Αρχιμήδης 2011 - Λύσεις

1. 28
" "
, 26 2011
1
1
.
ΑΒΓ ˆ 120
ΒΑΓ = c
ΒΓ,
ΑΔ ΑΒ
ΑΒΓ Ε . ΒΑ ΕΓ
. :
Ζ
( ) , ( ) .
ΖΔ ⊥ ΒΕ ΖΔ = ΒΓ
( ) B
. .
.
ˆ 90
ΒΑΕ = c
ˆ 90
ΒΓΕ = c
,
.
ΖΔ ⊥ ΒΕ
1
, : . ,
ˆ 90
ΖΒΗ = c
( )
ˆ ˆ
ˆ 180 HBZ+BZH
ΖΒΗ = −
c
(1)
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
HBZ EB BA=EA BA=120 90 BA 30
= Γ + Γ + − + = + Β
c c c
. (2)

2. ( ) :
ˆ ˆ 90
ΑΔΖ = ΔΓΖ = c
(3)
ˆ ˆ
ΒΖΗ = ΑΖΔ = Γ̂
(2) (3) (1) :
( ) ( ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ 180 30 + + 150 + 150 180 120 90
ΖΒΗ = − = − = − − =
c c c c c c c
c c
.
( ) ,
. .
ˆ ˆ
ΔΑΖ + ΔΓΖ =
90 90 180
+ =
c c ˆ ˆ ˆ
ˆ 120 90 30
ΔΖΓ = ΔΑΓ = ΒΑΓ −ΒΑΔ = − =
c c
ΔΓΖ
, .
2
ΖΔ = ⋅ΔΓ = ΒΓ,
2
δ
γ
β
α
=
x
. α
β
γ
δ
=
y y
x > .
y
x − ,
y
,
x .
:
1000 100 10 1000 100 10
x y α β γ δ δ γ β
− = + + + − − − −α
1000( ) 100( ) 10( )
α δ β γ γ β δ
= − + − + − + α
−
999( ) 90( )
α δ β
= − + −γ
( )
9 111( ) 10( )
α δ β γ
= − + − .
:
A 111( ) 10( )
α δ β γ
= − + − .
δ
γ
β
α ,
,
, (
). y
x > , δ
α > .
Α , δ
α − γ
β −
>
−δ
α γ
β − . δ
α − 9
α = 1
δ = .
γ
β − 8
β = 2
γ = .
.
9821
x = 1289
y =
9821 1289 8532
x y
− = − =
,
Α δ
α − γ
β −
.
δ
α − 1.
)
,
( δ
α :
(9,8) , ,( (2 .
(8,7) 7,6) (6,5) (5,4) (4,3) (3,2) ,1)
)
,
( δ
α ,
Α :
A 111 10( )
β γ
= + − .
γ
β − 8
−
1
β = 9
γ = .

3. (
),
(9,8) (2,1)
y
,
x .
3192 2913 279
4193 3914 279
5194 4915 279
6195 5916 279
7196 6917 279
8197 7918 279
3
3 1
ν + , ν , 7,
:
( ) ν 7,
( ) m
ν 7, .
, 1
m m >
( ) 3 1 7 ,
ν κ
+ = ,
ν κ . ν
7
ν ρ υ
= + , { }
0,1,2,3,4,5,6
υ ∈ ρ . :
( )
3 7 1 7 21 3 1 7 3 1 7
ρ υ κ ρ υ κ υ
+ + = ⇔ + + = ⇔ + = ,
υ 2. 7 2,
ν ρ
= + ρ
, ν 7 2.
( )
( ) ( )
0
7 2 7 2 .7 2
m
m m i
m i
i
m
i
m
ν ρ ρ πο
−
=
⎛ ⎞
= + = = +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ λ
,
.
, 7.
2m
3
m σ υ
= + { }
0,1,2
υ ∈ , :
( ) ( )
3
2 2 8 2 7 1 2 .7 1 2 .7 2
m σ
,
σ υ σ υ υ υ υ
πολ πολ
+
= = ⋅ = + ⋅ = + ⋅ = +
{ }
0,1,2
υ ∈ . m
ν 7,
,
m m >1 .
