1. www.esaunggul.ac.id
1&2
PENELITIAN OPERASIONAL 1
PEMROGRAMAN LINIER

2. PENGERTIAN LINIEAR PROGRAMMING
 Merupakan salah satu teknik OR yang paling luas
penggunaanya, dasar pengembangan teknik OR lain.
 Adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan
pengalokasian sumber-sumber yang terbatas diantara
beberapa aktivitas yang bersaing.
 Merupakan model matematika yang digunakan untuk
mengoptimalkan penggunaan sumber daya terbatas
untuk mencapai tujuan
 Deterministik (parameter diketahui dengan pasti)
 Programming = perencanaan
Linear = fungsi yang linear

3. Langkah Penyelesaian
 Tahap pemodelan dan penyelesaian
1. Identifikasi variabel keputusan, variabel
kriteria, parameter, kendala
2. Formulasikan fungsi tujuan dan fungsi
kendala dalam persamaan atau
ketidaksamaan linear
3. Cari solusi optimal (metode grafik atau
metode simpleks)

4. Model Linier Programing
 Model LP disusun atas 3 elemen :
• Variabel keputusan : merupakan variabel yang
akan dicari
• Variabel kriteria : variabel yang dicari untuk
evaluasi variabel keputusan
• Tujuan : merupakan kondisi optimum yang akan
dicapai
• Kendala : batasan yang harus dipenuhi
 Ketiga elemen tersebut akan disusun dalam
bentuk model matematika linier :
• Persamaan fungsi tujuan
• Persamaan fungsi kendala

5. Simbol persamaan LP
 Z = var kriteria (nilai fungsi tujuan)
 xj = var keputusan/level aktivitas (x1, x2, ,… xn)
 cj = kontribusi var keputusan terhadap tujuan
 aij = penggunaan s. daya ke i oleh aktivitas j
(a11, … amn)
 bj = jumlah sumber daya tersedia
(j = 1, 2,…n)
(i = 1, 2, …m)
 Solusi layak (feasible solution) : solusi yang memenuhi seluruh
fungsi kendala pada masalah LP
 Solusi optimum : nilai terbaik bagi fungsi tujuan yang terdapat pada
daerah solusi layak,
 Umumnya hanya terdapat satu solusi optimum.

6. Model matematik
Formulasi matematika untuk bentuk baku model LP
 a. Fungsi tujuan (Max , Min)
n
Maksimumkan Z =  cj xj atau
j=1
Maksimumkan Z = c1 x1 + c2 x2 + …. + cnxn
 b. Fungsi kendala
a11 x 1 + a12 x 2 + …+ a1n x n < b1
a21 x 1 + a22 x 2 + …+ a2n x n < b2
am1 x 1 + am2 x 2 + …+ amn x n < bm
x 1, x 2 , x n > 0
Fungsi kendala juga dapat berbentuk = atau >

7. Asumsi model LP
1. Proportionality
Naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber daya (aij) yang tersedia akan berubah
secara sebanding (proportional) dengan perubahan tingkat kegiatan (xij)
2. Additivity
Nilai fungsi tujuan dari tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi, atau dianggap
bahwa kenaikan dari nilai tujuan yang diakibatkan oleh kenaikan suatu kegiatan
dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai z yang diperoleh dari kegiatan
lain.
3. Divisibility
Nilai solusi dari variabel keputusan dari setiap kegiatan dapat berupa bilangan
pecahan (non integer)
4. Deterministic
Semua parameter model LP ( aij, bi, , cj) adalah konstanta yang dapat diketahui
dengan pasti meskipun jarang dapat dipenuhi dengan tepat.

