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  1. 1. . . . . . . Outline Outils probabilistes g´en´erateurs d’un mod`ele de file d’attente G´en´eration d’un mod`ele `a guichet unique G´en´eration d’un mod`ele `a une file et guichets multiples Cas `a N files et N guichets Th´eorie Optimisation et comparaison des mod`eles . ...... File d’attente et Simulation Benabdelmoumene - Hadikhanloo Universit´e Paris VII Denis diderot 1 juin 2012 Benabdelmoumene - Hadikhanloo File d’attente et Simulation
  2. 2. . . . . . . Outline Outils probabilistes g´en´erateurs d’un mod`ele de file d’attente G´en´eration d’un mod`ele `a guichet unique G´en´eration d’un mod`ele `a une file et guichets multiples Cas `a N files et N guichets Th´eorie Optimisation et comparaison des mod`eles ...1 Outils probabilistes g´en´erateurs d’un mod`ele de file d’attente Mod´elisation des temps d’arriv´ee Mod´elisation du nombre d’achats par client Mod´elisation du temps de service ...2 G´en´eration d’un mod`ele `a guichet unique ...3 G´en´eration d’un mod`ele `a une file et guichets multiples ...4 Cas `a N files et N guichets Choix de la file la moins longue MQMG1 Choix de la file contenant le moins d’articles MGMQ2 ...5 Th´eorie ...6 Optimisation et comparaison des mod`eles Quel est le meilleur mod`ele? Optimisation du nombre de caisses dans le cas d’un mod`ele `a une queue Benabdelmoumene - Hadikhanloo File d’attente et Simulation
  3. 3. . . . . . . Outline Outils probabilistes g´en´erateurs d’un mod`ele de file d’attente G´en´eration d’un mod`ele `a guichet unique G´en´eration d’un mod`ele `a une file et guichets multiples Cas `a N files et N guichets Th´eorie Optimisation et comparaison des mod`eles Mod´elisation des temps d’arriv´ee Mod´elisation du nombre d’achats par client Mod´elisation du temps de service .. Mod´elisation des temps d’arriv´ees Deux mani`eres de consid´erer les arriv´ees: Nombre de clients arrivant en un temps donn´e Intervalle de temps entre deux arriv´ees successives Les deux id´ees sont ´equivalentes car ´etant des processus sans m´emoire. De plus, les dur´ees entre arriv´ees successives sont ind´ependantes. Processus sans memoire ⇒ loi exponentielle Benabdelmoumene - Hadikhanloo File d’attente et Simulation
  4. 4. . . . . . . Outline Outils probabilistes g´en´erateurs d’un mod`ele de file d’attente G´en´eration d’un mod`ele `a guichet unique G´en´eration d’un mod`ele `a une file et guichets multiples Cas `a N files et N guichets Th´eorie Optimisation et comparaison des mod`eles Mod´elisation des temps d’arriv´ee Mod´elisation du nombre d’achats par client Mod´elisation du temps de service .. Illustration Ici λ = 0.25 λ = fr´equence d’inter-arriv´ees abscisses = temps d’arriv´ees ordonn´ees = taille de la file Benabdelmoumene - Hadikhanloo File d’attente et Simulation
  5. 5. . . . . . . Outline Outils probabilistes g´en´erateurs d’un mod`ele de file d’attente G´en´eration d’un mod`ele `a guichet unique G´en´eration d’un mod`ele `a une file et guichets multiples Cas `a N files et N guichets Th´eorie Optimisation et comparaison des mod`eles Mod´elisation des temps d’arriv´ee Mod´elisation du nombre d’achats par client Mod´elisation du temps de service .. Mod´elisation du nombre d’achats Intuitivement, la probabilit´e pour un client d’acheter un certain nombre d’articles peut ˆetre mod´elis´e par une loi de Poisson. En effet on peut supposer qu’il ach`ete k articles parmi N avec une certaine probabilit´e p ⇒ loi binomiale Si le choix d’articles n est suffisamment grand pour ˆetre consid´er´e comme infini par rapport `a son nombre d’achats: limn→+∞ Bin(n, µ n ) = Poisson(µ) Benabdelmoumene - Hadikhanloo File d’attente et Simulation