0 1 2
2 1, 2 2 2 4
= = =
4
, ,
x y z 12, :
3
x y z
x y z
y z x
+ + + ≥ + + .
;
, ,
x y z 12,
4
x y z x y z
x y
y z x
z
+ +
+ + + ≥ + + . (1)

4. , ,
x y z ,
–
2
4 4
x y x y
x
y y
+ ≥ ⋅ = , (2)
2
4 4
y z y z
y
z z
+ ≥ ⋅ = , (3)
2
4 4
z x z x
z
x x
+ ≥ ⋅ = . (4)
(2), (3) (4) (1).
, (2), (3) (4)
.,
2
2 2 2 2 2 2
3
4
2 2 2
3
2 2
8
7
2 2
7 7
1
, , , , , ,
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
1
, ,
4 4 4 4
1
, ,
4 4 4
, , 4 4.
4 4
4
4
x y y z z x y z x y z y y
x y z x y z
y z x
y z z
x y z
y z
x y z z
y z
x y z x y z
⎛ ⎞
= = = ⇔ = = = ⇔ = = = =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⇔ = = = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⇔ = = =
⇔ = = = ⇔ = = =

5. ǼȆǿȉȇȅȆǾ ǻǿǹīȍȃǿȈȂȍȃ ǼȂǼ
28
Ș
ǼȜȜȘȞȚțȒ ȂĮșȘȝĮIJȚțȒ ȅȜȣȝʌȚȐįĮ
"ȅ ǹȡȤȚȝȒįȘȢ"
ȈǹǺǺǹȉȅ, 26 ĭǼǺȇȅȊǹȇǿȅȊ 2011
Ǽ
ǼȞ
Ȟį
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Țț
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ȦȞ
Ȟ IJ
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İȦ
ȦȞ
Ȟ
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ȅǺ
Ǻȁ
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ǾȂ
Ȃǹ
ǹ 1
1
ȃĮ ȜȪıİIJİ ıIJȠȣȢ ĮțȑȡĮȚȠȣȢ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ
3 2 2 4
2 3
x y y x x y 6
.
ȁȪıȘ
ȂİIJȐ IJȚȢ ʌȡȐȟİȚȢ įȚĮʌȚıIJȫȞȠȣȝİ ȩIJȚ Ș įİįȠȝȑȞȘ İȟȓıȦıȘ İȓȞĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝȘ ȝİ IJȘȞ
İȟȓıȦıȘ
2
2 2 2
6 0, , ,
6 6 0, , ,
6, , , Ȓ 6, , .
6, , , (1) Ȓ 6, , . (2)
x y x y x y
xy x y xy x y x y
xy x y x y xy x y x y
xy x y x y xy y x x y
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œ ˜ 
ª º ª º
¬ ¼ ¬ ¼
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œ  
]
]
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ǹʌȩ IJȘ ȝȠȡijȒ IJȦȞ (1) țĮȚ (2) ʌȡȠțȪʌIJİȚ ȩIJȚ, ĮȞ 0 0
,
x y İȓȞĮȚ ȜȪıȘ IJȘȢ (1), IJȩIJİ IJȠ
ȗİȣȖȐȡȚ İȓȞĮȚ ȜȪıȘ IJȘȢ (2) țĮȚ ĮȞIJȚıIJȡȩijȦȢ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ, Įȡțİȓ ȞĮ ȜȪıȠȣȝİ
ȝȩȞȠȞ IJȘȞ İȟȓıȦıȘ (1). ǼʌİȚįȒ
0 0
,
y x
,
x y ] , Ș İȟȓıȦıȘ (1) İȓȞĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝȘ ȝİ :
^ ` ^ `
^ ` ^
^ ` ^
^ ` ^
1 2
3 4
5 6
7 8
6, 1 Ȓ 6, 1
Ȓ 3, 2 Ȓ 3, 2
Ȓ 1, 6 Ȓ 1, 6
Ȓ 2, 3 Ȓ 2, 3 .
