
xay −−=
Gambar 2.2.7
(a)
(b) (c)
Apabila r menyatakan jarak titik P ke O dan θ menyatakan besar sudut antara OP dengan sumbu X
(arah berlawanan dengan jarum jam), maka berturut-turut didefinisikan sebagai berikut:
sin θ = y/r cos θ = x/r
tan θ = y/x cot θ = x/y
sec θ = r/x csc θ = r/y
Dari definisi mudah ditunjukkan hubungan-hubungan berikut:
tan θ =
θ
θ
θ
θ
θ
sin
cos
cos,
cos
sin
=
sec θ =
θ
θ
θ sin
1
csc,
cos
1
=
dan:
sin2
θ + cos2
θ = 1 1 + tan2
θ = sec2
θ 1 + cos2
θ = csc2
θ
Berbeda halnya dengan geometri yang biasanya besar sudut diukur dalam derajat, maka dalam
kalkulus besar sudut dinyatakan dalam radian. Besar sudut satu radian sama dengan besar sudut pusat
juring lingkaran OPQ yang panjang busurnya sama dengan jari-jari lingkaran (perhatikan Gambar 2.2.9).
39
P(x,y)
r y
x
Q
Gambar 2.2.8
Oleh karena itu,
2 π radian = 360o
atau 1 radian = 





π
180
derajat.
Selanjutnya, dapat dibentuk fungsi-fungsi trigonometri. Beberapa grafik fungsi trigonometri dapat
digambarkan sebagai berikut (lihat Gambar 2.2.10 dan Gambar 2.2.11):
Untuk – π ≤ x ≤ 2π, grafik y = sin x dan y = cos x berpotongan di x = −π/4 dan x = 5π/4.
40
r
r
PO
Q
Gambar 2.2.9 Besar sudut POQ 1 radian
Gambar 2.2.10 (b) Grafik xy cos=Gambar 2.2.10 (a) Grafik xy sin=
(b). Fungsi Siklometri
Untuk domain tertentu invers fungsi trigonometri juga merupakan fungsi. Invers fungsi
trigonometri dikenal dengan nama fungsi siklometri. Invers fungsi sinus ditulis dengan sin−1
atau arcsin dan
didefinisikan sebagai berikut:
41
Gambar 2.2.11 (a) Grafik xy tan= Gambar 2.2.11 (b) Grafik xy cot=
Gambar 2.2.11 (c) Grafik xy sec= Gambar 2.2.11 (d) Grafik xy csc=

Contenu connexe

Tendances

komposisi dua fungsi dan fungsi invers
komposisi dua fungsi dan fungsi inverskomposisi dua fungsi dan fungsi invers
komposisi dua fungsi dan fungsi inversmfebri26
 
Diferensiabel kontinu
Diferensiabel kontinuDiferensiabel kontinu
Diferensiabel kontinubobbyrey
 
Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Komposisi Fungsi dan Fungsi InversKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Komposisi Fungsi dan Fungsi InversAlya Titania Annisaa
 
Fungsipersamaanpertidaksamaan
FungsipersamaanpertidaksamaanFungsipersamaanpertidaksamaan
FungsipersamaanpertidaksamaanKia Hti
 
Keterkaitan antara fungsi, limit, kekontinuan, turunan, dan integral
Keterkaitan antara fungsi, limit, kekontinuan, turunan, dan integralKeterkaitan antara fungsi, limit, kekontinuan, turunan, dan integral
Keterkaitan antara fungsi, limit, kekontinuan, turunan, dan integralKurcaci Kecil
 
Komposisi dan fungsi
Komposisi dan fungsiKomposisi dan fungsi
Komposisi dan fungsikusnadiyoan
 
Fungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsi
Fungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsiFungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsi
Fungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsiksaaann
 
Bab xiii fungsi komposisi dan fungsi invers
Bab xiii  fungsi komposisi dan fungsi inversBab xiii  fungsi komposisi dan fungsi invers
Bab xiii fungsi komposisi dan fungsi invershimawankvn
 
Bil.riil
Bil.riilBil.riil
Bil.riilEveeL
 

Tendances (18)

komposisi dua fungsi dan fungsi invers
komposisi dua fungsi dan fungsi inverskomposisi dua fungsi dan fungsi invers
komposisi dua fungsi dan fungsi invers
 
Diferensiabel kontinu
Diferensiabel kontinuDiferensiabel kontinu
Diferensiabel kontinu
 
Fungsi komposisi
Fungsi komposisiFungsi komposisi
Fungsi komposisi
 
Fungsi Komposisi
Fungsi KomposisiFungsi Komposisi
Fungsi Komposisi
 
Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Komposisi Fungsi dan Fungsi InversKomposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers
 
Rpp 8.1
Rpp 8.1Rpp 8.1
Rpp 8.1
 
Fungsipersamaanpertidaksamaan
FungsipersamaanpertidaksamaanFungsipersamaanpertidaksamaan
Fungsipersamaanpertidaksamaan
 