  6. 6. . . . . . . Outline Outils probabilistes g´en´erateurs d’un mod`ele de file d’attente G´en´eration d’un mod`ele `a guichet unique G´en´eration d’un mod`ele `a une file et guichets multiples Cas `a N files et N guichets Th´eorie Optimisation et comparaison des mod`eles Mod´elisation des temps d’arriv´ee Mod´elisation du nombre d’achats par client Mod´elisation du temps de service .. Mod´elisation du temps de service Les mˆemes concepts que pour la mod´elisation du processus d’arriv´ees s’appliquent pour le processus de service. En effet si le serveur reproduit `a chaque fois le mˆeme service (ou que plusieurs serveurs produisent le mˆeme service) alors on peut consid´erer que ces processus de service sont ind´ependants. Etant donn´e que le service est le mˆeme, le processus est donc lin´eaire: Service ≈ aN + D avec a = temps de traitement de chaque article, N=variable al´eatoire repr´esentant le nombre d’article, D=temps de service basique. Benabdelmoumene - Hadikhanloo File d’attente et Simulation
  7. 7. . . . . . . Outline Outils probabilistes g´en´erateurs d’un mod`ele de file d’attente G´en´eration d’un mod`ele `a guichet unique G´en´eration d’un mod`ele `a une file et guichets multiples Cas `a N files et N guichets Th´eorie Optimisation et comparaison des mod`eles .. G´en´eration d’un mod`ele `a guichet unique Soient Nn le nombre d’objets achet´es pas le n-`eme client Rn le temps pass´e `a la caisse par le n-`eme client Rn = aNn +D Un l’instant d’arriv´ee du n-`eme client au guichet Alors: . Th´eor`eme .. ...... U1 = T1 max(Un−1 + Rn−1, Tn) pour n ≥ 2 Benabdelmoumene - Hadikhanloo File d’attente et Simulation
  8. 8. . . . . . . Outline Outils probabilistes g´en´erateurs d’un mod`ele de file d’attente G´en´eration d’un mod`ele `a guichet unique G´en´eration d’un mod`ele `a une file et guichets multiples Cas `a N files et N guichets Th´eorie Optimisation et comparaison des mod`eles .. Relation entre le facteur λ et la longueur de la file d’attente La longueur de la file d’attente d´epend donc du rapport entre le temps de service et la fr´equence d’inter-arriv´ees λ. On en d´eduit qu’il existe une valeur critique λc telle que si λ < λc la file sera vide infiniment souvent, et inversement si λ > λc la file aura une longueur tendant vers l’infini. Cette valeur critique est donn´ee par: λc = 1 E(τ) = 1 E(tps de service) = 1 aE(N) + D Benabdelmoumene - Hadikhanloo File d’attente et Simulation
  9. 9. . . . . . . Outline Outils probabilistes g´en´erateurs d’un mod`ele de file d’attente G´en´eration d’un mod`ele `a guichet unique G´en´eration d’un mod`ele `a une file et guichets multiples Cas `a N files et N guichets Th´eorie Optimisation et comparaison des mod`eles .. Illustration pour 3 valeurs de λ Figure : λ < λc Figure : λ = λc Figure : λ > λc Dans ces trois cas, en consid´erant a = 0.6,D = 2,µ = 5 on obtient λc ≈ 0.2 Benabdelmoumene - Hadikhanloo File d’attente et Simulation