xy x y xy x y
xy x y xy x y
xy x y xy x y
xy x y xy x y
6 6
6 6
6 6
6 6
`
`
`
ǹʌȩ IJĮ 8 ıȣıIJȒȝĮIJĮ ȝȩȞȠȞ IJĮ 1 3
, , 8
6 6 6 įȓȞȠȣȞ IJȚȢ ĮțȑȡĮȚİȢ ȜȪıİȚȢ:
, 3,2 , , 2, 3 , , 3,1 ,
, 1, 3 , , 2,1 țĮȚ , 1,
x y x y x y
x y x y x y
2 .
.
ȈȪȝijȦȞĮ ȝİ ȩıĮ İȓʌĮȝİ ʌĮȡĮʌȐȞȦ, Ș İȟȓıȦıȘ (2) ȑȤİȚ ıIJȠȣȢ ĮțȑȡĮȚȠȣȢ IJȚȢ ȜȪıİȚȢ
, 2,3 , , 3, 2 , , 1,3 ,
, 3, 1 , , 1, 2 țĮȚ , 2,
x y x y x y
x y x y x y
1 .
.
Ȇ
Ȇȇ
ȇȅ
ȅǺ
Ǻȁ
ȁǾ
ǾȂ
Ȃǹ
ǹ 2
2
ȈIJȠ țĮȡIJİıȚĮȞȩ İʌȓʌİįȠ Oxy șİȦȡȠȪȝİ IJĮ ıȘȝİȓĮ , , …,
țĮșȫȢ țĮȚ IJĮ İȣșȪȖȡĮȝȝĮ IJȝȒȝĮIJĮ
1
A (40,1) 2
A (40,2)
40
A (40,40) 1 2
OA ,OA , ,OA40
} . DzȞĮ ıȘȝİȓȠ IJȠȣ
țĮȡIJİıȚĮȞȠȪ İʌȚʌȑįȠȣ Oxy șĮ IJȠ ȠȞȠȝȐȗȠȣȝİ “țĮȜȩ”, ȩIJĮȞ ȠȚ ıȣȞIJİIJĮȖȝȑȞİȢ IJȠȣ İȓȞĮȚ
ĮțȑȡĮȚȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ țĮȚ ȕȡȓıțİIJĮȚ ıIJȠ İıȦIJİȡȚțȩ (įȘȜĮįȒ įİȞ IJĮȣIJȓȗİIJĮȚ ȝİ țȐʌȠȚȠ Įʌȩ
IJĮ ȐțȡĮ IJȠȣ) İȞȩȢ İȣșȣȖȡȐȝȝȠȣ IJȝȒȝĮIJȠȢ i
2$ 1,2,3, ,40
i ! . ǼʌȓıȘȢ, ȑȞĮ Įʌȩ IJĮ
İȣșȪȖȡĮȝȝĮ IJȝȒȝĮIJĮ 1 2
OA ,OA , ,OA40
} , șĮ IJȠ ȠȞȠȝȐȗȠȣȝİ “țĮȜȩ”, ȩIJĮȞ ʌİȡȚȑȤİȚ ȑȞĮ
IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ “țĮȜȩ” ıȘȝİȓȠ. ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȚıșİȓ IJȠ ʌȜȒșȠȢ IJȦȞ “țĮȜȫȞ” ıȘȝİȓȦȞ țĮȚ IJȠ
ʌȜȒșȠȢ IJȦȞ “țĮȜȫȞ” İȣșȣȖȡȐȝȝȦȞ IJȝȘȝȐIJȦȞ.

6. ȁȪıȘ.