Keterkaitan antara fungsi, limit, kekontinuan, turunan, dan integral
Keterkaitan antara fungsi, limit, kekontinuan, turunan, dan integralKeterkaitan antara fungsi, limit, kekontinuan, turunan, dan integral
Keterkaitan antara fungsi, limit, kekontinuan, turunan, dan integral
 
Komposisi dan fungsi
Komposisi dan fungsiKomposisi dan fungsi
Komposisi dan fungsi
 
Fungsi invers matematika
Fungsi invers matematikaFungsi invers matematika
Fungsi invers matematika
 
Fungsifix
FungsifixFungsifix
Fungsifix
 
Fungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsi
Fungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsiFungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsi
Fungsi, komposisi fungsi, dan invers fungsi
 
Bab xiii fungsi komposisi dan fungsi invers
Bab xiii  fungsi komposisi dan fungsi inversBab xiii  fungsi komposisi dan fungsi invers
Bab xiii fungsi komposisi dan fungsi invers
 
Kalkulus modul vi kontinuitas
Kalkulus modul vi kontinuitasKalkulus modul vi kontinuitas
Kalkulus modul vi kontinuitas
 
Fungsi dan grafik
Fungsi dan grafikFungsi dan grafik
Fungsi dan grafik
 
Modul kalkulus
Modul kalkulusModul kalkulus
Modul kalkulus
 
Bil.riil
Bil.riilBil.riil
Bil.riil
 
Limit2
Limit2Limit2
Limit2
 

Similaire à Fungsi dan grafik_fungsi

log&himp_Fungsi_Kelompok-1.pptx
log&himp_Fungsi_Kelompok-1.pptxlog&himp_Fungsi_Kelompok-1.pptx
log&himp_Fungsi_Kelompok-1.pptxNovrii1
 
Fungsi kelompok 4 (xi mia 4)
Fungsi kelompok 4 (xi mia 4)Fungsi kelompok 4 (xi mia 4)
Fungsi kelompok 4 (xi mia 4)Dinna
 
Meri arianti (17118002)
Meri arianti (17118002)Meri arianti (17118002)
Meri arianti (17118002)MeriArianti
 
Fungsikomposisidanfungsiinvers
FungsikomposisidanfungsiinversFungsikomposisidanfungsiinvers
FungsikomposisidanfungsiinversBudi Raharjo
 
Bab 2 Fungsi ( Kalkulus 1 )
Bab 2 Fungsi ( Kalkulus 1 )Bab 2 Fungsi ( Kalkulus 1 )
Bab 2 Fungsi ( Kalkulus 1 )Kelinci Coklat
 
komposisi fungsi dan fungsi invers.pptx
komposisi fungsi dan fungsi invers.pptxkomposisi fungsi dan fungsi invers.pptx
komposisi fungsi dan fungsi invers.pptxTutikRahayu16
 
Materi Fungsi/Pemetaan oleh Yudi Prasetyo, S.Pd
Materi Fungsi/Pemetaan oleh Yudi Prasetyo, S.PdMateri Fungsi/Pemetaan oleh Yudi Prasetyo, S.Pd
Materi Fungsi/Pemetaan oleh Yudi Prasetyo, S.PdRadityo Pras
 
Integral rangkap
Integral rangkapIntegral rangkap
Integral rangkapASBAETY
 
Integral rangkap
Integral rangkapIntegral rangkap
Integral rangkapdwi09arya
 
PPT DEsmaido Wilen Saragih, rELASI. pptX
PPT DEsmaido Wilen Saragih, rELASI. pptXPPT DEsmaido Wilen Saragih, rELASI. pptX
PPT DEsmaido Wilen Saragih, rELASI. pptXDesmaidoWilenSaragih
 

Similaire à Fungsi dan grafik_fungsi (20)

log&himp_Fungsi_Kelompok-1.pptx
log&himp_Fungsi_Kelompok-1.pptxlog&himp_Fungsi_Kelompok-1.pptx
log&himp_Fungsi_Kelompok-1.pptx
 
Fungsi kelompok 4 (xi mia 4)
Fungsi kelompok 4 (xi mia 4)Fungsi kelompok 4 (xi mia 4)
Fungsi kelompok 4 (xi mia 4)
 
Meri arianti (17118002)
Meri arianti (17118002)Meri arianti (17118002)
Meri arianti (17118002)
 
fungsi .pptx
fungsi .pptxfungsi .pptx
fungsi .pptx
 
Fungsikomposisidanfungsiinvers
FungsikomposisidanfungsiinversFungsikomposisidanfungsiinvers
Fungsikomposisidanfungsiinvers
 
Fungsikomposisidanfungsiinvers
FungsikomposisidanfungsiinversFungsikomposisidanfungsiinvers
Fungsikomposisidanfungsiinvers
 