  10. 10. . . . . . . Outline Outils probabilistes g´en´erateurs d’un mod`ele de file d’attente G´en´eration d’un mod`ele `a guichet unique G´en´eration d’un mod`ele `a une file et guichets multiples Cas `a N files et N guichets Th´eorie Optimisation et comparaison des mod`eles .. G´en´eration d’une mod`ele `a une file et `a guichets multiples 1QMG Comme dans le cas pr´ec´edent on note: Un l’instant d’arriv´ee du client n au guichet Rn le temps pass´e par le client n en caisse D´efinissons la s´erie de vecteurs al´eatoire V n = (V n 1 , ..., V n k ) , k ≤ n telle que: Ui = Ti V k = sort(U1 + R1, ...Uk + Rk) (la foction sort correspondant `a la permutation dans l’ordre croissant des termes du vecteur) Benabdelmoumene - Hadikhanloo File d’attente et Simulation
  11. 11. . . . . . . Outline Outils probabilistes g´en´erateurs d’un mod`ele de file d’attente G´en´eration d’un mod`ele `a guichet unique G´en´eration d’un mod`ele `a une file et guichets multiples Cas `a N files et N guichets Th´eorie Optimisation et comparaison des mod`eles .. Longueur de la file `a l’instant t Ainsi, `a un rang n ≥ k + 1, on aura: Un = max(V n−1 1 , Tn) V n = sort(Un + Rn, V n−1 2 , ..., V n−1 k ) La longueur de la queue `a l’instant t nous est donc donn´ee par la formule: F(t) = +∞∑ n=1 1t∈[Tn,Un) Benabdelmoumene - Hadikhanloo File d’attente et Simulation
  12. 12. . . . . . . Outline Outils probabilistes g´en´erateurs d’un mod`ele de file d’attente G´en´eration d’un mod`ele `a guichet unique G´en´eration d’un mod`ele `a une file et guichets multiples Cas `a N files et N guichets Th´eorie Optimisation et comparaison des mod`eles .. Relation entre le facteur λ et la longueur de la file d’attente Dans le cas pr´esent, on observe le lien intrins`eque entre la fr´equence d’inter-arriv´ee λ et le nombre de guichets k. En effet: A λ constant si k augmente la longueur de la file d’attente diminue Inversement `a k constant si λ augmente la longueur de la file augmente Dans ce cas la valeur de λc est donn´ee par: λc = k aE(N) + D Benabdelmoumene - Hadikhanloo File d’attente et Simulation
  13. 13. . . . . . . Outline Outils probabilistes g´en´erateurs d’un mod`ele de file d’attente G´en´eration d’un mod`ele `a guichet unique G´en´eration d’un mod`ele `a une file et guichets multiples Cas `a N files et N guichets Th´eorie Optimisation et comparaison des mod`eles .. Illustration pour 3 valeurs diff´erentes de λ Figure : λ < λc Figure : λ = λc Figure : λ > λc Pour cette mod´elisation, les valeurs choisies sont a = 0.6,D = 2,µ = 5 et k = 0.6 ce qui nous donne λc ≈ 0.2 Benabdelmoumene - Hadikhanloo File d’attente et Simulation
  14. 14. . . . . . . Outline Outils probabilistes g´en´erateurs d’un mod`ele de file d’attente G´en´eration d’un mod`ele `a guichet unique G´en´eration d’un mod`ele `a une file et guichets multiples Cas `a N files et N guichets Th´eorie Optimisation et comparaison des mod`eles Choix de la file la moins longue MQMG1 Choix de la file contenant le moins d’articles MGMQ2 .. Deux mani`eres de construire un mod`ele Dans le cas d’une mod`ele comportant autant de files d’attente que de guichets, le client peut choisir la file qui lui convient selon deux crit`eres, en fonction des informations dont il dispose. Il pourra opter pour: la file comportant le moins de clients la file comportant le moins d’articles Evidemment, afin que le mod`ele ne puisse pas ˆetre similaire `a un mod`ele `a une file, le client ne pourra plus quitter la file d’attente qu’il a choisie une fois qu’il s’y trouve. Benabdelmoumene - Hadikhanloo File d’attente et Simulation