ȈIJȘ ȜȪıȘ ʌȠȣ ĮțȠȜȠȣșİȓ, șĮ ıȣȝȕȠȜȓȗȠȣȝİ ȝİ MK ( , )
k l
' , IJȠ ȝȑȖȚıIJȠ țȠȚȞȩ
įȚĮȚȡȑIJȘ IJȦȞ ĮțİȡĮȓȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ .
l
,
k
ȈȤȒȝĮ 1
DzȞĮ ıȘȝİȓȠ șĮ ĮȞȒțİȚ ıIJȠ İıȦIJİȡȚțȩ IJȠȣ İȣșȣȖȡȐȝȝȠȣ IJȝȒȝĮIJȠȢ OA ,
ĮȞ țĮȚ ȝȩȞȠ ĮȞ, IJĮ įȚĮȞȪıȝĮIJĮ
M( , )
k l i
OM
JJJJ
G
țĮȚ OAi
JJJJG
ȑȤȠȣȞ IJȠȞ ȓįȚȠ ıȣȞIJİȜİıIJȒ įȚİȪșȣȞıȘȢ
(ȝİ ĮțȑȡĮȚȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ țĮȚ
l
,
k 0 k 40
d ), įȘȜĮįȒ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ȚıȤȪİȚ
40
i l
k
(ȝİ
ĮțȑȡĮȚȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ țĮȚ ).
l
,
k
0 4
k
d 0
īȚĮ ȞĮ İȓȞĮȚ IJȫȡĮ IJȠ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ IJȝȒȝĮ “țĮȜȩ”, șĮ ʌȡȑʌİȚ IJȠ țȜȐıȝĮ
OAi
40
i
ȞĮ
ȝȘȞ İȓȞĮȚ ĮȞȐȖȦȖȠ (ȫıIJİ ȞĮ įȘȝȚȠȣȡȖȠȪȞIJĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝĮ ȝİ IJȠ
40
i
țȜȐıȝĮIJĮ ȝİ
ĮțȑȡĮȚȠȣȢ ȩȡȠȣȢ ʌȠȣ șĮ įȘȝȚȠȣȡȖȠȪȞ IJȠ ıȣȞIJİȜİıIJȒ įȚİȪșȣȞıȘȢ
k
l
țĮȚ IJȚȢ ĮȞIJȓıIJȠȚȤİȢ
ıȣȞIJİIJĮȖȝȑȞİȢ IJȠȣ “țĮȜȠȪ” ıȘȝİȓȠȣ ).
M( , )
k l
ǼʌȠȝȑȞȦȢ, ȖȚĮ ȞĮ ȣʌȐȡȤİȚ “țĮȜȩ” ıȘȝİȓȠ ıIJȠ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ IJȝȒȝĮ (ȫıIJİ ȞĮ
ȤĮȡĮțIJȘȡȚıIJİȓ țĮȚ IJȠ ȓįȚȠ ȦȢ “țĮȜȩ”) șĮ ʌȡȑʌİȚ
OAi
MK (40, ) 1
i
' ! . ǹȞ IJȫȡĮ
, IJȩIJİ șĮ ȣʌȐȡȤȠȣȞ
MK (40, ) 1
i
' ! MK (40, ) 1
i
' “țĮȜȐ” ıȘȝİȓĮ ıIJȠ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ
IJȝȒȝĮ . ȈIJȠ ıȘȝİȓȠ ĮȞIJȚıIJȠȚȤİȓ IJȠ “țĮȜȩ” İȣșȪȖȡĮȝȝȠ IJȝȒȝĮ ,
ıIJȠ ȠʌȠȓȠ ĮȞȒțİȚ IJȠ “țĮȜȩ” ıȘȝİȓȠ . ȈIJȠ ıȘȝİȓȠ ĮȞIJȚıIJȠȚȤİȓ IJȠ
“țĮȜȩ” İȣșȪȖȡĮȝȝȠ IJȝȒȝĮ , ıIJȠ ȠʌȠȓȠ ĮȞȒțȠȣȞ IJĮ “țĮȜȐ” ıȘȝİȓĮ , (2 ,
. Ȃİ ĮȣIJȩ IJȠȞ IJȡȩʌȠ įȘȝȚȠȣȡȖȠȪȝİ IJȠȞ ʌȓȞĮțĮ:
i
OA 2
A (40,2) 2
OA
(20,1) 4
A (40,4)
4
OA (10,1) 0,2)
(30,3)
A2(40,2) ȂȀǻ(40,2)=2 1 A40(40,40) ȂȀǻ(40,40)=40 39
A4(40,4) ȂȀǻ(40,4)=4 3 A38(40,38) ȂȀǻ(40,38)=2 1