Bab 2 Fungsi ( Kalkulus 1 )
Bab 2 Fungsi ( Kalkulus 1 )Bab 2 Fungsi ( Kalkulus 1 )
Bab 2 Fungsi ( Kalkulus 1 )
 
Kalkulus1
Kalkulus1 Kalkulus1
Kalkulus1
 
komposisi fungsi dan fungsi invers.pptx
komposisi fungsi dan fungsi invers.pptxkomposisi fungsi dan fungsi invers.pptx
komposisi fungsi dan fungsi invers.pptx
 
Bab 6
Bab 6Bab 6
Bab 6
 
Komposisi Fungsi.pdf
Komposisi Fungsi.pdfKomposisi Fungsi.pdf
Komposisi Fungsi.pdf
 
Bab 6
Bab 6Bab 6
Bab 6
 
FUNGSI DAN GRAFIK
FUNGSI DAN GRAFIKFUNGSI DAN GRAFIK
FUNGSI DAN GRAFIK
 
Materi Fungsi/Pemetaan oleh Yudi Prasetyo, S.Pd
Materi Fungsi/Pemetaan oleh Yudi Prasetyo, S.PdMateri Fungsi/Pemetaan oleh Yudi Prasetyo, S.Pd
Materi Fungsi/Pemetaan oleh Yudi Prasetyo, S.Pd
 
Bab 6
Bab 6Bab 6
Bab 6
 
Fungsi dan grafik
Fungsi dan grafikFungsi dan grafik
Fungsi dan grafik
 
Bab 6
Bab 6Bab 6
Bab 6
 
Integral rangkap
Integral rangkapIntegral rangkap
Integral rangkap
 
Integral rangkap
Integral rangkapIntegral rangkap
Integral rangkap
 
PPT DEsmaido Wilen Saragih, rELASI. pptX
PPT DEsmaido Wilen Saragih, rELASI. pptXPPT DEsmaido Wilen Saragih, rELASI. pptX
PPT DEsmaido Wilen Saragih, rELASI. pptX
 

Dernier

573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptx
573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptx573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptx
573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptxanisakhairoza
 
MATERI PESANTREN KILAT RAMADHAN AQIDAH ISLAM.pptx
MATERI PESANTREN KILAT RAMADHAN  AQIDAH ISLAM.pptxMATERI PESANTREN KILAT RAMADHAN  AQIDAH ISLAM.pptx
MATERI PESANTREN KILAT RAMADHAN AQIDAH ISLAM.pptxSuarniSuarni5
 
PPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptx
PPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptxPPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptx
PPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptxRestiana8
 
Materi Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptx
Materi Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptxMateri Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptx
Materi Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptxnursamsi40
 
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptx
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptxPaket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptx
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptxDarmiahDarmiah
 
LEMBAR-LOKAKARYA ORIENTASI-Kelompok 1.pdf
LEMBAR-LOKAKARYA ORIENTASI-Kelompok 1.pdfLEMBAR-LOKAKARYA ORIENTASI-Kelompok 1.pdf
LEMBAR-LOKAKARYA ORIENTASI-Kelompok 1.pdfAdelaWintarsana2
 
Tanqihul Qoul Bab 14 - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptx
Tanqihul Qoul Bab 14  - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptxTanqihul Qoul Bab 14  - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptx
Tanqihul Qoul Bab 14 - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptxMMuminSholih
 
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdfMakna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdfAdindaRizkiThalia
 
slaid penerangan UPUonline 2024 UPU 2024
slaid penerangan UPUonline  2024 UPU 2024slaid penerangan UPUonline  2024 UPU 2024
slaid penerangan UPUonline 2024 UPU 2024ssuser82320b
 
DOKUMEN PENJAJARAN_KSSR MATEMATIK TAHAP 1_EDISI 3.pdf
DOKUMEN PENJAJARAN_KSSR MATEMATIK TAHAP 1_EDISI 3.pdfDOKUMEN PENJAJARAN_KSSR MATEMATIK TAHAP 1_EDISI 3.pdf
DOKUMEN PENJAJARAN_KSSR MATEMATIK TAHAP 1_EDISI 3.pdfssuserb45274
 
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASIBMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASIsyedharis59
 
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASIBMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASIwanalifhikmi
 
MATERI PESANTREN KILAT SD PUASA II .pptx
MATERI PESANTREN KILAT SD PUASA II .pptxMATERI PESANTREN KILAT SD PUASA II .pptx
MATERI PESANTREN KILAT SD PUASA II .pptxSuarniSuarni5
 
2024 - PSAJ PAI SMK Kisi-kisi Utama.docx
2024 - PSAJ PAI SMK Kisi-kisi Utama.docx2024 - PSAJ PAI SMK Kisi-kisi Utama.docx
2024 - PSAJ PAI SMK Kisi-kisi Utama.docxaljabarkoho
 