  15. 15. . . . . . . Outline Outils probabilistes g´en´erateurs d’un mod`ele de file d’attente G´en´eration d’un mod`ele `a guichet unique G´en´eration d’un mod`ele `a une file et guichets multiples Cas `a N files et N guichets Th´eorie Optimisation et comparaison des mod`eles Choix de la file la moins longue MQMG1 Choix de la file contenant le moins d’articles MGMQ2 Soit (Jn) une suite de variables al´eatoires telle que Jn ∈ 1, 2, ..., k correspondant au num´ero du guichet choisi par le client. Ainsi, on peut construire la fonction Fi : Fi (t) = ∑ n,Tn<t 1t<Un 1Jn=i avec Fi :longueur de la file `a l’instant t. Les k premiers clients choisissent leur guichet sans patienter, ce qui nous donne: Ui = Ti Ji = i pour 1 ≤ i ≤ k. Le fait que chaque client choisisse la file la plus courte se traduit par: Jn = arg min i (Fi (Tn)) Un = max(Tn, max(Ui + Ri |1 ≤ i < n, Ji = Jn)) Benabdelmoumene - Hadikhanloo File d’attente et Simulation
  16. 16. . . . . . . Outline Outils probabilistes g´en´erateurs d’un mod`ele de file d’attente G´en´eration d’un mod`ele `a guichet unique G´en´eration d’un mod`ele `a une file et guichets multiples Cas `a N files et N guichets Th´eorie Optimisation et comparaison des mod`eles Choix de la file la moins longue MQMG1 Choix de la file contenant le moins d’articles MGMQ2 A pr´esent le client choisit une file d’attente en fonction du nombre d’articles. Il optera donc pour la queue contenant le moins d’articles, ind´ependamment du nombre de clients. Ainsi, si: Wi (t) = ∑ n,Tn<t 1t<Un1Jn=i Rn Wi correspond au temps que le client devrait attendre s’il rejoint la file i `a l’instant t. Ainsi, en conservant les fonctions pr´ec´edentes, Jn = arg mini (Wn(Tn)) correspond `a la meilleure file que peut choisir le client `a l’instant Tn. Benabdelmoumene - Hadikhanloo File d’attente et Simulation
  17. 17. . . . . . . Outline Outils probabilistes g´en´erateurs d’un mod`ele de file d’attente G´en´eration d’un mod`ele `a guichet unique G´en´eration d’un mod`ele `a une file et guichets multiples Cas `a N files et N guichets Th´eorie Optimisation et comparaison des mod`eles .. λc en th´eorie Pla¸cons-nous dans le mod`ele `a un seul guichet. Soient: Xn = F(Tn) la longueur de la file `a l’arriv´ee du n-`eme client ξ1,ξ2,... des v.a i.i.d repr´esentant le nombre de client arrivant lorsque le n-`eme client est servi (auquel on soustraira 1 car le n-`eme client est d´ej`a en service) Ainsi, pour k ≥ 0 on a: ak = P(ξn = k − 1) = +∞∑ i=1 P(ξn = k − 1|Nn = i) = +∞∑ i=1 e−λ(ai+D) (λ(ai + D))k k! e−µ µi i! (1 − e−µ )−1 Nous avons donc: Xn+1 = (Xn + ξn+1)+ Benabdelmoumene - Hadikhanloo File d’attente et Simulation
  18. 18. . . . . . . Outline Outils probabilistes g´en´erateurs d’un mod`ele de file d’attente G´en´eration d’un mod`ele `a guichet unique G´en´eration d’un mod`ele `a une file et guichets multiples Cas `a N files et N guichets Th´eorie Optimisation et comparaison des mod`eles Si θ = E(ξ + 1) = ∑+∞ k=0 kak cela nous donne: . Th´eor`eme .. ...... Si X0 = x,Xn+1 = (Xn + ξn+1)+ et θ > 1 alors pour x > 0 suffisamment grand, chaque ´etat sera transcient. Inversement, si θ ≤ 1 chaque ´etat sera r´ecurrent et la file se videra une infinit´e de fois. Benabdelmoumene - Hadikhanloo File d’attente et Simulation