A5(40,5) ȂȀǻ(40,5)=5 4 A36(40,36) ȂȀǻ(40,36)=4 3
A6(40,6) ȂȀǻ(40,6)=2 1 A35(40,35) ȂȀǻ(40,35)=5 4
A8(40,8) ȂȀǻ(40,8)=8 7 A34(40,34) ȂȀǻ(40,34)=2 1
A10(40,10) ȂȀǻ(40,10)=10 9 A32(40,32) ȂȀǻ(40,32)=8 7
A12(40,12) ȂȀǻ(40,12)=4 3 A30(40,30) ȂȀǻ(40,30)=10 9
A14(40,14) ȂȀǻ(40,14)=2 1 A28(40,28) ȂȀǻ(40,28)=4 3
A15(40,15) ȂȀǻ(40,15)=5 4 A26(40,26) ȂȀǻ(40,26)=2 1
A16(40,16) ȂȀǻ(40,16)=8 7 A25(40,25) ȂȀǻ(40,25)=5 4

7. A18(40,18) ȂȀǻ(40,18)=2 1 A24(40,24) ȂȀǻ(40,24)=8 7
A20(40,20) ȂȀǻ(40,20)=20 19 A22(40,22) ȂȀǻ(40,22)=2 1
60 80
ǹʌȩ IJȠȞ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ʌȓȞĮțĮ ıȣȝʌİȡĮȓȞȠȣȝİ ȩIJȚ IJȠ ʌȜȒșȠȢ IJȦȞ “țĮȜȫȞ” IJȝȘȝȐIJȦȞ
İȓȞĮȚ țĮȚ IJȠ ʌȜȒșȠȢ IJȦȞ țĮȜȫȞ ıȘȝİȓȦȞ 140.
24
ȆĮȡĮIJȘȡȒıİȚȢ
1. ȅ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ʌȓȞĮțĮȢ ȑȤİȚ İȣȡİȓĮ ĮȞȐʌIJȣȟȘ ȖȚĮ įȚįĮțIJȚțȠȪȢ ȜȩȖȠȣȢ.
2. ȅ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȩȢ IJȠȣ ʌȓȞĮțĮ įȚİȣțȠȜȪȞİIJĮȚ ıȘȝĮȞIJȚțȐ ȝİ IJȘ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȓȘıȘ IJȦȞ
ȚįȚȠIJȒIJȦȞ IJȠȣ ȝȑȖȚıIJȠȣ țȠȚȞȠȪ įȚĮȚȡȑIJȘ:
MK ( , )
k l
' =MK ( , )
l k
' =MK ( , )
l k k
' =MK ( , )
l k k
' .
3. ȉȠ ʌȜȒșȠȢ IJȦȞ “țĮȜȫȞ” İȣșȣȖȡȐȝȝȦȞ IJȝȘȝȐIJȦȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȚıIJİȓ ȝİ IJȘ
ȕȠȒșİȚĮ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ I IJȠȣ Euler. ǼȓȞĮȚ ȖȞȦıIJȩ ȩIJȚ ( )
n n
I
ʌĮȡȚıIJȐ IJȠ
ʌȜȒșȠȢ IJȦȞ șİIJȚțȫȞ ĮțİȡĮȓȦȞ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȝȚțȡȩIJİȡȠȚ Ȓ ȓıȠȚ ȝİ IJȠȞ n țĮȚ įİȞ
İȓȞĮȚ ʌȡȫIJȠȚ ʌȡȠȢ ĮȣIJȩȞ. ǼʌİȚįȒ ȩȝȦȢ 3
40 5 2
˜ , ȑȤȠȣȝİ:
1 1 1 4
(40) 40 1 1 40 16
2 5 2 5
I
§ · § ·
˜
¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹
.
DZȡĮ IJȠ ʌȜȒșȠȢ IJȦȞ “țĮȜȫȞ” İȣșȣȖȡȐȝȝȦȞ IJȝȘȝȐIJȦȞ İȓȞĮȚ 40 (40) 24
I
.