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrahmateri pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrahkrisdanarahmatullah7
 
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptx
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptxDinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptx
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptxFritzPieterMichaelNa
 
UTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptx
UTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptxUTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptx
UTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptxYusufAmirudin3
 
MATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptx
MATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptxMATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptx
MATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptxSuarniSuarni5
 
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptxfurqanridha
 
Paparan Model Kompetensi Kepala Sekolah.pptx
Paparan Model Kompetensi Kepala Sekolah.pptxPaparan Model Kompetensi Kepala Sekolah.pptx
Paparan Model Kompetensi Kepala Sekolah.pptxagunk4
 

Dernier (20)

573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptx
573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptx573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptx
573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptx
 
MATERI PESANTREN KILAT RAMADHAN AQIDAH ISLAM.pptx
MATERI PESANTREN KILAT RAMADHAN  AQIDAH ISLAM.pptxMATERI PESANTREN KILAT RAMADHAN  AQIDAH ISLAM.pptx
MATERI PESANTREN KILAT RAMADHAN AQIDAH ISLAM.pptx
 
PPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptx
PPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptxPPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptx
PPT GABUNGAN 1 kelas 9 gabungan tabung dengan setengah bola.pptx
 
Materi Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptx
Materi Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptxMateri Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptx
Materi Presentasi PPT Komunitas belajar 2.pptx
 
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptx
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptxPaket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptx
Paket Substansi_Pengelolaan Kinerja Guru dan KS [19 Dec].pptx
 
LEMBAR-LOKAKARYA ORIENTASI-Kelompok 1.pdf
LEMBAR-LOKAKARYA ORIENTASI-Kelompok 1.pdfLEMBAR-LOKAKARYA ORIENTASI-Kelompok 1.pdf
LEMBAR-LOKAKARYA ORIENTASI-Kelompok 1.pdf
 
Tanqihul Qoul Bab 14 - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptx
Tanqihul Qoul Bab 14  - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptxTanqihul Qoul Bab 14  - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptx
Tanqihul Qoul Bab 14 - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptx
 
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdfMakna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
 
slaid penerangan UPUonline 2024 UPU 2024
slaid penerangan UPUonline  2024 UPU 2024slaid penerangan UPUonline  2024 UPU 2024
slaid penerangan UPUonline 2024 UPU 2024
 
DOKUMEN PENJAJARAN_KSSR MATEMATIK TAHAP 1_EDISI 3.pdf
DOKUMEN PENJAJARAN_KSSR MATEMATIK TAHAP 1_EDISI 3.pdfDOKUMEN PENJAJARAN_KSSR MATEMATIK TAHAP 1_EDISI 3.pdf
DOKUMEN PENJAJARAN_KSSR MATEMATIK TAHAP 1_EDISI 3.pdf
 
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASIBMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
 
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASIBMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
 
MATERI PESANTREN KILAT SD PUASA II .pptx
MATERI PESANTREN KILAT SD PUASA II .pptxMATERI PESANTREN KILAT SD PUASA II .pptx
MATERI PESANTREN KILAT SD PUASA II .pptx
 
2024 - PSAJ PAI SMK Kisi-kisi Utama.docx
2024 - PSAJ PAI SMK Kisi-kisi Utama.docx2024 - PSAJ PAI SMK Kisi-kisi Utama.docx
2024 - PSAJ PAI SMK Kisi-kisi Utama.docx
 
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrahmateri pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
 
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptx
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptxDinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptx
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptx
 
UTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptx
UTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptxUTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptx
UTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptx
 
MATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptx
MATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptxMATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptx
MATERI pesntren kilat FIQIH THAHARAH.pptx
 
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx
 
Paparan Model Kompetensi Kepala Sekolah.pptx
Paparan Model Kompetensi Kepala Sekolah.pptxPaparan Model Kompetensi Kepala Sekolah.pptx
Paparan Model Kompetensi Kepala Sekolah.pptx
 