  19. 19. . . . . . . Outline Outils probabilistes g´en´erateurs d’un mod`ele de file d’attente G´en´eration d’un mod`ele `a guichet unique G´en´eration d’un mod`ele `a une file et guichets multiples Cas `a N files et N guichets Th´eorie Optimisation et comparaison des mod`eles . Preuve .. ...... θ = ∞∑ k=0 kak = ∞∑ k=0 ∞∑ i=1 ke−λ(ai+D) (λ(ai + D))k k! e−µ µi i! (1 − e−µ )−1 = ∞∑ i=1 e−µ µi i! (1 − e−µ )−1 λ(ai + D) ∞∑ k=1 e−λ(ai+D) (λ(ai + D))k−1 (k − 1)! = λ ∞∑ i=1 e−µ µi i! (1 − e−µ )−1 (ai + D) = λ(aE(N) + b) Benabdelmoumene - Hadikhanloo File d’attente et Simulation
  20. 20. . . . . . . Outline Outils probabilistes g´en´erateurs d’un mod`ele de file d’attente G´en´eration d’un mod`ele `a guichet unique G´en´eration d’un mod`ele `a une file et guichets multiples Cas `a N files et N guichets Th´eorie Optimisation et comparaison des mod`eles . Preuve .. ...... Ainsi, si θ = 1 on obtient le cas critique λc = 1 aE(N)+D ce qui, en accord avec le th´eor`eme associe un ´etat r´ecurrent `a tout λ ≤ λc, ce qui signifie que la file se videra une infinit´e de fois quel que soit λ ≤ λc. Benabdelmoumene - Hadikhanloo File d’attente et Simulation
  21. 21. . . . . . . Outline Outils probabilistes g´en´erateurs d’un mod`ele de file d’attente G´en´eration d’un mod`ele `a guichet unique G´en´eration d’un mod`ele `a une file et guichets multiples Cas `a N files et N guichets Th´eorie Optimisation et comparaison des mod`eles Quel est le meilleur mod`ele? Optimisation du nombre de caisses dans le cas d’un mod`ele `a une qu .. Recherche du mod`ele le plus efficace Nous voulons, dans cette partie, d´eterminer pour un nombre donn´e N de guichets, lequel du mod`ele `a une ou N files d’attente est le plus efficace. Pour ce faire, nous allons nous int´eresser au temps moyen d’attente dans chacun des cas. Le but est donc de proc´eder `a une simulation pour chacun des mod`eles du temps moyen d’attente pour diff´erentes valeurs du temps d’inter-arriv´ees λ. Benabdelmoumene - Hadikhanloo File d’attente et Simulation
  22. 22. . . . . . . Outline Outils probabilistes g´en´erateurs d’un mod`ele de file d’attente G´en´eration d’un mod`ele `a guichet unique G´en´eration d’un mod`ele `a une file et guichets multiples Cas `a N files et N guichets Th´eorie Optimisation et comparaison des mod`eles Quel est le meilleur mod`ele? Optimisation du nombre de caisses dans le cas d’un mod`ele `a une qu Temps d’attente moyen/fr´equence d’inter-arriv´ees (T=60; a=0.5; D=1.5; c=3; K=7). 1QMG=bleu,MQMG1=vert;MQMG2=rouge. Benabdelmoumene - Hadikhanloo File d’attente et Simulation
  23. 23. . . . . . . Outline Outils probabilistes g´en´erateurs d’un mod`ele de file d’attente G´en´eration d’un mod`ele `a guichet unique G´en´eration d’un mod`ele `a une file et guichets multiples Cas `a N files et N guichets Th´eorie Optimisation et comparaison des mod`eles Quel est le meilleur mod`ele? Optimisation du nombre de caisses dans le cas d’un mod`ele `a une qu .. Conclusion La figure pr´ecedente illustre les faits suivants: le mod`ele `a une file est le plus efficace les deux mod`eles multi-files ne pr´esentent finalement pas de diff´erence les mod`eles tendent `a se confondre pour de tr`es grandes valeurs de λ La diff´erence entre les deux mod`eles peut ˆetre expliqu´ee par le fait que dans le cas d’un mod`ele `a plusieurs guichets, un guichet peut ˆetre inactif alors qu’il ne devrait pas (i.e il y a au moins deux clients dans une autre file d’attente ou plus). Mais ce ph´enom`ene n’est ´evidemment plus observable pour λ tr`es ´elev´e d’o`u la tendance des courbes `a se confondre. Benabdelmoumene - Hadikhanloo File d’attente et Simulation