Ȇ
Ȇȇ
ȇȅ
ȅǺ
Ǻȁ
ȁǾ
ǾȂ
Ȃǹ
ǹ 3
3
ǹȞ İȓȞĮȚ șİIJȚțȠȓ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ ȝİ ȐșȡȠȚıȝĮ 6, ȞĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıİIJİ IJȘ
ȝȑȖȚıIJȘ IJȚȝȒ IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ:
, ,
a b c
3 3 3
2 2 2
2 2
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2 b .
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ȁȪıȘ.
ȋȡȘıȚȝȠʌȠȚȠȪȝİ IJȘȞ ĮȞȚıȩIJȘIJĮ ĮȡȚșȝȘIJȚțȠȪ – ȖİȦȝİIJȡȚțȠȪ ȝȑıȠȣ ȦȢ İȟȒȢ:
2
3 2 2 2
3
3 3 3
2 2 2
1 1 2 12 12 1
2 2 12 12 2
3
12 12 3 12
a bc
a bc a bc a bc
˜ ˜ d ˜ 24 ,
2
3 2 2 2
3
3 3 3
2 2 2
1 1 2 12 12 1
2 2 12 12 2 24 ,
3
12 12 3 12
b ca
b ca b ca b ca
˜ ˜ d ˜
2
3 2 2 2
3
3 3 3
2 2 2
1 1 2 12 12 1
2 2 12 12 2
3
12 12 3 12
c ab
c ab c ab c ab
˜ ˜ d ˜ 24 ,
Įʌȩ IJȚȢ ȠʌȠȓİȢ ȝİ ʌȡȩıșİıȘ țĮIJȐ ȝȑȜȘ ȜĮȝȕȐȞȠȣȝİ
3 3 3
2 2 2 2 2 2
2 2
2 3
3
3 3
2 2
1
2 2 2 2 2 2 72
3 12
1 36
72 3 12.
18
3 12 12
S a bc b ca c ab a b c ab bc ca
a b c
d
ª º
¬ ¼
18
Ǿ ȚıȩIJȘIJĮ ȚıȤȪİȚ ȩIJĮȞ

8. 2 2 2
2
2
2 12, 2 12, 2 12
2 0, 2 0, 2 1
6 3 0, 6 3 0, 2 12
2.
a bc b ca c ab
a b a b c b c b c a c ab
a b c b c a c ab
a b c
œ
œ
œ
2
ǼʌȠȝȑȞȦȢ Ș ȝȑȖȚıIJȘ IJȚȝȒ IJȘȢ ʌĮȡȐıIJĮıȘȢ İȓȞĮȚ 3
3 12 țĮȚ ȜĮȝȕȐȞİIJĮȚ ȩIJĮȞ İȓȞĮȚ
.
2
a b c
ȆĮȡĮIJȒȡȘıȘ
1. Ǿ İʌȚȜȠȖȒ IJȠȣ ĮȡȚșȝȠȪ 12 ȦȢ įİȪIJİȡȠȣ țĮȚ IJȡȓIJȠȣ ȩȡȠȣ ȖȚĮ IJȘȞ İijĮȡȝȠȖȒ IJȘȢ
ĮȞȚıȩIJȘIJĮȢ ĮȡȚșȝȘIJȚțȠȪ – ȖİȦȝİIJȡȚțȠȪ ȝȑıȠȣ ȠijİȓȜİIJĮȚ ıIJȠ ȩIJȚ ȝȩȞȠȞ ȖȚĮ ĮȣIJȩȞ İȓȞĮȚ
įȣȞĮIJȩȞ ȞĮ ĮȜȘșİȪİȚ Ș ȚıȩIJȘIJĮ țĮȚ ıIJȚȢ IJȡİȚȢ İʌȚȝȑȡȠȣȢ ĮȞȚıȩIJȘIJİȢ. ǹȣIJȩ İȓȞĮȚ ĮȞĮȖțĮȓȠ
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