Fungsi dan grafik_fungsi

  • 1. BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI 2.1 Fungsi 2.2 Grafik Fungsi 2.3 Barisan dan Deret 2.4 Irisan Kerucut 2.1 Fungsi Dalam berbagai aplikasi, korespondensi/hubungan antara dua himpunan sering terjadi. Sebagai contoh, volume bola dengan jari-jari r diberikan oleh relasi 3 3 4 rV π= . Contoh yang lain, tempat kedudukan titik-titik ),( yx yang jaraknya 1 satuan dari titik pangkal O adalah 122 =+ yx . Ada hal penting yang bisa dipetik dari contoh di atas. Misalkan X menyatakan himpunan semua absis lebih dari atau sama dengan −1 dan kurang dari atau sama dengan 1, sedangkan Y himpunan ordinat lebih dari atau sama dengan −1 dan kurang dari atau sama dengan 1. Maka elemen-elemen pada X berkorespondensi dengan satu atau lebih elemen pada Y. Selanjutnya, korespondensi 122 =+ yx disebut relasi dari X ke Y. Secara umum, apabila A dan B masing-masing himpunan yang tidak kosong maka relasi dari A ke B didefinisikan sebagai himpunan tak kosong BAR ×⊂ . A B Gambar 2.1.1 Relasi dari himpunan A ke B 23 a1 a2 a3 b1 b2 b3 b4
  • 2. Jika R adalah relasi dari A ke B dan Ax ∈ berelasi R dengan By ∈ maka ditulis: )(atauatau),( aRbaRbRba =∈ Apabila diperhatikan secara seksama, ternyata dua contoh di atas mempunyai perbedaan yang mendasar. Pada contoh yang pertama setiap 0>r menentukan tepat satu 0>V . Sementara pada contoh yang ke dua, setiap ]1,1[−∈x berelasi dengan beberapa (dalam hal ini dua) nilai ]1,1[−∈x yang berbeda. Relasi seperti pada contoh pertama disebut fungsi. Jadi, relasi R dari A ke B disebut fungsi jika untuk setiap Ax ∈ terdapat tepat satu By ∈ sehingga )(aRb = . Sebagai contoh, misalkan { } { }6,3dan2,1 == YX . Himpunan { })3,2(),3,1( merupakan fungsi dari X ke Y, karena setiap anggota X berelasi dengan tepat satu anggota Y. Demikian pula, himpunan { })3,2(),6,1( merupakan fungsi dari X ke Y. Sementara himpunan { })3,2(),6,1(),3,1( bukan merupakan fungsi dari X ke Y, karena ada anggota X, yaitu 1, yang menentukan lebih dari satu nilai di Y. Fungsi dinyatakan dengan huruf-huruf: f, g, h, F, H, dst. Selanjutnya, apabila f merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka dituliskan: f : A → B Dalam hal ini, himpunan A dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah asal, sedangkan himpunan B dinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi f. Domain fungsi f ditulis dengan notasi Df, dan apabila tidak disebutkan maka disepakati bahwa domain fungsi f adalah himpunan terbesar di dalam R sehingga f terdefinisikan atau ada. Jadi: { })ikanterdefinis(ada)(: xfxD f R∈= Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A dinamakan range atau daerah hasil fungsi f, ditulis fR atau Im(f) (Perhatikan Gambar 2.1.2). 24 Definisi 2.1.1 Diketahui R relasi dari A ke B. Apabila setiap Ax ∈ berelasi R dengan tepat satu By ∈ maka R disebut fungsi dari A ke B. A B
  • 3. Jika pada fungsi f : A → B , sebarang elemen x ∈ A mempunyai kawan y ∈ B, maka dikatakan “y merupakan bayangan x oleh f “ atau “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x). A B Gambar 2.1.3 f fungsi dari himpunan A ke B. Selanjutnya, x dan y masing-masing dinamakan variable bebas dan variabel tak bebas. Sedangkan y = f(x) disebut rumus fungsi f. Contoh 2.1.2 Tentukan domainnya. a. 2 1 )( + = x xf b. 1 )( 2 − = x x xf c. )6ln( 5 1 )( 2 −−+ + = xx x xf Penyelesaian: a. Suatu hasil bagi akan memiliki arti apabila penyebut tidak nol. Oleh karena itu, { } }2{02:ikanterdefinis 2 1 : −−=≠+∈=       + ∈= RRR xx x xD f b. Karena akar suatu bilangan ada hanya apabila bilangan tersebut tak negatif, maka: 25 ● ● ● ● ● fR Gambar 2.1.2x yf