8. Asumsi model LP
5. ACCOUNTABILITY FOR RESOURCES
Sumber yang tersedia harus dapat dihitung
6. LINEARITY OF OBJECTIVES
Fungsi tujuan dan kendala-kendalanya harus dapat
dinyatakan sebagai suatu fungsi linear

9. Contoh 1
 Suatu perusahaan bermaksud akan memproduksi peralatan dapur
yang membutuhkan dua jenis sumber yaitu tenaga buruh dan bahan
baku. Perusahaan telah merencanakan tiga jenis model dan
ketiganya membutuhkan sumber dan memberikan keuntungan
sebagai berikut :

10. Penyediaan bahan baku yang dapat dilakukan per hari adalah 200 kg,
sedangkan kapasitas tenaga kerja yang dimiliki adalah 150 jam/hari.
Bagaimana perumusan programa linearnya sehingga keuntungan totalnya
maksimal untuk menentukan kecepatan produksi harian.
JAWAB :
LANGKAH 1 :
Kegiatan yang ingin diketahui adalah produksi harian dari ketiga
model.
Misalkan : XA = Produksi harian dari model A
XB = Produksi harian dari model B
XC = Produksi harian dari model A

11.  Penyediaan bahan baku yang dapat dilakukan per hari adalah 200 kg,
sedangkan kapasitas tenaga kerja yang dimiliki adalah 150 jam/hari.
Bagaimana perumusan programa linearnya sehingga keuntungan
totalnya maksimal untuk menentukan kecepatan produksi harian.
JAWAB :
LANGKAH 1 :
Kegiatan yang ingin diketahui adalah produksi harian dari ketiga
model.
Misalkan : XA = Produksi harian dari model A
XB = Produksi harian dari model B
XC = Produksi harian dari model A

12. LANGKAH 2 : Menentukan kendala
Dalam masalah ini, kendala yang dihadapi adalah
kapasitas dari kedua sumber yaitu tenaga kerja dan bahan
baku. Untuk setiap unit produk A, dibutuhkan 7 jam buruh,
sehingga XA untuk produk A dibutuhkan 7 XA (Jam buruh).
Model B akan membutuhkan 3XB dan model C akan
membutuhkan 6XC. Maka kebutuhan tenaga kerja total
adalah 7 XA + 3XB + 6XC yang tidak boleh lebih dari 150
jam/hari, maka :
7 XA + 3XB + 6XC ≤ 150
dan kebutuhan bahan baku adalah :
4 XA + 4XB + 5XC ≤ 200

13.  LANGKAH 3 : Menentukan Tujuan
Tujuannya yaitu memaksimalkan keuangan,
dengan formulasi berikut :
Z = 40 XA + 20 XB + 30 XC

14. Contoh 2 :
Misalkan kebutuhan makanan per hari adalah 100 kg. Makanan
harus mengandung :
Paling sedikit 0.8 % Ca tapi tidak lebih dari 1.2%
Paling sedikit 22% protein
Paling banyak 5% serat mentah.
Ketiga bahan tersebut di atas dapat diperoleh dari kapur (Ca), jagung
dan kacang kedelai. Kandungan gizi dari ketiga bahan tersebut :

15. Bagaimana komposisi ketiga bahan makanan
tersebut agar ongkos totalnya minimum, tetapi
syarat gizinya terpenuhi ?
JAWAB :
1. VARIABEL KEPUTUSAN
X1 = Jumlah kapur yang dibutuhkan untuk
membuat 100 kg makanan (dalam kg).
X2 = Jumlah jagung yang dibutuhkan per 100 kg
makanan
X3 = Jumlah kacang kedelai per 100 kg makanan

16. 2. KENDALA
 0.38 X1 + 0.001 X2 + 0.002 X3 Calcium tidak boleh
lebih dari 0.012 (100)
 Untuk calcium juga tidak boleh kurang dari 0.008
(100)
 Untuk protein 0.09 X2 + 0.50 X3 ≥ 0.22 (100)
 Untuk serat 0.02 X2 + 0.08 X3 ≤ 0.05 (100)
 Jumlah komposisi ketiga bahan tersebut di atas
harus sama dengan 100 kg

17. PERUMUSAN PROGRAMA LINEAR :
Minimasi Z = 65 X1 + 465 X2 + 1250 X3
Kendala :
0.38 X1 + 0.001 X2 + 0.002 X3 ≥ 0.8
0.38 X1 + 0.001 X2 + 0.002 X3 ≤ 1.2
0.09 X2 + 0.50 X3 ≥ 22
0.02 X2 + 0.08 X3 ≤ 5
X1 + X2 + X3 = 100
X1 , X2 , X3 ≥ 0