  24. 24. . . . . . . Outline Outils probabilistes g´en´erateurs d’un mod`ele de file d’attente G´en´eration d’un mod`ele `a guichet unique G´en´eration d’un mod`ele `a une file et guichets multiples Cas `a N files et N guichets Th´eorie Optimisation et comparaison des mod`eles Quel est le meilleur mod`ele? Optimisation du nombre de caisses dans le cas d’un mod`ele `a une qu .. Recherche du nombre de caisses optimal A pr´esent que nous savons que le mod`ele `a une file d’attente est le plus efficace, cherchons `a optimiser le nombre de guichets afin que la file d’attente ne d´epasse pas un seuil critique donn´e S. Notons: p = P( max t∈[0,T] F(t) > S) Intuitivement, on se doute que p d´ecroˆıt en fonction du nombre de guichets, mais nous voulons d´efinir le plus petit nombre de guichets tel que la valeur S ne soit atteinte qu’avec une probabilit´e minimale. Nous chercherons donc `a obtenir, par simulation, un p minimal `a l’aide d’un intervalle de confiance. Benabdelmoumene - Hadikhanloo File d’attente et Simulation
  25. 25. . . . . . . Outline Outils probabilistes g´en´erateurs d’un mod`ele de file d’attente G´en´eration d’un mod`ele `a guichet unique G´en´eration d’un mod`ele `a une file et guichets multiples Cas `a N files et N guichets Th´eorie Optimisation et comparaison des mod`eles Quel est le meilleur mod`ele? Optimisation du nombre de caisses dans le cas d’un mod`ele `a une qu Effectuons un test pour une dur´ee de n jours. Notons Sn le nombre de jours o`u la file d´epasse le seuil critique S, on a: Sn = n∑ i=1 1max F(t)>S Sachant que: P(|p − Sn n | > ϵ) < e−2nϵ2 on peut poser ϵ = √ − ln(0.05)/2n afin d’obtenir un intervalle de confiance `a 95% pour p, et ainsi: p ∈ [ Sn n ± √ − ln(0.05)/2n] Benabdelmoumene - Hadikhanloo File d’attente et Simulation
  26. 26. . . . . . . Outline Outils probabilistes g´en´erateurs d’un mod`ele de file d’attente G´en´eration d’un mod`ele `a guichet unique G´en´eration d’un mod`ele `a une file et guichets multiples Cas `a N files et N guichets Th´eorie Optimisation et comparaison des mod`eles Quel est le meilleur mod`ele? Optimisation du nombre de caisses dans le cas d’un mod`ele `a une qu .. Exp´erience pour n=1000 jours Nb de guichets k Sn/n 95% I.C de p Tps d’attente 1 1 [0.97, 1] 393.34 2 0.99 [0.96, 1] 50.77 3 0 [0, 0.04] 1.42 4 0 [0, 0.04] 0.26 Table : T = 600, λ = 3 4 , a = 0.5, D = 1.5, µ = 3, S = 20, tps en minutes Nous observons que k=3 ou 4 sont les valeurs `a retenir. Mais dans le cas d’un commerce l’option `a 3 guichets est clairement plus avantageuse car le seuil critique S=20 ne sera (presque) preque sˆurement jamais atteint. Benabdelmoumene - Hadikhanloo File d’attente et Simulation
  27. 27. . . . . . . Outline Outils probabilistes g´en´erateurs d’un mod`ele de file d’attente G´en´eration d’un mod`ele `a guichet unique G´en´eration d’un mod`ele `a une file et guichets multiples Cas `a N files et N guichets Th´eorie Optimisation et comparaison des mod`eles Quel est le meilleur mod`ele? Optimisation du nombre de caisses dans le cas d’un mod`ele `a une qu FIN Benabdelmoumene - Hadikhanloo File d’attente et Simulation

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