  • 4. { } ).,1(]0,1(1atau01: 0 1 :ada 1 : 22 ∞∪−=>≤<−∈=       ≥ − ∈=       − ∈= xxx x x x x x xD f R RR c. Suatu jumlahan memiliki arti apabila masing-masing sukunya terdefinsikan. Sehingga: { } { } { } { })3dan5:atau2dan5: )3atau2(dan5: 0)6(dan05: ada)6ln(danada 5 1 : ada)6ln( 5 1 : 2 2 2 >−≠∈−<−≠∈= >−<−≠∈= >−−≠+∈=       −− + ∈=       −−+ + ∈= xxxxxx xxxx xxxx xx x x xx x xD f RR R R R R = ),3()2,5()5,( ∞∪−∪−−∞ .█ Contoh 2.1.3 Jika )1(3)( 2 xxxf += , maka tentukan: a. )1(−f b. )2( +xf c. )1( xf d. )( xxf ∆+ Penyelesaian: a. 2)11()1.(3)1( 2 =−+−=−f . b. )2(112123)2(1)2(3)2( 22 ++++=+++=+ xxxxxxf . c. ( ) xx x xxf +=+= 22 3 1 1 )1.(3)1( . d. )(1)(.63)(1).(3)( 222 xxxxxxxxxxxxf ∆∆∆∆∆∆ ++++=+++=+ .█ 2.1.1 Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif Berikut diberikan beberapa fungsi yang memenuhi syarat-syarat tertentu . Diberikan fungsi BAf →: . (i). Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai kawan anggota himpunan A, maka f disebut fungsi surjektif atau fungsi pada (onto function). 26 a1● a2● a3● a4● ●b1 ●b2 ●b3 A B
  • 5. Gambar 2.1.4 f fungsi surjektif dari himpunan A ke himpunan B (ii). Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai yang kawan di A, kawannya tunggal, maka f disebut fungsi injektif atau fungsi 1-1 (into function). A B (iii). Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A maka f disebut fungsi bijektif atau korespodensi 1-1. Mudah dipahami bahwa korespondensi 1-1 adalah fungsi surjektif sekaligus injektif. A B 2.1.2 Operasi Pada Fungsi Diberikan skalar real α dan fungsi-fungsi f dan g. Jumlahan gf + , selisih gf − , hasil kali skalar fα , hasil kali gf . , dan hasil bagi gf masing-masing didefinisikan sebagai berikut: 27 a1● a2● a3● ●b1 ●b2 ●b3 ●b4 ●b5 a1● a2● a3● a4● ●b1 ●b2 ●b3 ●b4 Gambar 2.1.5 Fungsi injektif dari A ke B Gambar 2.1.6 Korespondensi 1 – 1.
  • 6. )()())(( xgxfxgf +=+ )()())(( xgxfxgf −=− )())(( xfxf αα = )().())(.( xgxfxgf = 0)(asalkan, )( )( ))(( ≠= xg xg xf x g f Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan domain f dan domain g, kecuali untuk gf , { }0)(: ≠∩∈= xgDDxD gfgf . Contoh 2.1.4 Jika f dan g masing-masing: 1)( −= xxf 5 1 )( + = x xg maka tentukan: gf + , gf − , gf . , dan gf beserta domainnya. Penyelesaian: ( ) ( ) ( ) ( ) 5 1 )( 5 1 .1)(. 5 1 1)( 5 1 1)( + − = + −= + −−=− + +−=+ x x xgf x xxgf x xxgf x xxgf Karena }5{dan),1[ −−=∞= Rgf DD , maka gf + , gf − , gf . , dan gf masing-masing mempunyai domain: ),1[ ∞ .█ 2.1.3 Fungsi Invers Diberikan fungsi YXf →: . Kebalikan (invers) fungsi f adalah relasi g dari Y ke X. Pada umumnya, invers suatu fungsi belum tentu merupakan fungsi. Sebagai contoh, perhatikan Gambar 2.1.7 di bawah ini. 28 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● f A B
  • 7. Apabila YXf →: merupakan korespondensi 1 – 1, maka mudah ditunjukkan bahwa invers f juga merupakan fungsi. Fungsi ini disebut fungsi invers, ditulis dengan notasi 1− f . Perhatikan Gambar 2.1.8 berikut. Jadi: )()(1 xfyyfx =⇔= − dengan ffff DRRD == −− 11 dan Contoh 2.1.5 Tentukan 1− f jika diketahui 23 1 1)( + − −= x x xf . Penyelesaian: 23 1 1 23 1 1)( + − =−⇔ + − −== x x y x x xfy 29 x ● ● y X Y 1− f Gambar 2.1.8 Gambar 2.1.7 f
  • 8. )( 32 32 3232 12233 1)23)(1( 1 yf y y x yxyx xyxyx xxy − = − − =⇔ −=−⇔ −=+−−⇔ −=+−⇔ Jadi, x x xf 32 32 )(1 − − =− .█ Contoh 2.1.6 Tentukan inversnya jika diketahui:          > + − =− <− = 0jika 1 1 0jika1 0jika )( x x x xx xf Penyelesaian: (i). Untuk 0<x , 0)( >−== xxfy . Sehingga: 0)(1 >=−= − yyfyx (ii). Untuk 0=x , 1)0( −=f . Sehingga, diperoleh: )1(0 1 −= − f . (iii).Untuk 0>x , 1 10 1 1 1 )( −= + − < + − == x xfy atau: 1)( 1 1 1 1 −<= −− =− − = − yyf y y y x Selanjutnya, dari (i), (ii), dan (iii) diperoleh:          −< −− −= >− =− 1jika 1 1jika0 0jika )(1 x x x x xx xf .█ 2.1.4 Fungsi Komposisi 30
  • 9. Perhatikan fungsi 12 += xy . Apabila didefinisikan uufy == )( dan 1)( 2 +== xxgu maka dengan substitusi diperoleh 1))(()( 2 +=== xxgfufy , yaitu rumus fungsi yang pertama disebutkan. Proses demikian ini disebut komposisi. Secara umum dapat diterangkan sebagai berikut. Diketahui f dan g sebarang dua fungsi. Ambil sebarang gDx ∈ . Apabila fDxg ∈)( maka f dapat dikerjakan pada )(xg dan diperoleh fungsi baru ))(()( xgfxh = . Ini disebut fungsi komposisi dari f dan g, ditulis gf  . Contoh 2.1.7 Jika f(x) = x2 dan g(x) = x−1 maka tentukan fungsi-fungsi berikut beserta domainnya. a. gf  b. fg  c. ff  d. gg  Penyelesaian: a. ( ) 2 )1()1())(()( −=−== xxfxgfxgf  , dengan domain R=gfD  . b. ( ) 1)())(()( 22 −=== xxgxfgxfg  , dengan domain R=fgD  . c. ( ) 42 )())(()( xxfxffxff === , dengan domain R=ffD  . d. ( ) 21)1()1())(()( −=−−=−== xxxgxggxgg  , dengan domain R=ggD  .█ 31 x ● ● ● g f gf  Gambar 2.1.9 Fungsi komposisi Definisi 2.1.7 Fungsi komposisi dari f dan g, ditulis gf  , didefinisikan sebagai: ( ) ))(()( xgfxgf = , dengan domain { }fggf DxgDxD ∈∈= )(: .
  • 10. Contoh 2.1.8 Jika 2 1)( xxf −= dan 2 2)( xxg = maka tentukan fungsi-fungsi berikut ini beserta domainnya. a. gf  b. fg  Penyelesaian: a. ( ) 4222 41)2(1)2())(()( xxxfxgfxgf −=−=== , dengan domain: { } { } { }       ≤≤ − ∈=≤≤∈= ≤≤−∈=∈∈= 2 2 1 2 2 1 :210: 121:)(: 2 2 xxxx xxDxgDxD fggf RR R . b. ( ) )1(2)1())(()( 22 xxgxfgxfg −=−== , dengan domain: { } { }11:)(: ≤≤−∈=∈∈= xRxDxfDxD gffg .█ Contoh 2.1.9 Tentukan gf  jika diketahui:      < ≥+ = 0jika1 0jika1 )( xx xx xf        ≤− > − = 1jika12 1jika 1 )( xx x x x xg Penyelesaian: (i). Untuk 1>x , 01 1 1 1 1 11 1 )( >> − += − +− = − = xx x x x xg . Sehingga: 1 1)(1))(())(( − +=+== x x xgxgfxgf  (ii).Untuk 1≤x , 111.212)( =−≤−= xxg . Karena 1)( ≤xg , maka dapat dibedakan menjadi 1)(0 ≤≤ xg dan 0)( <xg . Selanjutnya, (a). 1)(0 ≤≤ xg apabila 1120 ≤−≤ x atau 121 ≤≤x . Hal ini berakibat, untuk 121 ≤≤x , xxxgxgfxgf 2)12(1)(1))(())(( =−+=+== (b). 0)( <xg apabila 012 <−x atau 21<x . Jadi, untuk 21<x diperoleh: )12(1)(1))(())(( −=== xxgxgfxgf  Dari (i) dan (ii), diperoleh: 32
  • 11.            < − ≤≤ > − + = 21jika 12 1 121jika2 1jika 1 1 ))(( x x xx x x x xgf  2.2 Grafik Fungsi Diberikan fungsi f. Himpunan { }fDxxfyyx ∈= ),(:),( disebut grafik fungsi f. 2.2.1 Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kartesius Dalam sistem koordinat kartesius fungsi dapat dibagi menjadi: (a). Fungsi Aljabar (b). Fungsi Transenden Fungsi f disebut fungsi aljabar jika f dapat dinyatakan sebagai jumlahan, selisih, hasil kali, hasil bagi, pangkat, ataupun akar fungsi-fungsi suku banyak. Sebagai contoh, fungsi f dengan rumus: 1 )1(3 )( 2 322 + +− = x xxx xf merupakan fungsi aljabar. Fungsi yang bukan fungsi aljabar disebut fungsi transenden. Beberapa contoh fungsi transenden adalah fungsi trigonometri, fungsi logaritma, dsb. Fungsi Aljabar Fungsi Aljabar meliputi : (1). Fungsi rasional : a. Fungsi bulat (fungsi suku banyak) b. Fungsi pecah. (2). Fungsi irasional. Fungsi Suku Banyak Fungsi suku banyak berderajat n mempunyai persamaan f(x) = Pn(x) = a0 + a1x + . . . + an xn 33
  • 12. dengan n bilangan bulat tak negatif , a1, . . . , an bilangan-bilangan real dan an ≠ 0. (a). Fungsi konstan: cxf =)( . Grafik fungsi ini berupa garis lurus sejajar sumbu X. (b). Fungsi linear: f(x)= mx + n Grafik fungsi ini berupa garis lurus dengan gradien m dan melalui titik ),0( n . (c). Fungsi kuadrat: 0,)( 2 ≠++= acbxaxxf . 34 Y 0 a0 3 f(x) = −1 X f(x) = a0 f(x) = 3 0 2 y = x + 2 y = x y = x − 3 y = −x −1 −2 3 −3 Gambar 2.2.1 Gambar 2.2.2
  • 13. Grafik fungsi kuadrat berupa parabola. Diskriminan: acbD 42 −= . Secara umum, grafik fungsi kuadrat ini dapat digambarkan sebagai berikut: 35 D>0 a<0 D>0 a>0 (a) (b) D=0 a<0 (c) (d) D=0 a>0 D<0 a<0 (e) (f) D<0 a>0 Gambar 2.2.3
  • 14. Perhatikan pula gambar berikut ini. (d). Fungsi kubik: 0,)( 301 2 2 3 3 ≠+++= aaxaxaxaxf . 36 Y X2 y = x2 y = 4x – x2 y = ¼ x2 Y y = x3 y = (x−1)3 X −1 1 4 Gambar 2.2.4 Gambar 2.2.5
  • 15. Fungsi Pecah Fungsi f(x) yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua fungsi suku banyak m m n n xbxbb xaxaa xf +++ +++ = ... ... )( 10 10 disebut fungsi pecah. Grafik beberapa fungsi pecah sederhana, seperti: f(x) = 1 )(dan 1 − = x x xf x diperlihatkan dalam gambar berikut. Fungsi Irasional Beberapa contoh fungsi irasional beserta grafiknya diperlihatkan pada gambar berikut ini. 37 y = 1−x x x = 1 y = 1 y = 1/x Gambar 2.2.6
  • 16. Fungsi Transenden Fungsi transenden meliputi: Fungsi Trigonometri, Fungsi Siklometri, Fungsi Eksponen, dan Fungsi Logaritma. (a). Fungsi trigonometri Ditinjau titik sebarang P(x,y) pada bidang koordinat seperti terlihat dalam gambar berikut ini. 38 xy = −a a −a a a −a 2 xay −= 2 xay −−= Gambar 2.2.7 (a) (b) (c)
  • 17. Apabila r menyatakan jarak titik P ke O dan θ menyatakan besar sudut antara OP dengan sumbu X (arah berlawanan dengan jarum jam), maka berturut-turut didefinisikan sebagai berikut: sin θ = y/r cos θ = x/r tan θ = y/x cot θ = x/y sec θ = r/x csc θ = r/y Dari definisi mudah ditunjukkan hubungan-hubungan berikut: tan θ = θ θ θ θ θ sin cos cos, cos sin = sec θ = θ θ θ sin 1 csc, cos 1 = dan: sin2 θ + cos2 θ = 1 1 + tan2 θ = sec2 θ 1 + cos2 θ = csc2 θ Berbeda halnya dengan geometri yang biasanya besar sudut diukur dalam derajat, maka dalam kalkulus besar sudut dinyatakan dalam radian. Besar sudut satu radian sama dengan besar sudut pusat juring lingkaran OPQ yang panjang busurnya sama dengan jari-jari lingkaran (perhatikan Gambar 2.2.9). 39 P(x,y) r y x Q Gambar 2.2.8
  • 18. Oleh karena itu, 2 π radian = 360o atau 1 radian =       π 180 derajat. Selanjutnya, dapat dibentuk fungsi-fungsi trigonometri. Beberapa grafik fungsi trigonometri dapat digambarkan sebagai berikut (lihat Gambar 2.2.10 dan Gambar 2.2.11): Untuk – π ≤ x ≤ 2π, grafik y = sin x dan y = cos x berpotongan di x = −π/4 dan x = 5π/4. 40 r r PO Q Gambar 2.2.9 Besar sudut POQ 1 radian Gambar 2.2.10 (b) Grafik xy cos=Gambar 2.2.10 (a) Grafik xy sin=
  • 19. (b). Fungsi Siklometri Untuk domain tertentu invers fungsi trigonometri juga merupakan fungsi. Invers fungsi trigonometri dikenal dengan nama fungsi siklometri. Invers fungsi sinus ditulis dengan sin−1 atau arcsin dan didefinisikan sebagai berikut: 41 Gambar 2.2.11 (a) Grafik xy tan= Gambar 2.2.11 (b) Grafik xy cot= Gambar 2.2.11 (c) Grafik xy sec= Gambar 2.2.11 (d) Grafik xy csc=